2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的應(yīng)用》含答案解析

專題08函數(shù)的應(yīng)用（一）（考點清單）

目錄

一、思維導(dǎo)圖........................................................2

二、知識回歸........................................................2

三、典型例題講與練..................................................4

考點清單01：函數(shù)的零點..........................................4

【期末熱考題型1】求函數(shù)的零點................................4

【期末熱考題型2】函數(shù)零點個數(shù)................................5

【期末熱考題型3】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間........................5

【期末熱考題型4】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍................6

考點清單02：二分法..............................................7

【期末熱考題型1】確定零點（根）所在區(qū)間......................7

【期末熱考題型2】用二分法求函數(shù)的零點的近似值................7

考點清單03：函數(shù)模型的應(yīng)用......................................9

【期末熱考題型1】指數(shù)函數(shù)模型................................9

【期末熱考題型2】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型..............................9

【期末熱考題型3】擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題........................11

1

一、思維導(dǎo)圖

二、知識回歸

知識點01：函數(shù)零點的概念

1、函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)y=/(X),我們把使/(X)=0的實數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

幾何定義:函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的實數(shù)解,也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的公

共點的橫坐標(biāo).

這樣：方程/(x)=0有實數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有公共點

2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點

①一次函數(shù)/(x)=kx+b(k^0)只有一個零點一2；

k

②反比例函數(shù)/(x)=々左w0)沒有零點；

X

③指數(shù)函數(shù)=(?！?且awl)沒有零點；

④對數(shù)函數(shù)/(x)=log：(a〉0且awl)只有一個零點1；

⑤累函數(shù)/(》)=/當(dāng)a〉0時，有一個零點0；當(dāng)a<0時，無零點。

知識點02：函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用

1、函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)>=/(x)在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有/(a)/S)<0,那么函數(shù)

2

y=/(x)在區(qū)間僅力)內(nèi)至少有一個零點，即存在ce(a,A),使得/(c)=0,這個。也就是方程

/(x)=0的解.

說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間［出村上的圖象是連續(xù)不斷的；②f⑺/⑹<0.兩個條

件缺一不可.

2、函數(shù)零點的求法

①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程/(x)=0的實數(shù)解；

②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解

3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷

①利用代數(shù)法，求出所有零點；

②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與x軸交點的個數(shù)；

③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；

④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).

知識點03：二次函數(shù)的零點問題

一元二次方程a/+bx+c=0(。w0)的實數(shù)根也稱為函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的零點.

當(dāng)a〉0時，一元二次方程辦2+區(qū)+0=0的實數(shù)根、二次函數(shù)>="2+云+。的零點之間的關(guān)系如

知識點05：二分法

1、二分法的概念

對于在區(qū)間［生切上圖象連續(xù)不斷且/僅>/(6)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷的把它的零點所在區(qū)

間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法

3

(bisection)

2、用二分法求零點的近似值

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)了=/(x)零點看的近似值的一般步驟如下：

(1)確定零點/的初始區(qū)間［a,瓦驗證/(a>/S)<0；

(2)求區(qū)間(a,6)的中點c

(3)計算/(c);

①若/(c)=0(此時x°=c),則。就是函數(shù)的零點；

②若/(□)?/?<0(此時/e(a,c)),則令6=c；

③若/(c>/(b)<0(此時/e(c,b)),則令a=c；

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡,若|。一回<￡,則得到零點近似值。(或6),否則重復(fù)2—4

知識點06：常見函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型/0)=丘+6(左w0,左力為常數(shù))

2、反比例函數(shù)模型/(x)=&(左w0)

X

3、二次函數(shù)模型/(x)=a/+bx+c(awO)

4、指數(shù)函數(shù)模型/(x)=Z'+b(?！?且awl,k力0)

5、對數(shù)函數(shù)模型/(x)=—og：+b(a〉0且awl,左w0)

6、幕函數(shù)模型/(x)=Ax0+b(左w0,awl)

入分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合

n

8、對勾函數(shù)模型：/(x)=x+-(a>0)

x

三、典型例題講與練

I考點清單?皿如壬上

01：函數(shù)的零點

【期末熱考題型1】求函數(shù)的零點

【解題方法】定義

4

x2+x—2,x<0,

【典例1】（2023上?北京東城?高三北京市廣渠門中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=

-l+lnx,x>0,

則函數(shù)/（幻的零點為

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)“上任：：/,/（/（-1））=_,函數(shù)

g（x）=〃x）-3的零點為.

