2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性-專項(xiàng)訓(xùn)練

01內(nèi)容速景

一、重難點(diǎn)題型歸納...........................................

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式..................................

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值..................................

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用..................................

?類型1對(duì)稱軸.........................................

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性.....................

?類型3“類”周期函數(shù).................................

?類型4對(duì)稱性解決恒成立...............................

題型5三角函數(shù)中的對(duì)稱性問題................................

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題.........................................

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題.........................................

題型8兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問題....................................

二、最新真題、?？碱}組練....................................

WKOII

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

-即:劃>占

u/m/\/*（X|）一-（X2）n

XX6（-00,01（X10X）—；~；VU

1、對(duì)于任意lf22，均有'LX?成立，注意功能用來判斷函

數(shù)的單調(diào)性（有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對(duì)稱軸（X=u）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝

下：誰離對(duì)稱軸（'二°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就小.

【例題1]（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)"x+2）=log」（3'+,若

/'（a-1）N/（2a+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

（-oo,-21[-2,勺

A.、」B.Ld

《卜8,-2U10,+8）D卜8,-2u片+8）

【變式1-1]1.（2023?湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）

滿足/a）一八一乂）=乂（少+3、），且在11上有H若實(shí)數(shù)a滿足

/（20?+2）-2aeV"+〃「"川+2e"2之。，則a的取值范圍為（）

AbQ]B卜,+8）（-8,-1山+8）（-8,2]

【變式1-1]2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)

〃x）=sin（x-V+e*-1-?1-*一x+'，則滿足/（x）+/（3-2x）＜6的x的取值范圍

是（）

A佃+8）（1，+8）（-8,3）（-8,1）

【變式1-1]3.（2023湖北武漢統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=少-1+e】-'+X?-2x,

若不等式「（2-ax）＜八、2+3僅寸任意*6"恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值可能是（）

_1

A.-4B「C.72D.3s

【變式1-1]4.（2024?廣西?廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）設(shè)/'（x）是定義在

R上的偶函數(shù)，且當(dāng)X之0時(shí)，/（X）=公（。＞1）.若對(duì)任意的*6[0,、+11,均有

/（x+b）＞/2（x）,則實(shí)數(shù)b的最大值是（）

2

A.3B,4。。D,1

【變式1-115.（2024湖南邵陽統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/"（x）是定義在A的偶函數(shù)，且在區(qū)間

「0,+8）/（log3a）+f（logia）>2f（l]

上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)。滿足I51,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

題型2利用奇偶性、周期性對(duì)稱性求值

函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧

設(shè)函數(shù)y=/（x）,

①若r（x+a）=r（x-a）,則函數(shù)的周期T=2Q；

②若/'（x+a）=-/（x）,則函數(shù)的周期丁=2c；

/（x+a）=—―

③若一/（X）,則函數(shù)的周期T=2。；

/,（x+a）=--^-

④若「（X,則函數(shù)的周期丁=2a；

⑤/（x+a）=/（x+b）,則函數(shù)的周期T=\a-b\

【例題2]（2022?全國?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)“5、）是定義在R上的偶函數(shù)，

g（3）=2，若對(duì)任意xeR渚B有/（X+6）=/（x）+〃3）,對(duì)任意rn,n6R且m+n=4

都有g(shù)（m）=g（n）貝/（99）+g（99）=

【變式2-1]1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)椤缀瘮?shù)"'）存在導(dǎo)函數(shù),'、），

且滿足“一幻=/（x）,/（4-X）=/（-x）,則曲線y=/（X）在點(diǎn)（2022,/（2022））處的

切線方程可能是（）

Av=xB.y=。c.y=x+iD.y=f+i

【變式2-132.(多選)(2022?山東濰坊七中高三階段練習(xí))設(shè)函數(shù)丫=〃的定義域?yàn)椤?

