高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)十四　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(一)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)十四二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(一)含答案。十四二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(一)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)不等式9x2+6x+1≤0的解集是 ()A.x|x≠-1C.? D.x【解析】選D.原不等式可化為(3x+1)2≤0,所以3x+1=0,所以x=-132.(5分)不等式x-2x+1≤0的解集是A.{x|x<-1或-1<x≤2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1或x≥2}D.{x|-1<x≤2}【解析】選D.不等式等價(jià)于(所以-1<x≤2.3.(5分)(2024·贛州高一檢測(cè))設(shè)集合U=R,M={x|x<-1},N={x|x2+x-2>0},則?U(M∪N)= ()A.[-2,1]B.[-1,1]C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】選B.N={x|x2+x-2>0}={x|x>1或x<-2},M={x|x<-1},所以M∪N={x|x<-1或x>1},所以?U(M∪N)={x|-1≤x≤1}=[-1,1].4.(5分)(2024·鎮(zhèn)江高一檢測(cè))若不等式x2+bx+c<0的解集是{x|-4<x<3},則c的值是 ()A.-1 B.1 C.-12 D.12【解析】選C.因?yàn)椴坏仁絰2+bx+c<0的解集是{x|-4<x<3},所以-4和3是方程x2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系知,-4+3=解得b=1,c=-12.所以c的值是-12.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·蘭州高一檢測(cè))若關(guān)于x的不等式x2+ax+b>0的解集是{x|x<-2或x>3},則a+b= ()A.-7 B.-6 C.-5 D.1【解析】選A.依題意,關(guān)于x的不等式x2+ax+b>0的解集是{x|x<-2或x>3},所以關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的根為x=-2或x=3,所以-2+3=-a所以a+b=-7.5.(5分)(多選)(2023·南京高一檢測(cè))下列說法錯(cuò)誤的是 ()A.ax2>0(a>0)的解集為RB.不等式x2+x+1<0的解集為?C.如果ax2+bx+c=0中a<0,Δ=0,則ax2+bx+c≥0的解集是xD.x2+3x-4>0的解集和不等式組x-【解析】選ACD.對(duì)于A,ax2>0(a>0)的解集為{x|x≠0},A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)棣?1-4=-3<0,所以x2+x+1<0的解集為?,B正確;對(duì)于C,若a<0,Δ=0,則ax2+bx+c≥0的解集為x|對(duì)于D,x2+3x-4>0的解集為(-∞,-4)∪(1,+∞),不等式組x-1>06.(5分)(多選)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為x-12<xA.a>0 B.b>0C.c>0 D.a+b+c>0【解析】選BCD.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集為x-12<x<2,所以相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,所以a<0,故A錯(cuò)誤;易知2和-12是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,則有ca=-1<0,-ba=32>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正確;由二次函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x7.(5分)不等式3+5x-2x2≤0的解集為xx≤【解析】3+5x-2x2≤0?2x2-5x-3≥0?(x-3)(2x+1)≥0?x≥3或x≤-12【補(bǔ)償訓(xùn)練】使1-x2+x+12有意義的x的取值范圍是{【解析】由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得-3<x<4,所以x的取值范圍為{x|-3<x<4}.8.(5分)不等式x+5(x-2)2>0的解集為{x【解析】x+5(x-2所以原不等式的解集為{x|x>-5且x≠2}.9.(5分)若關(guān)于x的不等式x-ax+1>0的解集為{x|x<-1或x>4},則實(shí)數(shù)a=【解析】由題意知,不等式的解集為{x|x<-1或x>4},則(x-a)(x+1)>0?(x+1)(x-4)>0,故a=4.10.(10分)解下列不等式:(1)2+3x-2x2>0;【解析】(1)原不等式可化為2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,解得-12<x故原不等式的解集是x-(2)x(3-x)≤x(x+2)-1;【解析】(2)原不等式可化為2x2-x-1≥0,所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-12或x故原不等式的解集為xx(3)x2-2x+3>0.