2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間直線、平面的平行

第4講空間直線、平面的平行

□知識梳理

1.直線與平面平行

(1)判定定理

\文字語言圖形語言符號語言

如果平面外一條直線與此平面1011Ma

判定----------a

內(nèi)的一條直線平行，那么該直線|02仿Uar,aIIa

定理/__/

與此平面平行[03]tzIIb.

(2)性質(zhì)定理

\文字語言圖形語言符號語言

|。4|〃IIa

一條直線與一個平面平行,如果

性質(zhì)國aU￡>II

過該直線的平面與此平面相交，

定理廚ans=Z\

那么該直線與交線平行

b

2.平面與平面平行

(1)判定定理

文字語言圖形語言符號語言

|08|〃Ua

如果一個平面內(nèi)的兩條畫

判定相交直線與另一個平面平行,

回P>=aIIp

定理那么這兩個平面平行(簡記為

E//1

“線面平行"面面平行”)

回LO，

（2）性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

兩個平面平行，如果?{T4\alll3、

另一^平面與這兩115|a1[二〃II

性質(zhì)定理Z

個平面相交，那么兩116[￡Gy=尻

條交線向平行￡/7

b

知識拓展

1.垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若ala,a邛,則a//.

2.垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若ala,bla,則a//尻

3.平行于同一-^1K平面的兩個平面平行，即若a/",PIIy,則a//y.

4.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.

5.夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.

6.經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

7.兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

8.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那

么這兩個平面平行.

□雙基自測

1.已知直線/和平面處若///a,Pea,則過點P且平行于/的直線（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.只有一條，且在平面a內(nèi)

C.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

D.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

答案B

解析過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，因為點尸在平面a內(nèi),

所以這條直線也應(yīng)該在平面a內(nèi).故選B.

2.（2019?全國II卷）設(shè)a,4為兩個平面，則a//4的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與用平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,4垂直于同一平面

答案B

解析若aim則a內(nèi)有無數(shù)條直線與用平行，反之不成立；若a,夕平行

于同一條直線，則a與夕可以平行也可以相交；若見夕垂直于同一平面，則a

與夕可以平行也可以相交，故A,C,D均不是充要條件.根據(jù)平面與平面平行

的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面

平行，反之也成立.因此B中的條件是a//4的充要條件.故選B.

3.（多選）（2022.江蘇鎮(zhèn)江質(zhì)量檢測）如圖，在下列四個正方體中，A,B為正

方體的兩個頂點，M,N,。為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線A3與

平面MNQ平行的是（）

答案BCD

解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中。為3c的中點，則QDIIAB.

?.?Q￡>n平面MNQ=Q,二。。與平面MNQ相交，二直線A3與平面MNQ相交;

B項，作如圖②所示的輔助線，則ABIICD,CDIIMQ,：.ABIIMQ.又A圓平面

MNQ,MQU平面MNQ,「.AB//平面MNQ；

C項，作如圖③所示的輔助線，貝1JA3//CD,CDHMQ,：.ABHMQ.又ABQ

平面“NQ,MQU平面MNQ,二43//平面MNQ；D項，作如圖④所示的輔助線,

則ABIICD,CDIINQ,：.ABIINQ.又ABC平面MNQ,NQU平面MNQ,：.ABII

平面MNQ.故選BCD.

4.如圖所示，P為矩形A3CD所在平面外一點，矩形對角線的交點為。，M

為心的中點，給出下列五個結(jié)論:

①PDII平面AMC-②0MII平面PCD;③QWII平面PDA;?0MII平面PBA;

⑤。M//平面P3C

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析因為矩形ABCD的對角線AC與3。交于點。，所以。為3D的中點.在

△P3D中，因為M為依的中點，所以?！睘椤鱌3D的中位線，0MHPD,所以

PDII平面AMC,0MII平面PCD,且0MII平面PDA.因為P3,所以0M

與平面PA4,平面P3C相交.故選C.

5.如圖，平面a//平面人△以3所在的平面與a,4分別交于CD,AB,若

PC=2,CA=3,CD=1,貝1JAB=.

答案1

PCCDPA-CD5X15

解析：平面a//平面色:.CD//A3,.,.方=詬，：.AB=pc=^~=^.

