2025屆新高三開學摸底數學考試卷（新高考）【含答案】

2025屆新高三開學摸底數學考試卷（新高考通用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置

上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，

將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1.（2024?廣西?模擬預測）已知集合A={x[—2<x<3},B={x|x2-5x<O,xeN）,貝

（）

A.{x|0<x<3}B.{尤|一2<無<5}C.{0,1,2}D.{1,2}

47—i

2.（2024?河南?模擬預測）已知復數z滿足貝卜的虛部為（）

Z

A,—iB.—iC.-D.—

510510

3.（23-24高三下?陜西西安?階段練習）已知向量2=（私1）,b=（l,n）,若

（￡+彼）//（￡一6），貝ij（）

A.mn-\B.mn=—1C.m—n=OD.|m|—|n|=0

4.（23.24高一下?廣東廣州?期中）某校開展數學建?；顒?，有建模課題組的學生選擇

測量某山峰的高度，為此，他們設計了測量方案.如圖，在山腳/測得山頂尸的仰角

為45。，沿傾斜角為15。的斜坡向上走了90米到達8點（4B,P,0在同一個平面

內），在3處測得山頂尸的仰角為60。，則山高P。為（）米

A.45（76-72）B.45（^+72）C.90（^-1）D.90（6+1）

5.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知sinasin（Qr+E）=cosasin（1-a）,貝

tan（2a+：j=（）

A.2-73B.-2-73C.2+6D.一2+石

6.（2023?遼寧鞍山?一模）函數f（x）是定義在R上的偶函數,且〃l+x）=〃l-x）,若

xe[0,l],/（x）=2\則/（2023）=（）

A.4B.2C.1D.0

7.（23-24高三上?福建?階段練習）函數〃x）=sinx+2卜也斗彳目0,2可的圖象與直線

'=%有且僅有兩個不同的交點，則上的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0.2）

22

8.（2024?山東?模擬預測）已知雙曲線E：,2=1（“>0力>0）的左、右焦點分別為

K,用,過F2的直線與E的右支交于A,8兩點，且忸閶=2|A閶，若麗.麗=0,則

雙曲線E的離心率為（）

A.出B.姮C*D.亞

333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得

0分.

9.（2024?廣東汕頭?一模）某次數學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中

隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高

分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于［80,90）內的學生成績方

差為12,成績位于［90,100）內的同學成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量平均數和方差分別為：加、7、s；；〃、

工、s；.記樣本平均數為石，樣本方差為$2,

A.6/=0.004

B.估計該年級學生成績的中位數約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25

10.（2024?河南?模擬預測）已知函數/（x）=sin,+3，下列說法正確的是（）

A.的最小正周期為g

B.點為〃尤）圖象的一個對稱中心

C.若/（元）=a（aeR）在無/上有兩個實數根，則3W

L189」2

D.若“X）的導函數為尸⑺，則函數y=〃x）+/'（x）的最大值為亞

11.（2022?山東濟南?一模）平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵

形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現的.已知在平面直角坐

標系xOy中，M（-2,0）,N（2,0）,動點尸滿足1PM卜|尸叫=5,其軌跡為一條連續(xù)的封

閉曲線C.則下列結論正確的是（）

A.曲線C與y軸的交點為（0,-1）,（0,1）B.曲線C關于x軸對稱

C."MN面積的最大值為2D.|。尸|的取值范圍是[1,3]

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2024?江西?二模）已知非零向量詞滿足2同=瓦且心心-可，貝上石的夾角大

小為.

13.（23-24高二下?四川廣安?階段練習）已知直線＞=丘+，既是曲線y=ln尤的切線，

也是曲線y=-in（-x）的切線，則％+匕=.

14.（2024?安徽安慶?三模）一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標

有數字1,2,3,4,4.現甲從中隨機摸出一個球記下所標數字后放回，乙再從中隨機

摸出一個球記下所標數字，若摸出的球上所標數字大即獲勝（若所標數字相同則為平

局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步聚。

15.(2024?湖南益陽?三模)已知。、b,c分別是44BC內角A,B,C的對邊,

(Z?—a)cosC=c(cosA—cosB),b2=2ac.

(1)求cosC；

⑵若2MBe的面積為后，求。

22

16.(23-24高二上?江蘇徐州?階段練習)已知橢圓C：，+多=1(a>6>0)的一個焦

ab

點為B(2,0),且離心率為9.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/：與橢圓c交于48兩點，若AABO面積為G,求直線/的方程.

17.(2024?河南?三模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面

ABCD,PA±AB,AB//CD,AB=2CD=2AD=2BC=2.AP=2.

