2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 空間向量與空間角 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第3講空間向量與空間角

［考情分析］以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn).空間向量是將空間幾何問

題坐標(biāo)化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點(diǎn)，通常以解答題的

形式出現(xiàn)，難度中等.

考點(diǎn)一異面直線所成的角

【核心提煉】

設(shè)異面直線/,根的方向向量分別為Q=(〃l,bl,Cl),8=(〃2,岳，C2),異面直線/與根的夾

角為夕

則(l)ee(0,胃；

(2)cos(9=|cos〈〃，b)|=|^jj||

_____\a\a2-\-b\b2~\~C\c^\

d屆虎+3

例1⑴如圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,E為下底面圓周上一點(diǎn),

滿足靛=2部，則異面直線AE與BOx所成角的余弦值為()

D.

答案B

解析方法一如圖，連接EQ并延長(zhǎng)，交底面圓于點(diǎn)死連接尸。1,FB,易知AE〃8F且

AE=BF,

所以/EBOi為異面直線A￡與BOi所成的角或其補(bǔ)角.

因?yàn)锽E=2AE,則ZAO2￡=60°,

所以△AEO2為正三角形，故AE=BE=1.

由圓柱的性質(zhì)知OiF=OiB=乖百萬苻=下,

馴7V5

所以在等腰△2F01中，COS/F8OI=5^=指.

方法二以A為原點(diǎn)，AB,A。所在直線分別為y軸、z軸，過點(diǎn)A的A8的垂線所在直線為

x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),2(020),01(0,1,2),￡(停，0),

所以異面直線AE與801所成角的余弦值為

|cos〈翁，布;〉尸逵她

1X^5"10,

\AE\\BOi\

故選B

(2)(2023?吉安模擬)在正方體ABC。-481C1O1中，E,尸分別為AB,8C的中點(diǎn)，G為線段

SA上的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線AG與取所成角的最大值為()

答案C

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則G(a,a,2),ae[(),2],

Zf

因?yàn)镋,尸分別為AB,BC的中點(diǎn),

貝i」A(2,0,0),￡(2,1,0),尸(1,2,0),

故G=(a—2,a,2),EF=(-l,l,0),

設(shè)兩異面直線的夾角為a,其中ae(0,

_|啟斜2_]

C°S(Z|AG||EF|^/(?-2)2+?2+4XV2N(aT)2+3'

因?yàn)閍d[O,2],則當(dāng)。=0或a=2時(shí)，cosa取得最小值，最小值為今

又因?yàn)閥=cosa在(0,方上單調(diào)遞減，則a的最大值為生

規(guī)律方法用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,f,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的

余弦值的絕對(duì)值.

跟蹤演練1(1)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1G中，AAi=AC=AB=2,BC=2也。為

的中點(diǎn)，E為AQ的中點(diǎn)，尸為BG的中點(diǎn)，則異面直線8E與AP所成角的余弦值為()

A—且B且「-亞D近

答案B

解析在直三棱柱ABC-AiBiCi中，

AAi=AC=AB=2,BC=2吸,

所以AC2+AB2=BC2,即AC1AB,

又AAi_L平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以AAi_LAC,AAi±AB,

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,A4i所在直線分別為無，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),8(2,0,0),Ci(0,2,2),2(1,0,2),破0,1),尸(1,1,1),

所以第施=?,0,—1),

?赤麗標(biāo)

所以|cos(AF,EB)1=

|前向|39，

即異面直線BE與AF所成角的余弦值為嚶.

(2)(2023?石嘴山模擬)在正四面體ABC。中，M,N分別為AC,AD的中點(diǎn)，則異面直線

CN所成角的余弦值為()

A-3B-4C-5D-6

答案D

解析方法一取AN的中點(diǎn)E,連接ME,BE,則旌〃CN,所以或其補(bǔ)角就是異

面直線BW,CN所成的角.

設(shè)43=4,

則BM=CN=2小，ME=小,

BE=^AB2+AE--2AB-AECOS60°=y[13,

ME?+BM2—BE2

cosZBME=

2MEMB

3+12-131

―2X4X2/一《

方法二不妨設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,以｛&,CB,無｝為基底，則前=周一無=

^CA-CB,CW=1(CA+Cb)，

則BM-GV=^1CA2+1CA-Cb-CB&-CBCD^

^X22—1X22XCOS60。)=—

又說=|兩=小，

設(shè)異面直線BM,CN所成的角為仇。6(0,

\BM-CN\1

所以cos9=|cos(BM,CN〉|=

6,

\BM\\CN\

所以異面直線CN所成角的余弦值為今

考點(diǎn)二直線與平面所成的角

【核心提煉】

設(shè)直線/的方向向量為“，平面a的法向量為凡直線/與平面。所成的角為仇

則⑴0,.；(2)sin8=|cos〈a,〃〉|=］；渭.

