2024年中考數(shù)學二輪題型突破專練：三角形全等與相似（專項訓練）

類型一三角形全等與相似（專題訓練）

1.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，AB//DE,AB=DE,AF=DC.求證:

ZB=ZE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZA=ZD,然后證明AC=DF,證明△ABCmADEFlSAS）,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：

ZA=ZD,

'：AF=DC,

：.AF+CF=DC+CF

即AC=DF

在AABC與中

AC=DF

<ZA=ZD,

AB=DE

：.AABC^ADEF（SAS）,

；?ZB=ZE.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關鍵.

2.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證：AB=CD.

BD

【答案】見解析

【分析】根據(jù)已知條件得出NAO8=/COD,進而證明根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：?.?NA8=NCOB,

ZAOD-NBOD=ZCOB-乙BOD,

即ZAOB^ZCOD.

在和△COD中，

OA=OC,

<NAOB=ZCOD,

OB=OD,

:.AAOB'COD

AB=CD.

【點睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎知識，考查幾何直觀、

推理能力等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

3.（2023?全國?統(tǒng)考中考真題）如圖，點C在線段BO上，在“LBC和ADEC中，

ZA=ZZ）,AB=DE,NB=NE.

求證：AC^DC.

【分析】直接利用ASA證明△ABCTADEC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.

【詳解】解：在AABC和ADEC中，

ZA=ZD

<AB=DE

ZB=ZE

.".△ABC^ADEC(ASA)

AC^DC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關

鍵.

4.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB、CD相交于點O,AO=BO,AC〃DB.求證:

AC=BD.

【答案】見解析

【分析】要證明AC=BD,只要證明4AOC會△BOD,根據(jù)AC//DB可得/A=/B,/C=/D,

又知AO=BO,則可得到△AOC0△BOD,從而求得結(jié)論.

【詳解】（方法一）

,."AC//DB,

.*.ZA=ZB,ZC=ZD.

在AAOC與4BOD中

VZA=ZB,ZC=ZD,AO=BO,

.?.△AOC名△BOD.

/.AC=BD.

（方法二）VAC//DB,

/.ZA=ZB.

在AAOC-*5ABOD中，

Z=ZB

[AO=BO,

ZAOC=ZBOD

：.AAOC^ABOD.

；.AC=BD.

5.（2023?山東聊城統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，點E是邊BC上一點，且3E=C￡>,

ZB=ZAED=ZC.

A

D

BEC

（1）求證：ZEAD=ZEDA-,

⑵若NC=60。，DE=4時，求△血）的面積.

【答案】（1）見解析

（2）473

【分析】（1）由=求出ZR4E=NCED,然后利用AAS證明ABAE三ACED,可得

EA=ED,再由等邊對等角得出結(jié)論；

（2）過點E作防工AO于R根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30。直角三角形的性質(zhì)求出DF和

AD,然后利用勾股定理求出所，再根據(jù)三角形面積公式計算即可.

【詳解】（1）證明：=

/.180°-ZB=180°-ZAED,即ZBEA+ZBAE=ZBEA+ZCED,

：.ZBAE=ZCED,

ZB=ZC

在△&!￡1和△CO中，＜/A4￡=NC￡D,

BE=CD

：.△BAE^ACED(AAS),

EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA；

(2)解：過點石作AD于尸,

由(1)知E4=XD,

,?ZAED=ZC=6Q0,

：.ZAEF=ZDEF=30°,

?IDE=4,

：.DF=-DE=2,

2

：.AD=2DF=4,EF=JDE?-DF2=收-于=25

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含

30。直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關鍵.

6.如圖，BD//AC,BD=BC,點E在BC上,且=求證：ZD=ZABC.

【答案】見解析

【分析】

由題意易得NEBD=NC,進而可證△EDBgzXABC,然后問題可求證.

【詳解】

證明：

；?/EBD=NC.