【專訓(xùn)1-1]（2023上?陜西西安?高一交大附中?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)^="2+8+,e/0）圖

象如圖所示，那么二次函數(shù)>=辦2+&+。的零點是.

【期末熱考題型2]函數(shù)零點個數(shù)

【解題方法】圖象法

[5x-5（x<1）

【典例1】（2023?四川雅安?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（%）=kJ…則函數(shù)>=/（x）Tog2X的

[x-4x+3（x>l）

零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【典例2】（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）方程X-tanx=0的實數(shù)根個數(shù)是.

【專訓(xùn)1-1]（2023上?北京?高一北京十四中校考期中）函數(shù)/■口）=尤2一5的零點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

-x2+2x,x>0

【專訓(xùn)11-2】（2023上?山東濟(jì)寧?高三統(tǒng)考期中）己知函數(shù)〃尤）=,,、1,則函數(shù)

In（-x）+—,x<0

y=的零點個數(shù)是（）.

A.2B.3C.4D.5

【期末熱考題型3】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間

【解題方法】零點存在性定理

【典例1】（2023上?北京?高一北京四中校考期中）函數(shù)/（x）=；x3-2x-2一定存在零點的區(qū)間是

5

高中

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

1

【典例2】(2023上?陜西咸陽?高三校考階段練習(xí))函數(shù)〃司=皿產(chǎn)_”的零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【專訓(xùn)1-1](2023上?福建泉州?高三?？计谥?若%是方程lnx+x-3=0的實數(shù)解，則%屬于區(qū)間

()

A.(1,1.5)B.(1.5,2)

C.(2,2.5)D.(2.5,3)

【期末熱考題型4】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

【解題方法】圖象法

【典例1】(2023上?江蘇南京?高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(x)=(/T)/+("i)x+l

只有一個零點，則k的取值集合為

【典例2】(2023上?寧夏吳忠?高三吳忠中學(xué)?？奸_學(xué)考試)己知，(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足

/(x+1)=-/?;當(dāng)xe0,1時，〃x)=9「l,則/尤)=(廠1)〃另一2在區(qū)間[一2021,2023]上所有零

點個數(shù)為.

【典例3】(2023上?福建南平?高一武夷山一中?？计谥?已知/(x)的定義域為R,且/(x+1)是奇

2—x1<x<2

{2二4一函數(shù)g(X)=Mx-l),左則方程〃x)=g(x)的所有的

根之和為()

A.3B.4C.5D.6

【專訓(xùn)1-1](2023上?北京海淀?高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)已知函數(shù)

“、x2-2x—3,x<a

，(x)=、

x>a

(1)當(dāng)。=1時，函數(shù)〃x)的值域為;

(2)若存在實數(shù)相，使得關(guān)于x的方程/(》)=根恰有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是.

【專訓(xùn)1-2】(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)=+

①當(dāng)a=0時，/(/(1))=:

②若/(X)恰有2個零點，則a的取值范圍是.

高中6

高中

|x+l|,x<0

【專訓(xùn)1-3］(2023上?山西?高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(')=<|log2x|,0<、<4,若互不相等

x2-12x+35,x>4

的實數(shù)不，4，X3，、4，七，4滿足/(』)=/(%)=/(工3)=/(%4)=/(/)=/(%6)，則

國+9+工3+%4+%5+%6的取值范圍是.