且滿足八1+x)=/(l-x)/(x-2)+/(-x)=0當(dāng)時(shí)/(x)=-|x|+l

則下列說法正確的是()

Ay=/(x+1)是偶函數(shù)B.V="X+3)為奇函數(shù)

C.函數(shù)y=八、)一國卜植1°個(gè)不同的零點(diǎn)D.\k=]〃k)-1

【變式2-1]3.(2023?浙江溫州?模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)?/'：')滿足

/(x+l)+/(x—l)=/(2022)/(-2x+l)=〃2x+5)若/G)="則

/(2022)=Xj=；k/(T)=

_________________/_________________________.

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值

歲塾重點(diǎn)

對(duì)于/(X)本身不具有奇偶性，通過構(gòu)造(通常將尾巴常數(shù)變?yōu)?),構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函

數(shù)的對(duì)稱性，求函數(shù)值.

f(x)=ln(x+v'l+X2)+-+4r_g

【例題3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)'在?,

81上的最大值和最小值分別為乂、m,則M+巾=()

A.8B.6C.4D.2

【變式3-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)="X'+"nx+3,若

〃m)=l則八-m)=()

A.-1B.2C.5D.7

/（x）=aln^^+bsinx+3

【變式3-1]2.（2022?河南高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)‘X一】

若八⑺=L則八一血）=（）

A.-1B.2C.5D.7

【變式3-1]3.（2022?河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

fM=（-r-T-1）sin|x

3,】）I2J，則“）在LJ上的最大值與最小值之和

為.

【變式3-1]4.（2022?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

2

f(x)=czln(Vx+l-x)+bsinx-2(ab#0)若/（m）=2則八加）=

r/、LX2+2X+/.2+siiix

J(X)=------T-;-----/>0

【變式3-1]5.若函數(shù)X』(一)的最大值為M,最小值為N,且

M+N=4,則實(shí)數(shù)'的值為.

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用

函數(shù)對(duì)稱性(異號(hào)對(duì)稱)

(1)軸對(duì)稱：函數(shù)/(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)'滿足/(a+\)=/(b-x),則函數(shù)/(x)

_a+L

關(guān)于直線,-k對(duì)稱，特別地當(dāng)/.(x)=fC2a-x)時(shí)，函數(shù)/(X)關(guān)于直線X=a對(duì)稱；

2.如果函數(shù)V=/(x旅|足/(a+\)=/(a-x)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線'=。對(duì)

稱.

3.V=/(a-x)與V=(\-0關(guān)于直線'-2對(duì)稱.

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(')關(guān)于直線9，。)對(duì)稱,則

①/(0+x)=-/(a-x)

②/(x)=-/(2a-x)

③/(一X)=-/(2Q+X)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/'J關(guān)于直線(4切對(duì)稱，則

①/"(a+x)=-/(a-x)+2b

②/(x)=-/(2a-x)+2匕

@/(-x)=-/(2a+x)+2力

?類型1對(duì)稱軸

【例題4-1】（2022?寧夏銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)"=的定義域?yàn)?/p>

2

（-8,1）u（1,+8）,且/J+1）為奇函數(shù)，當(dāng)xv1時(shí)，/（x）=-x-4x（則〃x）=2

的所有根之和等于（）

42-12—6

A.B.C.D.

,212-2

【變式4-l】l.已知函數(shù),f（x）=2PX-—2+2X）-a有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)”二

（）

11

—2~~-1—）「一1

A.B.-C.D.假

【變式4-1】2.已知函數(shù)/（x）（x6爪）滿足〃x）=/（a_x）,若函數(shù)y=卜2_ax_5|與

y=〃x）的圖像的交點(diǎn)為J"%）（X2，V2）,,（Xm.y,”），且2i=ii=zm貝『=

A.1B.2C.3D.4

/（x）=

【變式4-1】3.已知函數(shù)』）（xf+2）,下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題，其中正確

的有

①函數(shù)〃x）是周期函數(shù)；

②函數(shù)"'）既有最大值又有最小值；

③函數(shù)'c）的定義域?yàn)镽，且其圖象有對(duì)稱軸；

④對(duì)于任意的Xe（一1，°）,/（X）V。（/（X）是函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)）