【解析】(3)因?yàn)棣?(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(多選)下列四個(gè)不等式中,解集為?的是 ()A.-x2+x+1≤0B.2x2-3x+4<0C.x2+6x+9≤0D.-x2+4x-(a+4a)>0(a【解析】選BD.A選項(xiàng),Δ=12-4×(-1)×1=5>0,所以-x2+x+1≤0的解集不可能為空集;B選項(xiàng),Δ=(-3)2-4×2×4=-23<0,而f(x)=2x2-3x+4的圖象開口向上,所以2x2-3x+4<0的解集為空集;C選項(xiàng),x2+6x+9=(x+3)2≤0的解集為x=-3,所以不為空集;D選項(xiàng),Δ=42-4×(-1)×[-(a+4a)]=42-4×(a+4a)≤16-8a·4a=16-16=0(a>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立,而f(x)=-x2+4x-(a+4a)的圖象開口向下,所以-x2+4x-(12.(5分)在R上定義運(yùn)算“☉”:a☉b=ab+2a+b,則滿足x☉(x-2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為 ()A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1}D.{x|-1<x<2}【解析】選B.根據(jù)給出的定義得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x☉(x-2)<0,則(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.13.(5分)若關(guān)于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集為{x|0<x<n},則實(shí)數(shù)n的值為2.

【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集為{x|0<x<n},所以x=0是方程(x+1)·(x-3)=m的解,所以m=-3,所以原不等式為(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0<x<2,故不等式的解集為{x|0<x<2},所以n=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】關(guān)于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集為x1m<x<2,則m的取值范圍是{m【解析】由題意知m<0,因?yàn)椴坏仁?mx-1)(x-2)>0的解集為x1所以方程(mx-1)(x-2)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1m且m<0,1m<2,解得m<0,所以m14.(10分)(1)解不等式2-x【解析】(1)不等式2-xx化簡(jiǎn)得-2x-所以(2x+1)(x+3)<0,解得-3<x<-12所以原不等式的解集為x|(2)關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是x|x>12,求關(guān)于【解析】(2)因?yàn)椴坏仁絘x-b>0的解集是x|所以a>0,且a=2b,則不等式ax-2b-所以(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5.因此原不等式的解集為{x|1<x<5}.15.(10分)(2024·南寧高一檢測(cè))已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于(1,0)與(3,0)兩點(diǎn),則不等式ax2+bx+c>0的解集是否確定?若確定,求出其解集;若不確定,請(qǐng)給出一個(gè)條件,使其解集確定.【解析】不確定.由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系可知:當(dāng)a>0時(shí),ax2+bx+c>0的解集為{x|x<1或x>3};當(dāng)a<0時(shí),ax2+bx+c>0的解集為{x|1<x<3}.故只需要給a一個(gè)具體值或確定a的符號(hào),不等式ax2+bx+c>0的解集就是確定的.如給定a>0,則其解集為{x|x<1或x>3}.【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)對(duì)于問題:“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},解關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0”.給出如下一種解法:由ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集為{x|-2<x<1},即關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0的解集為{x|-2<x<1}.參考上述解法,若關(guān)于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為x-1<xA.{x|-2<x<1或1<x<3}B.{x|-3<x<-1或1<x<2}C.{x|-3<x<-2或-1<x<1}D.{x|-2<x<-1或1<x<2}【解析】選B.若關(guān)于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為x-1<x則1x∈x則x∈{x|-3<x<-1或1<x<2}.17.(5分)已知關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0只有一個(gè)解,則該不等式的解集為{x|x=-1}.

