2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)二模分類匯編：三角函數(shù)與解三角形（解析版）

專題05三角函數(shù)與解三角形-2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)

二模分類匯編-山東專用(解析版)

一、單選題

1.(2024?山東?二模)若/(x)finx是周期為兀的奇函數(shù)，則可以是()

A.sinxB.cosxC.sin2rD.cos2x

【答案】B

【分析】結(jié)合選項(xiàng)，利用三角恒等變換的公式化簡，應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可

求解.

【詳解】由題意，若〃x)=sinx,則/'(x).sinx=sin2x為偶函數(shù)，不符合題意；

若y(x)=cosx,則“x)-sinx=；sin2無，奇函數(shù)且周期為萬，符合題意；

若/(x)=sin2x,則〃尤)-sinx=2cosxsin2x為偶函數(shù)，不符合題意；

若/(x)=cos2x,貝I]/(尤)?5[!1尤=5111左一251113%周期為2萬，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，

著重考查了推理與運(yùn)算能力.

2.(2024.山東濟(jì)南.二模)質(zhì)點(diǎn)P和。在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓。上逆時(shí)針作

勻速圓周運(yùn)動，同時(shí)出發(fā).尸的角速度大小為2rad/s,起點(diǎn)為圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)；。的

角速度大小為5rad/s,起點(diǎn)為圓O與射線y=Yx(x>0)的交點(diǎn).則當(dāng)Q與產(chǎn)第2024次重合

時(shí)，尸的坐標(biāo)為()

(2兀.2兀、(5兀.5兀、(兀.兀、

A.cos—,sin—B.—cos—,-sin—C.cos—,—sin一

(99)(99J{99)

(兀.兀、

D.^-cos-,sin-J

【答案】B

【分析】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為人則重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cos2t,sin2。，通過題意得到

;一+巳化的，結(jié)合周期性即可得解.

【詳解】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為處則重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cos2f,sin2。,

由題意可知，兩質(zhì)點(diǎn)起始點(diǎn)相差角度為:，

則5/-2/=2也+三仕eN),解得/=卑+￡(左eZ),

若4=0,貝肝=1,則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，。sg,sing),

若左=1,則，=等，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cosq^,sinq^J,即1-(：05m,-5吊曰

71.兀

若4=2,則/=丁，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為［os

9,9

當(dāng)。與尸第2024次重合時(shí)，左=2023,貝卜=1土2139產(chǎn)71，

w工人24278兀,24278兀、<5兀.5兀、

則重合點(diǎn)坐標(biāo)為Icos---,sin---I,Hgpl-cosy,-sinyI.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為人得到重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cos2/,sin2/),

結(jié)合角度差得到，=等+^^eN),根據(jù)三角函數(shù)周期性以及誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)即可.

3.(2024?山東棗莊.模擬預(yù)測)已知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,

終邊經(jīng)過點(diǎn),則cos(aqj=()

A.0B.-C.—D.B

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sina,cosa,再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)槭奋踩?!5),即尸q,岑］,

即角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸，所以sincc——，coscc=-

22f

所以cosa——=cosacos—+sincrsin—=—x-—?F——x—=——.

6j6622222

故選：D

4.(2024?山東棗莊?模擬預(yù)測)在VABC中，ZACB=120°,BC=2AC,。為VABC內(nèi)一點(diǎn),

AD±CD,ZBDC=120。,貝!jtanZACD=()

3A/3

A.272~rC.A/6

【答案】B

試卷第2頁，共28頁

【分析】在Rt?4)C中，設(shè)NACE＞=。，AC=x,即可表示出CB,CD,在△38中利用正

2x_xcos0

弦定理得到理=sin(6-60。),再由兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切,

即可得解.

【詳解】在中，設(shè)NACD=90＜。＜3,令A(yù)C=x(x〉0),

在△5CD中，可得NBCD=120?！?，NCBD=6—60。，

BCCD

由正弦定理

sinZCDBsinZCBD

2x%cos0xcosd

得逅-sin(。-60。)

-sin6>--cos6>

~222

41

所以0一1a百

—tan8----

22

可得tan0=XZ,即tanZACD=.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系，從而通過設(shè)元、轉(zhuǎn)化到△5CD中

利用正弦定理得到關(guān)系式.

