2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷（測(cè)試范圍：三角形、全等三角形、軸對(duì)稱）解析版

2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷01

滿分：120分測(cè)試范圍：三角形、全等三角形、軸對(duì)稱

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)下列各題中均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正

確的

1.2023年全國民航工作會(huì)議介紹了2023年民航業(yè)發(fā)展目標(biāo)：民航業(yè)將按照安全第一、市場(chǎng)主導(dǎo)、保障先

行的原則，在做好運(yùn)行保障能力評(píng)估的基礎(chǔ)上，把握好行業(yè)恢復(fù)發(fā)展的節(jié)奏.下列航空?qǐng)D標(biāo)，其文字上方的

圖案是軸對(duì)稱圖形的是()

A.春秋航空B.東方航空

C.廈門航空D.海南航空

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到對(duì)稱軸的圖形即可.

【解答】解：A、B、C三個(gè)圖形都找不到對(duì)稱軸，只有選項(xiàng)。符合軸對(duì)稱的特點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，圖形沿著某一直線折疊能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形.

2.一個(gè)三角形兩邊的長分別是3和5,則這個(gè)三角形第三邊的長可能是()

A.1B.1.5C.2D.4

【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出尤的取值范圍，再求出符合條件的尤的值即可.

【解答】解：設(shè)三角形第三邊的長為x,貝

5-3<x<5+3,即2cx<8,

只有選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

3.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)4-1,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-1,-2)

【分析】兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反.由此可求點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：?.,點(diǎn)4-1,2),

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為(1,-2),

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.己知圖中的兩個(gè)三角形全等，則Ncr等于（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角進(jìn)而得出答案.

【解答】解：圖中的兩個(gè)三角形全等，

Zcr=50°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確找出對(duì)應(yīng)角是解題關(guān)鍵.

5.一個(gè)，邊形的每個(gè)外角都是45。，則這個(gè)〃邊形的內(nèi)角和是（）

A.1080°B.5400C.2700°D.2160°

【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度，每個(gè)外角都相等，即可求得外角和中外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊

數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和定理即可求得內(nèi)角和.

【解答】解:多邊形的邊數(shù)是：360+45=8,

則多邊形的內(nèi)角和是：（8-2）x180=1080°.

故答案為：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理以及多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變

化而變化，因而把求多邊形內(nèi)角的計(jì)算轉(zhuǎn)化為外角的計(jì)算，可以使計(jì)算簡便.

6.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部

B.三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)

C.三角形的三條高都在三角形內(nèi)部

D.三角形的中線、角平分線、高都是線段

【分析】由三角形的角平分線，高，中線的概念，即可判斷.

【解答】解：A、三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，正確，故A不符合題意；

3、三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，正確，故3不符合題意；

C、銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，故C符合題意；

D,三角形的中線、角平分線、高都是線段，正確，故。不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的角平分線，高線，中線的概念，關(guān)鍵是掌握三角形的角平分線，高線，中線的的

定義.

7.如果等腰三角形兩邊長是4c和8c加，那么它的周長是（）

A.16cmB.20cmC.21cmD.16或20s

【分析】腰長為8cm和4cm兩種情況，再利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判定，再計(jì)算周長即可.

【解答】解：當(dāng)腰長為8cm時(shí)，則三角形的三邊長分別為8cm、8cm、4cm,滿足三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)

周長為20cm；

當(dāng)腰長為4c時(shí)，則三角形的三邊長分別為4cM、4cm>8cm,此時(shí)4+4=8,不滿足三角形的三邊關(guān)系，

不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)

證是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AABC中，AB=AE,且A￡）_L3C,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)/，交BC于點(diǎn)E,若AABC

周長為16,AC=6,則￡心為（）

【分析】根據(jù)三角形的周長公式求出AB+3C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到以=EC,根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)得到=結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【解答】解：AABC周長為16,

:.AB+BC+AC=16i

AC=6,

AB+BC=10,

?防垂直平分AC,

EA=EC,

AB=AE,AD±BC,

BD=DE,

:.AB+BD=AE+DE=^x(AB+BC)=5,

:.DC=DE+EC=AE+DE=5,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的

兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

9.用三角尺可按如圖方法畫角平分線：在已知的NAOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M,N

作。4,OB的垂線，交點(diǎn)為P,畫射線O尸，則O尸平分NAO及做法中用到證明AOMP與AQVP全等的判

定方法是()

A.SASB.SSSC.ASAD.HL

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決問題即可.