A.②③B.①③C.②④D.①②③

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性

1產(chǎn)期#6

.豐?、、、

關(guān)于對(duì)稱中心與對(duì)稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論

L若函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱中心（2,0）與（*0））,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸x=a與x=b,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱中心（a,0）與一條對(duì)稱軸x=b,,則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例題4-2】已知函數(shù)"'）為定義域?yàn)?的偶函數(shù)，且滿足‘G+"一'6一,當(dāng)

X丘卜1r-9,10

°1」時(shí)，八f(xX)=-Xx若函數(shù)F(x)=/(x)+jf"*在區(qū)間」上的所有零

點(diǎn)之和為_________

【變式4-2】1.定義在"上的奇函數(shù)/'、）滿足/（2-x）=/（'）,且在K）,）上單調(diào)遞減，若

方程/（x）=-1在［0,1）上有實(shí)數(shù)根，則方程/（X）=1在區(qū)間LI」"上所有實(shí)根之和是

（）

A.30B.14C.12D.6

【變式4-2】2.已知定義域?yàn)橛缮缀瘮?shù)/'、）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且/（3—x）+/（-x）=（）,

若曲線》=在⑹/⑹）處切線的斜率為4,則曲線曠=/（x）在（一2022,/（-2022））

處的切線方程為（）

110111,1011

Ay=-4X-8088Dy=4x+8088「尸一二一工'=1+二

【變式4-2]3.若函數(shù)V="''是爪上的奇函數(shù)，又J+1'為偶函數(shù)，且

-1MXIVX2M1時(shí)17(X2)-/(Xi)l(X2—Xi)>。比較/(2017)/(2018)

/(2019L.,...、

J的大小為()

Af(2017)</(2018)</(2019)D/(2018)</(2017)</(2019)

C/(2018)v/(2019)v/(2017)口/(2019)v/(2018)v/(2017)

【變式4-2】4.（多選）（2023?福建福州福建省福州第一中學(xué)?？级＃┒x在口上的函數(shù)

,其導(dǎo)函數(shù)分別為'15,若/(X)=/(-X)

g(-l)=1,/(x)+g(x-1)=x?-l,/(x)+g(x+1)=x-sin%則()

A./'(')是奇函數(shù)

B.g(x)關(guān)于(-1,1)對(duì)稱

c.g(')周期為4

D.g(l)+g(3)+g(5)+.“+?/(99)=-1225

?類型3“類”周期函數(shù)

"似周期函數(shù)"或者"類周期函數(shù)"，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大（縮小）時(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.

3.放大（縮小）時(shí)，是否發(fā)生了上下平移.

【例題4-3］設(shè)函數(shù)V=7（'）的定義域?yàn)椤?如果存在非零常數(shù),，對(duì)于任意'e0，都有

f（x+T）=T-〃x）,則稱函數(shù)y="X）是"似周期函數(shù)，，，非零常數(shù)T為函數(shù)=〃x）

的“似周期”.現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于"似周期函數(shù)"的命題：

①如果"似周期函數(shù)"V=的"似周期"為—1,那么它是周期為2的周期函數(shù)；

②函數(shù)2是"似周期函數(shù)"；

③如果函數(shù)‘="⑼八是，，似周期函數(shù)，，，那么，，3=2ku,k&Z_&

3=(2k+6Z?

.以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.IC.2D.3

【變式4-3】L已知函數(shù)/(X)滿足當(dāng)*-。時(shí)，2/(x-2)=/(x),且當(dāng)xe(-2,01時(shí)，

〃x)=|x+1|-1；當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=k>g“x(a>。且a*]).若函數(shù)八、)的圖象上關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì)，貝聯(lián)的取值范圍是()

(625,+⑼(4,64)「(9,625)n(9,64)

【變式4-3】2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镠,滿足/(x+1)=2/(x),且當(dāng)*E(0,11時(shí),

Jff(xX))=Xx(Xx-1L1.若對(duì)任意xe(-o^m]，都有/(x)2,則6的取值范圍是()

A.fB.(一空

CTD.E哨

【變式4-3】3.定義在H上函數(shù)滿足/"+1)=]"'),且當(dāng)*61°」)時(shí)，

/(x)=1-|2x-11則使得/(X)=+")上恒成立的小的最小值是()