5.(2024?山東淄博?二模)設(shè)/￡(03)，若sina=3sin(a+20,tan,則tan(a+2￡)=

22

()

A.一比B.叵C.一變D.交

4422

【答案】A

【分析】先對sina=3sin(a+20變形，進(jìn)而表示出tan(a+2〃)，再代值計(jì)算即得.

【詳解】由sin。=3sin(a+2￡),得sin[(a+2/7)—2/7]=3sin(a+2￡),

則sin(a+24)cos2/3-cos(a+2/3)sin24=3sin(cr+2/3),即sin(a+20(cos2/3-S)=cos(a+2分)sin2尸,

一一z八八、sin2￡2sin尸cos廣2sin/7cos0tan/3

因此tan(a+20=^R

cos2P-sin2P-3cos2￡-3sin2P-2cos2^-4sin2^2tan2/3+1

也

而tan4=,所以tan(a+2夕)=-----看----=一q.

22x(爭+14

故選：A

6.(2024?山東?二模)將函數(shù)〃x)=sin(2x+T的圖象向左平移9(。＞0)個(gè)單位長度得到函

11-TT

數(shù)g(x)的圖象，若戶一?三為g(x)圖象的一條對稱軸，則。的最小值為()

O

71-5兀-7兀-2兀

A4.—B.—C.—D.—

1212123

【答案】B

【分析】本題先根據(jù)三角函數(shù)圖像平移的規(guī)則求出g(x),再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸求出。和

整數(shù)人的關(guān)系式，再對左取值即可求解.

7T7T

【詳解】由題意得：g(x)=sin2(x+-+^)=sin(2x+-+2^),

63

又因?yàn)椋?n是g(x)的一條對稱軸，

所以E+5=兀)+；+20,左￡Z,

即。=，+/wk￡Z,下面結(jié)合選項(xiàng)對整數(shù)左取值(顯然左取負(fù)整數(shù))：

17

女=一1時(shí)，。=;兀；

k=—2時(shí)，(p=為"兀；

女=一3時(shí)，。=五兀；

左=T?時(shí)，(p=-.

12

故選：B.

7.(2024?山東濰坊?二模)將函數(shù)/(x)=cosx的圖象向右平移;個(gè)單位長度，再將所得圖象

上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到g(x)的圖象，則g(》)=()

xX

A.sin2xB.sin—C.-sin—D.cos2x

22

【答案】B

【分析】根據(jù)平移變換和周期變換的原則求解即可.

【詳解】將函數(shù)/(x)=cosx的圖象向右平移5個(gè)單位長度，

試卷第4頁，共28頁

得y=cos^x-^=sinx,

再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，

得g(x)=sin：x.

故選：B.

8.(2024?山東泰安二模)已知函數(shù)/(x)=sin(x-[,將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列結(jié)論正確的是

()

A.g(x)=2sin^|-^B.g(x)在卜上單調(diào)遞增

C.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)⑶]中心對稱D.g(x)在:4上的值域?yàn)椴泛鬁?/p>

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮變換可得g(x)=2sin(2x-7),結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性

4

質(zhì)，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：將/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，

得到函數(shù)g(%)=2sin(2x-:)，故A錯(cuò)誤；

4

71

B：由選項(xiàng)A可知g(x)=2sin(2x——),

4

由o<x</得

2444

所以函數(shù)g(%)在(-若)上單調(diào)遞增，在《苧上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

C：由選項(xiàng)A可知g(x)=2sin(2x—/),則^(^)=2sin(2x=2sin0=0,

4oo4

所以函數(shù)g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)4,0)中心對稱，故C正確；

O

D：由選項(xiàng)A可知g(x)=2sin(2x—：),由二KxV二得個(gè)“2%-

444444

所以—也Ksin(2>二)<1,貝卜血"(九)42,即g(x)的值域?yàn)閇-&⑵，故D錯(cuò)誤.

24

故選：C

9.(2024.山東臨沂.二模)已知函數(shù)“*=配(2%+協(xié)(刨<])圖象的一個(gè)對稱中心為修0]

則()

A./（X）在區(qū)間-95上單調(diào)遞增

OJ

B.%=?是〃苫）圖象的一條對稱軸

0

TTTT

C./（%）在-了1上的值域?yàn)門

2

D.將/（X）圖象上的所有點(diǎn)向左平移,個(gè)長度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

【答案】D

【分析】借助整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得A、B；結(jié)合正弦函數(shù)最值可得C；得到

平移后的函數(shù)解析式后借助誘導(dǎo)公式即可得D.

