2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合，則，則等于（）A. B.C. D.2.命題“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，使得C.，使得 D.，使得3.如圖，是全集，，，是的子集，則陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.4.給出下列關(guān)系：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.45.若，是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，，則（）A. B.C D.7.已知集合，若，且同時(shí)滿足：①若，則；②若，則.則集合A的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.208.定義：若一個(gè)位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知集合，是自戀數(shù)，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.15 C.31 D.63二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的有（）A.若x，y是偶數(shù)，則x＋y是偶數(shù) B.若a＜2，則方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根C.若四邊形對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形 D.若ab＝0，則a＝010.若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A B. C. D.11.已知為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.的最大值為8 B.的最小值為8C.的最小值為 D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，且，則的值為_________.13.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14.已知，，則最小值是______.當(dāng)取最小值時(shí)，恒成立，則的取值范圍是_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(?UB)∪(?UC)．16.已知，.（1）求證：；（2）若，求ab的最小值.17.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18.某化工單位采取新工藝、把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸．最多為600噸，處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．已知月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為．每噸的平均處理成本．（1）該單位每月處理為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？19.已知集合．（1）判斷8，9，10是否屬于集合A：（2）已知集合，證明：“”的充分非必要條件是“”；（3）寫出所有滿足集合A的偶數(shù)．2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】在數(shù)軸上表示出集合，再結(jié)合交集的定義即可得解.【詳解】集合在數(shù)軸上表示如圖所示：由圖可得.故選：B.2.命題“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，使得C.，使得 D.，使得【正確答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即得.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“，都有”的否定是“，使得”.故選：B.3.如圖，是全集，，，是子集，則陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)文氏圖的意義，陰影部分為集合的外部與集合集合交集內(nèi)部的公共部分，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，陰影部分為集合的外部與集合集合交集內(nèi)部的公共部分，即.故選：C.4.給出下列關(guān)系：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，由元素與集合的關(guān)系，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，為實(shí)數(shù)，而表示實(shí)數(shù)集，所以，即①正確；對(duì)于②，2為整數(shù)，而表示整數(shù)集合，所以，即②正確；對(duì)于③，為正自然數(shù)，而表示正自然數(shù)集，所以，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)闉闊o理數(shù)，表示有理數(shù)集，所以，即④錯(cuò)誤.故選：B.5.若，是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得“”“”、“”“”，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，由，得，則“”“”；當(dāng)時(shí)，由，得，則“”“”，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.已知，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】，，，，，.故選：D.7.已知集合，若，且同時(shí)滿足：①若，則；②若，則.則集合A的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.20【正確答案】B【分析】由題意得若則且，若則且，若則，若則，而元素5沒有限制，進(jìn)而即可求出集合A的可能結(jié)果.【詳解】由題得，，由題意可知若則且，若則且，若則，若則，而元素5沒有限制可或.綜上，集合A可為：，，，，，，，.所以集合A的個(gè)數(shù)共8個(gè).故選：B.8.定義：若一個(gè)位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知集合，是自戀數(shù)，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.15 C.31 D.63【正確答案】A【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義逐個(gè)的進(jìn)行判斷可得集合B，進(jìn)而即得.【詳解】，所以8是自戀數(shù)；，所以23不是自戀數(shù)；，所以81不是自戀數(shù)；，所以153是自戀數(shù)；，所以254不是自戀數(shù)；，所以370是自戀數(shù).所以集合.所以真子集個(gè)數(shù)：個(gè).故選：A二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的有（）A.若x，y是偶數(shù)，則x＋y是偶數(shù) B.若a＜2，則方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根C.若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形 D.若ab＝0，則a＝0【正確答案】BCD【分析】根據(jù)必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】A：x＋y是偶數(shù)不一定能推出x，y是偶數(shù)，因?yàn)閤，y可以是奇數(shù)，不符合題意；B：當(dāng)方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根時(shí)，則有，顯然能推出a＜2，符合題意；C：因?yàn)榱庑螌?duì)角線互相垂直，所以由四邊形是菱形能推出四邊形的對(duì)角線互相垂直，符合題意；D：顯然由a＝0推出ab＝0，所以符合題意，故選：BCD10.若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】解方程，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，可得或.對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，方程無解，符合題意；當(dāng)時(shí)，解方程，可得.由題意知，，此時(shí)應(yīng)有或，解得或.綜上可得，或.故選：BC.11.已知為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.的最大值為8 B.的最小值為8C.的最小值為 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，且，則的值為_________.【正確答案】0【分析】根據(jù)集合相等，列出關(guān)于m的方程，結(jié)合集合元素的互異性，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，而集合的元素具有互異性，故，所以，故013.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】求出的最大值，然后可得，解出即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有解，的最大值為4所以，解得故14.已知，，則的最小值是______.當(dāng)取最小值時(shí)，恒成立，則的取值范圍是_______.【正確答案】①.1②.【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此時(shí)的關(guān)系，然后可解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)取得最大值4所以由恒成立可得，解得故1；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(?UB)∪(?UC)．【正確答案】（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(?UB)∪(?UC)＝{1,2,6,7,8}．【詳解】試題分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求?UB，?UC；再求(?UB)∪(?UC)．試題解析：解：(1)依題意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由?UB＝{6,7,8}，?UC＝{1,2}；故有(?UB)∪(?UC)＝{67,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．16.已知，.（1）求證：；（2）若，求ab的最小值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）1.【分析】（1）對(duì)不等式兩邊式子作差，分解因式，判斷作差的結(jié)果的符號(hào)，可得證.（2）根據(jù)，可得，從而得到，進(jìn)而求得，注意等號(hào)成立的條件，得到結(jié)果.【詳解】證明：（1）∵，∴（2）∵，，∴，即，∴，∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)ab取最小值1.該題主要是考查不等式的證明和運(yùn)用基本不等式求最值，在證明不等式時(shí)，可以運(yùn)用綜合法也可以運(yùn)用分析法，一般的比較大小的最重要的方法就是作差法，然后結(jié)合綜合法和分析法來一起證明，屬于中檔題.17.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）將代入集合求解，利用集合間的關(guān)系可求；（2）利用充分不必要條件的定義，分類討論集合可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】已知集合，．當(dāng)時(shí)，，或又，；【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊背浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，又，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，是的真子集；當(dāng)時(shí)，也滿足是的真子集，綜上所述：．18.某化工單位采取新工藝、把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸．最多為600噸，處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．已知月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為．每噸的平均處理成本．（1）該單位每月處理為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？【正確答案】（1）噸（2）該單位每月不能獲利，需要國家至少補(bǔ)貼40000元才能使單位不虧損【分析】（1）設(shè)每噸的平均處理成本為（元），得到，結(jié)合基本不等式求解即可；（2）設(shè)該單位每月獲利（元），得到函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】設(shè)每噸的平均處理成本為（元），則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以該單位每月處理為噸時(shí)，才能使每噸平均處理成本最低【小問2詳解】設(shè)該單位每月獲利（元），則，函數(shù)圖像開口向下，對(duì)稱軸，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以該單位每月不能獲利，需要國家至少補(bǔ)貼40000元才能使單位不虧損19.已知集合．（1）判斷8，9，10是否屬于集合A：（2）已知集合，證明：“”的充分非必要條件是“”；（3）寫出所有滿足集合A的偶數(shù)．