例2(2022?全國(guó)甲卷)在四棱錐P—45C。中，尸。_1底面48。。，CD//AB,AD=DC=CB=

1,AB=2,DP=p

K

(1)證明：BDLPA-,

⑵求PD與平面PAB所成角的正弦值.

⑴證明在四邊形ABCD中，作。E_L4B于點(diǎn)E,CF_LAB于點(diǎn)足如圖.

因?yàn)镃O〃A8,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=8尸=3，

故DE=^,

BD=、D疹+BE?=3,

所以人少十^^二人序，

所以AO_LBD

因?yàn)槭?_L平面ABCD,BDU平面A8C。，

所以PDLBD,

又PDCAD=D,PD,AQU平面以。，

所以BD_L平面PAD.

又因?yàn)镠U平面PAD,

所以BD±PA.

（2）解由（1）知，DA,DB,兩兩垂直,

如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DB,。尸所在直線分別為無，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,A（1,0,0）,

3（0,小，0）,尸（0,0,?。?/p>

則還=（—1,0,?。?/p>

麗=（0,f,?。?

5>=（o,o,6）.

設(shè)平面必B的法向量為"=（無，y,z）,

n-AP=0,

則有，.

ji-BP=0,

-x+/z=0,

可取〃=（小，1,1）,

一小y+小z=0,

則|cos〈"，DP）|=^^=W，

\n\\DP\

所以尸。與平面PAB所成角的正弦值為專.

易錯(cuò)提醒（1）線面角。與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈〃，〃〉的關(guān)系是〈0,

JTJT

〃〉+0=5或〈。，〃〉—（9=2，所以應(yīng)用向量法求的是線面南的正弦值，而不是余弦值.

（2）利用方程思想求法向量，計(jì)算易出錯(cuò)，要認(rèn)真細(xì)心.

跟蹤演練2（2023??？谀M）如圖，在四棱錐尸一A8CD中，AB//CD,AB1AD,平面力O_L

平面PCD.

p

c

(1)證明：平面B4Z)_L平面A8CQ；

(2)若AO=2AB=2,PB=yf2,PD=y[5,BC與平面PC。所成的角為0,求sin6的最大值.

⑴證明過點(diǎn)A作AHLPD于H,

因?yàn)槠矫鍮4O_L平面PC。，平面E4DC平面PCZ)=PZ),所以A8_L平面PC￡),

又CDU平面PC。，所以C￡)_LAH,

由4B〃O),ABLAD,可知C￡)_LA。，

而4?nAO=A,AH,4OU平面E4。，

所以CO_L平面PAD,

因?yàn)镃DU平面ABC。，

所以平面E4O_L平面ABCD.

(2)解方法一由(1)知，平面融。，

因?yàn)橐評(píng)平面加。，所以CZ)J_B4,

又AB〃C。，所以

所以EA=y/PB2—AB2=l,B42+A￡)2=PD2=5,所以B4_L4。，

所以A8,AD,AP兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),P(0,0,D，0(0,2,0),

設(shè)C(w,2,0)(m>0),

設(shè)平面PC。的法向量為〃=(尤0,刃，zo),所以〃_L而，n±DC,

百)=(0,2,-1),虎=(根,0,0),

nPD=0,

即，

nDC=0,

f2yo—zo—0,

得彳令yo=l,得"=(0,1,2),

[mxo—0,

BC=(m—1,2,0),

所以sin。=庭包=7=4^~~『，

\BC\\n\A/(,W—1)+4義小

顯然，當(dāng)m=l時(shí)，[(加-iy+4取得最小值,

綜上，當(dāng)C￡)=l時(shí)，sin。的最大值為坐.

方法二設(shè)點(diǎn)8到平面PCD的距離為“，

因?yàn)锳8〃CD,COU平面PCD,ABC平面PC￡),

所以AB〃平面PCD,所以點(diǎn)A到平面PCD的距離也為d,

由(1)知，⑺,平面出。，所以CD_LE4,

又AB〃CZ),所以A3_LE4,

所以出="尸22TB2=1,

所以B42+AZ)2=尸￡)2=5,所以m_LAO,

由(1)知，AHJ_平面PCD,

缶z?PAAD2^5

所以d-AH-「口—5，

由sin6=g=羋在四邊形A3CD中，當(dāng)3C_LCZ)時(shí)，BC取最小值,

nC3nC

此時(shí)四邊形ABC。為矩形，BC=2,

所以sin0的最大值為

考點(diǎn)三平面與平面的夾角

【核心提煉】

設(shè)平面a,￡的法向量分別為“，V,平面a與平面￡的夾角為(9,

兀

則⑴6*e[0,2J；

,.\u-v\

(2)cos0=|cos〈〃，1=而而.