6.已知下列命題：

①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)；

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則///a；

③若直線/與平面a相交，貝山與平面?內(nèi)的任意直線都是異面直線；

④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面

相交；

⑤若直線/與平面?平行，貝山與平面?內(nèi)的直線平行或異面；

⑥若平面a//平面色直線aUa,直線bu.,則a//。

其中正確的是_______（填序號）.

答案①⑤

解析①若直線與平面有兩個公共點，由基本事實2可得直線在平面內(nèi)，故

①正確；②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則///a或/與a相交，故②錯

誤；③若直線/與平面a相交，貝卜與平面a內(nèi)的任意直線可能是異面直線或相

交直線，故③錯誤；④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直

線可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯誤；⑤若直線/與平面a平行，

則/與平面?內(nèi)的直線無公共點，即平行或異面，故⑤正確；⑥若平面a//平面人

直線aUa,直線5UA貝］Ja//O或凡6異面，故⑥錯誤.

核心考向突破|

考向一有關(guān)平行關(guān)系的判斷

例1（1）如圖,在正方體A3CD-ALBICLDI中，M,N,P分別是CD,BC,

AiD的中點，則下列命題正確的是（）

01M

A.MNIIAP

B.MNIIBDi

C.MNH平面BBiDiD

D.MNII平面BDP

答案C

解析取31cl的中點為Q,連接MQ,NQ,由三角形中位線定理，得MQII

BiDi,；.MQ"平面BBiDiD,由四邊形3BQN為平行四邊形，得NQIIBBi,：.

NQH平面BB1D1D,二平面MNQ//平面BBLDLD,又MNU平面MNQ,：.MNII

平面BBLDLD,故選C.

（2）已知兩條不同的直線a,b,兩個不同的平面a,B，有如下命題：

①若aIIa,bUa,貝a//6；

②若aIIJ3,。ua,則a//夕；

③若a//夕，aUa,bu§,則aIIb.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.3B.2

C.1D.0

答案C

解析若a//a,"a,則。與6平行或異面，故①錯誤；若a//,a^a,

貝U。與夕沒有公共點，即。//人故②正確；若all3aUa,bu，貝ij。與人無

公共點，得明6平行或異面，故③錯誤.二正確命題的個數(shù)為1.故選C.

觸類旁通）解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的注意點

(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件

“線在面外”易忽視.

(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.

(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.

即時訓(xùn)練1.已知機，〃是兩條不同的直線，a,八/是三個不同的平面，

下列命題中正確的是()

A.若加//a,nIIa,則m//n

B.若機//a,mHP，貝1Ja//夕

C.若al九41%則a//￡

D.若"z_La,〃_La,則機//〃

答案D

解析A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交;

C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故

選D.

2.如圖所示，正方體ABCD-ALBICLDI中，點E,F,G,P,Q分別為棱

AB,CiDi,DiAi,DiD,GC的中點.則下列敘述中正確的是()

A.直線3Q//平面"G

B.直線43//平面ERG

C.APCIIEFG

D.平面ALBQ//平面ERG

答案B

解析過點E,RG的截面如圖所示(其中H,1分別為A4i,3。的中點).???

AiBIIHE,A網(wǎng)平面ERG,HEU平面"G,：.AiBIIEFG,故選B.

多角度探究突破

考向二直線與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1用線線平行證明線面平行

例2(1)如圖，在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，E為線段AD上的任意一

點(不包括A,。兩點)，平面CECi與平面331。交于RG

證明：RG//平面AALBLB.

證明在直四棱柱ABCD-AiBCiDi中，因為BBi1/CCi,u平面

CC《平面BBLD,

所以CC1//平面BB1D.

又因為CCU平面CEG,

平面CECi與平面BBiD交于FG,

所以CQ//FG.

因為BBiIICCi,所以BB\IIFG.

而BBC平面AAiBiB,RGC平面AA1B1B,

所以FGII平面AALBLB.

(2)如圖，在三棱臺DER-ABC中，AB=2DE,G,H分別為AC,3c的中點.

B

求證：BD"平面FGH.

證明證法一：連接DG,CD,^CDHGF=M,連接MH.在三棱臺DER-

A3C中，由AB=2DE,G為AC的中點，可得DR//GC,DF=GC,所以四邊形

DRCG為平行四邊形，則”為CD的中點，又因為“為3C的中點，所以HMII

BD.

因為H0U平面打汨，BDQ平面FGH,

所以BD"平面FGH.

證法二：在三棱臺DER-ABC中，由3c=2ER,H為BC的中點，可得BH

IIEF,BH=EF,

所以四邊形"SER為平行四邊形，BEIIHF.

