高等數(shù)學(xué) 課件【ch02】導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分第二章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01導(dǎo)數(shù)的概念一、引例第一章討論了函數(shù)與極限，二者反映了變量之間的依賴關(guān)系與變量變化的趨勢(shì)。在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要進(jìn)一步研究變量之間相對(duì)變化的快慢程度，如人口的增長(zhǎng)率、成本的變化率等。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題：假設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，在[0,T]這段時(shí)間所經(jīng)過(guò)的路程（距離）為s，則s是時(shí)間t的函數(shù)：s=s（t）。首先考慮問(wèn)題在時(shí)刻t0附近很短一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體在t0到t0+△t這段時(shí)間間隔內(nèi)路程從s（t0）變化到s（t0+△t）。導(dǎo)數(shù)的概念平面曲線的切線斜率問(wèn)題：在自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域中，還有很多非均勻變化的問(wèn)題。如物質(zhì)的比熱容、電流、電流線密度等，盡管它們有著不同的實(shí)際意義，但最終都可歸結(jié)為形如上述兩例中出現(xiàn)的函數(shù)的增量與自變量的增量之比當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)的極限問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有增量△x（△x且x0+△x在該鄰域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)y=f（x）有增量△y=f(x0+△x)-f（x0）。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)有時(shí)也稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在。導(dǎo)數(shù)的定義還可以采用其他不同的表達(dá)形式導(dǎo)函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f（x）在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f（x）在I內(nèi)可導(dǎo)。設(shè)函數(shù)y=f（x）在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于I內(nèi)的每個(gè)x值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值y=f‘（x）與之對(duì)應(yīng)，因此y=f’（x）仍是x的函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)：在第一章中，我們定義了左極限和右極限，因此還可以定義函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是f（x）在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)且導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，那么曲線y=f（x）在點(diǎn)[x0，f（x0）]處的切線方程為x=x0。法線方程為y=y0。導(dǎo)數(shù)的概念四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則y=f（x）在點(diǎn)x0處必連續(xù)。應(yīng)該注意的是，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件。02函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)，是理論研究和實(shí)踐應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一個(gè)問(wèn)題，但根據(jù)定義求導(dǎo)往往非常復(fù)雜，有時(shí)甚至無(wú)法求導(dǎo)。本節(jié)將建立一系列的求導(dǎo)法則來(lái)幫助大家較為簡(jiǎn)便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)的基本公式首先可以利用導(dǎo)數(shù)的定義求得一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，f’（x）≠0，則它的反函數(shù)x=φ（y）在相應(yīng)區(qū)間（c，d）內(nèi)也可導(dǎo)，且

，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。函數(shù)的求導(dǎo)法則二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則函數(shù)的求導(dǎo)法則我們知道，一些初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算（加、減、乘、除）得到的，下面給出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。設(shè)函數(shù)u=u（x）和v=v（x）都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)。函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合而成的，如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)在與點(diǎn)x處相應(yīng)的點(diǎn)u處可導(dǎo)。那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有或

或

。四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則到目前為止，我們遇到的函數(shù)表達(dá)式都是把因變量y寫(xiě)成自變量的顯式表達(dá)式，這種形式的函數(shù)稱作顯函數(shù)。然而，在實(shí)際問(wèn)題中，我們可能還會(huì)遇到另外一種形式的函數(shù)，如也確定著y與x之間的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則我們將這種由二元方程

在一定條件下確定的y為x的函數(shù)

［或x為y的函數(shù)

］稱為隱函數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，有的隱函數(shù)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)來(lái)求導(dǎo)數(shù)，但是要從方程中解出函數(shù)

或

通常很難，甚至不可能。函數(shù)的求導(dǎo)法則五、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則形如

的函數(shù)稱作冪指函數(shù)，其中

、

不恒為常數(shù)。我們可以先對(duì)

兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)

，再通過(guò)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出其導(dǎo)數(shù)，這種方法稱為對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則。六、由參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，若方程

（t為參數(shù)）確定了y是x的函數(shù)（或x是y的函數(shù)），則稱該函數(shù)為參數(shù)方程表示的函數(shù)。函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則我們將這種由二元方程

在一定條件下確定的y為x的函數(shù)

［或x為y的函數(shù)

］稱為隱函數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，有的隱函數(shù)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)來(lái)求導(dǎo)數(shù)，但是要從方程中解出函數(shù)

或

通常很難，甚至不可能。03高階導(dǎo)數(shù)由本章第一節(jié)引例1可知，在物體作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其瞬時(shí)速度v（t）就是路程函數(shù)s=s（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)s’（t），即，它仍然是時(shí)間t的函數(shù)。根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，加速度a（t）是速度v（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，也就是說(shuō)加速度a（t）是路程函數(shù)s（t）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

。高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)像這種需多次對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)的情況在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)經(jīng)常遇到，我們將連續(xù)兩次或兩次以上對(duì)某一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)所得的結(jié)果稱為這個(gè)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f’（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱f’（x）的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)。04函數(shù)的微分函數(shù)的微分在許多問(wèn)題中，都需要計(jì)算自變量有一個(gè)很小的改變量△x時(shí)函數(shù)的微小改變量

。然而，當(dāng)函數(shù)f（x）比較復(fù)雜時(shí)，差值

將是一個(gè)更加復(fù)雜的表達(dá)式，不易求解。一、微分的概念先看一個(gè)具體問(wèn)題：一個(gè)正方形金屬薄片受熱膨脹，其邊長(zhǎng)由x0變到x0+△x（見(jiàn)圖2-4），面積s相應(yīng)地有一個(gè)改變量，即函數(shù)的微分二、微分的幾何意義函數(shù)的微分在平面上取定直角坐標(biāo)系后，函數(shù)y=f（x）的圖形通常是一條曲線。由于f’（x）是切線MT斜率，因此PQ/MQ=f’（x）。函數(shù)的微分函數(shù)y=f（x）的圖形通常是一條曲線（見(jiàn)圖2-5）。三、微分的基本公式與運(yùn)算法則根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分之