【解析】設(shè)y=ax2+(a-2)x-2,若不等式ax2+(a-2)x-2≥0只有一個(gè)解,則函數(shù)y=ax2+(a-2)x-2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)且開口向下.所以a<0,Δ=此時(shí),原不等式為-2x2-4x-2≥0,即x2+2x+1≤0,解得x=-1.所以不等式ax2+(a-2)x-2≥0的解集為{x|x=-1}.十五二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(二)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)“t≥-2”是“t2-t≤2”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由t2-t≤2,解得-1≤t≤2.所以“t≥-2”是“t2-t≤2”的必要不充分條件.2.(5分)(2024·棗莊高一檢測(cè))若0<t<1,則關(guān)于x的不等式(t-x)(x-1t)>0的解集是 (A.x1t<x<C.xx<1t或【解析】選D.不等式(t-x)(x-1t所以(x-t)(x-1t所以方程(x-t)(x-1t)=0的兩根為t,1因?yàn)?<t<1,所以t<1t,所以關(guān)于x的不等式(t-x)(x-1t)>0的解集是(t,13.(5分)若命題“?x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.{a|1≤a≤3} B.{a|-1≤a≤3}C.{a|-3≤a≤3} D.{a|-1≤a≤1}【解析】選B.由題得,原命題的否定是“?x∈R,使x2+(a-1)x+1≥0”,即Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.4.(5分)某服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣,月銷售量x(件)與售價(jià)p(元/件)的關(guān)系為p=300-2x;生產(chǎn)x件的成本r=500+30x元,為使月獲利不少于8600元,則月產(chǎn)量x需滿足 ()A.55≤x≤60 B.60≤x≤65C.65≤x≤70 D.70≤x≤75【解析】選C.由題意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8600,即x2-135x+4550≤0,則(x-65)(x-70)≤0,故65≤x≤70.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某地每年銷售木材約20萬立方米,每立方米價(jià)格為2400元,為了減少木材消耗,決定按銷售收入的t%征收木材稅,這樣每年的木材銷售量減少52t萬立方米,為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元,則t的取值范圍是 (A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}【解析】選B.由題意可得,(20-52t)×2400×t100≥900,整理可得t2-8t+15≤0,解得3≤t5.(5分)(多選)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若關(guān)于x的不等式ax2+x-1≤0的解集為R,則a≤-1D.不等式1x>1的解集為x【解析】選ABD.對(duì)A,當(dāng)a<0時(shí),ax2+bx+c>0的解集為?,故A錯(cuò).對(duì)B,當(dāng)a=b=0且c≤0時(shí)也恒成立,故B錯(cuò).對(duì)C,當(dāng)a=0時(shí),不等式為x-1≤0,此時(shí)解集不是R,舍去.當(dāng)a≠0時(shí),要使解集為R,需a解得a≤-14,故C對(duì)對(duì)D,不等式可化為1-xx>0,即x-1x<0,即x(x-1)<0,解得{x6.(5分)(多選)某城市對(duì)一種每件售價(jià)為160元的商品征收附加稅,稅率為R%(即每銷售100元征稅R元),若年銷售量為30-52R萬件,要使附加稅不少于128萬元,則R的值可以是A.3 B.4 C.7 D.8【解析】選BCD.根據(jù)題意,要使附加稅不少于128萬元,需30-52R×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R7.(5分)若0<m<1,則不等式(x-m)(x-1m)<0的解集為xm【解析】因?yàn)?<m<1,所以1m>1>m故原不等式的解集為xm8.(5分)將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元售出時(shí),能賣出400個(gè),每漲價(jià)1元,其銷售量就減少20個(gè),為了使商家利潤(rùn)有所增加,售價(jià)b的范圍是{b|90<b<100}.

【解析】設(shè)每個(gè)漲價(jià)a元,則漲價(jià)后的利潤(rùn)與原利潤(rùn)之差為(10+a)(400-20a)-10×400=-20a2+200a.要使商家利潤(rùn)有所增加,則必須使-20a2+200a>0,即a2-10a<0,得0<a<10.所以售價(jià)b的范圍是{b|90<b<100}.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某種牌號(hào)的汽車在水泥路面上的剎車距離(剎車距離是指汽車剎車后由于慣性往前滑行的距離)sm和汽車剎車前的車速xkm/h有如下關(guān)系:s=-2x+118x2.在一次交通事故中,測(cè)得這種車的剎車距離不小于22.5m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為45km/h【解析】由題意可得s=-2x+118x2≥22.化簡(jiǎn)得x2-36x-405≥0,解得x≥45或x≤-9,又因?yàn)閤≥0,所以x≥45.所以這輛汽車剎車前的車速至少為45km/h.9.(5分)不等式ax2-ax+2≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|0≤a≤8}.

