《建筑電氣技術(shù)》課件-第2章

2.1電路的基本概念和基本定律2.2直流電路的基本分析方法

2.3單相正弦交流電路

2.4功率因數(shù)及其改善的方法

2.5三相交流電路

小結(jié)2.1.1電路和電路模型

1.電路的組成

圖2-1(a)是一個(gè)簡(jiǎn)單的手電筒電路，它由干電池、燈泡、開關(guān)和連接導(dǎo)線組成，需要照明時(shí)將開關(guān)閉合，電流就在電路中流通，燈泡發(fā)光。2.1電路的基本概念和基本定律圖2-1電路模型

2.電路模型

在電工技術(shù)中，為了方便對(duì)實(shí)際電路的分析和計(jì)算，通常在工程實(shí)際允許的條件下可將實(shí)際電路抽象成理想化的模型進(jìn)行處理，即突出足以反映其功能的主要電磁特性，而忽略其次要因素，將實(shí)際電路器件用電路模型來替代，并按規(guī)定的圖形符號(hào)來表示。

3.電路的作用

實(shí)際電路種類繁多，功能也各不相同，其作用主要有兩個(gè)方面。2.1.2電路的基本物理量

1.電流及其參考方向

帶電粒子(電子、離子)有規(guī)則地定向移動(dòng)形成電流。電流的大小是用單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量進(jìn)行衡量的，即

(2-1)電流的大小及方向都不隨時(shí)間變化時(shí)，稱其為恒定電流，簡(jiǎn)稱直流，可表示為

(2-2)

式中，Q是在t時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量。電量q(Q)的SI單位是庫侖(C)，時(shí)間t的SI單位是秒(s)時(shí)，電流i(I)的SI單位是安培(A)。即每秒通過某處的電量為1C時(shí)，則電流為1A。將電流的單位冠以詞頭(見表2-1),

即可得到電流的十進(jìn)倍數(shù)單位和分?jǐn)?shù)單位，常用單位有千安(kA)、毫安(mA)、微安(μA)等。表2-1常用電流SI詞頭電流不但有大小，而且有方向。習(xí)慣上把正電荷運(yùn)動(dòng)的方向規(guī)定為電流的實(shí)際方向。由于這些原因，在分析

電路問題時(shí)，人們引入電流參考方向的概念，即先指定某一方向?yàn)殡娏鞣较?，稱為電流的參考方向，如圖2-2中實(shí)線箭頭所示。當(dāng)然，所選的方向并不一定就是電流的實(shí)際方向，如圖2-2中虛線箭頭所示。圖2-2電流的參考方向

2.電壓及其參考方向

電路中，電場(chǎng)力將單位正電荷從某點(diǎn)移到另一點(diǎn)所做的功定義為該兩點(diǎn)之間的電壓，也稱電位差，用u或u(t)表示。即

(2-3)

式中，功w(t)的單位是焦(J)，電壓的單位是伏(V)。電壓的參考極性是任意指定的，一般用“+”、“-”極性表示；有時(shí)也用箭頭表示參考極性(如圖2-3所示)，箭頭由正極指向負(fù)極；也可用雙下標(biāo)表示，如uAB，表示A點(diǎn)為“+”極，B點(diǎn)為“-”極。圖2-3電壓的參考方向一個(gè)元件或一段電路上的電壓、電流的參考方向可以分別獨(dú)立地任意指定，但為了方便，常常采用關(guān)聯(lián)參考方向，指定電流的參考方向從標(biāo)以電壓正極性的一端指向負(fù)極性端，即兩者的參考方向一致，如圖2-4(a)所示，這時(shí)在電路圖上只需標(biāo)明電流參考方向或電壓參考極性中的任何一種即可；電流、電壓參考方向相反時(shí)稱為非關(guān)聯(lián)參考方向，如圖2-4(b)所示。圖2-4關(guān)聯(lián)參考方向與非關(guān)聯(lián)參考方向

3.電位

為了分析問題方便，常在電路中指定一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，電路中其他各點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)的電壓即是各點(diǎn)的電位。

電壓與電位的關(guān)系為:任意兩點(diǎn)A、B間的電壓等于這兩點(diǎn)的電位之差，即

UAB=φA-φB

(2-4)

4.電動(dòng)勢(shì)

當(dāng)電源與外部負(fù)載電路接通時(shí)，正電荷在電場(chǎng)力的作用下通過外電路由高電位端向低電位端移動(dòng)，從而形成電流。

電動(dòng)勢(shì)是衡量電源做功能力的物理量，電動(dòng)勢(shì)的方向表示與電壓相同，但方向與電壓相反，即由低電位端(負(fù))指向高電位(正)端。若正電荷Q在電源力的作用下沿著電源內(nèi)部從b點(diǎn)移到a點(diǎn)，則電源電動(dòng)勢(shì)Eba與其兩端間的電壓Uab存在以下關(guān)系:

Eba=-Uab

(2-5)

5.電功率和電能

電路中電流通過用電設(shè)備時(shí)，電能將轉(zhuǎn)換成其他形式的能量而做功。單位時(shí)間內(nèi)，某段電路傳送或轉(zhuǎn)換的電能稱為電功率。電功率與電能的關(guān)系為

(2-6)

直流時(shí)為

(2-7)

電功率的標(biāo)準(zhǔn)單位為瓦特(W)，也常用千瓦(kW)、毫瓦(mW)作單位。

根據(jù)電功率的定義，某段電路在t時(shí)間內(nèi)吸收或發(fā)出的電能為

W=Pt

(2-8)

