數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)《第1-5章》課件-第2章

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2求導(dǎo)法則

2.3高階導(dǎo)數(shù)

2.4微分與簡單應(yīng)用本章小結(jié)

第2章導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容提要:現(xiàn)實(shí)生活中諸如物體的變速運(yùn)動的速度、交流電流強(qiáng)度、線密度、化學(xué)反應(yīng)速度以及生物繁殖率等,所有這些在數(shù)量關(guān)系上都可歸納為函數(shù)的變化率,即導(dǎo)數(shù)問題.而微分則與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān).本章將重點(diǎn)闡明導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其計(jì)算.學(xué)習(xí)要求:知道導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義及函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,能用導(dǎo)數(shù)描述一些簡單物理量;熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則以及基本公式;復(fù)述高階導(dǎo)數(shù)的概念,能求簡單初等函數(shù)、隱函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).

2.1導(dǎo)數(shù)的概念

實(shí)際問題中的物體運(yùn)動往往是非勻速的,因此,上述公式只是表示物體走完某一段路程的平均速度,而不能反映出任一時(shí)刻物體運(yùn)動的快慢.要想精確地刻畫出物體在運(yùn)動中

任一時(shí)刻的速度,就必須研究所謂的瞬時(shí)速度.

設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動,則物體在運(yùn)動的過程中,其相應(yīng)路程s

與時(shí)間t

之間存在函數(shù)關(guān)系:s=s

(t).現(xiàn)在我們來考察該物體在

t0

時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

圖2－1

其中，φ

是割線MN的傾角，當(dāng)Δx

很小時(shí)，點(diǎn)N

就沿

著曲線向點(diǎn)M

靠攏，而割線MN

即繞著點(diǎn)M

轉(zhuǎn)動。當(dāng)Δx→0時(shí)，點(diǎn)N

就無限趨近于點(diǎn)M

，而割線MN

就無限趨近于它的極限位置直線MT

，直線MT

就是曲線在點(diǎn)M處的切線。因而切線傾角α

是割線傾角φ

的極限,故切線的斜率tanα是割線斜率的極限，亦即

2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x

0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)自變量在x

0點(diǎn)有一增量Δx時(shí)，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)地有增量Δy=f(x

0

+Δx)-f(x

0

)，如果極限

下面的兩種形式與導(dǎo)數(shù)的定義形式等價(jià):

如果x

0=0,有等價(jià)形式

如果y=f(x)在點(diǎn)x

0及其右側(cè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)

存在時(shí),則稱該極限為f(x)在點(diǎn)x

0

處的右導(dǎo)數(shù),并記為f‘+(x

0)或f’(x

0+0)，即

同理定義左導(dǎo)數(shù)

聯(lián)系到函數(shù)f(x)在點(diǎn)x

0處極限存在的充要條件,同理可得f(x)在點(diǎn)x

0處可導(dǎo)的充分必要條件是它在該點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均存在,并且相等,即

函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)常常用于判定分段函數(shù)在其分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.

通常說y=f(x)在[a,b]上可導(dǎo),是指函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在左端點(diǎn)a處右導(dǎo)數(shù)存在,在右端點(diǎn)b處左導(dǎo)數(shù)存在.

3.導(dǎo)數(shù)的幾何與物理意義

如果函數(shù)y=f(x)在x=x

0

處的導(dǎo)數(shù)f‘(x

0)存在，則在幾何上表明曲線y=f(x)在點(diǎn)(x

0，

f

(x

0))處存在切線，且切線斜率為k

=f’(x

0)。由解析幾何知識可知，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x

0，

f

(x

0))處的切線方程為：

y-f

(x

0)=f'(x

0)(x-x

0)

如果f‘(x

0)≠0,則此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的法線方程為

如果f‘(x

0)=0，則y=f(x

0)即為曲線y=f(x)在點(diǎn)(x

0，

f

(x

0))處的水平切線。

設(shè)物體作直線運(yùn)動，其路程s與時(shí)間

t的關(guān)系為s=s(

t

)，且s(t)在t=t0

處的導(dǎo)數(shù)s’

(t0)存在，那么s'(t0

)即表示物體在時(shí)刻t0

的瞬時(shí)速度v(t0)

4.可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系

如果函數(shù)y=f(x

)在x=x

0

點(diǎn)處可導(dǎo),那么函數(shù)y=f(x)在該點(diǎn)處必連續(xù)。

事實(shí)上，若函數(shù)y=f(x)在x=x

0點(diǎn)處可導(dǎo)，即

存在，這時(shí)，

故數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x

0處連續(xù).

