江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(3?i)(4?i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知單位向量a，b的夾角為2π3，則|A．1 B．2 C．3 D．33．i是虛數(shù)單位，則z=1A．12+12i B．124．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a=1，A=135°，則b+csinA．24 B．22 C．2 5．已知向量a=(3,?4)，b=(2,A．(3,0) B．(326．下列命題正確的是（）A．ABB．若向量a=(2023,2024)，把C．在△ABC中，AB?AC>0D．在△ABC中，若λ為任意實(shí)數(shù)，且CP=λ(|CB|?CA+|7．蘇州國際金融中心為地處蘇州工業(yè)園區(qū)湖東CBD核心區(qū)的一棟摩天大樓，曾獲2020年度CTBUH全球高層建筑卓越獎．建筑整體采用“鯉魚跳龍門”之“魚”作為象征主題，以“魚躍龍門”為設(shè)計理念，呈鯉魚飛躍之勢寓意繁榮昌盛，大樓面向金雞湖，迎水展開，如魚尾般曼妙的弧線，從水面沿裙房一直延伸至主塔樓，某測量愛好者在過國際金融中心底部（當(dāng)作點(diǎn)Q）一直線上位于Q同側(cè)兩點(diǎn)A，B分別測得金融中心頂部點(diǎn)P的仰角依次為30°，45°，已知AB的長度為330米，則金融中心的高度約為（）A．350米 B．400米 C．450米 D．500米8．在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，BF=13BC，AF與BE交于點(diǎn)G，若BA=A．27a+17b B．1二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在△ABC中，下列說法正確的是（）A．若A>B>C，則sinB．若A>B>C，則sinC．若A>B>C，則cosD．若A>B>C，則cos10．z1，zA．若z12<0B．若|z1C．若z1，z2互為共軛虛數(shù)，則z1D．若z1211．已知P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且AP=AB+λA．△PCD的面積為定值 B．?λ使得|C．∠CPD的取值范圍是[π6,π3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知a，b為兩個不共線的非零向量，若ka+b與a?2b13．△ABC中，若sin(A+π4)=?14．已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB?BC的最大值為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，且|z|=2，z（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z、z2、z?z2在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C16．已知向量OA，OB不共線，點(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB，（1）若x=y=12，則點(diǎn)P是線段（2）x+y=1是A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件．17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C滿足：A在x軸的正半軸上，C的橫坐標(biāo)是?7210，|OA|=|OB|=|OC|=1，OA（1）求cos(α?β)（2）求β?2α的值．18．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC為等邊三角形，記∠ADC=α．（1）若α=π3，求△（2）若α∈(π2,19．某高一數(shù)學(xué)研究小組，在研究邊長為1的正方形ABCD某些問題時，發(fā)現(xiàn)可以在不作輔助線的情況下，用高中所學(xué)知識解決或驗(yàn)證下列有趣的現(xiàn)象．若P，Q分別為邊AB，DA上的動點(diǎn)，當(dāng)△APQ的周長為2時，PQ有最小值（圖1）、∠PCQ為定值（圖2）、C到PQ的距離為定值（圖3）．請你分別解以上問題．（1）如圖1，求PQ的最小值；圖1（2）如圖2，證明：∠PCQ為定值；圖2（3）如圖3，證明：C到PQ的距離為定值．圖3

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：(3?i)(4?i)=11?7i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是(11,?7)，位于第四象限.故答案為：D.【分析】由(3?i)(4?i)=11?7i可知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．2．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閮蓚€單位向量a?,b所以a?故答案為：C.

【分析】利用向量的數(shù)量積計算即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：z=11?i故答案為B.【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計算出z=12+4．【答案】C【解析】【解答】解：由正弦定理可得asinA∴b+csinB+sinC【分析】直接由正弦定理可得asinA5．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知a??b所以a在b上的投影向量為a故答案為：A.【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：A.、AB?AC=B、把向量a=(2023,2024)向右平移2個單位，得到的向量的坐標(biāo)為(2023,2024)，故B錯誤；

C、由AB?AC>0可知A為銳角，但不能說明△ABC是銳角三角形，因此充分性不成立，故C錯誤；

D、因?yàn)镃P=λ(|CB|?CA+|故答案為：D.【分析】利用向量的減法運(yùn)算對A進(jìn)行判斷，利用向量平行(共線)關(guān)系的坐標(biāo)表示對B進(jìn)行判斷，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合充分條件的判斷對C進(jìn)行判斷，利用向量的加法運(yùn)算，結(jié)合平面幾何知識對D進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.7．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)金融中心的高度為h，由題意可知?tan60故答案為：C.【分析】設(shè)金融中心的高度為h，可知?tan8．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)BG=λBE，BE?=BC?+CE?=b?+12a?，

∴BG=λBE=λb+12a【分析】設(shè)BG=λBE，AG=μAF，然后再根據(jù)向量線性運(yùn)算得到9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)锳>B>C，所以根據(jù)大角對大邊得a>b>c，由正弦定理可得2RsinA>2RsinB>2RsinB、取A=75°,B=60°,C=45°，滿足A>B>C，