,:BD=BC,BE=AC,

：.AEDB^ABC(SAS).

：.ZD^ZABC.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

7.如圖，點/、B、D、￡在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求證:

AABC^ADEF.

c

【答案】見解析

【分析】

根箍ACHDF,BCHEF,可以得到NA=NEDE,NA3C=/。防，然后根據(jù)題目中的條

件，利用/用證明乏△頌即可.

【詳解】

證明：點4B,C,D,￡在一條直線上

?；AC//DF,BC//EF

：.ZA=ZFDE,ZABC=ZDEF

在與△。即中

NCAB=ZFDE

<AB=DE

ZABC=NDEF

：.AABC^ADEF(ASA)

【點睛】

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS,ASA.

SAS.SSS,直角三角形可用班定理，但幽/、SSA,無法證明三角形全等，本題是一道較為

簡單的題目.

8.如圖，已知45=。。，ZA=ZD,AC與。3相交于點。，求證：ZOBC=ZOCB.

【答案】證明見解析

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明△A5O且△OCO,得05=0C,結(jié)合等腰三角形的性

質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】

ZA=ZD

V<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

：.AABO^ADCO(AAS),

OB=OC,

NOBC=NOCB.

【點睛】

本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角

形的性質(zhì)，從而完成求解.

9.如圖，點，在上，點￡在力。上，AB=AC,ZB=ZC,求證：B氏CE

【答案】證明見詳解.

【分析】

根據(jù)“力弘”證明△/噲△/四然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：在△力跳'和△力切中，

Z=ZA

\AB=AC,

NB=NC

△ABE^AACD（ASA）,

：.AB=AD,

：.BD=AB-AD=AC-A^CE.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS,ASA.

4IS和班）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵.

10.如圖，在四邊形A3CD中，AD=3C,AC=應＞,AC與3。相交于點笈求證：

ZDAC=ZCBD.

【答案】見解析

【分析】

直接利用SSS證明匕△劭G即可證明.

【詳解】

解：在△/徵和中，

AD=BC

<AC=BD,

CD=DC

：./\ACD^/\BDC(S5S),

J.ZDAOZCBD.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)題意靈活運用SSS的方法.

n.如圖，在△四C中,//%=90°,點￡在然的延長線上，EDLAB于點、D,若BC=ED,

求證：CE=DB.

【分析】由“A4S”可證可得/￡=力8,AC=AD,由線段的和差關系可得結(jié)論.

【解答】證明：?.?初，45,

：.ZADE=ZACB=90°,ZA=ZA,BC=DE,

：./\ABC^J\AED(MS),

：.AE=AB,AC=AD,

：.CE=BD.

12.如圖，點。在線段劭上，且力員L〃?，DELBD,ACLCE,BC=DE.求證：AB=CD.

B

【分析】證明AZ阿絲△鹿(Z囹)，可得出結(jié)論.

【解答】證明：CABLED,EDLBD,ACLCE,

:?/ACE=/ABC=/CDE=9C,

：.ZACB+ZECD^90°,ZEC￡h-ZCED^90°,

：.ZACB=ZCED.

在△2比和△。應中，

Z-ACB=MED

BC=DE,

/ABC=Z.CDE

:■△ABSACDE(ASA)f

：.AB=CD.

13.如圖，點〃在Z6上，點片在/。上，AB=AQZB=ZG求證：BD=CE.

【分析】要證只要證明即可，而證明△/跆則可得小/￡.

【解答】證明：在△力龐與△/繆中

Z.A=Z.A

AB=AC,

=zC

:.XAB-XACD.

：.AD=AE.

：.BD=CE.

14.如圖，/B=NE,BF=EC,AC//DF.求證：△ABC^DEF.

BE

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出NZ*=N"無進而利用全等三角形的判定定理ASA,

進而得出答案.