??？竺史

A.2B.2C,4D.4

?類型4對(duì)稱性解決恒成立

一期|一我16

.豐?、、、

常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：

vxeD,/(x)>mo/(x)1111n>m

3xeD,/(x)>m?/(x)11mx>m

VKED,/(x)>g(x)=(/(x)-</(x))miu>0

(3)

3xeD,fM>g(x)o(/(x)-g(x))>0

(4)milx

VX1eD,x2eM,/'(x1)>g(x2)<=>/(x。111m>g(x2)miU

(5)

3xxeD,x2eM,/(X。>g(x2)<=>/(Xi)tax>g(x*3

(6)；

。>。

(7)vxieD,mx?eM,/(Xg(x2)o/(x1111n>g(x2)miI1

(8/XieD,vx2eM,/(x1)>g(x?)=/(x])111ax>gj?)111ax

【例題4-4】已知函數(shù)/(*)=g(x+*+l),且對(duì)于任意的“6(1

“』)+"(x-i產(chǎn)—>°恒成立，則小的取值范圍為()

(-00,0)(-8,01

A.B.

[4,+8)(12,+8)

C.D.

【變式4-4】1.已知函數(shù),、一E(0WxM1),函數(shù)=(m-l)x(l<x<2>

若任意的xE°'l]，存在心e°2],使得/(xi)=g(x?,則實(shí)數(shù)，取值范圍為()

A(1圖B⑵cI'引D良引

【變式4-4】2.已知〃''是定義在R上的函數(shù)，且“'+「關(guān)于直線”=-1對(duì)稱.當(dāng)'-°

r(x)=[2*1,0wxV2.…

時(shí)，2-log2x,x>2，若對(duì)任意的Xu"n'm+11,不等式

)(2-2x)>/(x+〃L)恒成立，則實(shí)數(shù)巾的取值范圍是()

r-po)[7,1111,+助仁,+8)

【變式4-4】3.已知疝皿1sinl〃x|,。⑺=|lnx|-值m,若對(duì)于

FC卜丁一盲3x2e[el叫使得/(xi)之g(xz),則實(shí)數(shù)加的取值范圍

是?

題型5三角函數(shù)中的對(duì)稱性問題

L三角函數(shù)的對(duì)稱性，周期性，奇偶性，單調(diào)性，考查時(shí)可能單獨(dú)考，也可能以多選的形式

綜合在一個(gè)題目中考查.

2.三角函數(shù)的奇偶性

(P=ku+-

(1)函數(shù)V=Asin(wx+3)是奇函數(shù)=9=kn(keZ),是偶函數(shù)=2

(AcZ)；

(P=ku.

(2)函數(shù)V=Acos(wx+⑼是奇函數(shù)o2(*<eZ),是偶函數(shù)o甲=ku

k€Z)；

(3)函數(shù)y=ALaxi(iux+⑼是奇函數(shù)=kn(keZ).

3.三角函數(shù)的對(duì)稱性

ivx+(p=kn+-

(1)函數(shù)曠=Asin(wx+⑼的圖象的對(duì)稱軸由2(Rez)解得，對(duì)稱

中心的橫坐標(biāo)由3X+W=k”(keZ)解得；

（2）函數(shù)y=ACOS（3X+⑺的圖象的對(duì)稱軸由3x+0=（kCZ）解得，對(duì)稱中心

ax+w=+=

的橫坐標(biāo)由2（kcZ）解得；

（3）函數(shù)V=Alan（3X+⑺的圖象的對(duì)稱中心由2R?z）解得.

4.基本規(guī)律

1.三角函數(shù)的對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）有數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適.

2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對(duì)稱中心.一般情

況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)

【例題5]（2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)

〃x）=COS（3X+w）（s>0,0vwv〃）的圖象的一條對(duì)稱軸與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心

UU

的距離為L將,'）的圖象向右平移至個(gè)單位長度得到函數(shù)8、）的圖象若函數(shù)的圖象

在區(qū)間12'4」上是增函數(shù)，貝產(chǎn)的取值范圍為（）

ALb*21BQL：r:dDgdJ

f（x）=sin-x.]]