但sin2C=sin90°=1，故sin2C>sin2A，sin2C>sin2B，故B錯誤；

C、因?yàn)?<C<B<A<π，y=cosx在0,π上單調(diào)遞減，所以cosA<cosB<cosC，故故答案為：ACD.【分析】由正弦定理及大角對大邊即可判斷A；取A=7510．【答案】A,C【解析】【解答】解：設(shè)z1A、z12<0，即a2?b2+2abi<0，所以a=0或b=0，當(dāng)b=0時，z12=a2≥0不符合題意，故a=0，b≠0，

所以z1是純虛數(shù)，故A正確；

B、若|z1|=|z2|，則a2+b2=c2+d2，

z12=a2?b2+2abi,z【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模長公式以及復(fù)數(shù)的概念，一一判斷即可.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：如圖：

因?yàn)锳P=AB+λAFλ∈R，所以BP=λAFλ∈R，

而P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，因此點(diǎn)P在線段BE(含端點(diǎn))上運(yùn)動.

A、因?yàn)樵谶呴L為1的正六邊形ABCDEF中，BE和CD的距離為32，

所以△PCD的面積為12×1×32=34，為定值，故A正確；

B、連AC，在正六邊形ABCDEF中，直線BE是線段AC的中垂線，所以PA=PC，故B錯誤；

C、當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B(或E)重合時，∠CPD最小，最小為π6；

當(dāng)點(diǎn)P與線段BE的中點(diǎn)重合時，∠CPD最大，最大為π3，所以∠CPD的取值范圍是[π6,π3]，故C【分析】利用向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算和共線(平行)向量，結(jié)合平面幾何知識得點(diǎn)P在線段BE(含端點(diǎn))上運(yùn)動，再利用平面幾何知識逐項(xiàng)判斷.12．【答案】?1【解析】【解答】解：a?，b是兩個不共線的向量，因?yàn)橄蛄縦a+所以ka?+b?=λ(a??2【分析】由向量ka+b與a?213．【答案】4【解析】【解答】解：因?yàn)锳∈(0,π)，A+π4∈所以A+π4∈π,5π4【分析】由題意先求出cosA+14．【答案】12【解析】【解答】解：因?yàn)椤鰽BCAB→?BC→=|AB|?|BC|?cos?(π?B)=?4sin?Csin?Acos?B

若AB?BC的值最大，則π2<B<π，【分析】AB→15．【答案】（1）設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則|z|=a2+因?yàn)閨z|=a2+所以a2解得：a=1b=1或a=?1又復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，所以a=1b=1，故（2）因?yàn)閦=1+i，所以z2=(1+i)所以A(1,1)，B(0AB【解析】【分析】(1)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的式子，根據(jù)已知條件列出方程組求解即可；(2)寫出所給的三個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．16．【答案】（1）證明：因?yàn)閤=y=12的，所以O(shè)P=所以O(shè)P?OA所以P是線段AB的中點(diǎn)（2）證明：充分性：若x+y=1，則y=1?x，所以O(shè)P=x所以O(shè)P所以BP=x(所以A、B、P三點(diǎn)共線必要性：因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)x滿足：BP所以O(shè)P?OB所以O(shè)P=x所以x+y=1綜上所述，x+y=1是A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件【解析】【分析】(1)利用平面向量線性運(yùn)算求得AP=(2)利用平面向量共線定理與三點(diǎn)共線，從充分性和必要性兩方面求證即可.17．【答案】（1）解：因?yàn)閨OA|=|OB所以O(shè)A?所以cosα=又α為銳角，所以sinα=因?yàn)殁g角β的終邊與單位圓O的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是?7所以cosβ=?72所以cos（2）解：由（1）知sinα=255，cosα=所以sin2α=2cos所以sin因?yàn)棣翞殇J角，所以0<α<π2，所以又cos2α<0，所以又β∈(π2,所以β?2α=π【解析】【分析】(1)利用數(shù)量積求出cosα，sinα，由三角函數(shù)的定義求出cosβ(2)利用二倍角公式和兩角差的正弦求sin(β?2α)18．【答案】（1）解：在△ACD中，由余弦定理得，AC所以AC=3，所以∠DAC=90°又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AB=AC=3，且∠BAD=∠BAC+∠DAC=150°所以S（2）解：不妨設(shè)∠DAC=β．在△ACD中，由余弦定理得，ACcosβ=在△ACD中，由正弦定理，ACsin∠ADC=所以sinβ=所以S=1又因?yàn)棣痢?π所以α?π所以sin(α?即△ABD的面積的取值范圍為(2+【解析】【分析】(1)利用余弦定理和三角形的面積公式求解即可；(2)利用正弦定理、余弦定理、三角恒等變換和三角形的面積公式求得S△ABD=sin19．【答案】（1）解：設(shè)∠QPA=θ，因?yàn)椤鰽PQ的周長為2所以PQ所以PQ=2因?yàn)棣取?0所以22所以1<2所以PQ=即PQ的最小值為22（2）解：設(shè)∠PCB=α，∠QCD=β，則PB=tanα，所以AP=1?tanα，AQ=1?因?yàn)椤鰽PQ的周長為2，所以2=1?tan所以tan即tan(α+β)=1因?yàn)?<α<π2，所以0<α+β<π，所以α+β=所以∠PCQ=