1J就是1W的用電設(shè)備在1s內(nèi)消耗的電能。通常電業(yè)部門用“度”作為單位來測(cè)量用戶消耗的電能，“度”是千瓦時(shí)(kWh)的簡(jiǎn)稱。1度(或1kWh)電等于功率為1kW的元件在1小時(shí)內(nèi)消耗的電能，有

1kWh=1×103W×3600s=3.6×106J

有了關(guān)聯(lián)參考方向的概念，則電功率計(jì)算式(2-6)就可以表示為以下兩種形式:當(dāng)u、i為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)

p=ui(直流功率P=UI)

(2-9)當(dāng)u、i為非關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)

p=-ui(直流功率P=-UI)

(2-10)

【例2-1】

計(jì)算圖2-5中各元件的功率，指出是吸收還是發(fā)出功率，并求整個(gè)電路的功率。已知電路為直流電路，U1=5V，U2=-9V，U3=6V，I=2A。圖2-5例2-1電路圖

解在圖2-5中，元件1的電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，由式(2-9)得

P1=U1I=5×2=10W

故元件1吸收功率。

元件2和元件3的電壓與電流為非關(guān)聯(lián)參考方向，由式(2-10)得

P2=－U2I=－(－9)×2=18W

P3=－U3I=－6×2=－12W

整個(gè)電路功率為

P=P1+P2+P3=10+18-12=16W2.1.3電路的工作狀態(tài)

實(shí)際工作中，由于電源、負(fù)載和中間環(huán)節(jié)的連接方式不同，電路可以有通路、開路和短路三種工作狀態(tài)(見圖2-6)，下面以直流電路為例說明三者的特征。圖2-6電路的工作狀態(tài)

1.通路(負(fù)載工作狀態(tài))

電源與負(fù)載通過中間環(huán)節(jié)接成閉合回路的情況稱為通路。在圖2-6(a)中當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，電流通過負(fù)載電阻消耗電能，若忽略輸電導(dǎo)線的電阻，根據(jù)全電路歐姆定律，有

(2-11)

UL=IRL=E-IR0

即

U=UL=E-IR0

(2-12)

2.開路

電源與負(fù)載不接成閉合回路的情況稱為開路，也稱斷路，如圖2-6(b)所示。電源處于開路狀態(tài)時(shí)，電路中的電流為零，相當(dāng)于負(fù)載電阻RL等于無窮大的情況，電源不能輸出電能。此時(shí)，電源的端電壓U稱為電源開路電壓，用符號(hào)UOC表示，有

UOC=E

(2-13)

3.短路

負(fù)載電阻RL為零時(shí)或由于某種原因使電源兩端短接而直接連通的情況稱為短路，如圖2-6(c)所示。由于短路點(diǎn)b、c間的電阻幾乎為零，因此電流不流過負(fù)載電阻RL。此時(shí)電源輸出的電流稱為短路電流，用符號(hào)IS表示，有

(2-14)

【例2-2】實(shí)驗(yàn)中測(cè)出某電源的開路電壓UOC＝10V，

短路電流IS＝100A，求該電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。

解據(jù)式(2-13)得

E=UOC=10V

據(jù)式(2-14)得

2.1.4電阻和歐姆定律

1.歐姆定律

電阻元件是電路中最常見的元件，它由各種導(dǎo)電材料做成，在電路中起限制和調(diào)節(jié)電流等作用。電阻元件流過電流時(shí)要消耗電能，因此電阻元件是耗能元件。電阻元件的圖形符號(hào)如圖2-7(a)所示。圖2-7電阻元件及其伏安特性曲線在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，其端鈕的伏安關(guān)系為

u=Ri

(2-15)

這就是我們熟悉的歐姆定律。把電阻元件兩端所加的電壓U和流過該電阻元件的電流I之比值R稱為電阻元件的電阻值，簡(jiǎn)稱為電阻，其計(jì)算式為

(2-16)電阻的倒數(shù)稱為電導(dǎo)，用符號(hào)G來表示，即

(2-17)

電導(dǎo)的單位是西門子(S)。用電導(dǎo)表征線性電阻元件時(shí)，歐姆定律表示為

(2-18)

2.影響導(dǎo)體電阻的參數(shù)

導(dǎo)體的電阻不僅與材料的導(dǎo)電能力有關(guān)，還與導(dǎo)體的尺寸有關(guān)?？捎孟率奖硎?/p>

(2-19)知道導(dǎo)體的溫度系數(shù)，就可以算出材料在溫度變化時(shí)的電阻。例如，R1是溫度為t1時(shí)的導(dǎo)體電阻，R2是溫度為t2時(shí)的導(dǎo)體電阻，它們之間的關(guān)系可用下式表示

(2-20)

3.焦耳—楞次定律

電流流過電阻元件時(shí)，電阻元件吸收電能并全部轉(zhuǎn)換成熱能，使電阻元件發(fā)熱，發(fā)熱量Q與其吸收的電能W相等。電阻元件在t1-t2時(shí)間內(nèi)的發(fā)熱量為

(2-21)

這就是焦耳—楞次定律。當(dāng)流過的電流是直流時(shí)，焦耳—楞次定律表示為

Q=W=RI2(t2-t1)=

(t2-t1)

(2-22)

4.電氣設(shè)備的額定值

電氣設(shè)備或元件長(zhǎng)期正常運(yùn)行的電流容許值稱為額定電流，其長(zhǎng)期正常運(yùn)行的電壓容許值稱為額定電壓；額定電壓和額定電流的乘積為額定功率，即

PN=UNIN

(2-23)