11^02：

二分法

【期末熱考題型1】確定零點(根)所在區(qū)間

【解題方法】零點存在性定理

【典例1】(2023上?山東日照?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)“X)的圖象在區(qū)間［L3］上連續(xù)不斷，則

“/⑴+〃2)+〃3)=0，，是，"(x)在［1,3］上存在零點，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例2】(2022下?湖南?高一南縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)〃x)=xT°glX+l的零點所在的

2

區(qū)間為()

【專訓(xùn)1-1］(多選)(2023上?重慶?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=2/+x-4的零點所在的區(qū)間可

能是()

A.(-2,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【期末熱考題型2】用二分法求函數(shù)的零點的近似值

【解題方法】二分法

【典例1】(2023上?高一課時練習(xí))已知函數(shù)/■(切=苫3+2尤-9在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點，且“X)

的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：〃1)=-6,/(1,5)=-2.625,/(1.75)?-0.1406,/(1.7578)?-0.0530,

41.7617)。0.0090,/(1.7656)?0.0352,/(2)=3,要使〃x)零點的近似值精確度為0.01,則對區(qū)

間(1,2)的最少等分次數(shù)和近似解分別為()

高中7

高中

A.6次,1.75B.6次，1.76

C.7次，1.75D.7次,1.76

【典例2】(2023上?高一課時練習(xí))下列是函數(shù)/(x)在區(qū)間口,2］上一些點的函數(shù)值.由此可判斷:

方程/(x)=0的一個近似解為______(精確度0.1).

X11.251.3751.40651.438

/(X)-2-0.984-0.260-0.0520.165

X1.51.6251.751.8752

/W0.6251.9822.6454.356

【專訓(xùn)1-11(多選)(2023上?高一單元測試)設(shè)函數(shù)/(x)=；x-lnx(x>0),則下列說法不正確的

是()

A.函數(shù)在區(qū)間(l,e)內(nèi)均有零點

B.函數(shù)在區(qū)間(l,e)內(nèi)均無零點

C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間(Le)內(nèi)無零點

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間(l,e)內(nèi)有零點

【專訓(xùn)1-21(多選)(2023上?遼寧沈陽?高三遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))(多選)已知函數(shù)

/(x)=e-x+a,其中xeR,。為某確定常數(shù)，運用二分法研究函數(shù)的零點時，若第一次經(jīng)計

算/⑼<0且/⑴>0,則()

A.可以確定/(x)的一個零點吃,滿足毛€(0,1)

高中8

高中

B.第二次應(yīng)計算若第三次應(yīng)計算了

第二次應(yīng)計算若/g]<0,

C.第三次應(yīng)計算了

D.第二次應(yīng)計算/[T]，若d>°，第三次應(yīng)計算/

[考占清單

03：函數(shù)模型的應(yīng)用

【期末熱考題型1】指數(shù)函數(shù)模型

【解題方法】圖象法

【典例1]（2023上?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考階段練習(xí)）小明在調(diào)查某班小學(xué)生每月的人

均零花錢時，得到了下列一組數(shù)據(jù)：

%/月份23456

y1元1.402.565.311121.30

請從模型模型1歹=二中>選擇一個合適的函數(shù)模型，并預(yù)測小學(xué)生零花錢首次超過300元的月

y—人，3

份為（）（參考數(shù)據(jù)：1g3合0.477,lg2?0.301）

A.8B.9C.10D.11

【典例2】（多選）（2023?上海?高一專題練習(xí)）（多選）從今年起x（無e[L8],xeN）年內(nèi)，小李的年

薪丫（萬元）與年數(shù)x的關(guān)系是>=2+0.2x,小馬的年薪了（萬元）與年數(shù)x的關(guān)系是了=0.5+1.23

則下列判斷正確的有（）

A.5年后小馬的年薪超過小李B.6年后小馬的年薪超過小李

C.小馬的年薪比小李的增長快D.小馬的年薪比小李的增長慢

【專訓(xùn)1-1]（2023上?云南紅河?高一統(tǒng)考期末）牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時