【變式5-1】1.（2023?天津?統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)2,g（x）=eTx-L當(dāng)

xH-2023,2023]時(shí)，/（x）與g（x）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）

A.4051B.4049C.2025D.2023

_x+2__

「我一「i她y=sinx+1~—a>a>.aeZ口a>2017,,

【變式5-1】2.已知函數(shù),與?在（，且）上

三0人一上（xi，yj（x，y）（x,?，y,?）

有個(gè)父點(diǎn)，22，……，，則

（X]+yi）+（X2+yz）+…+（Xfn+ym）=

A.°B.mC,2mD.2017

【變式5-1】3.已知函數(shù)/(x)=2(x+l)+sinx+ln(GTf+x),若不等式

“3'-9、)+?3'-3)<4對(duì)任意xe爪均成立，則小的取值范圍為()

A(-8,2汽-1)B(-8,-2乃+/(-2乃+1,2日—1)口

(-273+1,+2

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題

型：-劃#占

(a+b\

1.若/'(')滿足/(&+乂)+/'(67)=2<;,則/'3關(guān)于12'”中心對(duì)稱

特殊的奇函數(shù)：(奢覽港點(diǎn))：

2.

^對(duì)數(shù)與反比例復(fù)合：丫=1皿,丫=1'吧”，如：1叫蕓，1叫昔^，

/p\JJ="WFHXD"l+xD"1+kx

…指數(shù)與反比例復(fù)合：y=魯,y=*,y=不，y=盧;

③與合：y=logu({(kx)+1+kx),iQ:y=logu({(x),+l+x

3形如y=會(huì)對(duì)稱中心為(0,詈)

【例題6】已知函數(shù)"、)=E+e'—e'，若不等式八&)+/Q-2ax)21對(duì)

“X6”恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

(0同[0,e](0,1][0,1]

A.D.C.U.

【變式6-1】1.對(duì)于定義在D上的函數(shù)"M,點(diǎn)‘是?/'：')圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的充

要條件是：對(duì)任意X'。都有〃x)+/(2m—x)=2"，判斷函數(shù)

〃x)=X,+2g+3x+4的對(duì)稱中心

【變式6-1】2.設(shè)函數(shù)〃x)=ln(A2+l-x),若a,b滿足不等式

f(a2-2a)+f(2b-b2)<0則當(dāng)寸2a-b

的最大值為

/(x)=x7+m三若/（島）+/（蒜）+…+/（端）+

【變式6-1】3.已知函數(shù)

c<2019e\2019/.】、1.

f^=-(a+b),其中b>°,則麗+、最小值為

A.1B.4C.42D.T

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題

【例題7](2024?青島開學(xué)潟函數(shù)〃="3T-2(xe[-3,31)的圖象繞點(diǎn)(一3,。)逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)3：°三」三”)，得到曲線0,對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角“，曲線"都是一個(gè)函數(shù)的圖象，

則最大時(shí)的正切值為()

：'ZL

A.2B.'C.1D.v，3

【變式7-1]1.(2024春?池州期末)設(shè)°是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，''')是定義在口上的函

U

數(shù)，若/的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中,11)的取值只可

能是

v'l

v3

A.1B.1C."D.0

【變式7-112.（2024春?新華區(qū)校級(jí)期末）將函數(shù)V=-x2+x（x'「0,1]）圖像繞點(diǎn)（1（Q）

Q（0<0<y）

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角2得到曲線C,若曲線c仍是一個(gè)函數(shù)的圖像，貝嚴(yán)的最大值為

nn

A.bB.4C,3D.12

h（x）=ex（x>0）

【變式7-1]3.（2024?沈河區(qū)校級(jí)四模）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)角由田6（°，,“），得到曲線C,若曲線0仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則”的可能取

值為（）

Uu:H

A.1B,2C,1D.11

【變式7-1]4.（多選）（2024?雨花區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)V=/（X）,"eA,且"*A,

tiu

函數(shù)y="'）,X?八的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn):所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重

合，其中“可以取任意正整數(shù)，貝"'的值不可能為（）

巫k

A.0B.-C,11D.r"

題型8兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問題

【例題8]（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)=&X-,與函數(shù)式"=xlnx+1的

圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

（e-1,+8）（二■，+8）[?，+8）（-OO,t>-1）

A.B.127C,L2'D.

u=x：i-x2_l-a（x6\-,e]

【變式8-1]1.（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)V-Xfl,（Q,

'為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與'=~-31"的圖象上存在兩組關(guān)于'軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)&的取

值范圍是

（0，%+2][0,e:l-4]

/A.D.