【詳解］由題意可得2X￡+°=E（左eZ）,解得9=__|+EHeZ）,

又Mlg，故夕=一］，即〃x）=sin（2x_|J；

3

7171,_717兀兀

對A：當(dāng)無€--,一時(shí)，2x—￡-----,一,

O33123

77r7T

由函數(shù)y=sinx在-石■,§上不為單調(diào)遞增,

TTJT

故/(x)在區(qū)間-gy上不為單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤;

o

5兀.71471

對B：當(dāng)天=亭時(shí),2x----=——

633

4兀

由X=彳不是函數(shù)y=sinx的對稱軸，

故苫=S?ir不是"X）圖象的對稱軸，故B錯(cuò)誤;

6

71兀71,_712K71

對C：當(dāng)X-,‘彳4時(shí)’2%-ie-T'6，

3

，故c錯(cuò)誤;

對D：將〃x）圖象上的所有點(diǎn)向左平移，個(gè)長度單位后,

.?5兀71

nJy=sinI2x+2x—；J=sin[2x+；卜cos2x,

2

該函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故D正確.

故選：D.

TT

10.（2024?山東臨沂?二模）若實(shí)數(shù)。，b,c滿足Q=2sinw，F(xiàn)=7,3c=10,貝！J()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

試卷第6頁，共28頁

【答案】A

【分析】首先判斷\<b<2,且c=log310,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得c>2,即可判

斷.

TT7T

【詳解】因?yàn)閍=2sin—<2sin—=1,

126

又3=7,則且1〈而〈我=2,即1<6<2,

因?yàn)?°=10,所以。=1。8310>1。839=2,

所以c>6>a.

故選：A

11.（2024?山東聊城?二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2,ZB=2ZD=120°,

記VABC與AACD的面積分別為H.S?,則Sz-H的值為（）

A.2B.J3C.1D.—

2

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦定理得BC'-AC2=-28C-4、CD2-AC2=2CD-4,兩式相減可得CD-3C=2,

由三角形的面積公式得Sz-岳=q（CD-BC）,即可求解.

【詳解】在VABC中，由余弦定理得cos8=眼土畫衛(wèi)二，

2ABBC

即」=4+—不,得BC2-AC?=-2BC-4①，

24BC

在AACD中，由余弦定理得85。=絲衛(wèi)士W二，

2ACCD

即工=一上空，得a）2_AC2=2CD_4②，

24CZ）

又工=-ABBCsinl20°=—BC,S=-ADCZ>sin60°=—CD,

'222222

由②一①，得CD?-BC?=2(CD+BC),由CD+5C>0,

得C?_5C=2,代入③得S2—S]=g.

故選：B

12.（2024.山東濱州.二模）已知函數(shù)/⑶=sin[ox+A（0>O）在[0,2可上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，

直線尤=《為函數(shù)y=/（x）圖象的一條對稱軸，貝1卜（）

A.B.--C.-D."

2222

【答案】C

兀

【分析】以+=為整體，根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)可23得三29結(jié)合對稱性可得。=2,進(jìn)

61212

而可求

【詳解】因?yàn)榭凇?,且工￡[0,2可，貝+,

6|_6o

兀

由題意可得：4兀42兀。+—<5兀，解得2‘3《公<29二，

61212

又因?yàn)橹本€x=2為函數(shù)y=/（無）圖象的一條對稱軸，

則二0+工=祈+工,AeZ,解得0=6左+2,々eZ,

662

可知左=0,g=2,即/(%)=sin12x+—j,

71.711

?！?sin—=—

662

故選：C.

TTITJT7T

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以。X+B為整體，可得。x+》e-,27T?+-,結(jié)合正弦函數(shù)零點(diǎn)分

6OLoo

IT

析可知右端點(diǎn)2兀0+7的取值范圍，進(jìn)而可得。的取值范圍.

O

13.（2024.山東荷澤.二模）已知函數(shù)/（x）=2sin（2x+e1|d<fj,且sin夕一geos。_2

6sine+J§cos09

若"x）=T在曲2兀]上有〃個(gè)不同的根石,％,…,x,,則的值是（）

A.0B.-73C.73D.不存在

【答案】B

試卷第8頁，共28頁

【分析】由題意可得〃x)=2sin(2x+「，利用方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的關(guān)系，得,

從而可得tanLJ的值.