⑴證明：平面P4C_L平面P3c；

(2)求平面PAD與平面PBC夾角的正弦值.

18.(2024?廣東茂名?二模)在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采

用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗

者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽「'敗區(qū)”的兩人對陣，

敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級

最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠

軍，敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為。(0<。<1),且不同對陣的結果

相互獨立.

(1)若p=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣?。?/p>

□求甲獲得第四名的概率；

□求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗

者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

19.(2024?河南信陽?二模)已知函數y=〃x),其中=一日2,左?R.若點A在

函數y=的圖像上，且經過點A的切線與函數y=〃x)圖像的另一個交點為點8,

則稱點8為點A的一個“上位點”，現有函數y=〃x)圖像上的點列M,.........

M,,，…，使得對任意正整數〃，點Mn都是點加用的一個“上位點”.

(1)若左=0,請判斷原點。是否存在“上位點”，并說明理由；

(2)若點％的坐標為例,0),請分別求出點風、“3的坐標；

⑶若M的坐標為(3,0),記點M“到直線y=心的距離為源.問是否存在實數加和正整數

T,使得無窮數列4、dT+l辦+"…嚴格減？若存在，求出實數機的所有可能值；

若不存在，請說明理由.

參考答案與詳細解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1.(2024?廣西?模擬預測)已知集合4={吊一2＜》＜3},B={x|x2-5x＜0,xeN),貝

AAB=()

A.{x|0＜x＜3}B.{尤|一2＜尤＜5}C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【分析】先求集合8,注意xeN,再求AcB.

2

【詳解】X-5X<0^0<X<5,又因為XWN,所以8={1,2,3,4},得可|-={1,2}

故選：D.

2.(2024?河南?模擬預測)已知復數z滿足二^=-2i,貝IJz的虛部為()

Z

A.—iB.—iC.—D.—

510510

【答案】C

【分析】根據條件，利用復數的四則運算，即可求出結果.

【詳解】因為"匚=-2i,所以4iz+l=2z,所以1=(2-旬z,

Z

12+4i2+4i11.,,1

^^Z-2-4i-(2-4i)(2+4i)"20'所以z的虛部為g，

故選：C.

3.(23-24高三下?陜西西安?階段練習)已知向量Z=5=(1,"),若

(￡+■)//(￡-■),則()

A.mn=lB.mn——1C.m—n=OD.|m|—|n|=0

【答案】A

【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.

【詳解】a+B=(次+1,1+〃)，a-b,

□(4+5)〃(”方)，□(m+l)(l-?)=(/72-l)(l+M),化簡得修〃=1.

故選:A.

4.(23-24高一下?廣東廣州?期中)某校開展數學建?；顒樱薪Ｕn題組的學生選擇

測量某山峰的高度，為此，他們設計了測量方案.如圖，在山腳/測得山頂尸的仰角

為45。，沿傾斜角為15。的斜坡向上走了90米到達8點(4B,P,。在同一個平面

內)，在8處測得山頂尸的仰角為60。，則山高尸。為()米

p

A.45(A/6-A/2)B.45(#+垃)C.90(^-1)D.90(73+1)

【答案】B

【分析】在dBP中，利用正弦定理求AP,進而在RtdAQ中求山的高度.

【詳解】依題意，ZPAQ=45°,ZBAQ=i5°,貝U?PAB30。，NAP。=45。,

又NPBC=60。，則/BPC=30°,即有ZBPA=15。，NPBA=135'

AP4R

在AABP中，AB=90,由正弦定理得.茨DD=.,

sinZABPsinZAPB

「./A-A/?

且sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=-------

onm

ABsinZABP90sin135°218072

IjllAP=____________=__________=_____——=________

sinZAPBsin15°76-^2遍一行

4

在RtAPA。中，pQ=APsin45。也=45(#+應)，

戈-垃2

所以山演］PQ為45(逐+A/2)米.

故選：B

5.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知sinasin(a+W=cosasin]1-“，則

tanQa+J()

A.2-y/3B.-2-73C.2+y/3D.-2+白

【答案】B

【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=6,進一步結合兩角和的正

切公式即可得解.

【詳解】由題意^^sin?a+'sinacosa=-^-cos26Z--sincrcoscr，即

2222

V3Q1..

——cos2a=—sin2a，

22

c兀

tan2a+tan—gki^一一2一技

即tan2a=上,所以tanf+—1=4

71

1-tan2atan—1-V3-2

4

故選：B.