【例2-3】一只額定值為220V、100W的燈泡，接到電動(dòng)勢(shì)為220V、內(nèi)阻為1Ω的電源上。求:該燈泡的實(shí)際功率；該燈泡在一小時(shí)內(nèi)產(chǎn)生的熱量；該燈泡在一天(24小時(shí))內(nèi)消耗的電能(度)。

解燈泡的電阻為

電路中的電流為

加在燈泡上的實(shí)際電壓為

UL=ILR=0.45×484=217.8V燈泡的實(shí)際功率為

PL=ULIL=217.8×0.45=98.01W

燈泡在一小時(shí)內(nèi)產(chǎn)生的熱量為

Q=W=PLt=98.01×3600=352836J

燈泡在一天(24小時(shí))內(nèi)消耗的電能為

W=PLt=98.01×24=2352.24Wh=2.35224kWh2.1.5基爾霍夫定律

在電路分析計(jì)算中，其依據(jù)來源于兩種電路規(guī)律:一種是各類理想電路元件的伏安特性，這取決于元件本身的電磁性質(zhì)，即各元件的伏安關(guān)系，與電路連接狀況無關(guān)；另一種是與電路的結(jié)構(gòu)及連接狀況有關(guān)的定律，這些定律與組成電路的元件性質(zhì)無關(guān)。基爾霍夫定律就是表達(dá)電壓、電流在結(jié)構(gòu)方面的規(guī)律和關(guān)系的。

(1)支路。

(2)節(jié)點(diǎn)。電路中三條或三條以上支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。圖2-8中有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，即b節(jié)點(diǎn)、e節(jié)點(diǎn)。

(3)回路。電路中任一閉合路徑稱為回路?；鶢柣舴蚨砂娏鞫珊碗妷憾?。

1.基爾霍夫電流定律(簡(jiǎn)稱KCL)

基爾霍夫電流定律用于確定連接于同一節(jié)點(diǎn)的各支路電流間的關(guān)系。圖2-8復(fù)雜電路因此，對(duì)電路中任一節(jié)點(diǎn)而言，任一時(shí)刻流入某節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流之和，這就是基爾霍夫電流定律，用式子表示為

∑Ii=∑Io

(2-24)

式中，Ii為流入節(jié)點(diǎn)的電流，Io為流出節(jié)點(diǎn)的電流。根據(jù)圖2-8中選定的各支路電流的參考方向，列出節(jié)點(diǎn)b的KCL方程為

I1+I2=I3基爾霍夫電流定律不僅適用于節(jié)點(diǎn)，也可以推廣應(yīng)用于包圍部分電路的任一假設(shè)閉合面——稱為廣義節(jié)點(diǎn)。如圖2-9所示，可以將包含A、B、C三個(gè)節(jié)點(diǎn)的閉合面看成是一個(gè)廣義節(jié)點(diǎn)，容易證明在任一瞬時(shí)有

IA+IB+IC=0圖2-9KCL的擴(kuò)展應(yīng)用

【例2-4】應(yīng)用基爾霍夫電流定律計(jì)算圖2-10電路中流過各未知元件的電流。

解選定流過各未知元件的電流參考方向，如圖2-10所示。圖2-10例2-4圖

2.基爾霍夫電壓定律(簡(jiǎn)稱KVL)

基爾霍夫電壓定律是反映電路中各支路電壓之間關(guān)系的定律，可表述為:對(duì)于任何電路中的任一回路，在任一時(shí)刻，沿著一定的循行方向(順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向)繞行一周，各段電壓的代數(shù)和恒為零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

∑u=0

(2-25)一般規(guī)定電位升取正號(hào)，電位降取負(fù)號(hào)。因此，基爾霍夫電壓定律也可表述為:對(duì)電路中任一回路而言，電位升之和等于電位降之和，即

∑Ur=∑Uf

(2-26)

基爾霍夫電壓定律不僅適用于閉合電路，還可以推廣應(yīng)用于開口電路。如圖2-11所示，運(yùn)用式(2-20)可對(duì)回路列出KVL方程式

E=I1R1+I2R2+UOC

圖2-11開口電路

【例2-5】在圖2-12中I1=3mA，I2=1mA。試確定電路元件3中的電流I3和其兩端電壓Uab。

解根據(jù)KCL，對(duì)于節(jié)點(diǎn)a有

I1-I2+I3=0

代入數(shù)值得

(3-1)+I3=0

則I3=-2mA根據(jù)KVL和圖2-12右側(cè)回路所示繞行方向，可列寫回路的電壓平衡方程式為

-Uab-20I2+80=0

代入I2=1mA數(shù)值，得

Uab=60V圖2-12例2-5電路2.2.1電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)

實(shí)際電路中電阻的連接方式是多種多樣的，其中最簡(jiǎn)單的是串聯(lián)和并聯(lián)形式。

1.電阻的串聯(lián)

圖2-13(a)虛線框N1內(nèi)電路由三個(gè)電阻順序相連而成，并且在這些電阻中通過同一電流，這樣的連接方式稱為串聯(lián)。圖2-13(b)中，R就是N1中三個(gè)串聯(lián)電阻R1、R2、R3的等效電阻。2.2直流電路的基本分析方法圖2-13串聯(lián)電阻的等效電阻等效電阻的概念很容易推廣到有n個(gè)串聯(lián)電阻的電路。顯然，當(dāng)n個(gè)電阻R1、R2、…、Rk、…、Rn相串聯(lián)時(shí)，其等效電阻為

R=R1+R2+…+Rk+…+Rn=

Rk

(2-27)