然而,函數(shù)y=f(x)在x=x

0點(diǎn)連續(xù)而它在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo).

例4

求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).

解

(1)求增量:因?yàn)閒

(x

)=sinx,f(x+Δx)=sin(x+Δx),所以

Δy=f

(x+Δx)-f(x)=sin(x+Δx)-sinx

應(yīng)用三角學(xué)中的和差化積公式有

(2)計(jì)算比值:

(3)取極限:

(3)取極限:

習(xí)題2－1

2.2求導(dǎo)法則

按照導(dǎo)數(shù)的定義可以求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對于一般函數(shù)的求導(dǎo),如果按照定義去做將會很繁瑣.本節(jié)首先給出導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則,然后介紹復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、反函數(shù)等的求導(dǎo)方法,最后介紹三個(gè)求導(dǎo)技巧.

2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)u=u

(x

),v=v(x)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),則

(u±v)‘=u’±v‘

(uv

)’=u‘v

+uv’

特別地

(cu)‘=cu’(c

為常數(shù))

特別地

用類似的方法可求得

2.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)y=f(u),u=φ(x)復(fù)合成y=f[φ(x

)],當(dāng)u=φ(x)在點(diǎn)x

0

可導(dǎo),且y=f(u)在u

0

=φ(x

0

)點(diǎn)也可導(dǎo)時(shí),則復(fù)合函數(shù)y=f

[φ(x)]在x=x

0

點(diǎn)也可導(dǎo),且有

上述方法稱為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t,此法則可以用于多層復(fù)合的情形.

2.2.3反函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)y=f(x)為x=φ(y)的反函數(shù),若φ(y)在y

的某鄰域內(nèi)連續(xù)單調(diào),且φ'(y)≠0,則f(x)在x=φ(y)處也可導(dǎo),且有

即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).

例

8

設(shè)y=

ax

(a

>0,a≠1),求y‘。

解由y=

ax可得

x=loga

y,因?yàn)閮烧呋榉春瘮?shù),于是

特別地,當(dāng)a=e

時(shí),y=ex

的導(dǎo)數(shù)為

為便于記憶和方便使用,我們將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本公式整理如下,其中尚未證明的公式讀者可自行推導(dǎo).

2.2.4隱函數(shù)求導(dǎo)法

由方程F

(x

,y)=0所確定的函數(shù)y

=y(x)叫做隱函數(shù).隱函數(shù)的求導(dǎo)方法是:

(1)將方程F(x,y)=0的兩端每一項(xiàng)對x

求導(dǎo),求導(dǎo)時(shí)將y看做x

的復(fù)合函數(shù);

(2)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,解出y'即可.

例9

設(shè)y

=y

(x

)是由y3

-3y

+2ax=0所確定的函數(shù),求y‘。

解將所給式子兩端對x

求導(dǎo),可得

3y2y'-3y'+2a=0

整理可得

2.2.5由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法

在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)y

與自變量x

的關(guān)系常常通過某一參變量t表示出來，即

稱為函數(shù)的參數(shù)方程.