【詳解】由①幸組=二，得tan0=^=0

6sin°+，3cos°9cos。3

又鬧苫，所以

即f(x)=2sin+0，

若〃x)=g，則si“2x+jq,

當(dāng)x￡[0,2兀],21+巴￡—,

6|_66J

3

所以“X)=5在[0,2可上有4個(gè)不同的根網(wǎng),馬，尤3/4，

故選：B

二、多選題

14.(2024?山東淄博?二模)已知函數(shù)/(X)=2COS(S+9)[O<G<6,詆N*,0￡1O,3],滿

足：VxeR,/⑴-/仁卜。成立，且“X)在(0,j上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則下列說法正

確的是()

A.函數(shù)的最小正周期為兀

B.函數(shù)〃x)在區(qū)間。今]上單調(diào)遞減

C.函數(shù)〃x)的一個(gè)對稱中心為

兀

D.函數(shù)了X--是奇函數(shù)

【答案】BCD

【分析】依題意可得了［鼻］為最大值，則得。=-g0+2far,&eZ,再由f（x）在上有且

僅有2個(gè)零點(diǎn)，可3冗得7T三5冗再結(jié)合的范圍可出的值，從而可求出“X）

的解析式，然后逐個(gè)分析判斷即可.

71兀

【詳解】因?yàn)閂xeR,/?-/4。恒成立，所以/'（x）的最大值為，

兀71

所以一g+0=2kR,左EZ,即。=—a)+2E,左￡Z,

當(dāng)XW（。春時(shí),cox+(p^\cp:8+(p,又好詞

因?yàn)?（X）在（0,二上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以曰手,

37r7TJr57r37rSir

所以三〈二。一二BP—<2fot<—,^eZ,得左=1,

233222

71

所以0=—+2TI,

因?yàn)镺<0<6,oeN*,9所以0=5,°=；,

所以/(x)=2cos[5x+g)；

對于A：函數(shù)〃x）的最小正周期T=（,故A錯(cuò)誤；

對于B：當(dāng)時(shí)，5x+§e（2兀,又y=cosx在上兀,7-］上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)〃x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；

對于C：因?yàn)?（-Fj=2cos［-g+：］=2cos［-］j=0,

所以函數(shù)〃x）的一個(gè)對稱中心為［-荒，0），故C正確；

=2cos5x~~=-2sin5x,為奇函數(shù)，故D正

I2

確.

故選：BCD

15.（2024?山東.二模）已知函數(shù)/（x）=sinxjcosx|,則（）

A./（尤）是奇函數(shù)B.7（元）的最小正周期為兀

試卷第10頁，共28頁

的最小值為JT

c.-gD.在0,-上單調(diào)遞增

【答案】AC

【分析】對于A,直接用奇函數(shù)的定義驗(yàn)證；對于B,直接說明兀不是周期；對于C,利用

正弦二倍角公式證明-g,再由=可得最小值；對于D,直接計(jì)算得到

=即可否定結(jié)論.

【詳解】對于A,函數(shù)/'(>)定義域?yàn)镽,有/(-x)=sin(-x)jcos(-x)|=-sinxjcosx|=-〃x),

所以/'(x)是奇函數(shù)，A正確;

71

所以/［一:+兀,這表明兀不是“X)的周期，B錯(cuò)誤;

對于C,我們有y(x)=sinxJcosX>-|sinxcosx|=-Jsin2x\>

而之前已計(jì)算得到,故〃x)的最小值為-;，C正確；

對于D,由于=sin］.cos5=0,/(0)=sin0-|cos0|=0,

故/［、)=/(。)，所以/(x)在0,］上并不是單調(diào)遞增的，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

16.(2024?山東日照?二模)已知函數(shù)/(%)=Asin(@x+o)(A>O,o>O,O<0<7r)的部分圖象

如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與f(尤)的圖象交于M,N兩點(diǎn)，且河在y軸上，則下列命題正

A.函數(shù)〃x)的最小正周期是兀

B.函數(shù)/(x)在卜上單調(diào)遞減

C.函數(shù)的圖象向左平移白個(gè)單位后關(guān)于直線X=$對稱

12.乙

D.若圓C的半徑為普，則/（元）=與sin（2尤+日

126V3

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，先求出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出最小正周期，A正確；B選項(xiàng)，求出口=7=2,

得到特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到0=方，得到函數(shù)解析式，整體法得到/（X）在，普，-三）上不單

調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，求出向左平移已個(gè)單位的解析式，代入檢驗(yàn)得到C正確；D選

項(xiàng)，由=和勾股定理得到|OM|=￡,代入［o,：］求出A=摯，得到函數(shù)解析式.