電阻串聯(lián)時(shí)，各電阻上的電壓為

(2-28)根據(jù)KCL和歐姆定律，在關(guān)聯(lián)參考方向下，圖2-14(a)中電路的電壓、電流關(guān)系為

I=G1U+G2U+G3U=(G1+G2+G3)U

(2-29)

同理可得圖2-14(b)中電路的電壓、電流關(guān)系為

I=GU

(2-30)

比較式(2-29)和式(2-30)可知，有

G=G1+G2+G3

(2-31)圖2-14并聯(lián)電阻的等效電導(dǎo)等效電導(dǎo)的概念很容易推廣到有n個(gè)并聯(lián)電阻的電路。顯然，若有n個(gè)電導(dǎo)為G1、G2、…、Gk、…、Gn的電阻相并聯(lián)，則等效電導(dǎo)為

(2-32)上式還可以寫成

(2-33)

電阻并聯(lián)時(shí)，各電阻中的電流為

(2-34)如果兩個(gè)電阻R1和R2并聯(lián)，如圖2-15(a)所示，其等效電阻R如圖2-15(b)所示，其值可計(jì)算如下：

(2-35)用式(2-34)求兩個(gè)電阻的電流分配，并將電導(dǎo)用電阻代替，可得

(2-36)圖2-15兩個(gè)電阻的并聯(lián)

3.電阻的混聯(lián)

電阻串聯(lián)和并聯(lián)相結(jié)合的連接方式稱為電阻的串并聯(lián)或混聯(lián)。

【例2-6】求圖2-16(a)所示電路a、b兩端的等效電阻。圖2-16例2-6電路

解將圖2-16(a)改畫成圖2-16(b)后，可以很明顯地看出串并聯(lián)關(guān)系。a、b間的等效電阻由兩個(gè)支路并聯(lián)而成，一個(gè)支路是10Ω電阻，另一個(gè)支路由兩個(gè)6Ω電阻并聯(lián)后串聯(lián)7Ω電阻構(gòu)成，所以得

4.電阻的三角形連接與星形連接

電路中，有時(shí)電阻的連接既不是串聯(lián)，又不是并聯(lián)，這樣就不能用電阻的串并聯(lián)來化簡(jiǎn)。如圖2-17(a)所示，三個(gè)電阻連接成一個(gè)閉環(huán)，由三個(gè)連接點(diǎn)分別引出三個(gè)接線端鈕，所構(gòu)成的電路就稱為電阻的三角形(△形)連接；圖2-17(b)中，三個(gè)電阻的一端匯集于一個(gè)電路節(jié)點(diǎn)，另一端分別連接于三個(gè)不同的電路端鈕上，這樣構(gòu)成的電路稱為電阻的星形(Y形)連接。圖2-17電阻的三角形連接和星形連接當(dāng)一個(gè)Y形連接電阻變換為△形連接時(shí)，有(2-37)可將上式歸納成下面的一般公式

(2-38)

當(dāng)一個(gè)△形連接電阻變換為Y形連接電阻時(shí)，有

(2-39)可將上式歸納成下面的一般公式

(2-40)

若Y形連接的3個(gè)電阻值相等，則等效△形連接的3個(gè)電阻也相等，即

(2-41)

【例2-7】計(jì)算圖2-18(a)所示電路中的電流I1。

圖2-18例2-7電路

解圖2-18(a)中的5個(gè)電阻既非串聯(lián)又非并聯(lián)，無法用串并聯(lián)等效電阻的概念求取4、3端的等效電阻。如果將接到端鈕1、2、3作三角形連接的3個(gè)電阻等效變換為星形連接，如

圖2-18(b)中所示的R1、R2、R3

，就可用串并聯(lián)方法求4、3

端的等效電阻。應(yīng)用式(2-40)得

下面將圖2-18(b)化簡(jiǎn)為圖2-18(c)的電路，其中

R4=1+R1=1+2=3Ω

R5=5+R2=5+1=6Ω

于是2.2.2支路電流法

支路電流法是分析與計(jì)算復(fù)雜電路的基本方法。這種方法以電路中每一條支路的電流為待求量，應(yīng)用基爾霍夫電流定律及電壓定律分別對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)、獨(dú)立回路列出與待求量數(shù)目相等的方程組，進(jìn)而求解各支路電流。

【例2-8】應(yīng)用支路電流法求出圖2-19電路中各支路的電流。

解

(1)選定各支路的電流參考方向，如圖2-19所示。圖2-19例2-8電路

(2)圖中有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，只能列出3個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)方程式。可對(duì)A、B、C三個(gè)節(jié)點(diǎn)分別列出如下KCL方程式

(3)圖中有6條支路，只能列出6-4+1=3個(gè)獨(dú)立回路的KVL方程式，可對(duì)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)網(wǎng)孔分別列出如下方程式

(4)將以上6個(gè)方程式聯(lián)立求解，得2.2.3疊加定理

在線性電路中，任何一條支路中的電流或電壓，都可以看成是由電路中各電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路中所流過的電流或產(chǎn)生的電壓的代數(shù)和，這就是疊加定理。

【例2-9】應(yīng)用疊加定理求出圖2-19電路中各支路的電流。

解

(1)100V電壓源單獨(dú)作用時(shí)，將40V電壓源短接(注意:原有支路仍保留)，各支路電流的正方向如圖2-20(a)所示。圖2-20例2-9附圖根據(jù)歐姆定律及電阻串、并聯(lián)計(jì)算方法，得

其中:根據(jù)并聯(lián)電阻分流公式，得

根據(jù)KCL定律，得

(2)40V電壓源單獨(dú)作用時(shí)，將100V電壓源短接(注意:原有支路仍保留)，各支路電流的正方向如圖2-20(b)所示(注意:I3″的正方向已改變，與I3′的參考方向相反)。