由于y

是參數(shù)t

的函數(shù),x

是t

的函數(shù),所以,易求得y

對x

的導(dǎo)數(shù)為

2.2.6對數(shù)求導(dǎo)法

對于冪指函數(shù)y=u

(x)v

(x)，或y

為若干個(gè)函數(shù)連乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù)，通?？梢韵葘蛇吶∽匀粚?shù)改變其函數(shù)類型，再求導(dǎo)，這樣可以達(dá)到事半功倍的效果。

習(xí)題2－2

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

2.3高階導(dǎo)數(shù)

類似地,函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù),……,一般地,(n

-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n

階導(dǎo)數(shù),分別記作

或

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。對于求n

階導(dǎo)數(shù)的情況，需要注意從中找出規(guī)律，以便得到n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。

2.3.2二階導(dǎo)數(shù)的物理意義

設(shè)物體作變速直線運(yùn)動，其運(yùn)動方程為s=s

(t)，瞬時(shí)速度為v=s‘(t

)。此時(shí)，若速度v

仍是時(shí)間t

的函數(shù)，我們可以求速度v對時(shí)間t

的變化率：

v’

(t)=(s‘

(t))’=s″(

t)

在力學(xué)中把它叫做物體在給定時(shí)刻的加速度,用a表示.也就是說,物體的加速度

a是路程s對時(shí)間t

的二階導(dǎo)數(shù),即

例3

設(shè)物體的運(yùn)動方程為s=2sin(2t+3)，求物體運(yùn)動的加速度。

解因?yàn)閟=2sin(2t+3)，所以瞬時(shí)速度v=s‘

=4cos(2t+3)；則加速度為a=s″=-8sin(2t+3)

習(xí)題2－3

2.4微分與簡單應(yīng)用

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描繪了函數(shù)變化的快慢程度。在工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)活動中，有時(shí)還需了解當(dāng)自變量取得一個(gè)微小的增量Δx

時(shí)，函數(shù)取得的相應(yīng)增量的大小，這就是函數(shù)微分的問題。

當(dāng)Δx

很小時(shí),(Δx

)2

可以忽略不計(jì),2x

0

·Δx

為Δs

的主要部分.即2x

0

·Δx

可以近似地代替Δs;我們把2x

0

·Δx

就叫做正方形面積的微分.圖2－2

1.微分的定義

設(shè)函數(shù)y=f

(x

)在x

0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在x

0處取得增量Δx

時(shí),如果函數(shù)的增量Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

)可以表示為

Δy=AΔx+ο(Δx

)

其中A

是與x

0有關(guān)而與Δx

無關(guān)的常數(shù),ο(Δx)是比Δ

x高階的無窮小量,則稱函數(shù)y

=f(x)在點(diǎn)x

0處可微,A

Δx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

0的微分,記作dy,即

dy=AΔx

因此,上例中正方形面積的微分dS=2x

0

Δx.由微分定義可知,A=2x

0

,即A

=(x2)'|x=x

0

.可以證明,一般地,A=f'(x

0

)

例1函數(shù)y=2x

2

,當(dāng)自變量x從2

改變到2.01時(shí),求函數(shù)的增量與函數(shù)的微分.

解

x

0=2,Δx=0.1,則函數(shù)的增量為

Δy=2×2.012

-2×22

=2(2.01+2)(2.01-2)

=2×4.01×0.01

=0.0802

函數(shù)的微分為

dy=y‘|x=2

Δx=4x|x=2

·(2.01-2)

=4×2×0.01

=0.08

例2

求函數(shù)y=xn(n

∈R)的微分.

解dy=y‘dx=(

xn)’dx=nxn

-1dx

3.微分的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

0處的微分dy=f‘(x

0

)Δx,在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x

0

,f

(x

0

))當(dāng)自變量x

有增量Δx

時(shí)切線的縱坐標(biāo)的增量,如圖2－3所示.圖2－3

2.4.2微分法則與微分基本公式

由微分公式可以知道,計(jì)算函數(shù)的微分,只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在乘以自變量的微分即可.因此,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與求導(dǎo)基本公式即可得到微分法則與微分基本公式.

1.微分的基本公式

2.微分的運(yùn)算法則

3.復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)函數(shù)y=f

(u

)與u=g(x)皆為可微函數(shù),則y=f[g(x)]可微,且

dy=y‘x

dx=f’(u)g‘(x)dx

由于g’(x)dx=du,故上式可寫為

dy=f'(u)du

由此可見,無論

u是自變量還是中間變量,微分形式dy=f'(u)du都保持不變,這一性質(zhì)稱之為微分形式不變性.

例5設(shè)ylnx=x

lny

確定函數(shù)y=y(x),求dy.

