第二章 方程(組)與不等式(組) 第1節(jié) 一次方程(組)及其應用 學案（含答案）2025年中考數(shù)學人教版一輪復習

第1節(jié)一次方程(組)及其應用回歸教材·過基礎【知識體系】【考點清單】知識點1方程的有關概念及等式的性質1.方程的有關概念含有未知數(shù)的2.等式的性質如果a=b,那么a±c=知識點2一元一次方程及其解法1.一元一次方程定義只含有⑦未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是⑧,等號兩邊都是⑨,這樣的方程叫作一元一次方程

2.解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法去分母若方程中未知數(shù)的系數(shù)為分數(shù),則方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)去括號若方程中有括號,則應先去括號,去括號的順序為先去小括號,再去中括號,最后去大括號移項將含未知數(shù)的項移到方程左邊,常數(shù)項移到方程右邊合并同類項把方程化成ax=b(a≠0)的形式系數(shù)化為1方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)知識點3二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的基本思想——消元2.基本方法代入法:方程變形→代入消元→回帶求解→檢驗知識點4一次方程(組)的應用1.列方程(組)解應用題的一般步驟:(1)把握題意,搞清楚什么是條件,求什么;(2)設未知數(shù)直接設未知數(shù),就事論事,問什么設什么(3)找出能夠包含未知數(shù)的等量關系(一般情況下設幾個未知數(shù),就找?guī)讉€等量關系);(4)列出方程(組);(5)求出方程(組)的解;(6)檢驗(看是否符合題意);(7)寫出答案(包括單位名稱).2.一次方程(組)實際應用的常見類型常見題型及關系式(1)利潤問題:售價=標價×折扣,銷售額=售價×銷量,利潤=售價-進價,利潤率=利潤/進價×100%.(2)利息問題:利息=本金×利率×期數(shù),本息=本金+利息.(3)工程問題:工作量=工作效率×工作時間.(4)行程問題:路程=速度×時間.①相遇問題:全路程=甲走的路程+乙走的路程.②追及問題:a.同地不同時出發(fā),前者走的路程=追者走的路程;b.同時不同地出發(fā),前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程【基礎演練】1.下列等式變形不一定正確的是()A.若a=b,則a+c=b+c B.若a=b,則3a=3bC.若a=b,則a-x=b-x D.若a=b,則am=2.填空,使所得結果仍是等式:(1)如果x-2=5,那么x=5+;

(2)如果3x=10-2x,那么3x2x=10;

(3)如果2x=7,那么x=;

(4)如果x?12=3,那么x-1=3.解方程:x-x?24=5x?74.解方程組:x?2y=4,①真題精粹·重變式考向1解一元一次方程6年1考1.(2022·福建)推理是數(shù)學的基本思維方式,若推理過程不嚴謹,則推理結果可能產(chǎn)生錯誤.例如,有人聲稱可以證明“任意一個實數(shù)都等于0”,并證明如下:設任意一個實數(shù)為x,令x=m,等式兩邊都乘x,得x2=mx,①等式兩邊都減m2,得x2-m2=mx-m2,②等式兩邊分別分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m),③等式兩邊都除以x-m,得x+m=m,④等式兩邊都減m,得x=0,⑤故任意一個實數(shù)都等于0.以上推理過程中,開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應的序號是.

熱點訓練2.若代數(shù)式x+1的值為6,則x等于()A.5 B.-5 C.7 D.-73.解方程:x?32+x?1核心方法解一元一次方程時的“四注意”1.去分母時,不要漏乘常數(shù)項;2.去分母時,分子是多項式的要加括號;3.括號前是負號,去括號時,要變號;4.移項時要變號.考向2解二元一次方程組6年1考4.(2019·福建)解方程組:x?y=5,真題變式變條件——融入去分母5.解方程組:x?y=5,熱點訓練6.已知二元一次方程組x+2y=4,2x+y=5,則x-y的值為7.已知x=1,y=2是方程ax+by=3的解,則代數(shù)式2a+4b-5的值為考向3一次方程(組)的應用6年2考8.(2024·福建)今年我國國民經(jīng)濟開局良好,市場銷售穩(wěn)定增長,社會消費增長較快,第一季度社會消費品零售總額120327億元,比去年第一季度增長4.7%,求去年第一季度社會消費品零售總額.若將去年第一季度社會消費品零售總額設為x億元,則符合題意的方程是()A.(1+4.7%)x=120327 B.(1-4.7%)x=120327C.x1+4.7%=120327D.x1?4.7%9.(2019·福建)《增刪算法統(tǒng)宗》記載:“有個學生資性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,問君每日讀多少?”其大意如下:有個學生天資聰慧,三天讀完一部《孟子》,每天閱讀的字數(shù)是前一天的兩倍,問他每天各讀多少個字?已知《孟子》一書共有34685個字,設他第一天讀x個字,則下面所列方程正確的是()A.x+2x+4x=34685B.x+2x+3x=34685C.x+2x+2x=34685D.x+12x+1熱點訓練10.我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題:“一條竿子一條索,索比竿子長一托.折回索子卻量竿,卻比竿子短一托.”其大意:現(xiàn)有一根竿和一條繩索,用繩索去量竿,繩索比竿長5尺;如果將繩索對半折后再去量竿,就比竿短5尺.設繩索長x尺,竿長y尺,則符合題意的方程組是()A.x=y+5,12x=y?5C.x=y+5,2x=y?5 D.核心突破·拓思維考點一次方程(組)的應用在“二元一次方程組”這一章的復習課上,王老師讓同學們根據(jù)下列條件探索還能求出哪些量:在我市“鄉(xiāng)村建設”工作中,甲、乙兩個工程隊先后接力為某村莊修建一條335米長的公路,甲隊每天修建20米,乙隊每天修建25米,一共用了15天完成.(1)小紅同學根據(jù)題意,列出了一個尚不完整的方程組x+y=?,請寫出小紅所列方程組中未知數(shù)x,y表示的意義:x表示,y表示;并寫出該方程組中?處的數(shù)應是,*處的數(shù)應是.

