《工程力學》課件-05 第5章 工程常用桿件的強度分析

第五章工程常用桿件的強

度設計第五章工程常用桿件的強

度設計引例：如圖5-1中的火車輪軸，需要進行靜態(tài)和動態(tài)下的兩種受力情況，以確保其強度。一般而言，先分析靜態(tài)情況，那么如何分析輪軸在靜止狀態(tài)下的受力模型、并分析其內力，設計其橫截面呢？請討論。第五章工程常用桿件的強

度設計本章將從微觀角度，對構件進行受力分析。拉壓變形扭轉變形剪切變形四種基本變形彎曲變形本章主要從四種基本變形即拉壓變形、扭轉變形、剪切變形和彎曲變形四個角度分析構件的應力狀態(tài)，并建立相應的強度準則，供實際設計時應用。第五章工程常用桿件的強

度設計應力，即是截面上的分布內力在—點處的集度，也就是截面某單位面積上內力的大小。

⊿A⊿FM(a)如圖(a)所示，在截面上任意一點M處取一微小面積△A，設作用在該面積上的內力為△F，則△F和△A的比值，稱為這塊面積內的平均應力，用pm表示（5-1）第五章工程常用桿件的強

度設計當△A趨于零，平均應力有極值，此極值即為M點的應力，也稱為全應力，用p表示。

Mpτσ（b）如圖(b)所示，一般情形下，橫截面上的分布內力，總可以分解為兩種：第五章工程常用桿件的強

度設計1.作用線垂直于截面的應力稱為正應力，用表示

Mpτσ2.作用線位于截面內的應力稱為切應力或剪應力，用

表示5.1拉壓應力及強度設計1235.1.1材料在拉伸時的力學性能5.1.2

材料在壓縮時的力學性能5.1.3

許用應力及安全系數5.1.4橫截面應力5.1.5斜截面應力5.1.6圣維南原理·應力集中5.1.7強度條件及其應用5.1拉壓應力及強度設計5.1.1材料在拉伸時的力學性能

材料在拉伸時的力學性能低碳鋼拉伸的力學性能鑄鐵等脆性材料其他塑性材料5.1拉壓應力及強度設計一、低碳鋼拉伸的力學性能低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼。這類鋼材在工程中使用較廣，在拉伸試驗中表現出的力學性能也最為典型。5.1拉壓應力及強度設計拉伸圓試樣如圖(a)所示。試樣的兩端為夾持部份，中間為用于測試的工作部分，它以兩標記間的長度l0表示，l0稱為原始標距。d0為試樣直徑：原始標距l(xiāng)0和直徑d0之間有如下關系：長試樣l0=10d0，短試樣l0=5d0。對于壓縮試樣，通常采用短圓柱體，其高度l與直徑d之比為1.5~3，見圖（b）。(a)(b)低碳鋼拉伸和壓縮試件5.1拉壓應力及強度設計拉伸試驗是在材料萬能試驗機上進行的。試驗時，將試樣的兩端裝在試驗機的夾頭中，然后開動機器緩慢加載，使試樣受到自零開始逐漸增加的拉力F的作用。在加載過程中，對應任一瞬時的F值，都可測出試樣在原始標距內的伸長△l5.1拉壓應力及強度設計繪出以拉力F為縱坐標、伸長△l為橫坐標的F-△l曲線，稱為拉伸圖。拉伸圖中拉力F和伸長△l的對應關系與試樣的尺寸有關。Q235A鋼試樣從開始加載直至斷裂的全過程中載荷和變形的關系如圖。5.1拉壓應力及強度設計為了消除試樣尺小的影響，將F-△l曲線的縱坐標F除以試樣原有的橫截面面積A，將橫坐標△l除以試樣的原始標距l(xiāng)0，即可得到以應力