【解答】解：在RtAPOM和RtAPON中，

{OP=OP

[OM=ON，

RtAPOM=RtAPON(HL),

:.ZPOM=ZPON,

平分ZAOB,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的

判定方法，屬于中考?？碱}型.

10.如圖，AD平分44C,DEL至于點(diǎn)E,DFLAC于點(diǎn)F,連接班交AD于點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①

DF+AE>AD；?DE=DF；③ADLEF；?:SMCD=AB:AC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

EG

BDC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出=根據(jù)全等三角形的判定推出RtAAED=RtAAFD,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出再逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：AD平分44C,于點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)尸，

ZAED=ZAFD=90°,DE=DF,故②正確；

在RtAAED和RtAAFD中

[AD=AD

[DE=DF'

RtAAED=RtAAFD（HL）,

:.AE=AF,

4）平分NBAC,

:.AD±EF,故③正確；

，在AAFD中，AF+DF>AD,

又-AE=AF,

:.AE+DF>AD,故①正確；

S.=—xABxDE,S.=—xACxDF，DE=DF，

IXADRUnArn

s網(wǎng)D:S^CD=AB：AC，故④正確；

即正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸.

【分析】等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，就是三條角平分線.

【解答】解：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，就是三條角平分線.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，等

邊三角形有3條對(duì)稱軸.

12.經(jīng)過多邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線將多邊形分成了五個(gè)三角形，則多邊形有7條邊.

【分析】根據(jù)從同一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線將多邊形分成(〃-2)個(gè)三角形解答.

【解答】解：?經(jīng)過多邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線將多邊形分成了五個(gè)三角形，

.?.多邊形的邊數(shù)為5+2=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的對(duì)角線，熟記多邊形的邊數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,點(diǎn)O是/班。和NABC的他平分線的交點(diǎn)，貝！J=_135。

C

AB

【分析】由角平分線定義得到ZOAB=-ZCAB,ZABO=-ZABC,因此

22

Na4B+NABO=；(NC4B+/A5C)=：(180O-NC)=45。,由三角形內(nèi)角和定理求出

ZAOB=180°-(ZOAB+ZABO)=135°.

【解答】解：OA,03分別平分NC4B和NABC,

ZOAB=-ZCAB,ZABO=-ZABC,

22

Z.OAB+ZABO=1(ZC45+ZABC)=1(180°-ZC)=1x(180°-90°)=45°,

ZAOB=180°-(ZOAB+ZABO)=135°.

故答案為：135。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線定義，關(guān)鍵是由角平分線定義推出

NOAB+ZABO=3(180。-ZC).

14.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,點(diǎn)。為TW左側(cè)一點(diǎn)，CD=AC,ZD=ZACB,BD=1,

則ADBC的面積為一.

一2一

A

D

BC

【分析】過點(diǎn)5作3石_LCD于點(diǎn)石，利用兩角相等的三角形相似證得ABECSAABC,再根據(jù)相似三角形的

對(duì)應(yīng)邊成比例得出絲二處，設(shè)AC=小，用含根的式子表示的，再根據(jù)已知CD=A。得出8=相，最

ABAC

后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：過點(diǎn)5作于點(diǎn)石，

...ZBED=90°,

ZABC=90°,

:.ZBED=ZABC,

又ZD=ZACB,

:.NBED^^ABC,

.BEBD

"AB-AC，

設(shè)AC=m，

則毀」，

3m

3

??.BE=—,

m

CD=AC,

二.CD=m,

133

SA.?/JRrilr,=2,—CD-BE=—m—

2m2

故答案為：I

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

15.如圖，在AABC中，AC的垂直平分線分別交3C,AC于D,E,若=A4BD的周長為13cm,

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到/M=OC,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：OE是AC的垂直平分線，AE=3cm,

:.DA=DC,AC=2AE=6(cm),

的周長為13cm,

AH+BD+AD=A.B+BD+DC=AB+BC=13(c〃z),

AABC的周長=4B+3C+AC=13+6=19(aw),

故答案為：19.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是

解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知AABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)。在C4的延長線上，且DC=3C,AD^AO,若

ZBAC=100°,則/3C4的度數(shù)為_30。_.