6.(2023?遼寧鞍山?一模)函數"X)是定義在R上的偶函數，且-x),若

xe[0,l],f(x)=2\則/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據〃l+x)=〃l-x),結合/(X)是定義在R上的偶函數，易得函數根X)的

周期為2,然后由“2023)=/(1011x2+1)=/(1)求解.

【詳解】因為〃1+力=〃1-力，且/(尤)是定義在R上的偶函數,

所以/(l+x)=〃x-l),

令r=xT,則x=f+l,

所以〃/+2)=/'⑺，即/(x)=/(x+2),

所以函數/(無)的周期為2,

所以/(2023)=/(1011X2+1)=/(I)=2.

故選：B.

7.（23-24高三上?福建?階段練習）函數〃尤）=sinx+2卜inx|,xe[0,2可的圖象與直線

>=上有且僅有兩個不同的交點，則上的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0,2）

【答案】C

【解析】先分類討論去絕對值號，得出函數“力的解析式，然后畫出函數與

y=上的圖象進行判斷.

【詳解】〃x）=sinx+2卜inR=1.,

[-sinx,7r<x<27r

如圖所示，

要使〃x）=sinx+2卜inx|,xe[0,2K]的圖象與直線y=%有且僅有兩個不同的交點，則只

需1<左<3.

故選：C.

【點睛】本題考查根據函數圖象的交點個數求參數的取值范圍，較簡單，畫出函數的

圖象是關鍵.

22

8.（2024?山東?模擬預測）已知雙曲線E：=-2=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為

ab

Ft,F2,過尸2的直線與E的右支交于A,8兩點，且忸閶=2|A閶，若麗.通=0,則

雙曲線E的離心率為（）

AYB.叵C.空D.叵

333

【答案】B

【分析】設|盟|=J則怛閭=27,根據雙曲線的定義，可得|倒|和|即再在直角三

角形中，利用勾股定理可得關于。，。的關系，可得雙曲線的離心率.

【詳解】如圖：設|然|=/,則|%|=2f,

根據雙曲線的定義，可得|筋|=2°+~忸耳|=2a+2t,

因為麗?荏=0,所以/54片=90。，

所以||的「+|第2=1耳歐J（2a+H+/=（2c）2

2222

\\AF1|+1AB「=\BFf［（2t?+r）+（3z）=（2a+2r）

由（2a+r）+（3f）=（2“+2f）=>2a=3t,

代入（2a+r）2+產=（Ze?可得17/=9/ne=￡=姮.

a3

故選：B

【點睛】方法點睛：選擇填空題中，出現圓錐曲線的問題，首先要考慮圓錐曲線定義

的應用，不能用定義，再考慮其他方法.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得

0分.

9.（2024?廣東汕頭?一模）某次數學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中

隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高

分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于［80,90）內的學生成績方

差為12,成績位于［90,100）內的同學成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量平均數和方差分別為：機、Ks；；〃、

工、破.記樣本平均數為了，樣本方差為$2,

A.a=0.004

B.估計該年級學生成績的中位數約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25

【答案】BCD

【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,列等式求出實數。的

值，可判斷A選項；利用中位數的定義可判斷B選項；利用總體平均數公式可判斷C

選項；利用方差公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

貝M2a+3a+7a+6a+2a）xl0=200a=l,解得a=0.005,A錯；

對于B選項，前兩個矩形的面積之和為（2a+3a）x10=50a=0.25<0.5,

前三個矩形的面積之和為（2。+3。+7。）x10=120。=0.6>0.5,

設計該年級學生成績的中位數為機，則me（70,80）,

根據中位數的定義可得025+（m-70）x0.035=0.5,解得加。77.14,

所以，估計該年級學生成績的中位數約為77.14,B對；

對于C選項，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數為

6ax85+2"x95=87.5分,C對；

6a+2a6a+2a

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為

1[12+（87.5-85）2]+^-[10+（87.5-95）2]=30.25,D對.

故選：BCD.

10.（2024?河南?模擬預測）已知函數〃x）=sin[3x+[,下列說法正確的是（）

A./（x）的最小正周期為三

B.點管,0）為圖象的一個對稱中心

C.若7（x）=a（aeR）在x上有兩個實數根，則

L189J2

D.若的導函數為r（x）,則函數y=〃x）+r（x）的最大值為歷

【答案】ACD

【分析】對于A,直接由周期公式即可判斷；對于B,直接代入檢驗即可；對于C,

畫出圖形，通過數形結合即可判斷；對于D,求得后結合輔助角公式即可得解.