CG+2，"-4]D（9+2,+e）

/（x）=-x3—mx+3g（x）=-5x—41n-

【變式8-1】2.（2024?云南模擬）已知函數(shù)卜，\

若函數(shù)/（X）與g（x）（xeS'，]）的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)廁實(shí)數(shù)）的取

值范圍是.

【變式8-1]3.（2024春?大同期中）已知函數(shù)/"）=ln（-x）與函數(shù)

g（x）=少-（e-l）x的圖象上存在關(guān)于_v軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍

為.

【變式8-1]4.（2024?景德鎮(zhèn)模擬）對(duì)于定義域?yàn)?，勺函?shù),（、），若滿足（1）/（0）=°；

（2）當(dāng)、?”,且“H0時(shí)都有x/（x）＞。；（3）當(dāng)*1〈°v*2,且lx1l=lx"寸都

有“X”/（X2）,則稱/（x）為"偏對(duì)稱函數(shù)".現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：①/i（x）=xsinx；②

/2（x）=ln"x2+l-x）.③九（X）=x2+|x|；④/i（x）=t_x,xv6，則"偏對(duì)

稱函數(shù)"有個(gè).

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f（x）,g（x）的定義域均為R,且

Hx）+aQ-x）=5,tf（x）-f（x-4）=7.若V=。（幻的圖像關(guān)于直線X=2對(duì)稱,

。⑵=4,則工三?陽=（）

A.-21B.-22c.-23D.-24

2.（2024?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽J（x+1）為奇函數(shù)，/（x+2）為

偶函數(shù)，當(dāng)XE[1,2]時(shí)，/(x)=ax?+b.若/(O)+/⑶=6,則1弓)一()

_9_：!75

A.B,C.5D.±

f（x）=sin（2x+@）（0<<p<Tl）

3.（多選）（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像

關(guān)于點(diǎn)仁'°）中心對(duì)稱，則（）

A.r（x）在區(qū)間（°,匚）單調(diào)遞減

Inlln|

B.0\）在區(qū)間I12，心J有兩個(gè)極值點(diǎn)

7Tl

c.直線'=至是曲線v=r（x）的對(duì)稱軸

=6_

D.直線‘一〒一'是曲線V=〃x）的切線

4.（多選）（2022?全國統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/'吸其導(dǎo)函數(shù)「（X）的定義域均為R,記

g(x)=/6),若/G—x)

,g（2+X）均為偶函數(shù)，則)

A./(0)=0B.g(-9=°C,/"(-1)=fd)D,?(-1)=0(2：

TT

/(x)=(x—1)2+ax+sinX+5

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則

a=

6.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/'（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>°時(shí),

[/(x)-xcos（nxI=0

〃x)=lnx-mx+1,若有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

為

7.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'」及其導(dǎo)函數(shù)/《）的定義域均為R,若

r,1>、:x-/（x+2）

/（I-2x）,2都為偶函數(shù)，則乙

為偶函數(shù)，若對(duì)任意XeA有,（?。┮?，（h）,且“2023）=3,則

/?)+/⑴+/?=

參考答案與試題解析

重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性

fliknii

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式........................................................20

題型2利用奇偶性、周期性對(duì)稱性求值...............................................27

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值........................................................31

題型4對(duì)稱性、奇偶性的運(yùn)用........................................................35

?類型1對(duì)稱軸.................................................................36

?類型2中心對(duì)稱+軸對(duì)稱構(gòu)造周期性............................................40

?類型3“類”周期函數(shù)........................................................46

?類型4對(duì)稱性解決恒成立......................................................51

題型5三角函數(shù)中的對(duì)稱性問題......................................................57

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題...............................................................62

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題...............................................................67

題型8兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問題..........................................................71

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

歲&重點(diǎn)

Xl，X?e（-8,O]（X]HX2）/V0

L對(duì)于任意，均有XLX2成立，注意功能用來判斷函

數(shù)的單調(diào)性（有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對(duì)稱軸（X=°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝

下：誰離對(duì)稱軸（X=°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就小.

