2025高考數(shù)學(xué)三十六技：應(yīng)試技巧篇（含答案）

2025高考三十六計

高考數(shù)學(xué)應(yīng)試技巧篇

目錄

考試技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧.....................................4

考試技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧..................................5

考試技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧..................................5

考試技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧.....................................6

考試技巧05"奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧.........................7

考試技巧06"奇函數(shù)+常函數(shù)”的男4+小a）解題技巧..............................7

考試技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧................................8

考試技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧................................9

考試技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧....................10

考試技巧1。泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧.............................11

考試技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧.........................13

考試技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用及解題技巧.......................................15

考試技巧13解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用及解題技巧...........................16

考試技巧14整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧...........................................16

考試技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧.............................................17

考試技巧16切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧.....................................17

考試技巧17端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧...................................18

考試技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧...............................................21

考試技巧19洛必達(dá)法則解題技巧...............................................22

考試技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題的解題技巧.................................25

考試技巧21半角公式的應(yīng)用及解題技巧.........................................27

考試技巧22萬能公式的應(yīng)用及解題技巧.........................................27

考試技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用及解題技巧.................................28

考試技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧..................................28

考試技巧25“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧....................................29

考試技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧................................30

考試技巧27極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧.......................................31

考試技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧.............................31

考試技巧29角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧.....................................33

考試技巧30張角定理的應(yīng)用及解題技巧.........................................33

考試技巧31點(diǎn)對稱問題解題技巧...............................................35

考試技巧32圓中的切線問題解題技巧...........................................35

考試技巧33圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧.................................36

考試技巧34圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧.................................37

考試技巧35復(fù)數(shù)的模長及最值的應(yīng)用及解題技巧.................................38

考試技巧36柯西不等式的應(yīng)用及解題技巧.......................................39

考試技巧。1權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用：若a,b,x,y>Q則—+—>(t?+Z?)當(dāng)且僅當(dāng)時取等.

xy%+yxy

(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)

例.已知。且2a+b=3,則一1+Q的最小值為()

2a-12b-1

9i

A.1B.-C.9D.4

22

因為2。+6=3,所以4。+2b=6

由權(quán)方和不等式或+公之絲土豆可得

xyx+y

114122/(2+1『

a-12b-l4〃-42b-l4a-42b-l~4a-4+2b-l

當(dāng)且僅當(dāng)2二=一1，即〃=:7包=2￡時，等號成立.【答案】C

4(2-42/7-163

222

例.已知正數(shù)無，九2滿足x+y+z=i,則上^+上^+^^的最小值為

y+2zz+2xx+2y----------------------

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因為正數(shù)x,y滿足x+y+z=i,

所以上+上+上，―(f+z『—=1,

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

xyz1_1

當(dāng)且僅當(dāng)一丁=一r=一1即尤=>=z=￡時取等號，故答案為：

y+2zz+2xx+2y33

例.已知％+2>+32+4"+5"=30,求—+2/+322+4/+5，的最小值為

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

22

尤2+2/+3Z2+4M+5V=^i+(W+(W+(W+(^￡

【詳解】12345

(x+2)+3z+4〃+5v)302

>------------------------------=-----=60

1+2+3+4+515

當(dāng)且僅當(dāng)x二y=Z=〃二v時取等號，故答案為：60

考試技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

b+mh

1.糖水不等式定理，若a>b>0,m>0,則一定有--->-

a+ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,則糖水更甜；

a〃+祖

2.糖水不等式的倒數(shù)形式，設(shè)a>b>Q,m>0,則有：->-——

bb+m

45

例.(202。?全國?統(tǒng)考高考真題)已知55<8313<8.設(shè)a=log53,/7=log85,^log138,貝lj()

A.a<kxcB.kxa<cC.kxc<aD.c<a<b

【詳解】

8241339

?°ln3+ln-In—?-ln3+ln—In—,

m3551n5,一m3s5Ino8

a=<----------9=——<—=b,又a=——<--------——<---------=c,

ln5ln5+ln§ln8ln8ln5也5+比上lnl3lnl3

55

用排除法，選Ao

考試技巧。3對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

⑴設(shè)neN+,且n>l,則有l(wèi)og?+1n<log?+2(n+l)

⑵設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogflZ?<logfl+m(Z?+m)

⑶上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>1,m>Q,則有l(wèi)ogha>logh+m(a+m)

例.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知9"=10,。=10%-11,6=8"-9,貝！|()

A.a>O>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

對數(shù)型糖水不等式

因為9"=10,所以m=log910.在上述推論中取〃=91=10,可得m=log910>log10ll=lgll,

且m=log910<log89.