【分析】由角平分線的定義得NB4O=NC4O,ZABO=ZCBO,ZBCO=L>CO,邊角邊證明ASCOMADCO,

其性質(zhì)求得NCBO=N。；等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理求得NBC4的度數(shù)為30。.

【解答】解：AO、BO、CO是A45c三個(gè)內(nèi)角的平分線，

:.ZBAO=ZCAO,ZABO=ZCBO,ZBCO=ZDCO,

在ABCO和ADCO中，

OC=OC

-ZBCO=ZDCO,

BC=DC

NBCO=NDCO{SAS),

:.ZCBO=ZD,

又?ABAC=100°,

ZCAO=-ABAC=-x100°=50°,

22

又?AD=AO,

:.ZD=ZAOD,

又?.Z.CAO=ZD+ZAOD,

.-.Zr>=-ZC4O=-x50°=25°,

22

:.NCBO=25°,

.-.ZCBA=50°,

又?ZB4C+ZABC+ZBC4=180°,

ZBCA=180°-100°-50°=30°,

故答案為30。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角

和定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題（共8小題，共72分）

17.在AABC中，ZA=-ZB=-ZACB,CD是AABC的高，CE是NACB的角平分線，求4XE的度數(shù).

23

【分析】用NA表示出N3、ZACB,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180。列方程求出,再求出NACB,

然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出ZACD,根據(jù)角平分線的定義求出ZACE,再根據(jù)

ZDCE=ZACD-ZACE計(jì)算即可得解.

【解答】解：ZA=-ZB=-ZACB,

23

:.ZB=2ZA,ZACB=3ZA,

ZA+ZB+ZACB=1SO°,

.-.ZA+2ZA+3ZA=180o,

解得NA=30。，

:.ZACB^90°,

CD是AABC的高，

.-.ZACD=90°-30°=60°,

CE是NACB的角平分線，

ZACE=-x90°=45°,

2

ZDCEZACD-ZACE^G00-45°=\5°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖

是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，CD±AB,BE±AC,垂足分別為￡＞、E,BE、CD交于點(diǎn)O,OB=OC.求證：Z1=Z2.

A

【分析】因?yàn)镃D，AB于。點(diǎn)，于點(diǎn)石，所以ZBDO=NCEO=90。,因此可根據(jù)A4s判定

ABDO=ACEO,則有0。=0石，又因?yàn)镺D_LAB,OE±AC,所以4=N2.

【解答】證明：CDLAB于。點(diǎn)，5石，AC于點(diǎn)石

,\ZBDO=ZCEO=90°

在ABZX?和ACEO中，

ZBDO=ZCEO

<ZBOD=ZCOE,

OB=OC

:.ABDO=^CEO(AAS),

OD=OE，

ODLAB,OELAC,

.?.Q4平分NBAC,

.*.Z1=Z2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明MDOwACEO.

19.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,5石平分NAB。，DF平分NCZM.

(1)若NAB￡=30。，求NCD尸的度數(shù)；

(2)求證：BE/IDF.

A

D

BC

【分析】（1）結(jié)合已知條件求得/的的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和為360。求得NCD4,再根據(jù)小平分

NS4即可求得答案；

（2）設(shè)NABC=x,利用角平分線定義及四邊形內(nèi)角和易得/CBE=LX,ZAZX?=180°-x,再利用直角三

2

角形兩銳角互余計(jì)算后易證得NCBE="PC,根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證得結(jié)論.

【解答】（1）解：BE平分ZABC,ZABE=30°,

ZABC=2ZABE=2x30°=60°,

ZA=ZC=90°,

在四邊形ABCD中，ZADC=360°-90°-60°-90°=120°,

￡）尸平分NCZM,

ZCDF=-ZADC=60°；

2

（2）證明：設(shè)NABC=x,

BE平分ZABC,

ZABE=ZCBE=-ZABC=-x,

22

ZA=NC=90。，

在四邊形ABCD中，ZADC=360°-90°-x-90°=180°-x,

。下平分NCDA,

NCDF=-ZADC=90°--x,

22

■ZC=90°,

.?.在RtADCF中，ZDFC=90°-ZCDF=90°-（90°-x）=1,r,

:.NCBE=ZDFC,

:.BE//DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和，角平分線定義，直角三角形性質(zhì)，平行線的判定，（2）中結(jié)合已知條

件ZCBE=ZDFC是解題的關(guān)鍵.