根據(jù)歐姆定律及電阻串、并聯(lián)計(jì)算方法，得根據(jù)并聯(lián)電阻分流公式，得

根據(jù)KCL定律，得

(3)將兩個(gè)電壓源單獨(dú)作用時(shí)所求得的各支路電流進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)相加，得2.3.1正弦交流電的基本概念

1.正弦量三要素

大小和方向隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電量稱為正弦電量，簡(jiǎn)稱為正弦量，如正弦電壓、正弦電流等。本書約定正弦量均用小寫字母表示，如正弦電壓用u(t)表示，電流用i(t)表示，也可直接寫成u、i。下面以正弦電流為例來介紹正弦量的各種表示方法。

2.3單相正弦交流電路正弦電流的時(shí)域表示式為

i(t)=Imsin(ωt+

i)

(2-42)

波形如圖2-21所示。要確定一個(gè)正弦量，必須給出振幅Im、角頻率ω、初相i三個(gè)參數(shù)，我們把這三個(gè)參數(shù)稱為正弦量三要素，下面分別介紹。圖2-21正弦電流波形

(1)振幅。

(2)角頻率。

顯然有

(2-43)

ω與T、f的關(guān)系為

ω=2πf

(2-44)

【例2-10】已知工頻正弦量為50Hz，試求其周期T和角頻率ω。

解

即工頻正弦量的周期為0.02s，角頻率為314rad／s。

(3)相位。

①相位及初相位。

②相位差。

兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差稱為相位差，用φ表示。如圖2-22所示的兩個(gè)正弦電流:

i1=im1sin(ωt+

)

i2＝im2sin(ωt+

)圖2-22電流i1(t)、i2(t)的波形

2.正弦量的有效值

交流電的大小和方向隨時(shí)間變化，所以不論是測(cè)量還是計(jì)算都不方便，為此引入有效值的物理量。

有效值的定義是:當(dāng)某一交流電流和一直流電流分別通過同一電阻R時(shí)，如果在一個(gè)周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，那么這個(gè)直流電流I的數(shù)值叫做交流電流的有效值。

正弦交流電流i=Imsin(ωt+i)一個(gè)周期內(nèi)在電阻R上產(chǎn)生的能量為

直流電流I在相同時(shí)間T內(nèi)，在電阻R上產(chǎn)生的能量為

W=I2RT

根據(jù)有效值的定義，有

于是得

(2-45)將正弦交流電流i=Imsin(ωt+i)代入式(2-45)得即

，I稱為有效值(2-46)

Im=

I，Im稱為峰值(2-47)

同樣可定義電壓有效值(2-48)(2-49)

【例2-11】已知正弦電流i=20sin(314t+150°)A，

電壓u=10sin(314t-30°)V。試分別畫出它們的波形圖，

求出它們的有效值、頻率及相位差。

解i、u波形圖如圖2-23所示。其有效值為

i、u的頻率為

u、i的相位差為

φ=u-i=-30°-150°=-180°圖2-23例2-11波形圖2.3.2正弦量的相量表示法

1.復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

如圖2-24所示，向量A的復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)式為A=a+jb，式中j=為虛單位(與數(shù)學(xué)中常用的i等同)。a、b為復(fù)數(shù)A的實(shí)部和虛部。圖中有向線段長(zhǎng)度表示復(fù)數(shù)的大小，稱為復(fù)數(shù)的模，用|A|表示。有向線段與實(shí)軸正方向間的夾角，稱為復(fù)數(shù)的幅角，用表示，規(guī)定幅角的絕對(duì)值小于180°。圖2-24復(fù)數(shù)坐標(biāo)各量之間的關(guān)系為

由此可將復(fù)數(shù)的代數(shù)式A=a+jb轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式:根據(jù)歐拉公式，可將復(fù)數(shù)的三角形式分別轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式和復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式:兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，可以用代數(shù)形式計(jì)算。

如F1=a1+jb1，F(xiàn)2=a2+jb2，則

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)

也可以按平行四邊形法則在復(fù)平面上作圖求得兩個(gè)復(fù)數(shù)的和，如圖2-25所示。圖2-25向量作圖法求復(fù)數(shù)的和

2.正弦量的相量表示

由式(2-46)看出，若在復(fù)數(shù)平面上畫一矢量，使矢量的長(zhǎng)度等于正弦電流i(t)的有效值I，且以該正弦電流i(t)的角頻率ω為角速度逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，它在t=0時(shí)刻與實(shí)軸正方向間的夾角為電流i(t)的初相角，如圖2-26(a)所示，這樣的矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。在任意時(shí)刻t，矢量在實(shí)軸上的分量乘以即為正弦電流i(t)在該時(shí)刻的瞬時(shí)值，即i=

Isin(ωt+)。圖2-26正弦量的旋轉(zhuǎn)矢量表示

【例2-12】?jī)蓚€(gè)同頻率的正弦電流和電壓分別如下，

試用相量表示電流、電壓并作相量圖。

i=141.4sin(ωt+30°)A，u=311.1sin(ωt-60°)V

解用最大值相量表示為

=141.4∠30°A，

=311.1∠-60°V用有效值相量表示為

其相量圖如圖2-27所示。圖2-27例2-12電路相量圖

3.正弦量的相量運(yùn)算

【例2-13】已知兩個(gè)同頻率的電壓相量分別如下，

試求u1+u2。

解將兩個(gè)正弦電壓分別用相量表示，得=10∠30°，

=5∠-45°，角頻率為ω。

它們的相量圖如圖2-28所示，所以有圖2-28例2-13電路相量圖2.3.3基爾霍夫定律的相量形式

在正弦交流電路中，由于電壓、電流全部是同頻率的正弦量，可以推導(dǎo)出基爾霍夫定律的相量式:

相量形式的KCL

(2-50)

式中為支路電流相量。

相量形式的KVL

(2-51)2.3.4單一參數(shù)的正弦交流電路

1.電阻元件

在交流電路中常常遇到的白熾燈、電熱器等都可以近似為電阻性元件，其符號(hào)和參考方向如圖2-29(a)所示。圖2-29電阻中電壓、電流的符號(hào)圖、波形圖與相量圖

1)電壓與電流關(guān)系

設(shè)電阻元件的電流i=

Isin(ωt+)，電壓u=

Usin(ωt+)，依據(jù)歐姆定律

則有

U=RI，

2)相量形式及相量圖

設(shè)電阻元件的電流、電壓的相量形式分別為

=I∠，=U∠，則=RI∠

=R

。

所以，電阻元件的電流、電壓的相量表示式為

(2-52)

3)功率

電阻元件在正弦電流電路中也同樣消耗功率。由于電壓、電流隨時(shí)間變化，故各時(shí)刻消耗的功率也不相同。電路任一瞬間吸收或消耗的功率稱為瞬時(shí)功率，用p表示，即

p=ui

將正弦交流電u、i的表達(dá)式代入上式(設(shè)初相i=0)，可得

p=ui=2UIsin2(ωt)=UI［1-cos2(ωt)］(2-53)圖2-30電阻中的功率瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，用P表示，即

(2-54)

2.電感元件

1)電壓與電流關(guān)系

將電感線圈接入交流電路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電壓，其符號(hào)和參考方向如圖2-31(a)所示。

設(shè)經(jīng)過電感的正弦電流、電壓分別為

根據(jù)電磁感應(yīng)定律可見電感上的電壓超前電流90°，即u與i正交，有效值關(guān)系為U=ωLI。圖2-31(b)畫出了電感中電流、電壓的波形圖。圖2-31電路中電流、電壓的波形圖與相量圖

2)相量形式及相量圖

設(shè)電感元件的電流、電壓的相量形式分別為

則

所以，電感元件的電流、電壓的相量表示式為

(2-55)

3)感抗

電感中電壓與電流的有效值關(guān)系為U=ωLI，則

(2-56)

引進(jìn)了感抗以后，式(2-56)可寫作

(2-57)

4)功率

電感L吸收的瞬時(shí)功率(設(shè)

=0)為

(2-58)圖2-32畫出了p隨時(shí)間變化的規(guī)律。其瞬時(shí)功率是一個(gè)正弦變量，其最大值為UI，頻率為電流或電壓頻率的兩倍。在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，u和i的方向一致，瞬時(shí)功率p為正值，表示電感在吸收能量，并把吸收的能量轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)能量。在第二個(gè)1／4周期內(nèi)，u和i方向相反，p為負(fù)值，表示電感在供出能量，原先儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中的能量逐漸釋放直到全部放出。圖2-32電感中的功率由上述過程可見，電感元件是儲(chǔ)能元件，它在電路中的作用是儲(chǔ)存與釋放能量，并不消耗能量，即它的平均功率為零，用公式表示即為

電感不斷吸收與供出能量，或者說電感和外部之間有能量交換，這種交換能量的規(guī)?？捎脽o功功率表示。電感元件的無功功率為

(2-59)

【例2-14】一個(gè)0.8H的電感線圈接到電壓為u(t)=220sin(314t-120°)V的電源上，試求電感元件的電流表達(dá)式和無功功率。

解電壓相量為=220∠-120°V，電感元件感抗為XL=ωL=314×0.8=251Ω，由式(2-57)得

電流表達(dá)式為

i(t)=0.876

sin(314t+150°)A

線圈的無功功率為

QL=UI=220×0.876=192.7var

3.電容元件

將兩個(gè)金屬片(或?qū)w)用絕緣介質(zhì)隔開即構(gòu)成一個(gè)儲(chǔ)存電量q的電器，稱為電容器。

若只考慮電容器的電場(chǎng)效應(yīng)且認(rèn)為其中絕緣介質(zhì)的損耗為零(即絕緣電阻為無窮大)，則此種電容器即可視為理想電容元件，如圖2-33(a)所示。圖2-33電容中電壓、電流波形圖與相量圖為了表征電容元件儲(chǔ)存電荷的能力，定義單位電壓下它所能儲(chǔ)存的電量稱為電容元件的電容量，簡(jiǎn)稱電容，用C表示，即

(2-60)

式中q(t)為電容元件極板上的電量。C的單位為法拉(F)，有時(shí)還用微法(μF)、皮法(pF)為單位。

1)電壓與電流關(guān)系

設(shè)經(jīng)過電容的正弦電流、電壓分別為由于

2)相量形式及相量圖

設(shè)電容元件的電流、電壓的相量形式分別為

則

所以，電容元件的電流、電壓的相量表示為

(2-61)

3)容抗

電容中電壓與電流的有效值關(guān)系為I=ωCU，則

(2-62)

式中具有電阻的量綱，

而且?guī)в袑?duì)抗電流通過的性質(zhì)，稱為容抗，單位為歐姆(Ω)。容抗與頻率及電容均成反比。

引進(jìn)了容抗以后，式(2-62)可寫作

(2-63)

4)功率

電容C吸收的瞬時(shí)功率(設(shè)u=0)為

(2-64)圖2-34電容的功率由上述過程可見，電容元件是儲(chǔ)能元件，它在電路中的作用是儲(chǔ)存與釋放能量，并不消耗能量，即它的平均功率為零，用公式表示為