為縱坐標和以應變ε為橫坐標的曲線，稱為應力-應變圖5.1拉壓應力及強度設計彈性階段

屈服階段強化階段局部變形階段5.1拉壓應力及強度設計彈性階段

在試樣拉伸的初始階段，圖中的Oa線段為直線，表明此段內應力

與應變

成正比，如果用E表示Oa線段的斜率，那么這種關系可表達為比例常數E——拉（壓）彈性模量，在工程中常用的單位為Gpa直線頂點a1處的應力稱為比例極限，用

表示（5-2）5.1拉壓應力及強度設計屈服階段當應力超過彈性極限增加到其一數值時，應變有非常明顯的增加而應力先是下降，然后作微小的波動，在

曲線上出現接近水平線的小鋸齒形線段。這種應力基本保持不變，而應變顯著增加的現象稱為屈服或流動，這一階段即稱為屈服階段。5.1拉壓應力及強度設計強化階段經過屈服階段，材料又恢復了繼續(xù)承載的能力，同時試樣的塑性變形也迅速增大，這種現象稱為材料的強化。在圖5-7中，強化階段中的最高點c點對應的應力σb是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限。它是衡量材料強度的另一重要指標。把材料從屈服后直到強度極限這一段稱為強化階段。5.1拉壓應力及強度設計局部變形階段過了d點后，試樣的承載就逐漸下降，并且在某一局部其橫向尺寸突然急劇減小，出現頸縮現象，直到e點。試樣在頸縮后的最小尺寸的橫截面處發(fā)生斷裂，這de段稱為局部變形階段。5.1拉壓應力及強度設計材料的塑性指標試樣斷裂后所遺留下來的塑性變形，可以用來表明材料的塑性δ值越大，表明材料的塑性越好，延伸率δ是衡量材料塑性的指標之一拉伸后長度原長度（5-3）1、材料的延伸率5.1拉壓應力及強度設計2、斷面收縮率原始橫截面面積拉斷后縮頸處的最小橫截面面積斷面收縮率是衡量材料塑性的另一個指標。ψ值越大，表明材料的塑性越好。（5-4）5.1拉壓應力及強度設計冷作硬化比較曲線Oagcd與Olgcd，可以看出在試樣的應力超過屈服點后卸載，然后再更新加載時，材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性變形減少了，由原來的Oe變?yōu)镺le，表明材料的塑性降低了。這一現象稱為冷作硬化。5.1拉壓應力及強度設計低碳鋼拉伸實驗經歷：兩種變形，塑性變形和彈性變形；四種極限，比例極限、彈性極限、屈服極限和強度極限；一個定律，即卸載定律；四種現象，即屈服現象、冷作硬化、頸縮現象及斷裂現象；兩個指標，伸長率和截面收縮5.1拉壓應力及強度設計二、其他塑性材料的力學性能工程上常用的塑性材料，除低碳鋼外，還有中碳鋼、某些高碳鋼和合金鋼、鋁合金、青銅、黃銅等。圖中是幾種塑性材料的曲線。

5.1拉壓應力及強度設計對沒有明顯屈服極限的塑性材料可以將產生0.2%塑性應變時的應力作為屈服指標，并用σ0.2來表示（如下圖）稱為名義屈服應力。各類碳素鋼中，隨含碳量的增加，屈服極限和強度極限相應提高，但延伸率降低。例如合金鋼、工具鋼等高強度鋼材，屈服極限較高，但塑性性能卻較差。5.1拉壓應力及強度設計三、鑄鐵等脆性材料的力學性能灰鑄鐵拉伸時的應力-應變關系如圖所示，灰鑄鐵拉伸時的應力-應變曲線沒有明顯的直線部分。它在較小的拉應力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小，斷口為平口?；诣T鐵是典型的脆性材料。5.1拉壓應力及強度設計由于鑄鐵的σ-ε圖沒有明顯的直線部分，彈性模量E的數值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉應力不能很高，而在較低的拉應力下，應力和應變的關系則可近似地認為服從虎克定律。通常取σ-ε曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為彈性橫量，稱為割線彈性模量。5.1拉壓應力及強度設計5.1.2