所以a=10m-ll>10lgll-ll=0,^=8m-9<8log99-9=0,即a>0>8,選A.

考試技巧。4基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

基本不等式鏈：｛與生2,2旅2，了伍〉0,。>0）,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

---1---

ab

例.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若與y滿足f+V一肛=］,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

由基本不等式鏈：等2而可得妥（a,6eR）,

ab

對于AB

由Y+V-盯=1可變形為，（x+y）2-1=3盯,

解得-2Vx+yV2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=T時，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B

正確;

對于C

22

【法一】由尤?+/-孫=1可變形為（一+?。┮?=孫4土產(chǎn)，解得V+y2v2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=±l時取等

號，所以C正確

【法二】由_?+寸22［言］，孫《三:得

x2-xy+y2>2

2「支1

又因為x2-xy+y2=1,所以“即a(x+y)?2Ox+yV2.

【法三】x2-xy+y2=(x+j)2-3xy>(x+y)2=^(x+y)2,

2

又因為尤2_孫+9=],所以l(x+y)<l,x+y<2.

4

【答案】:BC.

考試技巧。5“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧

在定義域內(nèi),若F(x)=f(x)+A,其中/(x)為奇函數(shù)，A為常數(shù)，則最大值M,最小值加有M+根=24

即“+加=2倍常數(shù)

例.(2023上?江蘇?高三模擬)已知/內(nèi)分別是函數(shù)，施度=研一焉+5.+1的最大值、最小值，則

M+m=

M+m=2倍常數(shù)=2

例.已知函數(shù)〃%)=加-ln(G~TI+x)+3sinx+7,尤e[-2023,2023]的最大值為跖最小值為m,貝I]

M+m=.

【法一】M+根=2倍常數(shù)=14

【法二】M+m=2/(0)=14

3er+e~x

例.函數(shù)/(x)=-------,xe[-5,5],記f(x)的最大值為M,最小值為m,則M+m=__________.

eY+e~x

【法一】M+根=2倍常數(shù)=4

【法二】M+772=2/(0)=4

考試技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的4旬+冬回解題技巧

在定義域內(nèi)，若E(x)=/(x)+A,其中/(X)為奇函數(shù)，A為常數(shù)，有/(a)+/(—a)=2A

即/'㈤+f(_a)=2倍常數(shù)

例.(全國?高考真題)已知函數(shù)"x)=ln("=-x)+l,〃。)=4,則〃-。)=.

111~1”-尤)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)

所以/(?)+/(-a)=2倍常數(shù)=2,解得=-2

例.已知函數(shù)〃x)=ln*+q,貝U/0+O.

1_Ly11_|_T1

/(x)=ln—+—1,In-和—在定義域內(nèi)為奇函數(shù)

1-xx1-xX

W/Q^+/[-j]=2倍常數(shù)=-2

【答案】-2

考試技巧。7已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧

特值與極限

①收=1.414,百=1.732,拓=2.236,布=2.45,77=2.646

②e=2.71828,/=7.39,/=八=1.65

③In1=0,In2=0.69,ln3=l.l,Ine=1,ln7e=—

④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=—0.42

特別地：當(dāng)x->0時sinx=x

例如：sin0.1=0.099?0.1,sin0.2=0099。0.2,sin0.3=0.296?0.3

當(dāng)xf0時cosx=1

cos0.1=0.995x1,cos(-0.2)=0.980?1

例.函數(shù)y=（3"3fcosx在區(qū)間號胃的圖象大致為（）

令〃尤）=（3-3、）cosx,xe-j,j,由奇偶性定義知〃x）為奇函數(shù)，排除BD;

【法一】特值

/（0.1）=（301-3^01）cos0.1?（301-3^01）x0.995>0,故選：A.

【法二】極限法

當(dāng)x-0+時cosx=l,3'-「，3-*—廣

所以當(dāng)X-0+時y=（313f）cosx>0,故選：A.