電容元件的無功功率為

(2-65)

【例2-15】

已知加在2μF電容兩端的電壓為10V，初相為60°，角頻率為106rad／s。

解本題的電路圖及電壓、電流的參考方向如圖2-35(a)所示，取關(guān)聯(lián)參考方向，得

由式(2-63)得

相量圖如圖2-35(b)所示，電流瞬時(shí)值解析式為

圖2-35例2-15電路2.3.5RLC串聯(lián)交流電路

前面介紹了單一參數(shù)的交流電路，而實(shí)際電路往往是由多種元件組成的。下面分析圖2-36(a)所示的R、L、C串聯(lián)組成的交流電路。圖2-36RLC串聯(lián)電路

1.電壓與電流關(guān)系

設(shè)該串聯(lián)電路中的電流為

由KVL可以得到此電路瞬時(shí)值電壓方程為

u=uR+uL=uC

用相量表示上式，如圖2-36(b)所示，可得

(2-66)稱為歐姆定律的相量形式，式中復(fù)數(shù)Z稱為阻抗。由式(2-66)可得(2－67)阻抗的實(shí)部就是所串聯(lián)的電阻，虛部X為感抗與容抗之差，即X=XL-XC，稱為電抗?？梢郧蟮靡约埃?－68）（2－69）（2－70）由于串聯(lián)電路中通過的是同一電流，所以取電流作為參考相量，電阻電壓與電流同相位，電感電壓超前于電流90°，而電容電壓滯后于電流90°，所以電感電壓與電容電壓反相。圖2-37(a)中，φ>0，是感性電路，所以電壓超前電流；圖2-37(b)中，φ<0，是容性電路，所以電壓滯后電流。

φ的正負(fù)視超前或滯后于而定。圖2-37RLC串聯(lián)電路的相量圖

R、X三者關(guān)系構(gòu)成一個(gè)三角形，稱為阻抗三角形。若再將阻抗三角形的每一個(gè)邊乘以電流有效值I，又可得到電壓三角形，如圖2-38所示。這兩個(gè)三角形相似，可得(2-71)圖2-38阻抗三角形和電壓三角形

【例2-16】如圖2-39所示，

已知u=22sin314tV，R=12Ω，L=210mH，C=64μF，求i、uR、uL、uC。

解

取22∠0°為參考相量，則有

2.功率關(guān)系

1)瞬時(shí)功率

瞬時(shí)功率p=ui，即各瞬時(shí)的電壓和電流相乘之積，其波形如圖2-39所示。

2)平均功率

平均功率又稱為有功功率，式(2-54)已定義了有功功率，即

(2-72)圖2-39正弦交流電路的瞬時(shí)功率上式表明正弦電流電路中的有功功率一般并不等于電壓與電流有效值的乘積，它還與電壓、電流之間的相位差φ有關(guān)。式(2-72)中

λ=cosφ

(2-73)

3)無功功率

電感和電容雖然本身并不消耗能量，但卻會(huì)在二端網(wǎng)絡(luò)與外電路之間造成能量的往返交換現(xiàn)象。在工程上我們引入無功功率的概念(用Q表示)，來衡量電路與電源之間能量交換的規(guī)模，其表達(dá)式為

Q=UIsinφ

(2-74)若電路中既有電感又有電容，則它們?cè)陔娐穬?nèi)部先自行交換一部分能量，其差額再與外電路進(jìn)行交換，因而二端網(wǎng)絡(luò)由外電路吸收的無功功率Q應(yīng)等于電感吸收的無功功率QL與電容吸收的無功功率QC的差，即

Q=QL-QC

(2-75)

4)視在功率

變壓器、電機(jī)及一些電氣器件的容量由它們的額定電壓和額定電流決定，所以引入視在功率的概念。對(duì)于一個(gè)電路，定義其電壓、電流有效值的乘積為視在功率，即

S=UI

(2-76)根據(jù)式(2-72)、式(2-73)、式(2-74)，可知道P、Q、S存在以下關(guān)系:

(2-77)

(2-78)因此，P、Q和S也構(gòu)成一個(gè)直角三角形，見圖2-40，稱為功率三角形。

由圖2-40可得出下列關(guān)系式:

(2-79)圖2-40功率三角形

【例2-17】R、L串聯(lián)電路中，已知f=50Hz，R=300Ω，電感L=1.65H，端電壓的有效值U=220V。試求電路的功率因數(shù)、有功功率、無功功率。

解電路的阻抗

由阻抗角φ=60°，得功率因數(shù)λ=cosφ=cos60°=0.5。電路中電流的有效值為

P=UIcosφ=220×0.367×0.5=40.4W

Q=UIsinφ=220×0.367×0.866=69.9var2.4.1功率因數(shù)改善的意義

目前，在各種用電設(shè)備中，除白熾燈、電阻爐等少數(shù)電阻性負(fù)載外，其他大多屬于電感性負(fù)載。

(1)降低了供電設(shè)備的利用率。

(2)增加了供電設(shè)備和線路的功率損耗。

2.4功率因數(shù)及其改善的方法2.4.2提高功率因數(shù)的方法

提高功率因數(shù)最常用的方法有兩種:一種是在電站或變電站內(nèi)用無功發(fā)電機(jī)(同步補(bǔ)償機(jī))或電力電容器，對(duì)電網(wǎng)進(jìn)行集中補(bǔ)償；另一種就是在電感性負(fù)載端并聯(lián)電容器，進(jìn)行分散補(bǔ)償，如圖2-41(a)所示，圖2-41(b)則為其相量圖。圖2-41功率因數(shù)的提高根據(jù)相量圖可得，電容電流等于兩個(gè)無功電流之差，即

