選擇必修第三冊 第六章 6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時） 課件

選擇必修三

第六章

計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時）

教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；1.特殊到一般的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和歸納的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義；2.數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).3.能利用兩個原理解決一些簡單的實(shí)際問題.3.邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).知識背景第六章

計(jì)數(shù)原理

汽車號牌的序號一般是從26個英文字母、10個阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個，并按適當(dāng)順序排列而成.隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長，汽車號牌序號需要擴(kuò)容.那么交通管理部門應(yīng)如何確定序號的組成方法，才能滿足民眾的需求呢？這就需要“數(shù)（shǔ)出”某種汽車號牌序號的組成方案下有可能的序號數(shù).這就是計(jì)數(shù).

日常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在.例如，幼兒會通過一個一個地?cái)?shù)的方法，統(tǒng)計(jì)自己擁有玩具的數(shù)量；學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號，顏色的不同排列表示不同的信號，需要知道共可以組成多少種不同的信號……如果問題中數(shù)量很少，一個一個地?cái)?shù)也不失為一種好的計(jì)數(shù)方法.但如果問題中數(shù)量很多，我們還一個一個地去數(shù)嗎？

本章將要學(xué)習(xí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，這兩個計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，利用其可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)公式－排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問題.作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的應(yīng)用，我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理.新知探究6.1.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時）

計(jì)數(shù)問題是我們從小就遇到的，通過一個一個地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問題中數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.

用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求→→英文字母共有26個，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.座位編號英文字母一個數(shù)字2610知新探究⑴確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：

⑵分別計(jì)算各類號碼的個數(shù)；

你能說一說這個問題的特征嗎？

首先，這里要完成的事情是“給一個座位編號”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號碼也互不相同.這兩類號碼數(shù)相加就得到號碼的總數(shù).⑶各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).

你能舉一些生活中類似的例子嗎?

讀書課上，老師提供了6本不同的科普雜志，7本不同的文學(xué)雜志，你從其中任選一本，有幾種選擇方式？選一本書科普雜志文學(xué)雜志6種7種6+7=13（種）知新探究

完成一件事有兩類方案.在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，則完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：

兩類不同方案中的方法互不相同.

【例1】在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如下表.A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？知新探究分析：要完成的事情是“選一個專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因?yàn)闆]有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法.因?yàn)闆]有一個強(qiáng)勢專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為解：N=5+4=9.知新探究分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：

如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事有n類不同方案，在每一類方案中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？

N=m1+m2+m3.

完成一件事,如果有n類不同的方案,而且第一類方案中有m1種不同的方法,第二類方案中有m2種不同的方法……第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理使用前提：各類方案中的方法互不相同且都能獨(dú)立完成這件事情.知新探究

用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

這里要完成的事情任然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同.在前一個問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼.但在這個問題中，號碼必須由一個英文字母和一個作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個號碼要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個步驟.知新探究用下圖所示的方法可以列出所有可能的號碼.

用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

左圖是解決計(jì)數(shù)問題常用的“樹狀圖”.你能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎?知新探究

用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？也可能這樣思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號碼.知新探究

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.

你能說一說這個問題的特征嗎？

上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個座位編號”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn)：一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成.因此得到一個座位號要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個步驟，每一個英文字母與不同的數(shù)字組成的號碼是互不相同的.一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：

無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).

知新探究【例2】某班有男生30名、女生24名，現(xiàn)要從中選出男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

解：任選男生和女生各1人，可以分兩個步驟完成：分析:要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個步驟：第1步，選男生；

第2步，選女生.第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第1步30第2步24第2步，從24名男生中選出1人，有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N=30×24=720.

新知探究分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：

完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1×m2×…×mn.種不同的方法.

如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事有n個步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？N=m1×m2×m3.分步乘法計(jì)數(shù)原理使用前提：各步中每種方法不能獨(dú)立完成這件事.新知探究兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)不同點(diǎn)注意點(diǎn)用來計(jì)算“完成一件事”的不同方法種數(shù)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘各類中每種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事（各步中每種方法不能獨(dú)立完成這件事）類類獨(dú)立，不重不漏步步依存，步驟完整新知探究⑴從書架上任取1本書，有三類方案：第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；解：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種取法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法種數(shù)為【例3】書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

⑴從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

⑵從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同的取法？分析:⑴要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法.N=4+3+2=9.

新知探究⑵從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；解：第1步，從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法種數(shù)為【例3】書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

⑴從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

⑵從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同的取法？分析:⑵要完成的一件事是“從書架第1層、第2層、第3層中各取1本書”，可以分三個步驟完成.第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法.N=4×3×2=24.

初試身手⑴要選出1人來完成的這項(xiàng)工作，有2種方法：第2種，從另4個人中選1人，有4種選法.解：第1種，從前5個人中選1人，有5種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的配法種數(shù)為⑴一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是________；⑵現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為(

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A．7 B．12 C．64 D．81第1步，從3條不同顏色的長褲中取一條，有3種方法；N=3×4=12.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同選法種數(shù)為N=5+4=9.

9⑵要完成“取一條長褲