材料在壓縮時的力學性能一、低碳鋼壓縮的力學性能壓縮實驗(a)(b)5.1拉壓應力及強度設計試樣:金屬材料的壓縮試件，一般做成短圓柱體，其高度為直徑的1～3倍，即h=1～3d，以免試驗時試件被壓彎。非金屬材料(如水泥、混凝土等)的試樣常采用立方體形狀。試驗要求:壓縮試驗和拉伸試驗一樣在常溫和靜載條件下進行。5.1拉壓應力及強度設計低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線如圖。試驗表明，低碳鋼壓縮時的彈性階段和屈服階段與拉伸時基本重合，其彈性模量E和屈服極限σs與拉伸時相同。而屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試樣的抗壓應力也不斷增高，但試樣卻不被壓斷，得不到壓縮時的強度極限，因而壓縮時低碳鋼的強度指標就只有屈服極限。5.1拉壓應力及強度設計圖(b)表示鑄鐵壓縮時的σ-ε曲線。試樣仍然在較小的變形下突然破壞。破壞斷面的法線與軸線大致成45°~55°的傾角，表明試樣沿斜截面因相對錯動而破壞。鑄鐵壓縮時的強度極限比它在拉伸時的強度極限高4~5倍。其他脆性材料如混凝土、石料等，抗壓強度也遠高于抗拉強度。5.1拉壓應力及強度設計脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，且價格低廉，適合加工成抗壓構件。鑄鐵堅硬耐磨，易于澆鑄成形狀復雜的零部件，廣泛用于鑄造機床床身、基座．缸體及軸承座等受壓零部件。因此其壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。5.1拉壓應力及強度設計衡量材料力學性能的主要指標：比例極限σp（或彈性極限)屈服極限σs強度極限σb彈性模量E延伸率δ斷面收縮率ψ5.1拉壓應力及強度設計5.1.3

許用應力及安全系數被超高載重車拉斷的限高梁

鋼筋被拉斷工程構件在開始使用到失效的過程中，一般會發(fā)生塑性變形或者斷裂。5.1拉壓應力及強度設計脆性材料斷裂時的應力是強度極限σb，而塑性材料屈服時即出現塑性變形，相應的應力是屈服極限σs，因此σs和σb就是兩種材料制成的構件在失效時的極限應力或危險應力。同樣，在扭轉時也會有相應的切應力極限。5.1拉壓應力及強度設計構件使用時的應力必須小于極限應力

σo，同理切應力也是如此。然而由于一些不確定性因素的影響，如構件外力測量的準確性、構件的外形以及構件內部品質的缺陷等，必須要確保構件的強度安全，這樣

距離極限應力

必須留有一定的安全裕度，不至于發(fā)生“意外”的失效。5.1拉壓應力及強度設計

式中，ns和nb稱為安全系數，通常二者都大于1。（5-5）（5-6）5.1拉壓應力及強度設計如果安全系數取得過小，即接近于1，則許用應力就比較接近極限應力，構件工作時就危險；如果安全系數取得過大，則許用應力就會偏小，雖然足夠安全，但不夠經濟，沒有做到物盡其用。一般靜強度即靜載計算時：塑性材料：軋、鍛件

ns＝1.5~2.2

鑄件

ns＝1.6~2.5

脆性材料

nb＝2.0~3.55.1拉壓應力及強度設計5.1.4橫截面應力PPB’BDD’

PFN=P(a)(b)觀察桿的變形情況。在圖（a）所示的桿上，預先刻劃出兩條橫向直線ab和cd；當桿受到拉力P作用時；可以看到直線ab和cd分別平移到了實線a1b1和c1d1處。5.1拉壓應力及強度設計推出：桿受拉伸時的內力，在橫截面上是均勻分布的，其作用線與橫截面垂直，見圖（b）。

PFN=P5.1拉壓應力及強度設計桿件拉伸時橫截面上的應力為正應力，其大小式中的A為桿件橫截面的面積。上式是根據桿件受拉伸時推得的，它在桿件受壓縮時也同樣適用。應力的符號由內力確定，σ＞0為拉應力，σ＜0則為壓應力。（5-7）5.1拉壓應力及強度設計應力的單位為Pa（N/m2），工程中常用的還有MPa（N/mm2）和GPa，其中1MPa=106Pa，1GPa=109Pa5.1拉壓應力及強度設計【例5.1】試計算下圖5-18中手鉚機活塞桿在截面1-1和2-2上的應力。作用于該活塞桿上的力分別簡化為Pl＝2.62kN，P2=1.3kN，P3＝1.32kN。設活塞桿的直徑d=10mm。P1P3P21122ABCd5.1拉壓應力及強度設計解：(a)截面1-1上的應力。(b)截面2-2上的應力。(壓應力)(壓應力)P1P3P21122ABCd5.1拉壓應力及強度設計5.1.5斜截面應力1、斜截面上應力確定設直桿的軸向拉力為P，如圖，橫截面面積為A，由公式（5-7），橫截面上的正應力σ為