又由于IC=ωCU，所以需并聯(lián)的電容C為(2-80)

【例2-18】一個(gè)負(fù)載的工頻電壓為220V，功率為

10kW，功率因數(shù)為0.6，欲將功率因數(shù)提高到0.9，試求補(bǔ)償電容器的大小。

解由題意得，未并聯(lián)電容時(shí)，功率因數(shù)和功率因數(shù)角分別為

cosφ=0.6，φ=arccos0.6=53.1°并聯(lián)電容后功率因數(shù)和功率因數(shù)角分別為

cosφ′=0.9，φ′=arccos0.9=25.8°

由式(2-80)得所需并聯(lián)的電容為

2.5.1三相交流電源

1.三相交流電源的產(chǎn)生

三相正弦交流電是由三相交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的，圖2-42是三相交流發(fā)電機(jī)的原理圖。2.5三相交流電路圖2-42三相交流發(fā)電機(jī)原理圖實(shí)際中常采用三相電壓源來分析三相電路。如果以A相為參考(初相位等于零)，則可得出對(duì)稱三相電源的瞬時(shí)表達(dá)式為

(2-81)其波形圖如圖2-43(a)所示。它們的相量表達(dá)式為

(2-82)

其相量圖如圖2-43(b)所示。由圖中可知，對(duì)稱三相電源的電壓瞬時(shí)值之和以及相量之和都等于零，即

圖2-43對(duì)稱三相電源的電源波形圖和相量圖

2.三相電源的連接

三相電源的連接有兩種方式:星形連接與三角形連接。

(1)星形連接。星形連接就是將三個(gè)電壓源的負(fù)極端X、Y、Z連接在一起而形成一個(gè)公共節(jié)點(diǎn)，記為N，稱為中性點(diǎn)；而從三個(gè)電壓源的始端A、B、C向外引出三條線，稱為端線，也稱為火線，如圖2-44所示。有時(shí)從中性點(diǎn)N還引出一根線，稱為中性線，當(dāng)中性點(diǎn)接地時(shí)，中性線也稱地線或零線。圖2-44三相電源的星形連接每一相電源的電壓稱為相電壓，分別記為通常簡(jiǎn)記為。對(duì)稱三相電源星形連接時(shí)，如設(shè)

(下標(biāo)p表示相)，通過基爾霍夫定律分析運(yùn)算，可得線電壓與相電壓有如下關(guān)系:

(2-83)上述線電壓與相電壓的關(guān)系可用相量圖表示，如圖2-45所示。圖2-45星形連接的電壓相量圖

(2)三角形連接。

應(yīng)該指出，三相電源作三角形連接時(shí)，要注意接線的正確性。當(dāng)三相電連接正確時(shí)，在三角形閉合回路中總的電壓為零，即

其相量圖如圖2-46(b)所示。但是，如果將某一相電壓源(例如A相)接反，則這時(shí)三角形回路的電壓在閉合前為

是一相電壓的兩倍，其相量圖如圖2-46(c)所示。圖2-46三相電源的三角形連接及相量圖2.5.2三相負(fù)載的連接與計(jì)算

1.星形連接

如圖2-47所示，將三相負(fù)載的末端連接在一起，這個(gè)連接點(diǎn)用N′表示，將其與三相電源的中性點(diǎn)N相聯(lián)，三相負(fù)載的首端分別接到三根火線上，這種連接形式稱為三相負(fù)載的星形連接，每相負(fù)載的阻抗為ZA、ZB、ZC。此時(shí)每相負(fù)載的額定電壓等于電源的相電壓。圖2-47三相負(fù)載的星形連接流過每根端線的電流稱為線電流，用表示，方向定為由電源流向負(fù)載；流過中性線的電流叫中性線電流,用表示，方向如圖2-47所示；而流過負(fù)載的電流叫相電流，其方向與相電壓方向一致。

顯然，在三相負(fù)載星形連接時(shí)，線電流等于相電流。

1)三相負(fù)載不對(duì)稱的情況

在三相負(fù)載不對(duì)稱的情況下，對(duì)于三相電路的計(jì)算，應(yīng)每相電路分別計(jì)算。以電源A相的相電壓為參考相量，有

則

中性線中的電流可根據(jù)基爾霍夫定律得到:

2)三相負(fù)載對(duì)稱的情況

若每相負(fù)載的復(fù)阻抗均相等，即

則稱為平衡三相負(fù)載，也稱對(duì)稱三相負(fù)載。同樣以電源A相的相電壓為參考相量，有

【例2-19】在圖2-48(a)所示電路中，加在星形連接負(fù)載的三相電壓對(duì)稱，其線電壓為380V。試求:

(1)三相負(fù)載每相阻抗為ZA=ZB=ZC=(17.3+j10)Ω時(shí)各相電流和中線電流；

(2)斷開中性線后的各相電流；

(3)仍保持有中性線，但ZC改為20Ω時(shí)各相電流和中性線電流。圖2-48例2-19電路

解

(1)由于三相電壓對(duì)稱，負(fù)載也對(duì)稱，因此負(fù)載的相電壓為

設(shè)，則

各相電流為因?yàn)樨?fù)載也對(duì)稱，所以其余兩相可直接按對(duì)稱性寫出:中線電流為

(2)由于三相電壓對(duì)稱，負(fù)載也對(duì)稱，三相電流也對(duì)稱，中性線電流為零，所以斷開中性線后的各相電流不變。

(3)ZC改變后