例3(2023?新高考全國(guó)I汝口圖，在正四棱柱A8C￡>—A18C1O1中，AB=2,44尸4.點(diǎn)A2,

&,Cz,2分別在棱AAi,BBi，CCi,OP上，AA2=1,BB?=DD2=2,CC2=3.

G與

(1)證明：82c2〃42。2；

⑵點(diǎn)尸在棱上，當(dāng)二面角尸一A2c2—。2為150。時(shí)，求&P.

(1)證明以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，

則C(0,0,0),C2(0,0,3),&(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

.?.起=(0,—2,1),

碰=(0,-2,1),

入B2c2,人2。2不在同一條直線上，

：.B2C2//A2D2.

(2)解設(shè)尸(0,2,2X0W2W4),

則京=(—2,—2,2),M=(0,—2,3—2),演=(—2,0,1),

設(shè)平面陰2。2的法向量為〃=(%,y,z),

“?A2c2=—2x—2y+2z=0,

則＜_

、〃?尸Q=_2y+(3—A)z=0,

令z=2,得y=3—九x=X—l,

H—(A—1,3—A,2),

設(shè)平面A2c2。2的法向量為帆=(〃，b,c),

2c2=—2a—2Z?+2c=0,

則j

jn,D2c2=—2Q+C=0,

令a=l,得6=1,c=2,

"=(1,1,2),

6

-V6A/4+(2-1)2+(3-^)2

=|cos150°|=^-,

化簡(jiǎn)可得，M—42+3=0,

解得A=1或A=3,

???P(023)或尸(0,2,D，

:.B2P=I.

7T

易錯(cuò)提醒平面與平面夾角的取值范圍是0,2＞兩向量夾角的取值范圍是［0,兀］,兩平面

的夾角與其對(duì)應(yīng)的兩法向量的夾角不一^定相等，而是相等或互補(bǔ).

跟蹤演練3(2023?新高考全國(guó)n改編)如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=60°fE為3C的中點(diǎn).

⑴證明：BC-LDA；

(2)點(diǎn)F滿足庠=而，求平面ABD與平面ABF夾角的正弦值.

⑴證明如圖，連接AE,DE,

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，DB=DC,

所以DE1BC,

因?yàn)镈A=DB=DC,ZADB^ZADC^6Q0,

所以△AC。與△AB。均為等邊三角形，

所以AC=AB,從而AE_LBC,

又AECDE=E,AE,OEU平面AOE,

所以8C_L平面4DE,而AOU平面AOE,

所以BCLDA.

(2)解不妨設(shè)DA=DB=DC=2,

因?yàn)?￡)_LC￡),

所以BC=2吸，DE=AE=p

所以4層+。/=4=&￡)2,

所以AELLOE,

又AE_LBC,DEDBC=E,DE,8CU平面BC￡),

所以AEJ_平面BCD.

以￡為原點(diǎn)，ED,EB,EA所在直線分別為無，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則D（y[2,0,0）,A（0,0,立），B（0,?0）,￡（0,0,0）,

設(shè)平面A3。與平面A2尸的法向量分別為“1=（即，yi,zi）,"2=（x2,yi,z2）,

平面ABD與平面A8F夾角為仇而通=（0,也，一柩,

因?yàn)樾?函=（一也，0,陋），

所以F（—小,0,也），

則病=（一g，0,0）.

mDA=0,

由＜

^i-AB=0,

一爽xi+gzi=0,

市yi—pzi=0,

令xi=1,得yi=1,zi=1,

所以“1=(1,1,1).

?2-AB=0,

由＜

MT.-AF—Q,

，肝y2fz2=0,

{-y[2x2=o,

則及=0,令丁2=1,得Z2=l,

所以"2=(0」,1),

|〃1?避2|2#

所以|cos0\=

M\n2\~y[3Xyj2~3

從而sin0=

所以平面ABD與平面ABF夾角的正弦值為坐.

專題強(qiáng)化練

1.(2023?榆林統(tǒng)考)如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，平面E4Z)_L底面A8CDAB//CD,ZDAB

=60°,PALPD,且出=尸￡)=也，A8=2CZ)=2.

(1)證明：ADLPB.

⑵求平面PAD與平面P2C夾角的余弦值.

⑴證明取AD的中點(diǎn)G,連接8。，BG,PG.

因?yàn)橐?尸。=&,所以AO_LPG

又R1_LP￡),所以AO=2.

又A8=2,ZBAD=60°,

所以△A3。為正三角形，所以AOLBG

因?yàn)镻GABG=G,PG,BGu平面PBG,

所以AD_L平面PBG.

