2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第七章 復(fù)數(shù) 7.3 復(fù)數(shù)的三角表示（2）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.3復(fù)數(shù)的三角表示（2）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修第二冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課通過復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示方法，引導(dǎo)學(xué)生深入理解復(fù)數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。通過實(shí)例分析和課堂互動(dòng)，使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算，為后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用復(fù)數(shù)三角表示解決實(shí)際問題的能力。

2.提升學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解，增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模解決復(fù)雜問題的創(chuàng)新能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-理解復(fù)數(shù)的三角表示形式，包括模長(zhǎng)和幅角的概念。

-掌握復(fù)數(shù)三角形式的基本運(yùn)算，如乘法、除法、加法和減法。

-能夠?qū)?fù)數(shù)從代數(shù)形式轉(zhuǎn)換為三角形式，并反向操作。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-復(fù)數(shù)三角形式乘除法運(yùn)算中的幅角相加或相減的幾何意義理解。

-在復(fù)數(shù)三角形式中，如何正確處理模長(zhǎng)的乘除運(yùn)算。

-將復(fù)數(shù)從三角形式轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式時(shí)，正確計(jì)算模長(zhǎng)和幅角。

-在實(shí)際應(yīng)用中，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行求解。

-舉例：在計(jì)算$(2\angle30^\circ)(3\angle45^\circ)$時(shí)，學(xué)生可能難以理解幅角相加的幾何意義，以及如何正確處理模長(zhǎng)的乘法運(yùn)算。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都攜帶新教材必修第二冊(cè)《數(shù)學(xué)》。

2.輔助材料：準(zhǔn)備復(fù)數(shù)三角表示的圖表、相關(guān)視頻講解以及三角函數(shù)圖像的PPT。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器和繪圖軟件，以輔助學(xué)生進(jìn)行計(jì)算和圖形展示。

4.教室布置：安排教室，確保有足夠空間進(jìn)行小組討論，并在黑板上預(yù)留演示區(qū)域。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

-教師以提問的方式引入：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法，那么復(fù)數(shù)是否還可以有其他表示方式呢？”

-學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)數(shù)的三角表示法的基本概念。

2.復(fù)習(xí)三角表示法的基本概念

-教師通過PPT展示復(fù)數(shù)的三角表示法的基本公式和定義，如$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是模長(zhǎng)，$\theta$是幅角。

-學(xué)生跟隨教師一起復(fù)習(xí)，并嘗試復(fù)述公式和定義。

3.復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運(yùn)算

-教師演示如何將兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式相乘，例如$z_1=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$和$z_2=3(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$，并引導(dǎo)學(xué)生觀察乘法運(yùn)算的結(jié)果。

-學(xué)生跟隨教師一起進(jìn)行計(jì)算，并討論乘法運(yùn)算的幾何意義。

4.復(fù)數(shù)三角形式的加法與減法運(yùn)算

-教師講解復(fù)數(shù)三角形式的加法和減法運(yùn)算規(guī)則，并通過實(shí)例展示如何進(jìn)行運(yùn)算。

-學(xué)生嘗試獨(dú)立完成一些加法和減法運(yùn)算的練習(xí)題，教師巡視并給予個(gè)別指導(dǎo)。

5.實(shí)例分析

-教師選擇一些實(shí)際應(yīng)用中的問題，如電路分析、信號(hào)處理等，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行求解。

-學(xué)生分組討論，嘗試將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)三角形式，并展示解題過程。

6.小組合作與討論

-教師將學(xué)生分成小組，每組選擇一個(gè)與復(fù)數(shù)三角表示相關(guān)的問題進(jìn)行深入研究。

-學(xué)生在小組內(nèi)討論，嘗試找到問題的解決方案，并準(zhǔn)備在班上分享。

7.班級(jí)分享與總結(jié)

-每組派代表向全班展示他們的研究成果，教師和學(xué)生共同評(píng)價(jià)。

-教師總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)三角表示在解決問題中的重要性。

8.課堂練習(xí)

-教師布置一些課后練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。

-學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視并解答學(xué)生疑問。

9.課堂小結(jié)

-教師回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)三角表示的基本概念和運(yùn)算規(guī)則。

-學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲，提出自己的疑問或想法。

10.布置作業(yè)

-教師布置課后作業(yè)，包括一些理論練習(xí)題和實(shí)際應(yīng)用題。

-學(xué)生整理筆記，準(zhǔn)備完成作業(yè)。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果：

1.理解并掌握了復(fù)數(shù)的三角表示法的基本概念，包括模長(zhǎng)和幅角的定義，能夠復(fù)述復(fù)數(shù)三角形式的公式$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$。

2.能夠?qū)?fù)數(shù)從代數(shù)形式轉(zhuǎn)換為三角形式，并反向操作，例如將$z=3+4i$轉(zhuǎn)換為三角形式，或從三角形式$z=5(\cos53^\circ+i\sin53^\circ)$得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。

3.熟練掌握了復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運(yùn)算規(guī)則，能夠獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算，如$(2\angle30^\circ)(3\angle45^\circ)$的計(jì)算。