【法三】

當(dāng)xe（0，m時，3'-3^>0,cosx>0,所以/'（x）>0

【答案】A

考試技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧

例.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)

是（）

2sinx

D.二

yX2+1

【法一】特值

由圖知：/（2）＜0,

對于A,/⑵=—g,對于B,/⑵=g,對于C,/⑵=2x2x,O.42)<0,對于口,了⑵2x0.91八

--------->0

5

排除BD

結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)位置可選A

【法二】猜測近似函數(shù)值

由圖知/（1）al

分別計算四個函數(shù)值即可得到答案

【法三】

設(shè)〃力=上，貝=故排除B;

X+1

、口7/、2XC0SX(八兀八1

設(shè)/z(x)=--——,當(dāng)工￡0,7時，0<cosx<l,

x+lk2J

所以竿苧（言/，故排除c；

、r/\2sinx./_\2sin3八..j.,

設(shè)g(")=K’則g⑶=丁雙故排除D-

【答案】A

考試技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題

技巧

1X

ex>x+1,ex>ex,1----<Inx<x-1,Inx<—

xe

1101

例?已知?=—=e100,c=ln—,貝I]a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD,b<a<c

--991

e100>--+1=—

100100

,101101,1

c=ln<-1=

100100100

【答案】c

考試技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

常見函數(shù)的泰勒展開式：

...XX2x3xnxn+{

(1)ex=1+—+——+—+…+——+------小，其中(0<。<1)；

1!2!3!71!(〃+1)!

-，

(2)ln(l+x)=x-—+—--.+(-1)"—一+3其中;

2!3!n\

3

V-丫52J,小+1

(3)sinx=x----+-------+(-1)------

V7+R其中夫=(1)cos0x?

')3!5!(211)!"丁"'7(2)1+1)!)

r2尸2k-2?2k

(4)cosx=l----+-------+(-1)------\+&,其中R及—(1)/、cosOx?

-2!4!V7(212)!丹,"1，(2%)!

19

(5)=1+x+x+?,?+%，+)?

1-x

n

(6)(1+X)=1+依+寸2+。(元2)；

(7)tanx=x+—+—x5+---+o(x2/I);

315')

(8)Jl+x=1+—x-—x2+—X3H-----\-o(xn]

2816、)

由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式:

ex>1+x,ex>l+x+—x2(x>0),sinx>x-—x3(x>0),

26

cosx>1-1x2,lnx<x-l,e無Fx,

2—

tanx>x+^x3(x>0),Jl+x+,ln(l+x)<x.

常見函數(shù)的泰勒展開式：

結(jié)論1ln(l+x)<x(x>-l).

結(jié)論2lnx<x-l(x>0).

結(jié)論31--<lnx(x>0).

x

4-^―<In=-^—<]n(l+x)

結(jié)論41+x1％1+xI乙

1+x

1丫

結(jié)論5l+x<ex;靖<；(x<1)；<ln(l+x)<>-1).

1—x1+x

結(jié)論6>1+x(xGi?);

結(jié)論7e~x>l-x(xeR)

結(jié)論8—>ex(x<l).

1-X

結(jié)論9—<eJ(x>l).

1-X

例.(2022年新I卷高考真題第7題)設(shè)a=0.1e°」，。=",c=Tn0.9則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

泰勒公式法：

ni2i

因為e°,al+0.1+^=1.105,所以0.1e°」土0.H05<—=0.11111=6,所以a<。

29

因為

(I)2(I)3

111

c=-ln0.9=ln0=ln(+1)?—-2_+_2_=J_—_L+^L土J_—0.006=0.105<。所以。。

99923916221879

綜上所述：c〈a〈b

故選：C

3111

例.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知”記,b=cosa，c=4sin“則()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD,a>c>b

泰勒展開

、幾.ccuEl31,0.252,1,0.2520.254

設(shè)^x=0.25,貝！]ci=—=1---------,b=cos-q1----------1---------,

322424!