【解答】證明：???力勿加；

/ACB=/DFE,

*：BF=CE,

：.BC=EF,

2B=乙E

在和△頌中，\BC=EF,

.^ACB=乙DFE

:■△ABSADEF(ASA).

15.如圖，AC平分/BAD,AB=AD.求證：BC=DC.

【分析】由(iSASv可證△力比2△/%,可得比

【解答】證明：???〃:平分N為〃

：.ZBAC=ZDAQ

又?：AB=AD,AC^AC,

:.XABMXADC(SAS),

：.BC=CD.

16.如圖，已知AB〃CD,AB=CD,BE=CF.

求證：

(1)XAB乂△DCE,,

(2)AF//DE.

B

【分析】

(1)先由平行線的性質(zhì)得N6=NG從而利用弘S判定

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得//期=/龐4由等角的補角相等可得//也=/頗，再由

平行線的判定可得結(jié)論.

【解答】

證明：(1)-：AB//CD,

：.ZB=ZC,

,：BE=CF,

：.BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

在△/郎和△〃四中，

AB=CD

斗B=ZC,

、BF=CE

：.^ABF^/\DCE(S4S)；

(2),:XABF會XDCE,

：.AAFB=/DEC,

：.ZAFE=ADEF,

：.AF//DE.

17.如圖，點C、E、F、6在同一直線上，點從〃在6。異側(cè)，AB//CD,AE=DF,NA=ND.

(1)求證：AB=CD；

(2)若AB=CF,Z^=40°,求/〃的度數(shù).

L

D

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N8=NG根據(jù)陰S推出△/龐絲△〃爪根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得出即可；

(2)根據(jù)全等得出/8=徽BE=CF,/B=/C,求出推出N-NCE9,即可求出

答案.

【解答】

(1)證明：YAB//CD,

：?/B=4C,

在△力龐和中，

乙4=乙D

Z-B=Z-C,

AE=DF

:.XAB的XDCF(A4S),

:.AB=CD；

(2)解：?:XAB恒XDCF,

：.AB=CD,BE=CF,/B=/C,

???N8=40°,

：.ZC=40°

?:AB=CF,

：.CF=CD,

：.AD=ZCFD=-X(180°-40°)=70°.

2

18.已知：如圖，點6,〃在線段2￡上，AD^BE,AC//EF,3/F.求證：BODF.

:.AB=ED9

AC//EF,

：.NZ=N￡,

ZC=ZF

在和△應加中，＜ZA=ZE,

AB=ED

：./\ABC^^EDF(AAS),

：.BC=DF.

19.如圖，AB=AD,BC=DC,點、E在AC上.

(1)求證：AC平分NBA。；

(2)求證：BE^DE.

【解析】

AB=AD

(1)在與△49C中，＜AC=AC

BC=DC

：./\ABC^^ADC(SSS),

ABAG-ADAC,

即AC平分/BAD.

(2)由(1)ZBAE=ZDAE,

BA=DA

在△掰￡與△物￡中，得＜NBAE=NDAE,

AE=AE

△胡正△加￡(SAS),

:.BE=DE.

20.如圖，在△板中，段是a'邊上的中線，￡是46邊上一點，過點。作6F〃四交繆的

延長線于點F.

(1)求證：△BDE^XCDF；

(2)當ADLBC,AB=1,層2時，求4C的長.

【解析】

(1),/CF//AB,

：.ZB=ZFCD,ZBED=/F,

是5C邊上的中線，.?.班＞=8,

:.△BDE^XCDF.

(2)V/\BDE^/\CDF,

：.BE=CF=2,

：.AB=AE+BE=1+2=3.

VADLBC,BD=CD,

：.AC=AB=3.

21.如圖，BE是AABC的角平分線，在AB上取點D,使DB=DE.

(2)若NA=65。，ZAED=45°,求NEBC的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)35°

【分析】

(1)直接利用角平分線的定義和等邊對等角求出N班D=NEfiC,即可完成求證；

(2)先求出再利用平行線的性質(zhì)求出/ABC,最后利用角平分線的定義即可完成求

解.