12414/6

N2TI

【詳解】A選項(xiàng)，由對稱性可知。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為u+§_兀,

2

設(shè)“X）的最小正周期為T,則=1一,力=］，解得T=兀，A正確；

2兀

B選項(xiàng)，因?yàn)??>0,所以刃=亍~=2,

/\

7171

點(diǎn)3萬$，4在圖象上，即點(diǎn)片|，4）在圖象上，將其代入函數(shù)解析式得Asin［+Q=A,

\7

又。<。<兀，故。+0=，解得。=方，

62

故〃X）=Asin12x+：）,

、［,7兀71,5兀兀兀

當(dāng)---<x<——時(shí)，----<2x+—<——,

123633

又A>0,y=sinz在上不單調(diào)，

故函數(shù)“X）在［-1,-］上不單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，函數(shù)/（x）的圖象向左平移白個(gè)單位后得到

g(x)=A=Asin2x+—=Acos2x

S叩,+*I2

其中■卜故（）關(guān)于直線］對稱,

g1|ACOSTI=-A,gxX=c正確;

D選項(xiàng)，若圓C的半徑為三，即|CM|=三,

試卷第12頁，共28頁

又見=?故解得

所以將?代入〃x)=Asin(2x+gJ中得，Asin產(chǎn)，解得4=售

貝1J/(x)=^^sin[2x+mj,D正確.

故選：ACD

17.(2024?山東聊城?二模)己知函數(shù)

f(x)=sin^2x+^J^<x<y^|,g(x)=cos^2x+^J-^|<x<^,則下列結(jié)論正確的是

()

A.若動直線—機(jī)與/(x),g(x)的圖象的交點(diǎn)分別為AB,則|A國的長可為坐

B.若動直線丫=〃嗚〃x),g(x)的圖象的交點(diǎn)分別為43,貝U|A5|的長恒為；

C.若動直線y=±加與〃x),g(x)的圖象能圍成封閉圖形，則該圖形面積的最大值為T

3(〃%)兀)--A/5

D.若/(%)=W,

【答案】BCD

【分析】先判斷函數(shù)f(%),g(x)的單調(diào)性及值域，由條件確定加的范圍，設(shè)點(diǎn)A8的坐標(biāo)分

別為(冷山),伍,加)，列方程化簡可得，由此判斷AB,判斷直線y=±加與/(x),g(x)

的圖象能圍成封閉圖形的形狀，結(jié)合面積公式判斷C,由條件/(%)=；,結(jié)合兩角差余弦公

式可求cos2人,根據(jù)二倍角公式可求cos7%,由此判斷D.

【詳解】由尋，可得342彳+24孚，

63262

所以“X)在區(qū)間雪上單調(diào)遞減，

所以

由一±Wxv2,可得0W2x+至4兀，

12126

所以函數(shù)8⑴在區(qū)間-展，1^上單調(diào)遞減，

715兀

且g(無)4g=cosO=l,/(%)>/COS71=-1,

12

所以—l(g(x)Wl,

由已知-l<m<l,

所以直線丫="與函數(shù)y=/(x),y=g(x)都只有一個(gè)交點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為(西,7九),(々,〃2),

TT371

因?yàn)楹瘮?shù)〉=5缶_￥在上單調(diào)遞減，

所以2Al+^=§+2%,

63

JI

所以石一兀2=W'

所以|4用=J(X]-毛『+(初一")2=%一勾=：，A錯(cuò)誤，B正確,

設(shè)直線y=一%與函數(shù)丁=〃力4=8(”的交點(diǎn)為口。，

則|C￡>|=:,又AB//CD,

所以四邊形ABDC為平行四邊形，其面積5=；、2|制45，C正確;

4112

試卷第14頁，共28頁

所以cos2m0=§

所以2cos2m0

所以cm-2岳-小

VKJor/to—

10

恤71=COS7%=馬與產(chǎn)，D正確;

所以gT-12

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題AB選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到A,B點(diǎn)橫坐標(biāo)之間

的關(guān)系，即為-%=1TT.