【詳解】由題意可得T=?，故A正確；

（弓卜si吟=9。，所以信,0）不是“X）圖象的一個對稱中心，故B錯誤；

令t=3x+工，由一二WxV工得四

318963

根據題意可轉化為直線產。與曲線〃x）=sin（3x+1],無/_91有兩個交點,

13/Lioy

1

4

y=sin（3x+^y

1

2

>

7171TlX

18189

數形結合可得等""<1’故C正確；

設尸0）為“X）的導函數，

貝lj/（x）+/'（X）=sin+3cos^3%+=VTUsin13%+；+0]<V10,其中tan。=3,

當且僅當3x+:+0=I+2E/￡Z,即當且僅當.―￥+9+§水￡Z時等號成立，故

323183

D正確，

故選：ACD.

11.（2022?山東濟南?一模）平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵

形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現的.已知在平面直角坐

標系xOy中，M（-2,0）,N（2,0）,動點尸滿足|PMHPN|=5,其軌跡為一條連續(xù)的封

閉曲線C.則下列結論正確的是（）

A.曲線C與），軸的交點為（0,-1）,（0,1）B.曲線C關于x軸對稱

C.APMN面積的最大值為2D.|。尸|的取值范圍是[1,3]

【答案】ABD

【分析】根據給定條件，求出曲線C的方程，由尤=0判斷A；由曲線方程對稱性判斷

B；取特值計算判斷C；求出爐的范圍計算判斷D作答.

【詳解】設點解")，依題意，[(》+2)2+/]?-2)2+也=25,整理得：

'+'=，16/+25-4,

對于A,當x=0時，解得y=+l,即曲線C與y軸的交點為(O,T),(0,1),A正確；

對于B,因％2+(_y>=三+/=,16/+25—4,由換>方程不變，曲線C關于x軸對

稱，B正確；

對于C,當/=|時，/=|,即點P(手,4)在曲線C上，

S"=；\MN、T=巫,C不正確；

對于D,由/=」16/+25-4-彳230得：尤4一8尤2一940,解得04/<9,

于是得|OP『=X2+y2=+25-4w[1,9],解得14卯43,D正確.

故選：ABD

【點睛】結論點睛：曲線C的方程為尸配y)=0,(1)如果H-x,y)=0,則曲線C關于了

軸對稱；

(2)如果網蒼―y)=0,則曲線C關于x軸對稱；(3)如果尸(-％->)=0,則曲線C關于原

點對稱.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2024?江西?二模)已知非零向量泡滿足2同=瓦且打貝IJ標的夾角大

小為.

【答案】y

【分析】由向量垂直的數量積表示和數量積的定義式運算即可.

【詳解】因為（萬-5）,設向量Z與方的夾角為6,

所以/,（/_方）=/-萬-5=時-|fl|-|z?|cos^=0,

又因為2同=忖，

所以同2-2同.同cos6=0,所以cos6=g.

因為所以e=g.

所以向量獲的夾角大小為土

故答案為：y.

13.（23-24高二下?四川廣安?階段練習）已知直線＞=丘+6既是曲線y=ln尤的切線,

也是曲線y=-In（-%）的切線，則左+b=.

【答案】~1e-1

e

【分析】利用導數的幾何意義計算即可.

【詳解】設曲線y=lnx與y=-ln（-x）的切點分別為（和%）,（%2，%）,

易知兩曲線的導函數分別為＞=』，/=

b=0

l+Z?=-ln^

所以12+b=In玉n

-1+6=In%k=-

fcr2+/?=-ln(-x2)e

貝IJk+/?=—.

e

故答案為：L

e

14.(2024?安徽安慶?三模)一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標

有數字1,2,3,4,4.現甲從中隨機摸出一個球記下所標數字后放回，乙再從中隨機

摸出一個球記下所標數字，若摸出的球上所標數字大即獲勝(若所標數字相同則為平

局)，則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

【答案】|

【分析】設事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球”為事件8,由古典概率公式求

出P(A),尸(AB),再由條件概率求解即可.

【詳解】設事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球”為事件B,

則P(A),

'，C'C'25')CjC'25

3

所以P國力=舒=295-

25

故答案為：;.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步聚。

15.(2024?湖南益陽?三模)已知。、b,c分別是44BC內角A,B,C的對邊,

(b—a)cosC=c(cosA—cosB),=2ac.

(1)求cosC；

(2)若ZL4BC的面積為岳，求c.

【答案】(1)1；⑵2.

O

【解析】(1)由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡，然后結合余弦定理可求；

(2)由已知結合三角形的面積公式即可直接求解.

