2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（8類題型全歸納）（原卷版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題04三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01三角函數(shù)單調(diào)性.........................................................................I

題型02周期...................................................................................3

題型03對稱軸與對稱中心.......................................................................4

題型04奇偶性..................................................................................5

題型05最值與值域（可化為一元二次函數(shù)型）....................................................6

題型06圖象平移與伸縮變化.....................................................................6

題型07根據(jù)圖象求解析式.......................................................................8

題型08與。有關(guān)的問題........................................................................10

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------O

題型01三角函數(shù)單調(diào)性

【解題規(guī)律?提分快招】

函數(shù)y=smxy=cosxy=tanx

在\7^\3TT4K

圖象"2(V\\2r

2；n：2

Rk兀一%,2k兀+eZ(kn-gk兀+y),keZ

遞增區(qū)間[2k7i-肛2k兀]9keZ

nCT3兀、.?

遞減區(qū)間[2左乃+—,2k兀H—左￡Z[2k兀,2k兀+?],左eZ無

【典例1-1]（22-23高一下?北京懷柔?期末）已知/（x）=2sin2x則〃X）滿足（)

A.周期是2兀，在上單調(diào)遞增B.周期是2兀，在0胃上單調(diào)遞減

C.周期是兀，在口右上單調(diào)遞增D.周期是無，在0胃上單調(diào)遞減

【典例1-2]（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=—?jiǎng)t可斷定函數(shù)（）

tanx+1

TT

A.最小正周期為兀，奇函數(shù)，在區(qū)間（0,1上單調(diào)遞增

7T

B.最小正周期為71,偶函數(shù)，在區(qū)間（0,5）上單調(diào)遞減

TTTT

C.最小正周期為T，奇函數(shù)，在區(qū)間（0,3上單調(diào)遞增

D.最小正周期為金IT，偶函數(shù)，在區(qū)間（0,JT/上單調(diào)遞減

【變式1-1］（23-24高一下?北京順義?期末）下列函數(shù)中，以無為最小正周期，且在區(qū)間（ogj上單調(diào)遞增

的是（）

A.y=tan［x+；）B.y=|sinx|

C.y=cos2xD.y=sinx

4

【變式1-2］（23-24高二下?北京?期末）已知函數(shù)/(x)=2sin(Gx+°),xER,其中。>0,-Tt<(p<Ti,若

的最小正周期為6兀，且當(dāng)時(shí)，/（%）取得最大值，則（）

A.〃x）在區(qū)間［-2兀,0］上是減函數(shù)B./（%）在區(qū)間［-3兀,-兀］上是減函數(shù)

C./（x）在區(qū)間［-2兀,0］上是增函數(shù)D.一兀

【變式1-3］（24-25高三上?廣東江門?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以兀為周期，且在區(qū)間無J上單調(diào)遞增的

是（）

A.^=sin|x|B.j^=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cosx|

題型02周期

【解題規(guī)律?提分快招】

函數(shù)y=44口（。/+0）y=Acos（d;x+（p）y二"4tan（0x+0）

周期TT*T*

⑷囪

函數(shù)y=\石口（如+0）|y=|Ncos（sr+0）|y=|Atan（ox+0）|

周期T

T=—T=—T=—

⑷

函數(shù)y=|」4sin（0x+0）+b|y=（Zcos（?x+0）+b|y=j/4tan（0x+0）+b|

（6工0）（MO）（6工0）

周期TT3T*

T=—

其它特艇散，可通過畫圖直財(cái)蜥周期

【典例1-1］（23-24高一下?北京,期中）下列函數(shù)中，周期為兀且在10$J上單調(diào)遞增的是（）

A.y=tan|x|B.^=sin|x|

C.y=|sinx|D.y=|cosx|

【典例1-2］（23-24高一上?福建廈門?階段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為兀的個(gè)數(shù)是（）

X

y=|sinx|y=sin|x|y=cos|x\y=tan—

2

A.1B.2C.3D.4

【變式1-1］（22-23高一下?北京西城?期末）下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是偶函數(shù)的是（）

A.ksin［x+；］

B.y=tanx

C.y=cos2xD.y=sin2x

函數(shù)/（x）=sinxcos［x-|^,則（）

【變式1-2］（23-24高一上?北京豐臺(tái)?期末）

A./（x）是最小正周期為2兀的奇函數(shù)B.〃x）是最小正周期為2兀的偶函數(shù)

C./（X）是最小正周期為71的奇函數(shù)D.f（x）是最小正周期為ir的偶函數(shù)

題型03對稱軸與對稱中心

【解題規(guī)律?提分快招】

JT

⑴函數(shù)V=Zsin（0x+。）的圖象的對稱軸由0x+0=左乃+萬（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由

ox+0=左乃（左eZ）解得；

（2）函數(shù)y=Acos（（t>x+9）的圖象的對稱軸由0X+。=左萬（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由

JI

①x+（p=k兀+—（左wZ）解得；

2

k冗

（3）函數(shù)y=Ntan（0x+。）的圖象的對稱中心由（yx+0=；-左eZ）解得.