間丁俏）與儲藏溫度x（℃）的關(guān)系為>=公"（底廠為常數(shù)）.若牛奶在1C的冰箱中，保鮮時間約是

100h,在1（FC的冰箱中，保鮮時間約是64h,那么在5。（2的冰箱中保鮮時間約是（）

A.70hB.80hC.85hD.90h

【期末熱考題型2】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型

【解題方法】圖象法

高中9

高中

【典例1】（2023上?北京通州?高三潞河中學(xué)校考階段練習(xí)）被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著

名的公式：。=網(wǎng)幅11+之，其中。為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s；沙為信道帶寬，單位為Hz；

”為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)捻=99,展2000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸

NN

速率記為G；當(dāng)〉9999,彳=3000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C?，則浮為（）

7V

1515

A.—B.—C.—D.3

324

【典例2】（2023上?高一課時練習(xí)）某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵招

生人員的獎勵方案：在生源利潤達(dá)到5萬元時，按生源利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨生

源利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有

三個獎勵模型：＞=0.2x,昨logs%,y=1.02\其中哪個模型符合該校的要求？

【專訓(xùn)1-1］（多選）（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若物體原來的溫度為4（單位:。C）,環(huán)境溫度

為4（單位:。C）,物體的溫度冷卻到單位:。c）與需用時間/（單位:分鐘）滿足

］0—0

t="⑶=工In之才，后為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開水（100（）放在室溫為20℃的房間里，根據(jù)函數(shù)關(guān)系研究

這杯開水冷卻的情況（e“2.7,In2a0.7）,則（）

A.當(dāng)左=，時，經(jīng)過10分鐘，這杯水的溫度大約為40℃

B.當(dāng)左=，時，這杯開水冷卻到60°C大約需要14分鐘

C.若"60）=10,則440）=20

D.這杯水從100℃冷卻到80℃所需時間比從80℃冷卻到60℃所需時間短

【專訓(xùn)1-2］（2023上?福建龍巖?高三上杭一中校考階段練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們

在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成

涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強(qiáng)/與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)。（4約為10上,單位W/n?）之

比的常用對數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級，記作工（單位：貝爾），即￡=lg/取貝爾的/。倍作為響度的常用

單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度V（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度X（單位：米）

高中10

高中

之間滿足關(guān)系式了=x+10,若甲游客大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于100個乙游客同時大喝一聲的聲強(qiáng),

則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為.

【期末熱考題型3】擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題

【解題方法】圖象法

【典例1】（2022上?安徽亳州?高三安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“小黃城外芍藥花，十里五

里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花如桑麻.”這是清代文學(xué)家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位

于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫(yī)學(xué)

家華佗的故鄉(xiāng)，由于一代名醫(yī)的影響，帶動了毫州醫(yī)藥的發(fā)展，到明、清時期毫州就是全國四大藥都之

一，現(xiàn)已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規(guī)模最大、設(shè)施最好、檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易

中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在假期社會實踐活動

中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該中藥材在2021年的價格浮動最大的一個月內(nèi)

（以30天計）日平均銷售單價M（x）（單位：元/千克）與第x天（14x430,xeN*）的函數(shù)關(guān)系滿足

M（x）=￡+2°（左為正常數(shù)）.該中藥材的日銷售量N（x）（單位：千克）與x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所

小：

X4102030

N(x)149155165155

已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價x日銷售量）

（1）求后的值;

（2）給出以下四種函數(shù)模型：①N（x）=a，+6,②N（x）=a（x-20）2+6,③N（x）=a|x-20|+6,④

N（x）=a/og/,請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，幫助這組同學(xué)從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述該中藥

材的日銷售量N（x）與x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式和日銷售收入/（x）（單位：元）的最小值.