【詳解】(1)由3-。)85。=式8$4-?0$2)及正弦定理可得，

sinBcosC—sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sin3cosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC,

即sin(B+C)=sin(A+C),

所以sinA=sinB,

所以〃=b,

因為/=2QC=28C,

所以b=2c,

a1+/-c24c2+4c2-c27

由余弦定理可得，cosC=

2ab2x2cx2c8

⑵由⑴知sinC=Jl一針=平

因為ZL4BC的面積為止，所以J_"sinC='a2x2l=JF,解可得。=4,

228

貝ljc=L=2

2

【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求

解三角形中的應用，屬于中檔試題.

22

16.(23-24高二上?江蘇徐州?階段練習)已知橢圓C：與+夫=1(。＞“0)的一個焦

ab

點為尸(2,0),且離心率為當.

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線/：?機與橢圓c交于a3兩點，若面積為求直線/的方程.

【答案】⑴3+[=1

62

⑵產尤±2

【分析】（1）根據焦點坐標和離心率求出a，c,從而求出以即可求解方程；

（2）聯立直線與橢圓方程，韋達定理求出弦長，利用點到直線的距離求出高，根據面

積建立方程求解即可.

【詳解】⑴由焦點為-2,0）得c=2,又離心率e=￡=1,得到”幾，

a3

22

所以62=°2一°2=6一4=2,所以橢圓C的方程為工+匕=1.

62

（2）設2a“J,B[x2,y2）,

、江+其=1?

聯立<62,消了得4x?+6/HX+3"/—6=0,

y=x+m

A=36m2-16（3m2-6）=-12m2+96>0,得至lj<8,

由韋達定理得，西+毛=-當，尤也=近4,

，4

2

又因為AB=y/l+k\x2-%|="Jlx（I2；,

又原點到直線的距離為1=號，

所以S”=g41AB|=gx號x曰A/I二=4x師而二^J=技

所以布-8■+16=0,所以4=4,即根=±2,滿足）<8,

所以直線/的方程為y=%±2.

17.（2024?河南?三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面

ABCD,PA±AB,AB//CD,RAB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

⑴證明：平面P4C_L平面PBC；

（2）求平面PAD與平面PBC夾角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

4

【分析】（1）先由線段關系證ACL3C,結合面面垂直的性質判定線線垂直，利用線

線垂直證線面垂直；

（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面角即可.

【詳解】（1）由題意AB=2CD=2AD=23C=2,則NABC=60。，

因為3c=1,48=2,所以NAC3=9（r,AC_LBC,

因為平面巳鉆，平面ABCD,平面上4Bc平面ABCD=AB,

且PA_LAB,PAu平面PAB,

所以P4,平面ABC。，

因為BCu平面ABCD,所以P4LBC,

且ACnPA=A,AC,PAu平面PAC,所以3C_L平面PAC,

又BCu平面尸8C,所以平面PAC_L平面尸3C；

(2)如圖，以/為原點，市5,；?分別為工軸，'軸正方向，在平面AB8內過點/作

平面48c的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，

則尸(1,0,0),8(020),。0,

所以》=(1,0,0),而jo,；,*],PB=(-l,2,0),BC=k-1,^

[22)【22)

設平面PAD的一個法向量4=(x,y,z),

/11-AP=x=0

則______yJjz，令z=-l,得4=(0,&,-1),

rL-AD=^-+—=0

122

設平面PBC的法向量％=(m,",p),

n2-PB=—m+2n=0

貝IJ______n6P，令P=1得兀=(2瓜6,1),

&-BC=——+------=0

I222

々.%21

設平面R4D與平面尸5。的夾角為。，貝h。5。=占造=丁7=:，

匐M|2x44

所以平面PAD與平面PBC夾角的正弦值為J1-cos?6=姮.

4

18.(2024?廣東茂名?二模)在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采

用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗

者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽「'敗區(qū)”的兩人對陣，

敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級

最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠

軍，敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為？(0<?<1),且不同對陣的結果

相互獨立.

(1)若p=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；

□求甲獲得第四名的概率；

□求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗

者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

【答案】(l)D0.16；03.128

(2)答案見解析..

【分析】(1)結合對立事件概率和獨立事件概率公式求解即可；

(2)結合對立事件概率和獨立事件概率公式比較計算.

【詳解】⑴口記“甲獲得第四名”為事件A,則P(A)=(1-0.6)2=0.16；

□記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X,

則X的所有可能取值為2,3,4,

連敗兩局：P(X=2)=(l-0.6)2=0.16,

X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；

P(X=3)=0.62+(l-0.6)x0.6x(l-0.6)+0.6x(l-0.6)x(l-0.6)=0.552,

p(X=4)=(1-0.6)x0.6x0.6+0.6x(1-0.6)x0.6=0.288；

故X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故數學期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128；

⑵“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率尸=/