解

將所給方程兩端關(guān)于x

求導(dǎo),得

例6設(shè)y=2sinx,求dy.

解法1

運(yùn)用微分計(jì)算公式,先求導(dǎo)函數(shù)

y‘=2sinx

ln2(sinx)’=2sinx

·ln2·cosx

dy=y‘d

x=ln2·2sinx

cosx

dx

解法2

運(yùn)用微分形式不變性

dy=d(2sinx

)=2sinx

ln2d(sinx)=2sinx

ln2cosx

dx

2.4.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

從微分的定義可知,如果函數(shù)y=f

(x

)在點(diǎn)x

0

處的導(dǎo)數(shù)

f‘(x0)≠0,函數(shù)的微分dy與增量Δy

相差一個(gè)高階無窮小量ο(Δx),當(dāng)Δx很小時(shí),可以忽略ο(Δx),而把dy作為Δy

的近似值,即

而

所以

即

習(xí)題2－41.設(shè)函數(shù)y=x2

-1,當(dāng)自變量從1改變到1.02時(shí),求函數(shù)的增量與函數(shù)的微分.2.求下列函數(shù)的微分:3.計(jì)算下列各數(shù)的近似值:

本章小結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x

)在點(diǎn)x

0及其附近有定義,給自變量x

在點(diǎn)x

0處取變量Δx,相應(yīng)地,函數(shù)y有改變量Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

),如果極限

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義,在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

0處的導(dǎo)數(shù)有以下兩種等價(jià)形式,即

(2)導(dǎo)數(shù)定義屬于構(gòu)造性的定義,定義本身不僅規(guī)定了概念的內(nèi)涵,同時(shí)也給出了計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法.

(3)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

0

處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù):

(4)可導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系:

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

0處可導(dǎo)是函數(shù)在點(diǎn)x

0處連續(xù)的充分條件,而連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件,即可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo).

(5)從數(shù)學(xué)角度看導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限;從物理角度看導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)x

0處的瞬間變化率;從幾何角度看導(dǎo)數(shù)f'(x

0

)表示曲線y=f(x)在(x

0

,f

(x

0

))處的切線斜率.y=f(x)在點(diǎn)(x

0

,f(x

0

))處的切線和法線方程如下:

切線方程為

法線方程為

2.導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù),那么對于此區(qū)間內(nèi)x

的每一個(gè)確定的值,都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f‘(x),f’(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)),即

因此,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

0的導(dǎo)數(shù)f'(x

0

)就是導(dǎo)函數(shù)f'(x

)在x=x

0的值.

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)u=u(x

)和v=v(x)的導(dǎo)數(shù)均存在,則

2.導(dǎo)數(shù)基本公式

(略)

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

若y=f(u

)及u=φ(x)均可導(dǎo),則

應(yīng)用法則時(shí),可引進(jìn)適當(dāng)?shù)闹虚g變量,弄清復(fù)合關(guān)系.求導(dǎo)遵循“由外往里”,“逐層求導(dǎo)”原則;所謂“由外往里”指的是從式子的最后一次運(yùn)算程序開始往里復(fù)合;“逐層求導(dǎo)”指的是每次只對一個(gè)中間變量進(jìn)行求導(dǎo).

4.隱函數(shù)的求導(dǎo)法

(1)將確定隱函數(shù)的方程的兩端同時(shí)對自變量x

求導(dǎo),凡遇到含有因變量y

的項(xiàng)時(shí),把y

當(dāng)作x

的復(fù)合函數(shù)看待,按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).

(2)從得到的含導(dǎo)數(shù)y‘x的等式中解出y’x

,就是所要求的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

5.對數(shù)求導(dǎo)法

對于冪指函數(shù)y=u

(x)v

(x)[u

(x)>0]以及由多個(gè)因子通過乘、除、乘方和開方等運(yùn)算構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo),可先對等式兩邊取對數(shù),然后再求導(dǎo),這可使對積商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,從而使求導(dǎo)過程大為簡化.

6.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法

三、微分的概念

1.函數(shù)微分的概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x

0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，在x

0處