(2)小芳同學的思路:設甲工程隊一共修建了x米公路,乙工程隊一共修建了y米公路.請你按照小芳的思路列出方程組,并求出乙隊修建的天數(shù).核心方法一次方程(組)的應用注意事項①在設未知數(shù)時,根據(jù)實際情況直接設未知數(shù)或間接設未知數(shù),并且一定要記得未知數(shù)要帶單位.②在解方程的過程中,要保證設的未知數(shù)、列的未知數(shù)、解的未知數(shù)相同.③題目中常出現(xiàn)單位換算的陷阱,列方程時一定要統(tǒng)一單位.④實際應用題最后一步一定要記得“答”.我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》有題如下:“甲、乙二人沽酒,不知誰少誰多.乙鈔少半甲相和,二百無零堪可.乙得甲錢中半,亦然二百無那.英賢算得無訛,將甚法兒方可?”其大意:“甲、乙二人買酒,不知誰買多買少.只知乙買酒的錢的13與甲買酒的錢之和恰好為200文.若乙得到甲買酒錢的一半,也有200文.試問甲、乙買酒各用了多少錢,才智出眾的人算得無誤,就稱為好解法.”設甲買酒錢x文,乙買酒錢y文,則可列方程組為()A.13x+y=200,x+1C.x=200?13y,1我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足.問雞兔各幾何.”其大意:“有若干只雞和兔關在同一籠子里,它們一共有35個頭,94條腿.問籠中的雞和兔各有多少只?”試用列方程(組)解應用題的方法求出問題的解.《九章算術》是我國古代的數(shù)學專著,幾名學生想要湊錢購買1本.若每人出8元,則多了3元;若每人出7元,則少了4元.問學生人數(shù)和該書單價各是多少?某茶葉店經(jīng)銷安溪鐵觀音,第一次購進了A種茶30盒,B種茶20盒,共花費6000元;第二次購進時,兩種茶每盒的價格都提高了20%,該店又購進了A種茶20盒,B種茶15盒,共花費5100元.分別求第一次購進的A,B兩種茶每盒的價格.參考答案回歸教材·過基礎考點清單①等式②解或根③解方程④b±c⑤bc⑥bc基礎演練1.D2.(1)2(2)+(3)723.解析:去分母,得12x-3(x-2)=2(5x-7)-12,去括號,得12x-3x+6=10x-14-12,移項,得12x-3x-10x=-14-12-6,合并同類項,得-x=-32,系數(shù)化為1,得x=32.4.解析:由①得x=2y+4,③將③代入②得2(2y+4)+y-3=0,解得y=-1.把y=-1代入③得x=2×(-1)+4=2.所以原方程組的解為x=2,真題精粹·重變式1.④2.A3.解析:x-32+3(x-3)+2(x-1)=24,3x-9+2x-2=24,3x+2x=24+9+2,5x=35,x=7.4.解析:x①+②,得3x=9,解得x=3.把x=3代入①,得y=-2,所以這個方程組的解為x=3,5.解析:令x②×2得x+2y=8,③③-①得3y=3,解得y=1,將y=1代入①得x=6,∴原方程組的解為x=6,6.17.18.A9.A10.A核心突破·拓思維例解析:(1)根據(jù)方程組中第二個方程可得x是與甲隊每天修建的長度相乘,y是與乙隊每天修建的長度相乘,這樣可得出x,y分別表示甲、乙兩隊各自修路的天數(shù),從而得到x+y=15,20x+25y=335.故答案為甲隊修路的天數(shù);乙隊修路的天數(shù);15;335.(2)根據(jù)題意可列方程組為x+y=335,①由①得x=335-y,③將③式代入②式得335?y20+y解得y=175,所以乙隊修建了175米,修建的天數(shù)為17525答:乙隊修建了7天.變式1B變式2解析:設雞有x只,兔有y