【典例1-11（24-25高三上?北京?開學(xué)考試）已知函數(shù)/Gj=fsin0x+cos0x?>0,。>0）的最小正周期為

兀，最大值為行，則函數(shù)/（x）的圖象（）

A.關(guān)于直線x=1對稱B.關(guān)于點(diǎn)對稱

C.關(guān)于直線x=E對稱D.關(guān)于點(diǎn)對稱

【典例1-2]（24-25高三上?北京海淀?階段練習(xí)）若函數(shù)f（x）="cosx-sinx（/>0）的最大值為2,則

A=,f（x）的一個(gè)對稱中心為

【變式1-1]（24-25高二上?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（司=28510工+三）。>0）的部分圖象如圖所

示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.CD-I

5TT

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線工=三對稱

C.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱

27rjr

D.函數(shù)〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間為kn-—,kn--化eZ）

5o

【變式1-2]（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=tan（ox+9）（0>0,闡<曰圖象相鄰的兩個(gè)對稱

中心間的距離為兀，若/（。）=1,則函數(shù)/（x）圖象的一個(gè)對稱中心為（）

A.g,o]B.go]UHD.（7t,0）

【變式1-3]（24-25高三上?北京朝陽?階段練習(xí)）己知函數(shù)"x）=2sin（2x+W，則下列命題正確的是（）

A.“X）的圖象關(guān)于直線x=1對稱

B.7（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

TT

c.“X）在0,—上為增函數(shù)

D.7'（x）的圖象向右平移芻個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

題型04奇偶性

【解題規(guī)律?提分快招】

JI

⑴函數(shù)V=Nsin（（yx+。）是奇函數(shù)=。=左乃（左eZ）,是偶函數(shù)u>0=左乃+萬（左eZ）；

JI

（2）函數(shù)y=Zcos（0x+。）是奇函數(shù)=。=上萬+萬（左eZ）,是偶函數(shù)。。=左萬（左eZ）；

（3）函數(shù)y=Ntan（0x+9）是奇函數(shù)=。=bz'（keZ）.

麗iZij一（右;正高三王五京二瓶維石5一下疥南函用廠京文域?yàn)镽商春菌藪息一廠一5一

A.y=x2+1B.y=tanxC.y=2xD.y=x+sinx

【典例1-2]（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關(guān)于（jo]對稱的是（）

A.y=cos（2x+W）B.>=sin（2x+5）

C.y=cos（x+兀）D.y=sin（x+7i）

jrjr

【變式H】⑵-24高一下?北京,期中）函數(shù)k8.々內(nèi)/（?7）是（）

A.最小正周期為T的偶函數(shù)B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

TT

C.最小正周期為T的奇函數(shù)D.最小正周期為兀的奇函數(shù)

【變式1-2］（23-24高一下?北京順義?期中）下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是偶函數(shù)的是（）

A.y=cos2xB.y=tanxc.y=sin［無+：］D.y=sinlx

【變式1-3］（23-24高一下?北京?期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,/）單調(diào)遞增的是（）

A.y=tanxB.y=sinxC.y=cosxD.y=xsinx

題型05最值與值域（可化為一元二次函數(shù)型）

【解題規(guī)律?提分快招】

『通過換元，一轉(zhuǎn)換為二五三次函藪錄值城;注熹攪元后百變毫的取值指函一

i

JT

【典例1-1］（23-24高一下?河南南陽?階段練習(xí)）已知關(guān)于％的方程l-sidx-sinx+2a=0在（0刁上有解,

那么實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.--<a<0C.--<a<—D.--<tz<0

82222

【典例1-2］（23-24高一下?上海浦東新?期中）函數(shù)〃x）=tan2xTanx,xe的最大值與最小值之

和為

【變式1-1］（23-24高一下?江蘇常州?期末）函數(shù)/（x）=cos2x-4sinx-l的值域是（）

A.(-吟2]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-6,2]

【變式1-2］（22-23高一下?江蘇揚(yáng)州?期中）函數(shù)/(x)=cos2x-6cosx+2的值域是().