20.如圖在由正方形組成的7x8網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C都是格點(diǎn)，僅用無

刻度直尺，在給定的網(wǎng)格中完成畫圖.

（1）在圖（1）中，另畫出AWC,使AWC=AABC（M為A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；

（2）在圖（1）中，畫出AABC的中線CD；

（3）在圖（2）中，畫出AA5c的高屏;；再在高班上畫點(diǎn)尸，使得ZAFE=45。.

【分析】(1)作AABC關(guān)于C所在格線的對(duì)稱圖形即可；

(2)作AC,3c邊上的中線的交點(diǎn)R,連接CR并延長交AB于D,即可得到答案；

(3)取格點(diǎn)連接交AC于E,線段仍即為AA5c的高，取格點(diǎn)N,連接4V交班于尸，點(diǎn)、F

即為所求.

【解答】解：(1)分別作出A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)“，N,如圖：

AWC即為所求；

(2)取3c與格線交點(diǎn)K,AC與格線交點(diǎn)T,連接4cBT交于R,連接CR并延長交回于。，如圖:

線段CD即為所求；

(3)取格點(diǎn)連接交AC于E,線段班即為AABC的高，取格點(diǎn)N,連接4V交班于尸，點(diǎn)、F

即為所求，如圖：

N

理由：由網(wǎng)格特征可知ABWM=ACG4,即可得BM_LAC,故巫是AC邊上的高；

AA/W是等腰直角三角形，C在NH上,且C為N”的垂直平分線，

:.ZNAC^45°,即N^AE=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-應(yīng)用與涉及作圖，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及網(wǎng)格的特征.

21.在AA5c中，AO.30分別平分44C、ZABC.

(1)如圖1,若NC=32。，貝i]NAOB=_106?！?/p>

(2)如圖2,連結(jié)OC,求證：OC平分ZACB；

(3)如圖3,若NABC=2NACB,AB^4,AC=1,求03的長.

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NC4B+NCR4=180。-NC=148。，根據(jù)角平分線的定義得到

ZBAO+ZABO=-{ABAC+AABC)=：-x148°=74°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到

22

ZAOB=180°—(NBA。+ZABO)=180°-74°=106°；

(2)如圖2,過。作OE_LAB于E,O尸_LAC于尸，OG_L3C于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和角平分線的

定義即可得到結(jié)論；

(3)解：在AC上截取=連接OM,根據(jù)角平分線的定義得到N54O=NM4O,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得到訓(xùn)=03,Z4MO=NABO,根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)解：NC=32。，

ZCAB+ZCBA=180°-ZC=148°,

AO,30分別平分N&4C、ZABC,

:.ZBAO^-ZBAC,ZABO=-ZABC,

22

ZBAO+ZABO=|{ABAC+ZABC)=gx148。=74。，

/.ZAOB=180?！?NBAO+ZABO)=180°-74°=106°,

故答案為：106°；

(2)證明：如圖2,過O作O￡_LAB于石，Ob_LAC于產(chǎn)，OG_L3C于G,

圖2

AO,50分別平分44C、ZABC,

:.OE=OF,OE=OG,

:.OF=OG,

.?.OC平分NACB；

(3)解：在AC上截取411=43,連接OM,

圖3

■AO平分NBAC,

:.ZBAO=ZMAO,

AO=AO,

:.ABAO=AMAO(SAS)f

:.OM=OB,ZAMO=ZABO,

60平分NABC,OC平分NAC5,

/.ZABO=-ZABC,ZACO=-ZACB,

22

ZABC=2ZACB,

,\ZABO=2ZACO,

ZAMO=ZMOC+ZMCO=2ZACO,

ZMOC=ZMCO,

:.OM=CM^AC-AM^AC-AB^3,

:.OB=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角

和定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法.

（1）如圖（1）,AD是AABC的中線，且延長的＞至點(diǎn)E,使ED=AD,連接BE,可證得

AADC=AEDB,其中判定全等的依據(jù)為：

（2）如圖（2）,AD是AABC的中線，點(diǎn)E在3c的延長線上，CE=AB,44C=NBC4,求證：AE=2AD.