5.1拉壓應力及強度設計設與橫截面成α角的斜截面k-k的面積為Aα，Aα與A之間的關系為沿k-k假想地將桿分成兩部分，取左半部分如下圖所示，用前面證明橫截面上正應力均勻分布的方法，同樣可以證明斜截面上的應力也是均勻分布的。（5-9）5.1拉壓應力及強度設計若用pα表示斜截面k-k上的應力，有

（5-11）5.1拉壓應力及強度設計將pα分解成垂直于斜截面的正應力σα和平行于斜截面的切應力τα，如下圖，則有（5-12）（5-13）5.1拉壓應力及強度設計其符號規(guī)定⑴、

：斜截面外法線與x軸的夾角。由x軸逆時針轉到斜截面外法線——“”為正值；由x軸順時針轉到斜截面外法線——“

”為負值⑵、

：同“σ”的符號規(guī)定：拉正壓負5.1拉壓應力及強度設計⑶、

在保留段內任取一點，如果對該點之矩為順時針方向，則規(guī)定為正值，反之為負值。5.1拉壓應力及強度設計當α=900時，σα=τα=0，這表明桿件在與軸線平行的縱向截面上無任何應力。從公式（5-11）、（5-12）可以看出當α=0時，，而達到最大值當α=450時，τα到最大值（5-13）（5-14）5.1拉壓應力及強度設計5.1.6圣維南原理·應力集中圣維南原理：工程實際中，軸向拉伸或壓縮的桿件橫截面上的外力可以有不同的作用方式?？梢允且粋€沿軸線的集中力，也可以是合力的作用線沿軸線的幾個集中力或分布力系。實驗表明，當用靜力等效的外力相互取代時，如用集中力取代靜力等效的分布力系，除在外力作用區(qū)域內有明顯差別外，在距外力作用區(qū)域略遠處，上述替代所造成的影響就非常微小，可以忽略不計。這就是圣維南原理

5.1拉壓應力及強度設計應力集中如圖（a）所示，在外力作用下，構件上鄰近孔槽或圓角的局部范圍內，應力急劇增大，見圖（b），而離該區(qū)域稍遠處，應力迅速趨于均勻分布，見圖（c）。

FPFPFPFP

dbt(a)(b)(c)5.1拉壓應力及強度設計應力集中系數式中：——最大局部應力；——不考慮應力集中的條件下應力。

（5-15）5.1拉壓應力及強度設計

5.1拉壓應力及強度設計通過Ansys軟件分析應力集中5.1拉壓應力及強度設計5.1.7強度條件及其應用工程上為確保強度安全，需要在內力和應力分析的基礎上進行強度設計，即桿件中的最大工作應力

不能超過許用應力

，即：此式稱為拉壓桿件的強度設計準則，又叫強度條件。5.1拉壓應力及強度設計【例5.2】圖5-23所示的鋁管和鋼棒的裝配圖。鋁管AB的橫截面面積A1=400mm2，E1=70GPa，許用應力

；鋼棒直徑d=20mm，E1=200GPa，

。當鋼棒受到80kN的軸向力作用時，校核鋁管和鋼棒的強度。(a)(b)5.1拉壓應力及強度設計解：內力分析：鋼棒受到拉力，大小為80kN；鋁管受到壓力，大小為-80kN，如圖b所示。

對鋁管：對鋼棒：所以，鋁管和鋼棒強度安全。5.1拉壓應力及強度設計【例5.3】一懸臂吊車，如圖5-24所示。已知起重小車自G=5kN，起重量F=15kN，拉桿BC用Q235

A鋼，許用應力=170MPa。試選擇拉桿直徑d。(a)(b)(c)5.1拉壓應力及強度設計解：將實際圖簡化成圖（b）的受力模型，分析見圖（c）。（1）計算拉桿的軸力。(2)選擇截面尺寸。5.1拉壓應力及強度設計由