在aABC中，因為G為AC的中點，H為3c的中點，所以GH//AA

又因為GHCHF=H,所以平面RGH//平面ABED

因為3DU平面ABED,所以BDII平面FGH.

角度2用線面平行證明線線平行

例3如圖所示，四邊形A3CD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，

”是尸。的中點，在上取一點G,過G和必作平面交平面于GH.

求證：PAIIGH.

證明如圖所示，連接AC交3。于點。，連接M。,

.??四邊形ABCD是平行四邊形，

二。是AC的中點，又〃是PC的中點，.?.B4//MO

又MOU平面BMD,RW平面

：.FAII平面

平面PAHGn平面BMD=GH,

且必u平面必HG,：.PAHGH.

觸類旁通」

1.判斷或證明線面平行的常用方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點).

(2)利用線面平行的判定定理(Ha,bua,allb^alla).

(3)利用面面平行的性質(zhì)(a11/3,aUaAa//份.

(4)利用面面平行的性質(zhì)(aIIB,aQa,a邛,aIIa今aII份.

2.證明線線平行的三種方法

(1)利用基本事實4(alib,bIIc0aIIc).

(2)利用線面平行的性質(zhì)定理(a//a,au§,aC8=illb).

(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(a//an7=?,pQy=b^allb).

即時訓(xùn)練3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，必1平面

ABCD,PA=3,R是棱以上的一個動點，E為PD的中點，。為AC的中點.

⑴求證：0E//平面出3；

(2)若AR=1,求證：CE//平面BDF.

證明（1）因為四邊形A3CD為菱形，。為AC的中點，所以。為3。的中點,

又因為E為的中點，所以。E//PB

因為0Ht平面PAB,P3U平面PAB,

所以0EII平面PAB.

⑵過E作EG//陽交AP于點G,連接CG,F0.

因為EGIIFD,EGC平面BDF,EDU平面BDF,所以EGII平面BDF.

因為E為PD的中點，EGIIFD,所以G為PR的中點，

因為AR=1,必=3,所以R為AG的中點，

又因為。為AC的中點，所以。R//CG.

因為CGI平面3DR,0RU平面

所以CG//平面BDF.

因為EGACG=G,EGU平面CGE,CGU平面CGE,所以平面CGE//平面

BDF,

又因為CEU平面CGE,所以CEII平面BDF.

考向三面面平行的判定與性質(zhì)

例4如圖，在三棱柱ABC-451G中,E,F,G,H分別是A3,AC,A1B1,

AiCi的中點，求證：

(1)3,C,H,G四點共面;

(2)平面EFAxII平面BCHG.

證明(1)因為GH是△ALBIC的中位線，所以GH/IBiCi.

又因為BiCiIIBC,

所以GHIIBC,所以3,C,H,G四點共面.

(2)因為E,尸分別為AB,AC的中點,

所以EF/IBC.

因為ERI平面BCHG,BCU平面BCHG,

所以EFII平面BCHG.

因為4G與防平行且相等，

所以四邊形AXEBG是平行四邊形，

所以AiEIIGB.

因為AiHt平面BCHG,GBu平面BCHG.

所以AiEII平面BCHG.

因為AiEnER=E,所以平面EEh//平面BCHG.

觸類旁通.證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則

這兩個平面平行.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

即時訓(xùn)練4.(2022.福建福清階段考試)如圖，在正方體ABCD-AbBCiDi

COBP2

中，p,Q分別為對角線皮)，CDi上的點，且00]=^=,

(1)求證：PQ//平面4D1D4；

(2)若R是A3上的點，礪的值為多少時，能使平面PQR//平面A1AD4?請

給出證明.

解(1)證明：連接CP并延長與D4的延長線交于M點，如圖，連接

因為四邊形A3CD為正方形，所以BC//AD,

故APBCSAPDM,

b、、CPBP2

所以麗=麗=,，

?、，C0BP2

又因為QDi=PD=W，

bx,COCP2

所以0。1=麗=?

所以PQIIMDi.

又MD\u平面AiDiDA,PQ<1平面A\D\DA,

故PQ//平面4D1D4.

AR3

(2)當通的值為5時，能使平面PQR//平面AiDiDA.如圖.

證明：因為礪=彳

BR2JRBP

即麗=多故麗=麗，

所以PR//D4.