又尸8u平面尸8G,所以AOJ_PA

(2)解以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA,GB,(聲的方向分別為尤，y,z軸的正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,0,1),B(0,y[3,0),?一I，坐，0),

逐=(o,小,-1),正=(一|，坐,-1)

設(shè)平面的法向量為加=(x,y,z),

小y—z=O,

則z=0,

令得/w=(-19y[3,3).

由題可知，平面B4O的一個(gè)法向量為〃=(0,1,0).

設(shè)平面PAD和平面PBC的夾角為仇

\m-n\

則cos6

—I向川—〈15—13,

所以平面以。與平面PBC夾角的余弦值為曙.

2.(2023?錦州模擬)如圖一，ZsABC是等邊三角形，CO為A8邊上的高線，D,E分別是CA,

C8邊上的點(diǎn)，AD=BE=^AC=2；如圖二,

將△CDE沿DE翻折，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置,

尸0=3.

(1)求證：OP_L平面ABED；

(2)求平面BPE與平面PEF夾角的正弦值.

⑴證明因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，

AD=BE^AC,DE//AB,

CO為A8邊上的高線，DELOF,DE±PF,

XOFC\PF=F,OF,PFu平面FOP,

所以O(shè)E_L平面FOP.

因?yàn)镺Pu平面FOP,所以DELOP.

在中，OF=y[3,OP=3,PF=2y[3,

所以。尸+0尸=尸產(chǎn)，OPLOF,而。Eu平面A3E￡),OFu平面ABED,0FCDE=F,

故OP_L平面ABED

(2)解分別以5*,OB,[辦的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

z

y

則尸(0,0,3),2(0,3,0),E4,2,0),F巾,0,0),

則無=(小，2,一3),BE=(y[3,-1,0),

EF=(0,-2,0).

設(shè)平面3PE1的法向量為“1=(x1,yi,zi),

平面PEF的法向量為“2=(X2,>2,Z2),

ni-PE=y/3xi~\~2yi—3zi=0,

則]一

MvBE=y[3xi—yi=09

U2-PE=y[3x2+2y2—3z2=0,

且<_

ji2EF=-2y2=3

取Xl=l,%2=小，

得到平面5PE的一個(gè)法向量“1=（1,小,小），平面尸所的一個(gè)法向量敢=（,，0,1）,

設(shè)平面5尸E與平面PEF的夾角為仇

訕@⑶,改I2s小

財(cái)c°sa一阿網(wǎng)一于義2一"

所以sin3=-\11—cos23=^p-.

所以平面BPE與平面PEF夾角的正弦值為平.

3.（2023?濟(jì)寧模擬妝口圖，在四棱臺(tái)ABCD-AiBiQDj中，底面ABCD為平行四邊形，平面

1兀

ABCD,?！?gt;1=。4=4山1=/=2,ZBAD^.

（1）證明：。。1〃平面ABC；

⑵若BiA=BiC,求直線BCi與平面ABC所成角的正弦值.

⑴證明連接5D交AC于點(diǎn)O,連接。修，BiDi,

如圖所示，

由題意得，四邊形ABC。與四邊形AiBiGA相似且都為平行四邊形,

JT

且NSAi￡>i=/a4D=Q,OD/ZBiDx,

所以BD=2/,即。。=暴。=小，

B[DX=AIBI+AID1—2AIB\-AIDICOSZBIAIDI=3,B\Di=yf3,

所以O(shè)D=BD,

所以四邊形。21。1。為平行四邊形，

所以O(shè)Bi〃DDi,

又DDid平面ABiC,0B1U平面ABiC,

所以。。1〃平面ABC

(2)解因?yàn)锽iA=2iC,。為AC的中點(diǎn)，

所以08」AC,

又平面ABiCJ_平面ABC。，平面ABiCC平面ABCD=AC,OBg平面ABC,

所以O(shè)8i_L平面ABCD,

又OBJ/DLh,所以。平面ABCD,

在△A3。中，4。=；42=2,

ZBAD=^,BD=25

則AD2+BD2=AB2,所以AD_L2。，

如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DB,。。所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（2,0,0）,81（0,小，2）,c（—2,2小，0）,

8（0,2事,0）,Ci（-1,小，2）,

所以8c1=（-1,一小，2）,481=（—2,小,2）,

元=（-4,2^3,0）,

設(shè)平面ABC的法向量為〃=（x,y,z）,

n-ABi=-2x+/y+2z=0,

則有_

_n-AC=-4x+2V3y=0,

取X=A/§,則y=2,z=0,所以"=(小，2,0),

則|cos(BCx,n)|=噂,所以直線8cl與平面ABC所成角的正弦值為噂.

|BG|I?I

jr

4.如圖，