7、77

A.[r--,+co)B.[--,-3]C.[-3,9]D.[--,9]

【變式1-3］（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）函數(shù)y=sin2x+2cosx,值域是.

題型06圖象平移與伸縮變化

【解題規(guī)律?提分快招】

（1）不改變函數(shù)名

（2）改變函數(shù)名（結(jié)合誘導(dǎo)公式變形）

一【欣麗1二11一（24125篇三工互點(diǎn)「瓶琮牙丁嘉理初法藪［二方s：n37碼面豪「浜濡嬉苗藪了二盂3；一，益3；

的圖象（）

A.向左平移￡個(gè)單位長度B.向右平移￡個(gè)單位長度

44

C.向左平移自個(gè)單位長度D.向右平移自個(gè)單位長度

【典例1-2］（23-24高一上?北京大興?期末）要得到函數(shù)y=sin（；x-：）的圖象，只需將函數(shù)y=sinx圖象

上的所有點(diǎn)（）

A.先向右平移^個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍

B.先向右平移^個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的;

42

C.先向右平移?個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍

D.先向右平移弓個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的;

【變式1-11（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（"=sin/x-j（xeR,?>0）的最小正周期為

兀.將>=/（x）的圖象向左平移。（°>0）個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于》軸對稱，則。的一個(gè)值是（）

71371_71_71

A.—B.—C.—D.—■

2848

冗

【變式1-2123-24高一下?北京東城?期中）把函數(shù)y=situ的圖象向左平移三個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)

的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，則所得函數(shù)圖象的解析式為（）

.（X71>1.「X兀）

A.y=sm—+―B.y=sin—+—

U3j（39）

C.y=sin^3x+y^D.y=sin^3x+^

【變式1-3］（23-24高三上?北京通州?期中）已知函數(shù)〃x）=/cos（2x+0（/>0,冏〈兀）是奇函數(shù)，且

/將/（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為

g（x）,則（）

A.g（x）=sinxB.g（x）=-sinx

C.g(x)=cos

題型07根據(jù)圖象求解析式

【解題規(guī)律?提分快招】

求了（X）=4sin（0X+。）+B解析式

43求法U+5=/（x）fflax

,°方法二：讀圖法3表示平g時(shí)遺；/

表示振幅

。制方法一：圖中讀出周期T,利用了二‘27T求解：

<y

方法二若無法讀出周期，使用特殊點(diǎn)代入解析式但需注意根據(jù)具體題意取

舍答案

0梃方法一：將最高（低）點(diǎn)代入/（x）=4sm3x+°）+5求解；

方扛：高（低）點(diǎn)，可他特幅ft\/（x）=HWn（0X+p）+8

踴3但需演懶具體痛取絡(luò)案.

【典例1-1]（24-25高二上?北京海淀?開學(xué)考試）函數(shù)了=/sin（（yx-9）（/>O,0>O,O<9<7i）的部分圖象如

B.y=2sinl2x-y

D.y=2sin12x+g

【典例1-2]（23-24高一下?北京昌平?期末）函數(shù)〃x）=/tan（8+°）（0>O,冏昔）的部分圖象如圖所示,

13K

則/~n

C.3D.373

【變式1-1］（2024?北京海淀三模）函數(shù)/（%）=2852（勿+9）+6的部分圖象如圖所示，則以下說法正確

A.a)=—,b=\B.co=-,b=-l

22

C.CD—71,b=1D.a)=Ti,b=-1

己知/'（x）=sin（s+e）（0>0,同<兀）的部分圖象如圖所

V3V2V6+V21

A.B.C.D.——

V2~42

1,0>0,網(wǎng)<5的部分圖象如圖

【變式1-3】（23-24高一下?北京海淀?期末）函數(shù)/（x）=/sin（0x+e）［A>0.

所示，則其解析式為（）

yt

i5兀

o\

?血

;in(2x+；B./(x)=Vising

A.f(x)=Vis;X+

7171

C./(x)=V2sin|x+^D./(x)=V2sinX+-

3

題型08與0有關(guān)的問題

【解題規(guī)律?提分快招】

「一1

。與單調(diào)性

(2)。與對稱性

(3)①與最值

(4)。與零點(diǎn)

(5)。與極值

丫一2

【典例1-1］（24-25高三上?北京朝陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)"x）=sins+*^（0>O）在［0,2］上恰有4個(gè)

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

里,2兀二2兀2兀，9兀2兀,*兀

A.B.C.D.