三、填空題

18.（2024.山東棗莊.模擬預(yù)測）寫出函數(shù)/（幻=$缶犬85》+1圖象的一條對稱軸方程.

【答案】X=?（答案不唯一）

4

【分析】利用二倍角公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.

IjrjrKTT

【詳解】易知/（%）U,SinZx+l,所以2%=Q+E（左EZ）=>%=1+萬（左cZ）,

TT

不妨取左=0,貝=

4

jr

故答案為：尤=:（答案不唯一）

19.（2024?山東淄博?二模）三棱錐P-ABC中，平面己45_L平面A8C,且側(cè)面是邊長

為2的等邊三角形，底面A8C是以C為直角的直角三角形，則該三棱錐外接球的半徑為

【答案】正亡也

33

【分析】根據(jù)面面垂直關(guān)系得到CD，面ABC,通過長度關(guān)系可求得AR4s外接圓圓心。到

四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，可知。即為外接球的球心，從而可得外接球半徑，進(jìn)而求得表面積.

【詳解】由題意，三棱錐尸-ABC即三棱錐作圖如下，

取中點(diǎn)。，設(shè)。為VABC外接圓圓心，

V&PAB為邊長為2的等邊三角形，

在上，AOD=-PD=-^22-l2=—,

333

OP=OA=OB=-PD=—,

33

又VABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以

在Rt2\AC3中，8=工"=1,

2

?.?面ABC_L面/MB,面PABc面ABC=AB,CDu面C4B,\C0A面RW,PDu面E4B,

CD±PD,

^OP=OA=OB=OC,

二O即為三棱錐P-ABC外接球的球心，且外接球半徑7?=|A/3.

故答案為：友.

3

試卷第16頁，共28頁

20.（2024?山東?二模）在VABC中，內(nèi)角A氏C的對邊分別為a,b,c,垃3+廿-c）=absinC,

且c=l,則VABC面積的最大值為.

【答案】縣

4

【分析】先由已知條件結(jié)合余弦定理和si/C+cos2c=l,C?0㈤求出sinC,cosC,再由余

弦定理結(jié)合基本不等式求出而最大值，即可由正弦定理形式面積公式求出面積最大值.

【詳解】因?yàn)閼?yīng)（/+〃-c2）=“6sinC,

所以由余弦定理2"cosC-a2+&2-c2，得2拒abcosC=absinC

所以sinC=272cosC,又sin2C+cos2C=1,CG（0,K）,

貝!JsinC=2應(yīng),cosC=->

33

所以由余弦定理以及基本不等式得:

lab_7lab4ab

l=a2+b2-2abcosC=a2+b2------>lab--------

333

即abW：,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=走時(shí)等號成立，

42

所以SABc=^absinC=3a6W^，即VABC面積的最大值為正,

MBC2344

故答案為：立.

4

21.（2024?山東濰坊?二模）在VABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c,其外接圓半徑

為1,sin2A+sin2B+sin2C=l,則VABC的面積為；當(dāng)A取得最大值時(shí)，貝U

/-8Q=?

【答案】1/0.5-4

【分析】空1：禾U用正弦定理和三角形面積公式得ga6sinC=2sinAsinBsinC,再利用誘導(dǎo)

公式和兩角和的正弦公式和二倍角公式即可得4sinAsin3sinC=l,則得到三角形面積；空

2

2：利用正弦定理和面積公式得歷=—,再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案.

a

【詳解】由正弦定理得二=3=二=2氏=2,貝IJa=2sinA》=2sinB,

sinAsmBsmC

則S=-^absinC=2sinAsinBsinC.

sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sinIB+sin[2?—2（A+5）],

=sin2A+sin2B—sin(2A+2B)

=sin2A+sin2B-(sin2Acos2B+cos2AsinIB)

=sin2A(1-cos23)+sin2B(1-cos2A)

=4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A

=4sinAsinB(cosAsinB+sinAcosB)

=4sinAsinBsinC=1,

則LBC=2X：＜

sinA=—=—,S

2R2ABC

〉2bc-a2_]/_]"3

則COSAJ+C?2

2bc2bc2bc4

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等,

因?yàn)?40,兀），貝!]cosA最小時(shí)，A最大,

即1=12—ija,即4=a（8—a'）,即8a=T.