又D4U平面4D1D4,PRJ平面4￡>iD4,

所以PH//平面AiDiZM,

又PQ//平面ALDLDA,PQCPR=P,

PQ,PRU平面PQR,

所以平面PQRII平面A1D1DA.

課時作業(yè)|

一、單項選擇題

1.已知見夕表示兩個不同的平面，直線機是a內(nèi)一條直線，則“al"”

是“加力”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由a//,機Ua,可得m1/優(yōu)反過來，由機//夕，m^a,不能推出a

//及綜上，％//4”是“加//夕”的充分不必要條件.故選A.

2.已知直線a,6和平面a,下列說法中正確的是（）

A.若a//a,6ua,則a"b

B.若a_La,bUa,貝1Ja_Lb

C.若凡6與a所成的角相等，則a"b

D.若a//a,bIIa,則a〃b

答案B

解析若a//a,bua,貝a//6或。與6異面，故A錯誤；利用線面垂直的

性質(zhì)，可知若ala,bua,則故B正確；若a,6與a所成的角相等，則

。與6相交、平行或異面，故C錯誤；由a//a,blla,得a,人之間的位置關(guān)系

可以是相交、平行或異面，故D錯誤.故選B.

3.在長方體A3CD-AbBCiDi中，E,R分別是棱AAi和的中點，過ER

的平面ERGH分別交5c和AD于點G,H,則GH與A3的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

答案A

解析由長方體的性質(zhì)，知EF"平面A3CD,???ERU平面EFGH,平面

EFGHH?ABCD=GH,：.EFIIGH.^EFHAB,二GH//AA故選A.

4.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，M,N分別為AC,PC上的點，且

加//平面以。，貝1J()

A.MNIIPD

B.MNIIPA

C.MNIIAD

D.以上均有可能

答案B

解析,:MNIi平面PAD,平面以CP平面PAD=PA,MNU平面PAC,

MNIIPA.故選B.

5.如圖，在多面體ABC-DERG中,平面ABC//平面OE尸G,EFIIDG,且

AB=DE,DG=2EF,貝1J()

4c

E/

A.BFII平面ACGD

B.CFII平面ABED

C.BCIIFG

D.ABED//CGF

答案A

解析如圖所示，取DG的中點M,連接AM,FM,則由已知條件易證得四

邊形DE五”是平行四邊形，：.DEIIFM,且。E=RM.；平面ABC//平面DERG,

平面ABCn平面ADE3=AB,DEFGnADEB=DE,：.ABIIDE,：.AB

IIFM,又AB=DE,：.AB=FM,二四邊形A3RM是平行四邊形，.\BFIIAM,

又BRI平面ACGD,AMU平面ACGD,；.BF1/平面ACGD,故選A.

6.如圖，尸為平行四邊形ABC。所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC

PF

上一點，當以//平面EM時，斤=()

答案D

解析如圖，連接AC交BE于點G,連接RG,因為以//平面E3RR4U

ppAG

平面必C,平面必cn平面3ER=RG,所以RUFG,所以斤=反.又因為AD

IIBC,E為AD的中點，所以常=弟=］所以差=3?故選D.

7.在三棱錐S-A3C中，AABC是邊長為6的正三角形，SA=SB=SC=15,

平面DEFH分別與A3,BC,SC,SA交于點。，E,F,H.D,E分別是A5,BC

的中點，如果直線S3//平面DEM,那么四邊形DEM的面積為（）

A45B45^3

A.22

C.45D.4573

答案A

解析如圖，取AC的中點G,連接SG,3G易知SGLAC,BGLAC,故

AC1平面SG3,所以AC1S3.因為SB//平面DEM,S3u平面SAB,平面SABA

平面DEFH=HD,則S3IIHD.同理SBIIRE.又因為D,E分別為A3,BC的中點，

則H,R也分別為AS,SC的中點，從而得印Z央所以四邊形DEM

為平行四邊形.因為AC1S3,SBIIHD,DEIIAC,所以DE1HD,所以四邊形

DEFH為矩形，其面積S=HFHD=（|AC）.gsB）=苧.故選A.

8.如圖，在棱長為2的正方體A3CD-ALBCLDI中，的中點是P,過點

4作與截面P3G平行的截面，則該截面的面積為（）

DiG

c

A.2y[2B.2^3

C.2y[6D.4

答案c

解析如圖所示，易知截面是菱形.分別取棱DiCi,A3的中點E,F,連接

AiE,AiF,CF,CE,則菱形AiECT為符合題意的截面.連接ERAiC,易知ER

=2也，AiC=2小,EF1A1C,所以截面的面積5=*戶4。=2加.故選?.