4.在加法和減法運(yùn)算中，學(xué)生能夠正確處理幅角和模長(zhǎng)的加減，理解復(fù)數(shù)三角形式的幾何意義。

5.通過實(shí)例分析，學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)三角形式進(jìn)行求解，提升了數(shù)學(xué)建模和解決問題的能力。

6.在小組合作中，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何與他人合作，分享想法，共同解決復(fù)雜問題。

7.學(xué)生在課后練習(xí)中表現(xiàn)出對(duì)知識(shí)的鞏固和應(yīng)用能力，能夠獨(dú)立完成各種形式的練習(xí)題。

8.學(xué)生在課堂小結(jié)和作業(yè)中能夠總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，提出問題，顯示出對(duì)知識(shí)的深入理解和探索欲望。

9.學(xué)生在評(píng)價(jià)和反思中能夠認(rèn)識(shí)到自己的不足，并提出改進(jìn)措施，顯示出自我學(xué)習(xí)和發(fā)展意識(shí)。

10.學(xué)生在整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，展現(xiàn)了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和積極參與的精神，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。課堂1.課堂提問

-通過課堂提問，教師可以即時(shí)了解學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)三角表示法概念的理解程度。例如，教師可以提問：“誰能解釋一下什么是復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)和幅角？”或“如何將一個(gè)復(fù)數(shù)從代數(shù)形式轉(zhuǎn)換為三角形式？”

-學(xué)生回答后，教師根據(jù)回答的準(zhǔn)確性和完整性進(jìn)行評(píng)價(jià)，并給予及時(shí)的反饋和糾正。

2.觀察學(xué)生參與度

-教師在課堂上觀察學(xué)生的參與度，包括是否積極參與討論、是否能夠正確使用數(shù)學(xué)工具（如計(jì)算器）等。

-通過觀察，教師可以評(píng)估學(xué)生的課堂參與度和對(duì)學(xué)習(xí)的興趣。

3.實(shí)時(shí)測(cè)試

-教師可以通過小測(cè)驗(yàn)或隨堂練習(xí)來評(píng)估學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)三角表示法運(yùn)算的掌握情況。

-測(cè)試可以包括選擇題、填空題和簡(jiǎn)答題，以全面評(píng)估學(xué)生的理解能力和運(yùn)算技能。

4.小組合作評(píng)價(jià)

-在小組討論環(huán)節(jié)，教師評(píng)估學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

-教師可以觀察小組討論的動(dòng)態(tài)，評(píng)估學(xué)生是否能夠有效溝通、分工合作，以及是否能夠提出有建設(shè)性的觀點(diǎn)。

5.課堂反饋

-教師通過課堂反饋了解學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受程度，以及他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中遇到的困難。

-教師可以鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，并針對(duì)問題進(jìn)行解答，確保所有學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

6.學(xué)生自我評(píng)價(jià)

-教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，讓學(xué)生反思自己在課堂上的表現(xiàn)，包括對(duì)知識(shí)的理解、參與度和與同學(xué)的互動(dòng)等。

-通過自我評(píng)價(jià)，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到自己的優(yōu)勢(shì)和需要改進(jìn)的地方。

7.同伴評(píng)價(jià)

-教師可以安排同伴評(píng)價(jià)，讓學(xué)生相互評(píng)價(jià)在課堂上的表現(xiàn)。

-這種評(píng)價(jià)方式可以增加學(xué)生的互動(dòng)，同時(shí)也讓學(xué)生從不同的角度看待自己的學(xué)習(xí)。

8.作業(yè)評(píng)價(jià)

-教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行批改，關(guān)注學(xué)生的解題過程和最終答案。

-在批改作業(yè)時(shí)，教師不僅要評(píng)價(jià)答案的正確性，還要評(píng)價(jià)學(xué)生的解題思路和方法。

9.反饋與指導(dǎo)

-教師根據(jù)課堂評(píng)價(jià)和作業(yè)評(píng)價(jià)的結(jié)果，給予學(xué)生個(gè)性化的反饋和指導(dǎo)。

-對(duì)于表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，教師給予表揚(yáng)和鼓勵(lì)；對(duì)于存在困難的學(xué)生，教師提供針對(duì)性的幫助和輔導(dǎo)。

10.總結(jié)評(píng)價(jià)

-在課程結(jié)束時(shí)，教師進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，回顧學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，并指出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要改進(jìn)的地方。

-教師可以提出具體的學(xué)習(xí)建議，幫助學(xué)生更好地掌握復(fù)數(shù)三角表示法的相關(guān)知識(shí)。典型例題講解例題1：將復(fù)數(shù)$z=4(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)$轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式。

解：根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示法，我們有$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$。因此，$z=4(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)$轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式如下：

\[

z=4(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)=4(\cos120^\circ)+4i(\sin120^\circ)=4(-\frac{1}{2})+4i(\frac{\sqrt{3}}{2})=-2+2\sqrt{3}i

\]

例題2：計(jì)算$z_1=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$和$z_2=3(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$的乘積。