【詳解】

解：(1)???BE平分NABC,

二ZABE=NEBC.

DB=DE,

ZABE=ZBED,

ZBED=ZEBC,

二?DEIIBC.

(2)???ZA=65。，NAED=45。,

ZADE=180°-ZA-ZAED=70°.

??,DE//BC.

ZABC=ZADE=70°.

BE平分NABC,

ZEBC=-ZABC=35°,

2

即NEBC=35°.

【點睛】

本題綜合考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本

題的關鍵是牢記概念與性質(zhì)，本題的解題思路較明顯，屬于幾何中的基礎題型，著重考查了

學生對基本概念的理解與掌握.

22.如圖，在AABC中，/4=40。，點〃￡分別在邊加，ACh,BD=BC=CE,連結(jié)

CD,BE.

(1)若Z4BC=80。，求NBDC,/4BE的度數(shù).

(2)寫出N3EC與N3DC之間的關系，并說明理由.

【答案】(1)NBDC=50。；ZABE=200■,(2)"EC+ZBDC=110。,見解析

【分析】

(1)利用三角形的內(nèi)角和定理求出NACB的大小，再利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出

NBDC,ZABE.

(2)利用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求出用含NABE

分別表示N3EC,ZBDC,即可得到兩角的關系.

【詳解】

(1)-.-ZABC=80°,BD=BC,

:.NBDC=/BCD=50。.

在△ABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

?.?NA=40。，

.?.ZACB=60°,

?;CE=BC,

:.NEBC=60°.

ZABE=ZABC-ZEBC=20°.

(2)NBEC,的關系：ZBEC+ZBDC.

理由如下：沒ZBEC=a,4BDC=/3.

在AAB石中，aZA+ZABE=40°+ZABE,

?;CE=BC,

Z.CBE—Z.BEC-a.

ZABC=ZABE+ACBE=ZA+2ZABE=400+2ZABE,

在ABDC中，BD=BC,

ZBDC+/BCD+ZDBC=2/+40。+2ZABE=180。.

”=70?！狽ABE.

,-,?+/?=40°+ZABE+700-ZABE=110°.

:.ZBEC+ZBDC^110°.

【點睛】

本題主要通過求解角和兩角之間的關系，考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等

腰三角形的性質(zhì).三角形的內(nèi)角和等于180。.三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之

和.等腰三角形等邊對等角.

23.如圖，已知43=。。，ZA=ZD,AC與。R相交于點O,求證：NOBC=NOCB.

【答案】證明見解析

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明△A5O2△OCO,得Ofi=OC,結(jié)合等腰三角形的性

質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】

Z=ND

?/<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

：.AABO^ADCO（AAS）,

OB—OC,

ZOBC^ZOCB.

【點睛】

本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角

形的性質(zhì)，從而完成求解.

24.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）在Rt^A3c中，ABAC=90°,AD是斜邊上的高.

（2）若鉆=6,BC=IO,求8。的長.

【答案】（1）見解析

（2）BZ）=y

【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出ZADB=9Q°,根據(jù)等角的余角相等,得出NBAD=NC,

結(jié)合公共角=即可得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：：/區(qū)4。=90。，AD是斜邊2c上的高.

/.ZADB=90°,ZB+ZC=90°

/.ZB+ZBAD=90°,

：.ZBAD=ZC

又?：ZB=/B

/.AABD^ACBA,

（2）\*AABD^/\CBA

.ABBD

??百一法’

又AB=6,BC=10

???加=四=羽=史.

CB105

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關鍵.

25.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，CALAD,EDLAD,點8是線段AD上的一點，且

（1）證明：AABCS/^DEB.

（2）求線段的長.