（3）如圖（3）,4）是AA5c的中線，AB=AE,AC^AF,44E=NE4C=90。，試探究線段相＞與￡F

的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明.

【分析】（1）由全等三角形的判定可得出答案；

（2）延長"）至使=先證明AABDWCD,進(jìn)而得出AfC=AB,ZB=ZMCD,即可得出

ZACM=ZACE,再證明AACMMAACE,即可得出答案；

（3）在位）的延長線上截取DH=AD,連接C",則AH=2AD,先證明ACOHvAB/M得到CH=AB和

ZAHC^ZBAE,進(jìn)一步證明C"=AE、ZAHC=90°WZFAE=ZACH,再證明AME=AACH得到

EF^AH^ZAEF=ZAHC=90°,即可求解.

【解答】（1）解：延長AD至點(diǎn)E,使￡D=AT＞.

在AADC和AH5B中，

AD=DE

<ZADC=ZBDE,

CD=BD

:.AADC=AEDB(SAS),

故答案為：SAS；

(2)證明：延長45至M,使ZM/=AD,

A

M

AO是A4BC的中線，

..DB=CD,^ZADB^ZMDC,AD=DM

/.\ABD=^MCD(SAS),

:.MC=AB,ZB=ZMCD,

AB=CE,

:.CM=CE,

ZBAC=ZBCA,

ZB+ZBAC^ZACB+ZMCD,

即NACM=NACE,_&AC=AC,CM=CE,

/.\ACM=\ACE{SASy

AE=AM,

AM=2AD,

:.AE=2AD.

(3)解：EF=2AD,EF_LAD,證明如下：

如圖，在AD的延長線上截取DH=4),連接C",

圖⑶

則AW=2AD,

是AABC的中線,

CD-BD,

ACDH=ABDA(S4S),

:.CH=AB,ZAHC=ZBAE,

AB=AE,Zfi4H=90°,

:.CH=AE,ZAHC=9Q°,

ZACH+ZCAH=90°,

ZE4c=90。，

:.ZFAE+ZCAH^90°,

:.ZFAE=ZACH,

:.AFAE=AACH(SAS),

:.EF=AH,ZAEF=ZAHC=90°,

:.EF=2AD,EhAD.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中線的定

義，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)與判定.

23.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，AABC和AEDC都是等邊三角形，點(diǎn)3、D、E在同一條直線上，連接AE.

①NAEC的度數(shù)為_120。_；

②線段AE、SD之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)拓展探究：如圖②，AABC和AEDC都是等腰直角三角形、ZACB=NDCE=90°,點(diǎn)、B、D、E在同

一條直線上，CM為AEDC中DE■邊上的高，連接?1E,試求/AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)解決問題：如圖③，AABC和AEDC都是等腰三角形，ZACB=NDCE=36。，點(diǎn)B、D,E在同一條

直線上，請(qǐng)直接寫出NEAB+NECB的度數(shù).

【分析】(1)①由“S4S”可證AEC4叁ADCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出NAEC的度數(shù)；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)根據(jù)A￡C4=ADCB得至ijNAEB=NCE4-NC^=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=￡M=MD,

得到線段CM、AE、身0之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)根據(jù)AEC4=ADCB解答即可.

【解答】解：（1）①.AABC和ADCE都是等邊三角形，

:.CE=CD,CA=CB,ZECD=ZACB=60°,

ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,BPZECA=^DCB,

在AEC4和ADC6中，

CE=CD

<ZECA=ZDCB,

CA=CB

:.AECA=ADCB（SAS）,

ZAEC=NBDC=120。,

故答案為：120°；

②AECA=ADCB,

AE=BD,

故答案為：AE=BD；

（2）CM+AE=BM,理由如下：

ADCE是等腰直角三角形，

ZCDE=45°,

ZCDB=135°,

由（1）得AEC4二ADCS,

ZCEA=ZCDB=135°fAE=BD,

ZCEB=45°,

:.ZAEB=NCEA—NCEB=9Q。,

ADCE都是等腰直角三角形，CM為ADCE中DE邊上的高,

：.CM=EM^MD,

:.CM