得故d＝21mm。5.1拉壓應力及強度設計【例5.4】如圖5-25所示，起重機BC桿由4根繩索拉住，若繩索的截面面積為5cm2，材料的許用應力

＝40MPa。當吊起重物處于豎直狀態(tài)時，AB=CE=10m，AC=BC=15m，CD=20m，求起重機能安全吊起的載荷大小。(a)(b)(c)ABCD5.1拉壓應力及強度設計解：將實際圖簡化成圖（b），受力模型分析見圖（c）。而總結低碳鋼拉伸試驗的四個階段及其特征、塑性指標應力集中的概念及其應用與預防許用應力、安全系數的概念及意義拉伸正應力概念及其三種應用5.2剪切·擠壓及其實用計算工程中，構件與構件之間常常用銷釘、螺栓等連接。因此，在考慮拉壓桿或其他構件的強度問題時，必須同時對連接件進行強度計算。5.2剪切·擠壓及其實用計算連接件的受力和變形一般都比較復雜，工程中通常采用簡化分析方法，根據實踐經驗對連接件的受力和應力分布進行假設，計算其名義應力；對同類構件進行破壞試驗，用破壞載荷確定材料的極限應力。只要簡化合理，試驗充分，計算結果是可靠的，這種簡化分析方法在工程中稱為實用計算。5.2剪切·擠壓及其實用計算5.2.1剪切及其實用計算在剪切鋼筋時發(fā)生的變形過程中，兩部分之間發(fā)生相對錯動，直至斷裂，整個過程稱為剪切，產生的應力為剪切應力。τ5.2剪切·擠壓及其實用計算5.2.1剪切及其實用計算作用在構件兩側面上的橫向外力的合力大小相等，方向相反，作用線平行且相距很近。在這樣的外力作用下，其變形特點是：兩力間的橫截面發(fā)生相對錯動，這種變形形式叫做剪切。（a）（b）（c）（d）（e）τt2t1t15.2剪切·擠壓及其實用計算5.2.1剪切及其實用計算AS為剪切面面積；[τ]為許用切應力。τ同樣，也有三種應用5.2剪切·擠壓及其實用計算5.2.1剪切及其實用計算材料的許用切應力[τ]與許用拉應力[σ]之間有以下的關系：

對塑性材料[τ]＝(0.6~0.8)[σ]

對脆性材料[τ]＝(0.8~1.0)[σ]利用這一關系，可根據許用拉應力來估計許用切應力之值。5.2剪切·擠壓及其實用計算5.2.2擠壓及其實用計算在外力作用下，連接件和被連接的構件之間，必將在接觸面上相互壓緊，這種現象稱為擠壓。例如，在鉚釘連接中，鉚釘與鋼板就相互壓緊。這就可能把鉚釘或鋼板的鉚釘孔壓成局部塑性變形。（b）（a）（c）

FFFbsFbsFbs

5.2剪切·擠壓及其實用計算5.2.2擠壓及其實用計算如果兩個接觸構件的材料不同，應以連接中抵抗擠壓能力較低的構件來進行擠壓強度計算。當接觸面為圓柱面時(如銷釘、鉚釘等與釘孔間的接觸面)，擠壓應力的分布情況以圖5-27（c）所示，最大應力在圓柱面的中點。實用計算中，以圓孔或圓柱的直徑平面面積

作為擠壓面積，則所得應力大致上與實際最大應力接近。（b）（a）（c）

FFFbsFbsFbs

公式中的Abs就是接觸面的實際面積。【例5.5】如圖5-26所示電瓶車掛鉤由插銷連接。插銷材料為20鋼，[τ]＝30MPa，[σbs]=100MPa，直徑d=20mm。掛鉤及被連接的板件的厚度分別為t1=8mm和t2=1.5t1=12mm。牽引力F＝15kN。試校核插銷的剪切強度和擠壓強度。解：(1)校核插銷的剪切強度。由平衡方程容易求出Fs插銷橫截面上的剪應力為故插銷滿足剪切強度要求。t1t1t2【例5.5】如圖5-26所示電瓶車掛鉤由插銷連接。插銷材料為20鋼，[τ]＝30MPa，[σbs]=100MPa，直徑d=20mm。掛鉤及被連接的板件的厚度分別為t1=8mm和t2=1.5t1=12mm。牽引力F＝15kN。試校核插銷的剪切強度和擠壓強度。解：(2)