K

【例題1]（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X+2）=log.（（3+3一、），若

/（a-1）'（2a+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

8,-2*

A.B.

oo,—2U[0,+OO)D(-00,-2]u[i,+oo)

C.

【答案】B

【分析】設(shè)g（x）=/（X+2）=logj（3K+3**）,則可得g（'）為偶函數(shù),且在I*王@單

12,+8）

調(diào)遞增，所以八X）的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，在L，單調(diào)遞增，則將

f（a-1）>f（2a+1）轉(zhuǎn)化為I"-l-2|>|2a+l-2,從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

K-K

【詳解】設(shè)。（x）=/"（x+2）=loqt（3+3）,

因?yàn)椤＃?x）=MM3f+3、）=ciM,

所以g（x）為偶函數(shù),

所以/（X+2）的圖象關(guān)于直線X=°對(duì)稱,

所以/（X）的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，

設(shè)8=中小丁貝w'=3*1113-3-xln3=（3*-3一”山，

令V>o,則墨*1掣將2*口，得X>0,

?u-x（0,+OO）

所以y=3'x+3'在上遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)v=Mg」x在定義域上單調(diào)遞增，

所以。（X）在L，單調(diào)遞增，

所以/'（x）在I'+8）單調(diào)遞增，

因?yàn)镠a-U之門

所以|a-l-21212a+1-2|,

所以艇-3)*芝口或113騁，化簡得(a+2)(3a-4)<°,解得一？*"*ii.

[-211

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為?'：，」，

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出"')的圖象關(guān)于直線'"對(duì)稱，

\'2,+8)

在?'單調(diào)遞增，從而可求解不等式.

【變式1-111.(2023?湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測)定義在口上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)

..、(o,+oo)小)+?<。

滿足/(x)-r(-x)=x(e'+e-'),且在l'上有"若實(shí)數(shù)a滿足

fUa]-f(a+2]-2aa~2u+ae-0-2+2e-a-2N0,則a的取值范圍為()

A卜Q]BW+8)卜8，T]U[2,+8)(-8,2

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)。(X),利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)法的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性

的關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由/(*)-)?*&*+-*),得‘")"一〃X)尸

令'尊"，則虱戲口,城-幻，即。(X為偶函數(shù)

又黑已(&S)時(shí)g(x)=/(x)+M<0

所以4(X在(°,*g)上單調(diào)遞減

由/(2a)-f(a+2)-2ae-2a+ae-0-2+2^-2>0,得

/(2a)->/(a+2)-.

H”,即g(2a)>g(fu+2).

又。(x)為偶函數(shù)，

所以g(|2a|)2g(|a+2|),

....——vav2

所以12alMm+2],即,解得3--

21

所以a的取值范圍為?!

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)。(X),利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)

的單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式.

【變式1-112.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)

/(X)=sin(x-1)+1_x+4，則滿足/(x)+/(3—2x)<('的'的取值范圍

是()

A(3，+8)(1，+8)(-8,3)(-8,1)

【答案】B

［分析］構(gòu)造式、)=SinX+少-ef_x,xeR,發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，然后八乂)是g(x)

向右平移1個(gè)單位長度,向上平移3個(gè)單位長度，可得二°的對(duì)稱中心為Q'3),能得到

6="x)+/(2-,通過求導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)“、)在R上單調(diào)遞增，繼而求解不等式

