第四章 三角形 第5節(jié) 直角三角形與勾股定理 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

第5節(jié)直角三角形與勾股定理

回歸教材·過基礎(chǔ)

【考點(diǎn)清單】

知識點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)與判定

直角三角形的兩個(gè)銳角①

性質(zhì)

直角三角形中斜邊上的中線等于②

直角有一個(gè)角為③的三角形是直角三角形

三角形有兩個(gè)角④的三角形是直角三角形

判定

如果三角形的一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是

直角三角形

含30°角的在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于

直角三角形的性質(zhì)⑤

30°角的判定若一條直角邊等于斜邊的一半,則這條直角邊所對的銳角等于30°

(1)SRt△ABC=ch=ab,其中a,b為兩直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高;

拓展11

22

(2)Rt△ABC內(nèi)切圓的半徑r=,外接圓的半徑R=,即斜邊的一半

a+b?cc

22

知識點(diǎn)2勾股定理及其逆定理

1.勾股定理

(1)如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么⑥.

(2)能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長分別為a,c,b,且滿足⑦,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

技巧提示

運(yùn)用勾股定理時(shí),應(yīng)分清直角邊和斜邊,斜邊為最長邊,即斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

【基礎(chǔ)演練】

1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,則有下列結(jié)論:

(1)∠A+∠B=,依據(jù)是.

(2)AC2+BC2=,依據(jù)是.

2.如圖,在△ABC中,請你添加一個(gè)條件,使得△ABC是直角三角形.添加的條件可以是.

依據(jù)是什么?

3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,解答下列問題:

(1)若∠A=38°,則∠B=°.

(2)若分別以直角三角形三條邊為邊長向外作正方形,記兩直角邊為邊長所作的正方形面積為

S1,S2,斜邊為邊長所作的正方形面積為S3,若S1=6,S3=14,則S2=.

(3)如圖1,CD⊥AB,垂足為D.

圖1

①圖中有幾個(gè)直角三角形?請寫出來.

②填空:∠ACD=∠,∠A=∠,∠ACD+∠=90°,AC2=AD2+

=AD·,BC2=BD2+=BD·,CD2=AD·,Rt△ACD∽∽.

③若∠A=30°,AC=2,則BC=,AB=,AD=,∠BCD=°.

④E為AB上一點(diǎn),連接3CE,若AC=4,BC=3,則

(ⅰ)AB=,CD=;

(ⅱ)當(dāng)CE為中線時(shí),ED=;

(ⅲ)當(dāng)CE為角平分線時(shí),若∠A=40°,則∠DCE=°.

(4)如圖2、圖3,∠ACB=90°,直線l經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A,B分別作BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D,E,若

AC=BC,則所得的△ACE和△CBD有什么關(guān)系?試猜想DE,BD,AE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)

論.

圖2圖3

4.如圖,以AB所在的直線為x軸,過點(diǎn)C的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,若

OA=4,OB=1,OC=2.

(1)寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),并求直線BC的解析式.

(2)若點(diǎn)D在y軸上,將BC沿直線BD對折,使BC正好落在x軸上,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C',求點(diǎn)D的

坐標(biāo).

真題精粹·重變式

考向1直角三角形的性質(zhì)與判定

1.(2021·福建)如圖,某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離,在學(xué)校附近選一

點(diǎn)C,利用測量儀器測得∠A=60°,∠C=90°,AC=2km.據(jù)此,可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于

()

A.2kmB.3km

C.2kmD.4km

3

熱點(diǎn)訓(xùn)練

2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD=.

考向2勾股定理及其逆定理

熱點(diǎn)訓(xùn)練

3.把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一

個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.

2

核心方法

利用直角三角形求線段長的方法

1.勾股定理是揭示直角三角形三邊關(guān)系的定理.若已知直角三角形中的兩邊長,則可求出第三

邊長;若已知直角三角形三邊的關(guān)系,則可設(shè)未知邊長,根據(jù)勾股定理列方程求解.

2.在直角三角形中求邊長,首先要考慮的是用勾股定理求解.當(dāng)直角三角形中出現(xiàn)30°角時(shí)應(yīng)

聯(lián)想到30°角所對的直角邊是斜邊的一半,當(dāng)出現(xiàn)斜邊上的中線時(shí)要想到直角三角形中斜邊上的

中線等于斜邊的一半,這些線段間的數(shù)量關(guān)系是直角三角形中求線段長的關(guān)鍵.

3.若圖形中含折疊,則考慮用折疊的性質(zhì),然后在直角三角形中,設(shè)未知量,列方程求解.

4.若所求為線段和(或可轉(zhuǎn)化為線段和的形式),考慮用證全等轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.

4.以2,3為直角邊的直角三角形的斜邊長為()

A.B.

C.45D.513

5.如圖,已知正方形A的面積為3,正方形B的面積為4,則正方形C的面積為.

6.(數(shù)學(xué)文化)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”,極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證

明.如圖,“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若大正

方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE=.

7.《九章算術(shù)》勾股章有一問題,其意思:現(xiàn)有一豎立著的木柱,在木柱上端系有繩索,繩索從木柱上

端順木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牽著繩索退行,在離木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡,請問繩

索有多長?若設(shè)繩索長度為x尺,根據(jù)題意,可列方程:.

參考答案

回歸教材·過基礎(chǔ)

考點(diǎn)清單

①互余②斜邊的一半③90°④互余⑤斜邊的一半

⑥c2=a2+b2⑦a2+b2=c2

基礎(chǔ)演練

1.(1)90°直角三角形兩個(gè)銳角互為余角

(2)AB2直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

2.解析:(1)∠A+∠B=90°或∠C=90°,依據(jù)是兩個(gè)銳角互為余角的三角形是直角三角形,或者有

一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

(2)AC2+BC2=AB2,依據(jù)是在三角形中,如果兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形

是直角三角形.

3.解析:(1)52(2)8

(3)①三個(gè)直角三角形,分別是Rt△ACD,Rt△BCD,Rt△ABC.

②BBCDA(或BCD)CD2ABCD2ABBDRt△CBDRt△ABC③24

330④55

127

510

(4)解析:△ACE≌△CBD,DE=BD+AE(另一種情況自行證明).

證明:∵∠ACB=90°,BD⊥l,AE⊥l,

∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°,

∴∠EAC+∠ECA=∠BCD+∠ECA=90°,

∴∠EAC=∠BCD.

∵在△ACE和△CBD中,∠EAC=∠DCB,∠AEC=∠CDB,AC=CB,

∴△ACE≌△CBD(AAS),

∴CE=BD,AE=CD,

∴CE+CD=BD+AE,

∴DE=BD+AE.

4.解析:(1)A(-4,0),B(1,0),C(0,2).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

依題意得解得

k+b=0,k=?2,

∴y=-2x+2b.=2,b=2,

(2)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在y軸的正半軸上時(shí),可得BC'=BC,

圖1

根據(jù)勾股定理,得BC==,∴OC'=BC'-OB=-1,DC'=DC=OC-OD=2-OD.

22

在Rt△DC'O中,∵OD2+1C'O+2=2C'D25,5

∴OD2+(-1)2=(2-OD)2,

5

解得O