專(zhuān)題五 綜合與實(shí)踐(2024年新增題型) 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

專(zhuān)題五綜合與實(shí)踐(2024年新增題型)(2024·福建)在手工制作課上,老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD,要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒.小明按照如圖2所示的方式裁剪(其中AE=FB),恰好得到紙盒的展開(kāi)圖,并利用該展開(kāi)圖折成一個(gè)禮品盒,如圖3所示.(1)直接寫(xiě)出ADAB的值(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”,如圖4所示,那么應(yīng)選擇的紙盒展開(kāi)圖圖樣是()(3)今有三種不同型號(hào)的矩形卡紙,其規(guī)格、單價(jià)如下表所示:卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ規(guī)格/cm30×4020×8080×80單價(jià)/元3520現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開(kāi)圖(圖2)為基本樣式,適當(dāng)調(diào)整AE,EF的比例,制作棱長(zhǎng)為10cm的正方體禮品盒.如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒,請(qǐng)你合理選擇上述卡紙(包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)),并在卡紙上畫(huà)出設(shè)計(jì)示意圖(包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒,其展開(kāi)圖在卡紙上的分布情況),給出所用卡紙的總費(fèi)用.(要求:①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張,只要在一張卡紙上畫(huà)出設(shè)計(jì)方案;②沒(méi)有用到的卡紙,不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì);③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在自行設(shè)計(jì)的表格上;④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分,總費(fèi)用最低的才能得滿(mǎn)分;⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用)(2024·福州模擬)“天圓地方”觀起源于中國(guó)古人對(duì)宇宙天地的最初認(rèn)識(shí),后來(lái)發(fā)展成為中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要思想,在我國(guó)古代應(yīng)用廣泛.例如,世界文化遺產(chǎn)“天壇”(如圖1),秦統(tǒng)一貨幣“秦半兩”(如圖2).“天圓地方”的宇宙圖式具有一種極具意味的形式美和意境美,這種觀念成為現(xiàn)代各種設(shè)計(jì)活動(dòng)的靈感來(lái)源.為了讓同學(xué)們更深入地了解“天圓地方”的數(shù)學(xué)之美,老師設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)項(xiàng)目活動(dòng)單:學(xué)習(xí)項(xiàng)目主題:景區(qū)圓形水池開(kāi)發(fā)方案設(shè)計(jì)初步感知:(1)已知☉O的半徑為2,求其內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).設(shè)計(jì)活動(dòng)一:(2)如圖3,某風(fēng)景區(qū)有一個(gè)直徑為10米的圓形水池(即☉O),某噴泉設(shè)計(jì)公司給出如下方案:在池內(nèi)沿中軸線(xiàn)設(shè)計(jì)兩個(gè)正方形噴泉陣(即正方形ABCD和正方形CEFG),剩余區(qū)域進(jìn)行自然水景生態(tài)美化.由于景區(qū)開(kāi)發(fā)資金有限,噴泉陣又造價(jià)較高,為了節(jié)約成本,請(qǐng)求出兩個(gè)正方形噴泉陣面積之和的最小值以及此時(shí)AC的長(zhǎng).設(shè)計(jì)活動(dòng)二:(3)某演藝公司也對(duì)(2)中的圓形水池提出開(kāi)發(fā)方案:為了增強(qiáng)景區(qū)的娛樂(lè)性和交互性,可以建造一個(gè)水上演藝舞臺(tái)(如圖4),池內(nèi)沿中軸線(xiàn)PQ設(shè)計(jì)兩個(gè)無(wú)縫連接的前置矩形舞臺(tái)AA'D'D和后置矩形舞臺(tái)EE'F'F,AA'⊥PQ于點(diǎn)B,FF'⊥PQ于點(diǎn)G,AA'=2AD,FF'=2EF,為了確保夜間演出的舞臺(tái)效果,需要給舞臺(tái)AA'和FF'處全部安裝LED燈帶,為做出預(yù)算,請(qǐng)求出燈帶(AA'+FF')的最大值和最小值.參考答案例1解析:(1)2.提示:如圖1,上述圖形折疊后變成圖2,由折疊和題意可知,GH=AE+FB,AH=DH,∵四邊形EFNM是正方形,∴EM=EF,即AG=EF,∴GH+AG=AE+FB+EF,即AH=AB.∵AH=DH,∴ADAB=AH+DH∴ADAB(2)C.提示:根據(jù)幾何體的展開(kāi)圖可知,“吉”和“如”在相對(duì)的面上,“祥”和“意”在相對(duì)的面上,而相對(duì)的面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形,且字體相反,∴C選項(xiàng)符合題意.(3)需要卡紙型號(hào)的數(shù)量及總費(fèi)用如下表所示.理由如下:卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ需要卡紙的數(shù)量/張132需要卡紙的總費(fèi)用/元58根據(jù)(1)和題意可得卡紙每格的邊長(zhǎng)為5cm,如圖3,則要制作一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正方體的展開(kāi)圖如下:∴每張型號(hào)Ⅲ卡紙可制作10個(gè)正方體,如圖4:每張型號(hào)Ⅱ卡紙可制作2個(gè)正方體,如圖5:每張型號(hào)Ⅰ卡紙可制作1個(gè)正方體,如圖6:∴可選擇型號(hào)Ⅲ卡紙2張,型號(hào)Ⅱ卡紙3張,型號(hào)Ⅰ卡紙1張,則10×2+2×3+1×1=27(個(gè)),∴所用卡紙總費(fèi)用為20×2+5×3+3×1=58(元).說(shuō)明:本參考答案僅給出一種解法供參考.例2解析:(1)如圖1,連接AC.∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接正方形,∴AC是直徑.∵☉O的半徑為2,即AC=22,∴AB=CB=2.(2)設(shè)AC=x米,則CF=(10-x)米,設(shè)兩個(gè)正方形噴泉陣的面積和為y平方米,則y=12x2+12(10-x)2=x2-10x+50=(x-5)∵1>0,∴當(dāng)x=5時(shí),y有最小值,最小值為25,∴兩個(gè)正方形的面積和的最小值為25平方米,此時(shí)AC的長(zhǎng)為5米.(3)如圖2,設(shè)PQ交EE'于點(diǎn)C,連接AC,CF'.設(shè)AD=a米.EF=b米.∵PQ是直徑,PQ⊥AA',PQ⊥FF',∴AB=A'B,FG=F'G.∵AA'=2AD,FF'=2EF,∴AB=A'B=AD=a米,FG=F'G=FE=b米.又∵∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.同理可證四邊形A'BCD',四邊形CGF'E',四邊形CEFG都是正方形,∴∠ACB=∠GCF'=45°,∴A,C,F'共線(xiàn),∴AC=2a米,CF'=2b米,∴AF'=2(a+b)米.∵AA'+FF'=2(a+b)米,∴當(dāng)AF'的值最大時(shí),AA'+FF'的值最大,當(dāng)AF'的值最小時(shí),AA'+FF'的值最小.∵當(dāng)AF'是直徑時(shí),AF'的值最大,此時(shí)2(a+b)=10,∴a+b=52,∴AA'+FF'的最大值為102米.如圖3,當(dāng)點(diǎn)E落在☉O上時(shí),AF'的值最小,連接AO,OF,AF',此時(shí)OC=OG.在Rt△O