高中11

高中

【典例2】（2022上?福建廈門?高一廈門雙十中學(xué)?？计谀┍本?022冬奧會已于2月4日開幕，“冬

奧熱”在國民中迅速升溫，與冬奧會相關(guān)的周邊產(chǎn)品也銷量上漲.因可愛而聞名的冰墩墩更是成為世界

頂流，在國內(nèi)外深受大家追捧.對某商戶所售的冰墩墩在過去的一個月內(nèi)（以30天計）的銷售情況進(jìn)

行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的日銷售單價尸（x）（元/套）與時間x（被調(diào)查的一個月內(nèi)的第x天）的函數(shù)關(guān)系

近似滿足尸（x）=2000+］片（常數(shù)左＞0）,冰墩墩的日銷量O（x）（套）與時間x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表

所示:

X381524

。⑺（套）12131415

已知第24天該商品日銷售收入為32400元，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

①。（x）=/a*+b,@Q（x）=jt＞（jc-16）2+q,（3）2（x）=m-Jx+l+n

（1）選出你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來描述銷售量與時間的關(guān)系，并說明理由；

（2）根據(jù)你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入/（x）（14x430,xeN+）在哪天達(dá)到最低.

【專訓(xùn)1-1］（2022下?湖北?高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考期中）自2014年9月25日起，三峽大壩旅

游景點對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長

越來越快,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬人,2018年約為240萬人,2019年約為288

萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為x=l,2018年年份代碼為

x=2,依此類推）有兩個函數(shù)模型了=%"（左＞0,”＞1）與y=〃4+q（〃＞0）可供選擇.

（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適（不需計算，簡述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；

（2）問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：拒名1.41，

高中12

高中

Ga1.73,1g2no.30,1g3yo.48)

【專訓(xùn)1-2]（2022上?福建漳州?高一統(tǒng)考期末）2021年10月26日下午，習(xí)近平總書記參觀國家“十

三五”科技成就展強(qiáng)調(diào)，堅定創(chuàng)新自信緊抓創(chuàng)新機(jī)遇，加快實現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng).面向人民生命健

康，重點展示一體化全身正電子發(fā)射磁共振成像裝備，在紅色“健康中國”四個大字襯托下，更顯科技

創(chuàng)新為人民健康“保駕護(hù)航”的意義.為促進(jìn)科技創(chuàng)新，某醫(yī)學(xué)影像設(shè)備設(shè)計公司決定將在2022年對研

發(fā)新產(chǎn)品團(tuán)隊進(jìn)行獎勵，獎勵方案如下：獎金了（單位：萬元）隨收益x（單位：萬元）的增加而增

加，且獎金不超過90萬元，同時獎金不超過收益的20%,預(yù)計收益xe[36,900].

⑴分別判斷以下三個函數(shù)模型：夕=1.006"/=31nx+4,y=?,能否符合公司獎勵方案的要求，并說

明理由；（參考數(shù)據(jù)：1.OO6750?88.81,1.OO6760?94.29,ln36?3.58,ln900?6.80）

（2）已知函數(shù)模型y=04-10符合公司獎勵方案的要求，求實數(shù)。的取值范圍.

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高中

專題08函數(shù)的應(yīng)用（一）（考點清單）

目錄

一、思維導(dǎo)圖........................................................2

二、知識回歸........................................................2

三、典型例題講與練..................................................5

考點清單01：函數(shù)的零點..........................................5

【期末熱考題型1】求函數(shù)的零點................................5

【期末熱考題型2】函數(shù)零點個數(shù)................................6

【期末熱考題型3】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間........................9

【期末熱考題型4】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍...............10

考點清單02：二分法..............................................14

【期末熱考題型1】確定零點（根）所在區(qū)間......................14

【期末熱考題型2】用二分法求函數(shù)的零點的近似值...............16

考點清單03：函數(shù)模型的應(yīng)用......................................19

【期末熱考題型1】指數(shù)函數(shù)模型................................19

【期末熱考題型2】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型.............................20

【期末熱考題型3】擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題.......................23

高中14

高中

一、思維導(dǎo)圖

二、知識回歸

知識點01：函數(shù)零點的概念

1、函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)y=/(X),我們把使/(X)=0的實數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

幾何定義:函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的實數(shù)解,也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的公

共點的橫坐標(biāo).