【詳解】解:假設(shè)=sinx+小一

所以g(-x)=sin(-x)+e-x-ex+x所以g(x)+g(—x)=0

所以為奇函數(shù)，

而/(x)=sin(x-1)+_e】-x-(X-1)+3是g(x)向右平移1個(gè)單位長度，向上平

移3個(gè)單位長度,所以/2的對(duì)稱中心為a3,所以6=/(X)+"2-X),

由/(x)=sin(x-l)+ex-1-e1-x-x+4求導(dǎo)得

/(x)=COS(X—1)+Hx-1+H1-x—1=ex-1+^rr+COS(X—1)—1

ex，+當(dāng)之2JexT?—T=2e—=±

因?yàn)?'H,當(dāng)且僅當(dāng)H即x，取等號(hào)，

所以/(X)2(),所以/(X)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(x)+/(3-2x)<6=f(x)4-^a/(3-2x)</(2-x)

所以3-2x<2-x,解得x>1

故選：B

【變式1-113.(2023湖北武漢統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/"(X)=+e】-'+X?-2x,

若不等式/'(2-ax)<“/+3］對(duì)任意xen恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是()

_1

A.B.，C.◎D.3上

【答案】BC

【分析】令I(lǐng)=X-1,得到。⑶=J+?-+1T,推得?！?為偶函數(shù)，得到八,)的圖

象關(guān)于X=1對(duì)稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)X>1時(shí)，/(X)單調(diào)遞增，當(dāng)X<1時(shí)，/"(X)單調(diào)遞

減，把不等式轉(zhuǎn)化為II-axl<X?+2恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=e'7++X2-2x,

令Z=X-1,貝［］x=L+1,可得g(Q=e(+e_,+^-1,

可得“(-。=片'++(-LA-i=y+er'+M-i=q①，

所以?！?為偶函數(shù)，即函數(shù)r(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

又由"?)=e1-e-1+21,翎(1)=t/(l)=J-e-'+2L,

可得而⑷=I+eT+2>0,所以9⑷為單調(diào)遞增函數(shù)，且3(。)=0,

當(dāng)L>。時(shí)，血町徽笫，。(。單調(diào)遞增，即x>1時(shí)，/'(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)L<。時(shí)，/")<o,g(Q單調(diào)遞減，即X<1時(shí)，/(X)單調(diào)遞減，

由不等式/(2-ax)v/(x2+3)，可得2-ax-l|<|x2+3-1|,即|1-ax|vx2+2

所以不等式|1-axl<x2+2恒成立，即-X2-2<ax-1<x?+2恒成立，

fx2+ax+1>0

所以?x?-ax+3>0的解集為R,所以十一4<0且⑷-12<0,

解得-2<a<2,結(jié)合選項(xiàng)，可得Bc適合.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)L=x-1,從而得到

g(L)=J+U1-1,證明其為偶函數(shù)，則得到/(X)的圖象關(guān)于'-1對(duì)稱，再結(jié)合

其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.

【變式1-114.(2024?廣西?廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測)設(shè)〃x)是定義在

R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=a'(a>1).若對(duì)任意的xC10,b+1],均有

Ax+b)工P(x),則實(shí)數(shù)b的最大值是()

_2_口

A.3B,“C.UD,1

【答案】B

【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得x24寸尸(x)=/(2x),進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)

在'二0上的單調(diào)性，將不等式很成立問題轉(zhuǎn)化切地也顰對(duì)任意的照以『跳』+工1恒成

立，若黑+小迪口,易于得出矛盾，在b+竄代。時(shí)利用不等式恒成立的意義不難求得b的最

大值.

【詳解】當(dāng)*七]也占去口時(shí)，/2小)=(公戶-&2x-/(2X),

若對(duì)任意的Xefo,b+n,均有『Cx5肺次產(chǎn)風(fēng)即為/(x+b)>/(2x),

由于a>1,當(dāng)x>0時(shí)，ft?l?曖為單調(diào)遞增函數(shù)，

又?.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

./(X+b)>/(2x)等價(jià)于卜+加2|2x1,即向小*出北(-.?膽曲一嚕41),

由區(qū)間的定義可知b>-L若麓生打回口,于是解土韋迪2乳即b>x,

由于、的最大值為b+