解：根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算規(guī)則，我們有：

\[

z_1z_2=(2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ))(3(\cos45^\circ+i\sin45^\circ))=6(\cos(30^\circ+45^\circ)+i\sin(30^\circ+45^\circ))

\]

計(jì)算得：

\[

z_1z_2=6(\cos75^\circ+i\sin75^\circ)=6(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}i

\]

例題3：將復(fù)數(shù)$z=5(\cos135^\circ+i\sin135^\circ)$除以$z_1=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$。

解：根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算規(guī)則，我們有：

\[

z\divz_1=\frac{5(\cos135^\circ+i\sin135^\circ)}{2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)}=\frac{5}{2}(\cos(135^\circ-30^\circ)+i\sin(135^\circ-30^\circ))

\]

計(jì)算得：

\[

z\divz_1=\frac{5}{2}(\cos105^\circ+i\sin105^\circ)=\frac{5}{2}(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{5}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i

\]

例題4：計(jì)算$\sqrt{-3+4i}$。

解：首先，我們將$\sqrt{-3+4i}$轉(zhuǎn)換為三角形式。設(shè)$\sqrt{-3+4i}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，我們需要找到$r$和$\theta$。

\[

-3+4i=r(\cos\theta+i\sin\theta)\impliesr^2=(-3)^2+4^2=9+16=25\impliesr=5

\]

由于$-3+4i$在復(fù)平面上位于第二象限，我們有$\theta=\arctan\left(\frac{4}{-3}\right)+\pi$。

\[

\sqrt{-3+4i}=5\left(\cos\left(\arctan\left(\frac{4}{-3}\right)+\pi\right)+i\sin\left(\arctan\left(\frac{4}{-3}\right)+\pi\right)\right)

\]

計(jì)算得：

\[

\sqrt{-3+4i}=5\left(\cos\left(\arctan\left(-\frac{4}{3}\right)\right)+i\sin\left(\arctan\left(-\frac{4}{3}\right)\right)\right)=5\left(-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i\right)=-4-3i

\]

例題5：將復(fù)數(shù)$z=1+2i$轉(zhuǎn)換為三角形式，并計(jì)算$\left|\frac{z}{3(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)}\right|$。

解：首先，我們需要找到復(fù)數(shù)$z=1+2i$的模長(zhǎng)和幅角。

\[

r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\quad\theta=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)\approx1.1071\text{（弧度）}

\]

因此，$z$的三角形式為：

\[

z=\sqrt{5}(\cos1.1071+i\sin1.1071)

\]

\[

\left|\frac{z}{3(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)}\right|=\frac{\sqrt{5}}{3}

\]

這里，我們利用了復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的除法運(yùn)算規(guī)則，即$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$。教學(xué)反思與總結(jié)這節(jié)課，我覺得整體上還是比較成功的。首先，我想談?wù)劷虒W(xué)方法。我嘗試通過提問和實(shí)例分析的方式來引導(dǎo)學(xué)生深入理解復(fù)數(shù)的三角表示法。我發(fā)現(xiàn)，這種方式比較直觀，學(xué)生們能夠更容易地掌握概念。

在講解復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運(yùn)算時(shí)，我用了幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，讓學(xué)生們一步步跟隨我的思路進(jìn)行計(jì)算。我發(fā)現(xiàn)，這種方法對(duì)于一些學(xué)生來說可能有點(diǎn)困難，他們?cè)谔幚矸呛湍ｉL(zhǎng)時(shí)容易出錯(cuò)。因此，我在接下來的教學(xué)中可能會(huì)更加注重這部分內(nèi)容的講解，確保每個(gè)學(xué)生都能理解。

關(guān)于課堂管理，我覺得學(xué)生們整體上表現(xiàn)得很好，積極參與討論，能夠按照要求進(jìn)行小組合作。當(dāng)然，也有一些小插曲，比如個(gè)別學(xué)生分心或者討論過于熱烈，這需要我在今后的教學(xué)中更好地控制課堂氛圍。

然而，也存在一些問題。比如，部分學(xué)生在將復(fù)數(shù)從代數(shù)形式轉(zhuǎn)換為三角形式時(shí)，對(duì)于模長(zhǎng)的計(jì)算不夠熟練，容易出錯(cuò)。另外，一些學(xué)生在處理復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于幅角的加減不夠靈活。

針對(duì)這些問題，我提出以下改進(jìn)措施和建議：

1.在今后的教學(xué)中，我會(huì)更加注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，確保每個(gè)學(xué)生都能夠熟練掌握復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算規(guī)則。

2.對(duì)于三角函數(shù)的運(yùn)算，我會(huì)安排更多的練習(xí)題，讓學(xué)生通過大量的練習(xí)來提高自己的運(yùn)算能力。

3.在課堂管理方面，我會(huì)更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格和需求，采取個(gè)性化的教學(xué)方法。

4.我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生多參與課堂討論，提高他們的合作能力和溝通能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系①復(fù)數(shù)三角表示法的基本概念

-模長(zhǎng)$