【解析】當(dāng)a=0時(shí),不等式等價(jià)于2≥0,恒成立,所以a=0符合條件.當(dāng)a≠0時(shí),不等式等價(jià)于a>0,Δ≤0,所以a的取值范圍是{a|0≤a≤8}.10.(10分)解關(guān)于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a∈R).【解析】原不等式等價(jià)于(x+1+a)(x+1-a)≤0.當(dāng)-1-a<-1+a,即a>0時(shí),-1-a≤x≤-1+a;當(dāng)-1-a=-1+a,即a=0時(shí),不等式即為(x+1)2≤0,所以x=-1;當(dāng)-1-a>-1+a,即a<0時(shí),-1+a≤x≤-1-a.綜上,當(dāng)a>0時(shí),原不等式的解集為{x|-1-a≤x≤-1+a};當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x=-1};當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為{x|-1+a≤x≤-1-a}.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)集合A={1,2,3,4},B={x|(x-1)(x-a)<0},若集合A∩B={2,3},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.{a|3<a<4} B.{a|3<a≤4}C.{a|3≤a<4} D.{a|a>3}【解析】選B.當(dāng)a<1時(shí),B={x|a<x<1},顯然不滿足A∩B={2,3};當(dāng)a=1時(shí),B=?,不滿足A∩B={2,3};當(dāng)a>1時(shí),B={x|1<x<a},因?yàn)锳∩B={2,3},所以3<a≤4.12.(5分)(多選)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0,下列說法正確的是 ()A.若關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>1},則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)為A(-3,0),B(1,0)B.若關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>1},則cx2+bx+a>0的解集為xC.若關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R,則a>0且b2-4ac<0D.若關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集與關(guān)于x的二次不等式a1x2+b1x+c1>0(a1b1c1≠0)的解集相同,則aa1=b【解析】選BC.對(duì)A,若關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>1},則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)為x=-3和x=1,A錯(cuò)誤;對(duì)B,由題意得,a>0,-ba=-3+1=-2?b=2a,ca=-3×1=-3?c=-3a,故cx2+bx+a=-a(3x2-2x-1)=-a(3x+1)(x-1)>0,解得-13對(duì)C,關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R,則拋物線圖象開口向上且與x軸無交點(diǎn),即a>0且Δ=b2-4ac<0,C正確;對(duì)D,關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集與關(guān)于x的二次不等式a1x2+b1x+c1>0(a1b1c1≠0)的解集相同,若解集均為?,則只需a<0且Δ=b2-4ac<0,以及a1<0且Δ=b12-4a1c1<0,則aa1=b13.(5分)設(shè)x2-2x+a-8≤0對(duì)于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,則a的取值范圍是{a|a≤5}.

【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0轉(zhuǎn)化為a≤-x2+2x+8對(duì)任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,設(shè)y=-x2+2x+8,易知y在x∈{x|1≤x≤3}上的最小值為5,所以a≤5.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.{a|-1≤a≤4}B.{a|-1<a<4}C.{a|a≤-1或a≥4}D.{a|-4≤a≤1}【解析】選A.由題意知,原不等式可化為-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解,所以a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0,解得-1≤a≤4.14.(10分)已知關(guān)于x的不等式2kx2+kx-38<0(1)若不等式的解集為x-32【解析】(1)若關(guān)于x的不等式2kx2+kx-38<0的解集為x-32<x<1,則-32和1是2kx2+kx-38=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且k(2)若不等式對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】(2)當(dāng)k=0時(shí),-38<0恒成立,滿足題意.當(dāng)k≠0時(shí),則有2k<0,綜上,實(shí)數(shù)k的取