【答案】（D見解析

⑵BD=3

【分析】（1）根據(jù)題意得出NA=/D=90°,NC+ZABC=90。，ZABC+ZEBD=90°,則

NC=NEBD,即可得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】（1）證明：：AC，AREOLA。，

ZA=ND=90°,ZC+ZABC=90°,

'：CE1BE,

：.ZABC+ZEBD=90°,

：.ZC=ZEBD,

AABCSADEB；

(2).:公ABCs^DEB,

,ABAC

"~DE~~BD，

-：AB=8,AC=6,DE=4,

?

,?4-BD'

解得：BD—3.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關鍵.

26.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD中，點E是的中點，連接CE并延

長交54的延長線于點?

（1）求證：AF=AB；

（2）點G是線段AF上一點，滿足/FCG=/FCD,CG交AD于點8,若AG=2,FG=6,求

G”的長.

【答案】（1）見解析

（2）1

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得至〃8,AB=CD,證明VAEF=VOEC（ASA）,

推出AF=C￡>,即可解答；

（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明GC=G/=6,再通過（1）中的結(jié)論得到。C=AB=AF=8,

最后證明△AGASA。”，利用對應線段比相等，列方程即可解答.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

:.ZEAF^ZD,

?.?E是的中點,

AE=DE,

?.?ZAEF=/CED,

:AAEF.DEC(AS0,

：.AF=CD,

.\AF=AB；

(2)解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

,\DC=AB=AF=FG+GA=8fDC〃FA,

??.ZDCF=NF,ZDCG=ZCGB,

?.?NFCG=NFCD,

.\ZF=ZFCG9

：.GC=GF=6,

?.?NDHC=ZAHG,

:./\AGH^ADCH,

.GHAG

'~CH~~DC'

^.HG=x^CH=CG-GH=6-x,

可得方程Y;=[2,

6-x8

解得尤q,

即的長為號.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，熟練運用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關鍵.

27.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中,對角線AC與8。相交于點。,

ZCAB=ZACB,過點B作交AC于點E.

D__________C

西

（1）求證：ACJ.BD；

⑵若A5=10,AC=16,求OE的長.

【答案】（1）見詳解

（2）1

【分析】（1）可證AB=CB,從而可證四邊形ABCD是菱形，即可得證;

（2）可求02=6,再證可得空=也，即可求解.

BOA0

【詳解】（1）證明：???NC4B=NACB,

/.AB=CB,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

「?四邊形ABCD是菱形，

:.AC±BD.

（2）解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

.\OA=-AC=S

2f

vACABD,BE上AB,

/.ZAOB=Z.BOE=ZABE=90°,

:.OB7AB2-OB2

=V102—82=6,

-,?ZEBO+ZBEO=90°,

ZABO-^-ZEBO=90°,

:./BEO=ZABO,

:AEBOS小BAO,

.EOBO

,?茄一茄’

.EO_6

9

解得：OE=-.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定

及性質(zhì)，掌握相關的判定方法及性質(zhì)是解題的關鍵.

28.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點樂F、G、”分別是YABCD各邊的中點，連

接"、C石相交于點連接AG、⑦相交于點N.

H

AD

BFC

(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

(2)若口4WCN的面積為4,求YABCD的面積.

【答案】(1)見解析

⑵12

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點平分線段，推出四邊形AECG,四邊形

AFCH均為平行四邊形，進而得到：AM//CN,AN//CM,即可得證；

SHN1S1

(2)連接〃G,AC,跖，推出甘A皿NH=方^=3，/F”MC=5,進而得到

JAN”+S△尸MC=5(￡ANC+S?MC)=]SOAMCN=2,求出

^uAFCH=S小.+S+MC+S口AMCN=2+4=6,再根據(jù)S口ABCD=2sQ4FC”，即可得解.

【詳解】(1)證明：：YABC。，

AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,

???點E、F、G、?分別是YABCD各邊的中點，

Z.AE=-AB=-CD=CG,AE//CG,

22

.??四邊形AECG為平行四邊形，

同理可得：四邊形A