2222

【典例1-2］（2024,西藏拉薩,一模）若函數(shù)〃x）=|sin0x|+sin3|（o>O）在（-1,1）上恰有9個(gè)極值點(diǎn)，則。

的取值范圍是（）

13兀17兀13719兀13n13K17K

A.B.--------,+00C.D.

22222

【變式1-1］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=/sin（@x+0）/>0.1,0>0,網(wǎng)<：,T是

函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且》=:是其圖象的一條對稱軸.若/（x）在區(qū)間K上單調(diào)，則外的最大值為（）

4

A.18B.17C.14D.13

71

【變式1-2］（22-23高三上?北京通州?期中）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（ox-6+左（。>0）,若/⑴"對任意的實(shí)

數(shù)x都成立，則g的一個(gè)可取值為（）

A.4B.5C.7D.8

【變式1-3](2023?四川瀘州,一模)已知函數(shù)/(x)=2sin[s-鼻(o>0)在卜三；上存在最值，且在(三，兀

上單調(diào)，則。的取值范圍是()

(2115-58"-ll17-

A.0a,-B.l,-C.———D.——

l3J3_2'3__4'3_

*>----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.(24-25高三上?北京?階段練習(xí))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.y=\wcB.j=x2C.vjgj1D.〉=cosx

2.(2024?北京順義三模)已知函數(shù)/(x)=cos2；sin1,貝I」()

A./(x)為偶函數(shù)且周期為4兀B./(x)為奇函數(shù)且在卜￡山上有最小值

C.為偶函數(shù)且在[上單調(diào)遞減D.4X)為奇函數(shù)且為一個(gè)對稱中心

3.(2024?北京?三模)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.〃力=百B./(x)=sin|x|

C.f(x)=2X+2~xD,f(x)=tanx

4.(2024?北京通州三模)已知函數(shù)7'(x)=cos(@x+e)(?>0<0<<P<^)的圖象在y軸上的截距為;，三

2212

是該函數(shù)的最小正零點(diǎn)，則()

71

A.(p=—

6

B.”x)+/'(x)42恒成立

C.〃x)在(0,9上單調(diào)遞減

D.將V=/(x)的圖象向右平移弓個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于〉軸對稱

5.(24-25高三上?福建?期中)將函數(shù)y=cos(x+e)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，

得到函數(shù)y=的圖象.若了=〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)[—

對稱，則|。|的最小值為()

6.(2024?四川德陽?模擬預(yù)測)把函數(shù)/(x)=sin2x圖象上所有點(diǎn)先向左平移1個(gè)單位長度，再將所得曲線

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g("的圖象，則g(x)=()

.(A2兀).一兀、.(兀、.(2兀)

A.sm4%+——B.sm4x——C.smx+—D.smxd

I3)I3)I3；I3J

7.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)若將函數(shù)/(x)=2cosx(cosx+sinx)-1的圖象向左平移?個(gè)單位長度得到g⑺

的圖象，則g(x)圖象的對稱中心的坐標(biāo)是()

A.1-^■+而,0)(左eZ)B.1-1+配,。］(左eZ)

C.1事+手。＞陽D.日+箏。卜叼

8.(2024?浙江杭州一模)將函數(shù)y=sinx的圖像向左平移°(0＜夕＜2兀)個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像,

則"kg(x)是偶函數(shù)"是"夕=5"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2024?廣東韶關(guān)?一模)已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+o)(0＞O,O＜e＜］］的部分圖象如圖，4呂是相鄰的

最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，直線N8的方程為＞=2x+g,則函數(shù)/(x)的解析式為()

171

B.f(x)=2sin—x+—

26

7171

C.f(x)=2sinD.f(x)=2sin—x+—

26

10.(2024,黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測)如圖，將繪有函數(shù)/(x)=Msin(Wx+eJ(M＞0,0＜9＜兀)部分

圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為此時(shí)42之間的距離為岳，則。=()

5兀

D.

~6~

(.2024?上海長寧■一模)已知函數(shù)昨sin"+升。>0)在區(qū)間W上單調(diào)遞增’則④的取值范圍

是()

A.(0,1]B.(0,1)

0

12.(2024?