這樣：方程/(x)=0有實數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有公共點

2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點

①一次函數(shù)/(x)=kx+b(k^0)只有一個零點一2；

k

②反比例函數(shù)/(x)=々左w0)沒有零點；

X

③指數(shù)函數(shù)=(。〉0且awl)沒有零點；

④對數(shù)函數(shù)/(x)=log：(a〉0且awl)只有一個零點1；

⑤累函數(shù)/(》)=/當(dāng)a〉0時，有一個零點0；當(dāng)a<0時，無零點。

知識點02：函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用

1、函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)>=/(x)在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有/(a)/S)<0,那么函數(shù)

高中15

高中

y=/(x)在區(qū)間僅力)內(nèi)至少有一個零點，即存在ce(a,A),使得/(c)=0,這個。也就是方程

/(x)=0的解.

說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間［出村上的圖象是連續(xù)不斷的；②f⑺/⑹<0.兩個條

件缺一不可.

2、函數(shù)零點的求法

①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程/(x)=0的實數(shù)解；

②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解

3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷

①利用代數(shù)法，求出所有零點；

②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與x軸交點的個數(shù)；

③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；

④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).

知識點03：二次函數(shù)的零點問題

一元二次方程a/+bx+c=0(。w0)的實數(shù)根也稱為函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的零點.

當(dāng)a〉0時，一元二次方程辦2+區(qū)+0=0的實數(shù)根、二次函數(shù)>="2+云+。的零點之間的關(guān)系如

知識點05：二分法

1、二分法的概念

對于在區(qū)間［生切上圖象連續(xù)不斷且/僅>/(6)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷的把它的零點所在區(qū)

間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法

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高中

(bisection)

2、用二分法求零點的近似值

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)了=/(x)零點看的近似值的一般步驟如下：

(1)確定零點/的初始區(qū)間［a,瓦驗證/(a>/S)<0；

(2)求區(qū)間(a,6)的中點c

(3)計算/(c);

①若/(c)=0(此時x°=c),則。就是函數(shù)的零點；

②若/(□)?/?<0(此時/e(a,c)),則令6=c；

③若/(c>/(b)<0(此時/e(c,b)),則令a=c；

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡,若|。一回<￡,則得到零點近似值。(或6),否則重復(fù)2—4

知識點06：常見函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型/0)=丘+6(左w0,左力為常數(shù))

2、反比例函數(shù)模型/(x)=&(左w0)

X

3、二次函數(shù)模型/(x)=a/+bx+c(awO)

4、指數(shù)函數(shù)模型/(x)=Z'+b(?！?且awl,k力0)

5、對數(shù)函數(shù)模型/(x)=—og：+b(a〉0且awl,左w0)

6、幕函數(shù)模型/(x)=Ax0+b(左w0,awl)

入分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合

n

8、對勾函數(shù)模型：/(x)=x+-(a>0)

x

三、典型例題講與練

I考點清單?皿如壬上

01：函數(shù)的零點

【期末熱考題型1】求函數(shù)的零點

【解題方法】定義

高中17

高中

【典例1】(2023上?北京東城?高三北京市廣渠門中學(xué)?？奸_學(xué)考試)己知函數(shù)〃x)='1'

[一l+lnx,x>0,

則函數(shù)/(幻的零點為

【答案】-2,e

【詳解】當(dāng)xWO時，由/(x)=x?+x-2=0,即(x-l)(x+2)=0,解得x=-2或x=l(舍)，

當(dāng)x>0時，由/(x)=T+lnx=0,解得X=e,

綜上可得，函數(shù)/⑴的零點為-2,e.

故答案為:-2,e.

【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(/(-1))=—,函數(shù)

g(x)=/(x)-3的零點為.

【答案】-44

/、(2x-5,x>0

【詳解】因為=12，,龍代,

所以/(-1)=2一|=；,則/(/(T))=/[)=2x；-5=T；

令g(x)=0,則f(x)_3=0,即/(x)=3,

當(dāng)x>0時，2x-5=3,解得x=4；

當(dāng)x<0時，2、=3,解得x=log23>0(舍去)；

綜上：函數(shù)g(x)=〃x)-3的零點為4.