故答案為：—;—4.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一空的關(guān)鍵是利用三角恒等變換對題目給的等式化簡得

4sinAsinBsinC=l,第二空的關(guān)鍵是利用余弦定理和基本不等式從而得到角A最大時(shí)的臨

界狀態(tài).

22.（2024?山東泰安?二模）已知在矩形ABC。中，AB=\,AD=6動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓

心且與8。相切的圓上，則通的最大值為:若Q=荏+〃亞（加,〃eR）,

則m+n的最大值為.

【答案】|3

【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（qcose+G,

^sin。），即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值，由

AP=mAB+nAD（m,n&R）,求出私〃，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.

試卷第18頁，共28頁

【詳解】如圖：以8為原點(diǎn)，以班BC所在的直線為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則8(0,0),4(0,1),D(V3,1),C("o),AD=(5^,0)

動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與30相切的圓上,

設(shè)圓的半徑為「，

...BC=6,CD=1,:.BD=J(呵+1?=2

：.-BCCD=-BDr,

22

,舊

..V——，

2

圓的方程為(X-石產(chǎn)+>2=。，

4

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為sin&),3G[0,2K]

故萬.亞的最大值為會Q

?.?AP=mAB+nAD[m,neR),AB=(0,-1),

*ose+?%n”l

:.AP==m(0,-l)+n(6,0)=,

7

I

—cos^+1=n,-——sin9+l=機(jī),

22

.?.機(jī)+〃=gcos0-sin6+2=cos(6+y)+2,

TT

?/-l<cos(6>+-)<1,

故根+〃的最大值為3,

9

故答案為：—,3

四、解答題

23.（2024?山東濟(jì)南?二模）如圖，已知平面四邊形ABCD中，AB=BC=2?CD=2,AD=4.

⑴若A,民C,。四點(diǎn)共圓，求AC；

⑵求四邊形ABCD面積的最大值.

【答案】（1）AC=3&

（2）3x/7.

【分析】（1）在VABC、AACD中分別利用余弦定理表示出AC?,再由四點(diǎn)共圓得到

cosZADC=-cosZAFC,即可求出AC；；

1S

（2）由（1）BTWcosZADC-cosZABC=-,再由面積公式得到sinNAr>C+sin/ABC=—,

44

1+S2

將兩式平方再相加得到2-2cos（ZADC+/ABC）=,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

16

【詳解】（1）在VABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

=8+8-2x8-cos/ABC=16-16cos/ABC,

在j4CD中，由余弦定理得：AC2AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4-2x8-cos^ADC=20-16cos^fADC,

因?yàn)锳,8,C,O四點(diǎn)共圓，所以/AfiC+/ADC=jr,因此cos/ADC=-cos/ASC,

上述兩式相加得：2AC2=36，所以AC=3夜（負(fù)值已舍去）.

（2）由（1）得:16-16cosZABC=20-16cosZADC,

化簡得cosZADC-cosZABC=-,

4

則cos2ZADC-2cosZADCcosZABC+cos2ZABC=-!-①，

16

四邊形ABCD的面積5=-AB-BCsm^ABC+-AD-CDsm^ADC

22

=-x2^x20sinNABC+-x2x4sin,ADC

22

試卷第20頁，共28頁

=4(sin^ADC+sin^ABC),

整理得sinZADC+sinZABC=-,

4

q2

則sin?ZADC+2sinZADCsinZABC+sin2ZABC=—②

16

1+S2

①②相加得：2-2(cosZADCcosZABC-sinZADCsinZABC)=

16

1+S2

即2-2cos(ZADC+ZABC)=

16

由于0<NADC<兀,0</ABC<it,

所以當(dāng)且僅當(dāng)/ADC+NABC=7T時(shí)，cos（NADC+NABC）取得最小值—1,

此時(shí)四邊形ABC。的面積最大，由上慳=4,解得5=3近，

16

故四邊形ABCD面積的最大值為.

24.（2024?山東濟(jì)南.二模）如圖，在平面四邊形ABC。中，BCLCD,AB=BC=g

⑴若，=120。，">=3,求/WC的大??；

（2）若CD=a，求四邊形ABC。面積的最大值.

【答案】(1)^ADC=45°

⑵若+2

【分析】（1）在VWC中，利用余弦定理可得AC=卡,由等腰三角形可得NBC4=30。,

然后在△ADC中利用正弦定理即可求解;

（2）利用勾股定理求得=2