〃.1sin4,0.2520.254,生、《.人

c=4sina1—+^—,計算得c>b>。，故選A-

4

考試技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

sinx<x<tanx,xGI0,—I

lnx<\[x——，(x>1)lnx>Vx——J(0<x<1)

-yjx

，，

lnx<1(%—1)(x>1)Inx>—(x——)(0<x<l)

2%,2%,

1313

Inx>—x9+2%一(%>1)Inx<—x9+2%—(0<%<1)

2222

2(%—1)2(%—1)1、

lnx>(x>1)lnx<----------(0<x<1)

x+l,x+1

放縮程度綜合

,11/1、r1,2(%-1)12c3八

1—<(x—)<\lx-<Inx<----------<—x+2%—<x—11(/0o<x<1)

x2x4xx+122

—xX—<<X<\!~X—廣<一X—<X—<X<

xx+-JxX

2

—%+2x—3<]」<2(f<In%<\[x--j=<一(x—)<x-l(x>2)

22xx+1G2x

例.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。=0.卜°」/=，c=-ln0.9,貝I」()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

放縮法

因為x+l<e"<——(x<1),

l-x

所以Live。/<^—n0.11<a=0.1e°i<0.1x^—=—=6,即a<。

1-0.11-0.19

因為Inx<—(x—)(x>1),

2x

所以c=—1110.9=111竺<▲(竺—2)=12_<0.11<。即C<a

92910180

綜上所述：c〈a〈b,故選：C

3111

例.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知"石/=cos1c=4sin“則（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【法一】：不等式放縮一

因為當(dāng),

取x得：cos—=l-2sin2->l-zf—=—,故…

848⑻32

4sin；+cos；=A/T7sin[；+e],其中sin=~^=,cos（p=~^=

當(dāng)4sin!+cos?=>/F7時，：+"=及°=9一：

444224

,.141.1

此tt時sin—=cos（p=--i=,cos—=sin^?=-y=

,114?1一1,

故8$^=/<而=$1111（4$1117,故

所以所以c>b>a,故選力

【法二】不等式放縮二

因為f=4tan。，因為當(dāng)xe[o,g],sinx<x<tan尤，所以tan：>；,即?>1,所以c>b;因為當(dāng)

b4V2）44b

xe（°，：]，sinx<x,=-^cos—=l-2sin2->l-2f->|=—,故〃>j所以c>8>a.

I2j848⑻32

故選:A.

考試技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用及解題技巧

例.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)尸/⑴的圖像與y=2?的圖像關(guān)于直線＞=一3對稱，且/(-2)+/(-4)=1,

貝！Ja=

A.-1B.1C.2D.4

反解了(x)的解析式，可得-x=2*,EPy=?-log2(-x),

因為〃-2)+/(-4)=1,所以a-log22+a-log,4=l,解得解得。=2,故選C

考試技巧13解不等式(含分段函數(shù))的應(yīng)用及解題技巧

例2.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+|x|)-三/，則使〃x)>〃2尤-1)成立的x的取值范圍是

A.[g[]B.U(l,+℃)

c.—jD.

【特值法】

當(dāng)x=l時，/⑴>/'⑴不成立，排除D,當(dāng)x=0時，則判斷f(O)>/(-1)是否成立，

計算/(O)=-1,/(-l)=ln2-1?0.19,不成立，故排除B、C,

【答案】A

考試技巧14整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧

例.已知關(guān)于X的不等式lnx-fcf4+近3>0恰有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)K的取值范圍為()

A「加3「ln3

A,--，-B.--，一

L548；|_278J

【猜根法，尋找臨界條件】

由題知整數(shù)解不可能為1,

若整數(shù)解為2,則整數(shù)解3不可取，代入有l(wèi)n2-16左+8左=0=左=野，

8

ln3-8R+27Z:=0^Zr=1^,根據(jù)整數(shù)解問題區(qū)間為一開一閉，則選D.

54

考試技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧

例4.（全國?高考真題）已知函數(shù)/。）=/-2》+。（/-1+03）有唯一零點(diǎn)，貝!|。=

A.—2B.—3C.2■D.1

通過觀察發(fā)現(xiàn)/-2x關(guān)于x=1對稱，/T+e一向也關(guān)于尤=1對稱，

則唯一零點(diǎn)為1,解得解得.故選：C.