故答案為：-4；4.

【專訓(xùn)1-1](2023上?陜西西安?高一交大附中?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)>=如2+&+°.#0)圖

象如圖所示，那么二次函數(shù)y="2+6x+c的零點是.

【答案】-1,2

【詳解】根據(jù)圖象可得函數(shù)的零點是T,2,

故答案為：-1,2.

【期末熱考題型2】函數(shù)零點個數(shù)

【解題方法】圖象法

高中18

高中

【典例1】（2023?四川雅安?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（尤）=2/|、，貝U函數(shù)》=/（幻一1。82工的

-4x+3（x＞1）

零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

設(shè)尸(x)=/(x)Tog2X,

設(shè)g(無)=log2》，貝!Jg⑴=0.

X/(l)=5xl-5=0=g(l),所以1是函數(shù)＞=〃x)-log4的一個零點;

根據(jù)零點的存在定理，可知，使得尸（為）=0,

即不是函數(shù)＞=/（x）-log2x的一個零點；

因為"3）=0,g（3）=log23＞l＞/（3）,

所以，F(xiàn)（3）=/（3）-g（3）＜0.

又/（4）=4=4、4+3=3,g（4）=log24=2＜/（4）,

所以，F(xiàn)（4）=/（4）-g（4）＞0.

根據(jù)零點的存在定理，可知，*2?（3,4）,使得歹（無2）=。，

即入?是函數(shù)了=/（?-1084的一個零點.

結(jié)合函數(shù)圖象以及〃x）,g（x）的增長速度可知，當(dāng)x＜占或、＞三時，函數(shù)丁=/（無）-嚏2%沒有零點.

綜上所述，函數(shù).丫=/@）-1。82%的零點為1,多，花，共3個零點.

高中19

高中

故選：C.

【典例2】（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）方程x-tanx=0的實數(shù)根個數(shù)是

【答案】無數(shù)

TT

【詳解】函數(shù)歹=tanx的定義域為{XERJXW析+,左￡Z},

jrIT

在每個區(qū)間（-1+版《+阮）（左eZ）是都單調(diào)遞增，并且函數(shù)值集合為R,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)V=tanx與>=x的圖象，如圖，

觀察圖象得，函數(shù)〉=1211》與歹=龍的圖象有無數(shù)個交點，

方程x-tanx=0的實數(shù)根個數(shù)是無數(shù)個.

故答案為：無數(shù)

【專訓(xùn)1-1]（2023上?北京?高一北京十四中?？计谥校┖瘮?shù)=的零點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】令〃力=0,即--工=0,解得x=l,

所以函數(shù)7'（x）=x2-：有且僅有一個零點1.

故選：B

“2

-x+2x,x>0

【專訓(xùn)1-2]（2023上?山東濟(jì)寧?高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)/卜）=1，則函數(shù)

ln（-x）+—,x<0

y=的零點個數(shù)是（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】由已知/'[/（x）-1]=。，

令"力-』,即〃。=0,

高中20

高中

—%?+2%=0、

當(dāng)/〉0時，得?=?；騁=2,

Jn(7)+7=0時，明顯函數(shù)g?)=in(T)+l在(口⑼上單調(diào)遞減，且

當(dāng)

t<0'

g(-l)=-l<0,g(-2)=ln2-^=ln2-lnVe>0,g(-l)g(-2)<0,

故存在qe(-2,-1),使皿一。+：=0,

-x2+2x,x>0

畫出/(x)=-g)+4<0的圖象如下'

IX

再畫出直線>=/+1,其中fe{0,2,%},

即函數(shù)y=的零點個數(shù)是5.

故選：D.

【期末熱考題型31判斷函數(shù)零點所在區(qū)間

【解題方法】零點存在性定理

【典例1】(2023上?北京?高一北京四中?？计谥?函數(shù)/(x)=gx、2x-2一定存在零點的區(qū)間是

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C