校核插銷的擠壓強度。插銷的上段和下段受到來自左方的擠壓力共Fs作用，中段受到來自右方的擠壓力Fs作用，中段的直徑面面積為1.5dt1，小于上段和下段的直徑面面積之和2dt1，故應校核中段的濟壓強度。故插銷滿足擠壓強度要求。t1t1t25.2剪切·擠壓及其實用計算【例5.6】車床的傳動光桿裝有安全聯軸器，見圖5-28，過載時安全銷將先被剪斷。已知安全銷的平均直徑為5mm，材料為45鋼，其剪切極限應力為

b=370MPa，求聯軸器所能傳遞的最大力偶矩M。MFSFSMMd=20軸套筒安全銷光桿解：(1)計算安全銷允許的最大剪力.從插銷的受力分析可知，插銷剪允許的最大剪力為(2)計算聯軸器所能傳遞的最大力偶矩。5.3扭轉切應力及強度設計在小變形的前提下，圓軸扭轉時橫截面始終保持為平面，而且圓截面的形狀、大小不變，半徑仍為直線，截面之間的距離也不變，見圖5-29（a），5.3.1純剪切·切應力互等

maxRT

(b)(a)dxMeMex在橫截面上沒有正應力，而切應力與過這點的半徑垂直，朝向與截面上的扭矩轉向相一致，如圖5-29（b）所示。5.3扭轉切應力及強度設計5.3.1純剪切·切應力互等在純扭轉的圓軸中取一個微體，見圖5-29（c），它的邊長分別是dx、dy和

。此式表示微體的兩個正交面上如果有切應力的話，則切應力的數值相等，方向與兩個正交面的交線垂直，共同指向或共同背離交線。這就是切應力互等定理。上面微體的四個側面上只有切應力沒有正應力，這種應力狀態(tài)稱為純剪切。

’

’

dxdyyz5.3扭轉切應力及強度設計5.3.2剪切胡克定律剪切胡克定律G稱為切變彈性模量，它與拉壓彈性模量E一樣是反映材料特性的彈性常數。切應變發(fā)生純剪切的微體由原來的正六面體變形成平行六面體，見圖5-29（d），原來互相正交的棱邊由于變形發(fā)生了一個角度的改變，就是切應變

。對于線彈性材料，切應力與切應變成正比關系，即5.3扭轉切應力及強度設計對于各向同性材料，拉壓彈性模量E、切變彈性模量G和泊松比

之間存在如下關系：5.3.2剪切胡克定律5.3扭轉切應力及強度設計5.3.3扭轉的切應力公式1.變形幾何關系：距圓心為

任一點處的

與到圓心的距離

成正比?！まD角沿長度方向變化率。MM5.3扭轉切應力及強度設計5.3.3扭轉的切應力公式Metmaxtmax2.物理關系：由剪切虎克定律：代入幾何關系得：5.3扭轉切應力及強度設計5.3.3扭轉的切應力公式3.靜力學關系：Me令代入物理關系式：O

d——橫截面上距圓心為

處任一點剪應力計算公式。5.3扭轉切應力及強度設計5.3.3扭轉的切應力公式注意：①僅適用于各向同性、線彈性材料、小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。

I

—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。當ρ=R

時，即在橫截面邊緣上：——抗扭截面系數5.3扭轉切應力及強度設計5.3.3扭轉的切應力公式4．、計算對實心圓軸

對空心圓軸

dA

O

d

d

D

DdO5.3扭轉切應力及強度設計5、圓軸扭轉強度條件：從扭轉試驗得到了扭轉的極限應力，再考慮一定的安全裕度，即將扭轉極限應力除以一個安全系數，就得到扭轉的許用切應力：5.3.3扭轉的切應力公式圓軸內的最大切應力不能超過許用切應力對于等截面圓軸對于變截面圓軸【例5.7】

一端固定的階梯圓軸，受到外力偶M1和M2的作用，M1=1800N.m，M2=1200N.m。求固定端截面上

=25mm處的切應力，以及軸內的最大切應力。M1M2

50

753000N.mTx(-)1200N.m(a)(b)解：(1)畫扭矩圖。用截面法求階梯圓軸的內力并畫出扭矩圖，見圖5-35（b）。(2)固定端截面上指定點的切應力。(3)最大切