考試技巧16切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧

例.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）若過點(diǎn)（。,為可以作曲線y=e'的兩條切線，貝I］（）

A.eb<aB.e"<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

畫出函數(shù)曲線y=e'的圖象如圖所示,根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和無軸上方時才可以作出兩條切

例.(全國高考真題)若直線y=履+〃是曲線y=InX+2的切線，也是曲線y=W+1)的切線，則b=.

對函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo)得y=工，對y=ln(x+l)求導(dǎo)得,設(shè)直線>=履+〃與曲線y=lnx+2相切于

點(diǎn)4(國,〉1),與曲線y=ln(x+l)相切于點(diǎn)鳥(w，%),則%=111%+2,%=ln(z+l),由點(diǎn)在切線上得

y-(\nxl+2)=—(x-xl)f由點(diǎn)鳥(%,%)在切線上得>-儂％+D==二(x-x2),這兩條直線表示同一條直

Xj*2"I1

f1=1

?VjK，?111

線，所以、■，解得玉=彳,.?.%=—=2乃=ln石+2—1=1—ln2.

...”+12%

Intx,+1)=Inx,+—2—

，勺乂+1

考試技巧17端點(diǎn)效應(yīng)(必要性探索)解題技巧

端點(diǎn)效應(yīng)的類型

1.如果函數(shù)/(X)在區(qū)間切上"(X)>0恒成立，則于(a)20或f(b)>0.

2.如果函數(shù)在區(qū)問切上，/(x)20恒成立，且/(?)=0(或/3)=0),則/(fl)>0(或

f\b)<0).

3.如果函數(shù)/(%)在區(qū)問［a,b］上"(x)>0恒成立，且/(a)=0,/'(。)=0(或f(b)=O,f(b)工0)則

f"(a)>0(或/"3)W0).

cinx\711

例.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(冗)=依-——0,-

cosxI2J

⑴當(dāng)a=8時，討論Ax)的單調(diào)性；

⑵若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

【法一】端點(diǎn)效應(yīng)一

令g(x)=/(x)-sin2x,xek|j得g(0)=0,且g(x)<0在xek|j上恒成立

畫出草圖

［+2sin之Y

根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng)，需要滿足g'(O)WO而g'(x)=a------廠――2cos2x

'cosX

則g'(0)=a—3,令g'(O)WO,得a43

當(dāng)破3時，由于g(0)=0,只需證g'(x)<0即可

而g’(x)含有參數(shù)a,故可對g'(x)進(jìn)行放縮

即g，(力=?！?2COS2X<3-一2cos2x=5-：2c；sr_4cos2%

COSXCOSXCOSX

令t=cos2x,其中0</<l

3-2t

設(shè)h(t)=5-----4t

,62—4r—2%+6

貝h(t)=——-Y~4=-----------3-------------

rtr

令p(t)=—4/-27+6

則p'⑺=一12/一2<0,故p(t)在(0,1)上遞減，得夕?)〉必1)=0

則h(t)>Q,得hit｝在(0,1)上單調(diào)遞增，則丸(。<九(1)=0

即g'(x)<0,滿足g(x)<g(0)=0成立

當(dāng)a>3時，由于g'(0)="3>0,

故存在修,使得在(O,xo)上g'(x)〉0,

所以g(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，則g(x)〉g(0)=0,不成立

特上所述：a<3.

【法二】端點(diǎn)效應(yīng)二

(2)/(x)<sin2x^>ax-------<sinlx=^>g(x)=ax-sinlx-------<0

COSXCOSX

由于g(0)=0,且

，/、,cos2x+3sin2x

g(x)=<7-2COS2X-,

COSX

注意到當(dāng)g'(0)〉0,即a>3時，3x0e0,|使g'(x)〉0在xe(0,x0)成立，故此時g(x)單

調(diào)遞減

二.g(x)>g(0)=0,不成立.

另一方面，當(dāng)破3時，g(x)W3%—sin2%------z—=h(x),下證它小于等于。.

cosx

A,/\___3_2cos2x

令h(x\=3-2cos2x---------------

cosx

_3cos4x+2cos2x-3-2cos2xcos4x_3(cos4x-l)+2cos2x(1-cos2xcos2x)

—4-4

COSXCOSX

-(cos2x-1)2(4cos2x+!)<o.

一4

COSX

??.g(x)單調(diào)遞減，，g(x)Wg(0)=0.特上所述:a<3.