二、多項選擇題

9.如圖，正方體ABCD-ALBCIDI的棱長為1,線段5必上有兩個動點E,

F,且EE=3,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.線段上存在點E,F使得AE1/BF

B.EFII平面ABCD

C.AAEF的面積與△3ER的面積相等

D.三棱錐A-BEP的體積為定值

答案BD

解析如圖所示，A3與BbDi為異面直線，故AE與3歹也為異面直線，A錯

誤；B\DxIIBD,故ER//平面ABCD,故B正確；由圖可知，點A和點3到ER

的距離是不相等的，C錯誤；連接3。交AC于。，則A。為三棱錐A-3ER的高，

SABEF=|X|X1=1,三棱錐A—3Eb的體積為=雪，為定值,D正確.故

選BD.

10.（2021.保定一中模擬）在正方體ABCD-ALBICLDI中，M,N,。分別是棱

2

DiCi,AxDx,3c的中點，點尸在3D上且3。=鏟。］.則以下四個說法中正確的

是（）

A.MNII平面APC

B.CQ//平面APC

C.A,P,"三點共線

D.平面MNQ//平面APC

答案BC

解析如圖，對于A,連接MN,AC,貝1JMN//AC,連接AM,CN,易得AM,

CN交于點P,即MNU平面APC,所以MNII平面APC是錯誤的；對于B,由A

項知M,N在平面APC內(nèi)，由題易知AN//C1Q,ANU平面APC,所以QQ//平

面APC是正確的；對于C,由A項知A,P,M三點共線是正確的；對于D,由

A項知MNU平面APC,又MNU平面MNQ,所以平面MNQII平面APC是錯誤

的.

，M

三、填空題

11.（2022?北京東城區(qū)模擬）設(shè)a,小7是三個不同的平面，m,〃是兩條不同

的直線，在命題“aC8=m,〃勺，且________,則m//w”中的橫線處填入下列

三組條件中的一組，使該命題為真命題.

IIy,nU§；（2）mIIy,nII/3;③nII￡,mUy.

可以填入的條件有（填序號）.

答案①或③

解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當mil力〃//4時，”和機可

能平行或異面，②錯誤；當“//人機U/時，〃和機在同一平面內(nèi)，且沒有公共

點，所以m//〃，③正確.

12.（2022?福建龍巖高三模擬）如圖所示，在正四棱柱ABCD-ALBICLDI中，E,

F,G,H分別是棱CCi,CiDi,DiD,DC的中點，N是3c的中點，點〃在四

邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件時，就有MNII平面

3LBDDI.（注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）

答案點”在線段切上

解析連接HMFH,FN,則FH"DDi,HNIIBD,所以平面RHN//平面

BiBDDi,只需M在線段切上，則MNU平面FfflV,所以MN//平面BLBDDI.

13.如圖所示，正方體A3CD-ALBCLDI的棱長為a,M,N分別是下底面的

棱ALBI,田。的中點，尸是上底面的棱AD上的一點，AP=l，過P,M,N的平

面交上底面于PQ,。在8上，則PQ=.

答案明

解析如圖所示，連接AC,易知MNII平面ABCD.：.MNIIPQ.又MNIIAC,

-'-PQIIAC.=.,巖=冬=塞=|.

；.PQ=^AC=三義小a=^^a.

四、解答題

14.如圖，四邊形A3CD與ADER均為平行四邊形，M,N,G分別是A3,

AD,ER的中點.

求證：(1)BE//平面DMF;

(2)平面BDEII平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過DR與GN的交點。，連接M。，因為

四邊形ADER為平行四邊形，所以。為AE的中點，又“為A3的中點，所以

M。為aABE的中位線，所以BEI/M0,

E

G

MB

又因為BEC平面DMF,MOU平面DMF,

所以BEII平面DMF.

（2）因為N,G分別為平行四邊形ADER的對邊AD,ER的中點，所以DE//

GN,

又因為DEC平面MNG,GNU平面"NG,

所以DE//平面MNG.

因為“為A3的中點，N為A。的中點，

所以MN為AABD的中位線，所以BDIIMN,

因為平面MNG,MNU平面MNG,

所以BDII平面MNG,

因為DE