考試技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧

%+x

凹函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi)\/玉,尤2,都有2

2

凸函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi)v%,%,都有

2

例.在口48。中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

因為函數(shù)y=sinx在區(qū)間(0,?)上是上凸函數(shù)，則

1..廠、/-，A+_B+C).7iA/3

(zsmAA+sinBD+sinC)<sinII=sm

即sinA+sinB+sinC<,當(dāng)且僅當(dāng)sinA=sin5=sinC時，即A=B=C=—時，取等號.

23

上述例題是三角形中一個重要的不等式：在口ABC中,sinA+sinB+sinCW士叵.

2

例.丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Je“se”)是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等

式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)廣⑺在3切上的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),/(0在(。力)上的導(dǎo)函數(shù)為片(刈，

若在(a,b)上〃(x)<0恒成立，則稱函數(shù)/⑺在(。,切上為“凸函數(shù)”.B^/(x)=eT-xlnx--x2^(l,4)±

為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)功的取值范圍是()

/-；,+00

A.(e-1,+8)B.[e-1,+8)C./一；,+00D.

因為f(x)=ex-xinx-—x2,

所以ff(x)=ex-(l+\nx^-rrvc=ex-nvc-\nx-l,

f\x)=ex-m-1,

x

因為/(尤)=/-如%-萬一在(1,4)上為“凸函數(shù)”，

所以尸'(%)=，-〃z-。對于xe(1,4)恒成立，

X

可得相>ex--對于xe(l,4)恒成立，

X

令g(x)=e「J,則〃?>g(x)…

因為g'(x)=e，+：>0,所以g(x)=e*—-在(1，4)單調(diào)遞增,

所以g(x)max<g(4)=eJ；,

所以〃zWe",

【答案】C

考試技巧19洛必達(dá)法則解題技巧

法則1若函數(shù)4A)和以用滿足下列條件：

(1)lim/(x)=0及l(fā)img(x)=0；

XTax-^a

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，4A)與以A)可導(dǎo)且9國片0；

那么哽fi就x)=nm44

ig'(x)

法則2若函數(shù)4㈤和以㈤滿足下列條件：

(1)=oo及l(fā)img(x)=8；

x—>a')x—>a')

⑵在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，4A)與以A)可導(dǎo)且且(用力0；

(3)lim—=I,

fg(%)

可i//r/(x)/(%)8旬

那么hm—^=hrm—^=/z。一型

ig⑴ig(%)8

InxI]nxk

例.(全國高考)已知+->--+-恒成立，求k的取值范圍

x+1Xx-1X

Inx1]nxk72xlnx〕,、2xlnx,

解:+->--+_+l記gM=-~+l,

x+1Xx-1x1-xr1-xr

2(x2+l)lnx+2(l-x2)2(X2+1)

貝(1g(%)

h、+xF+1〕,

1-x2

記A(x)=lnx+

x2+l

,1?(1-x2)

則h(x)=——~~-y=-^~~^〉0

X(l+X?)X(l+Y)

所以，h(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，且〃(l)=0

所以xe(0,1)時,h(x)<0,XG(1,+co)時，h(x)>0

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+s)上單調(diào)遞增

所以

2xlnx

k<limg(x)=lim+1

X―MX―^11-x2

2xlnx2+21nx

lim+1lim+l=l—l=0

%-11-x21-2x

所以k<0

分析

2xInJC

上式中求lim——+l用了洛必達(dá)法則當(dāng)X-1時，分子2xlnx-0,分母l-x2^0,符合

II—/r

0?…―一~「2xlnx_2+21nx

八不定形式，所以lim-———=hm——-——=-!1

0%41一f一-2x

例.(全國高考)Vxe(0,+a)),/—l—x—。好》。恒成立，求&的取值范圍

x--1

解：€X—1—X—a%??。Q<-e----x-----

X

x-X-]

記g(x)=-e----5—，

記h(x)=xex-2ex+x+2

貝!]"(x)=xex-ex+1

h(x)=xex>0

所以，"(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以h'(x)>h'(0)=0

所以，h(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，所以用?〉丸(0)=0

即在(0,+s)上g'(x)〉0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增

所以

x-X-]xx1

a<limg(%)=lime_=lime=lime=

%.o%.o%，%.o