江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一集合常用邏輯用語不等式函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講集合與常用邏輯用語學(xué)案文蘇教版

PAGE1-第1講集合與常用邏輯用語[2024考向?qū)Ш絔考點(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)料2024202420241．集合間的關(guān)系及運(yùn)算第1題第1題第1題江蘇高考對集合的考查一般包含兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算，二是集合間的關(guān)系．試題難度為簡潔題，若以集合為載體與其他學(xué)問交匯，則可能為中檔題．邏輯學(xué)問是高考冷點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)要抓住基本概念．2．四種命題及其真假推斷3．充分條件與必要條件4．邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞和存在量詞1．必記的概念與定理(1)四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到困難問題正面解決困難的，采納轉(zhuǎn)化為反面狀況處理．(2)充分條件與必要條件若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p，q互為充要條件．2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)(A∩B)?(A∪B)；(2)A?B?A∩B＝A；A?B?A∪B＝B；(3)集合與集合之間的關(guān)系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n，真子集數(shù)為2n－1，非空真子集數(shù)為2n－2；(4)集合的運(yùn)算：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(?UA)＝A．3．須要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性，求解含參數(shù)的集合問題時(shí)要依據(jù)互異性進(jìn)行檢驗(yàn)．(2)有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們要依據(jù)命題涉及的意義去推斷．對命題的否定，首先弄清晰是全稱命題還是存在性命題，再針對不同形式加以否定．(3)“p是q的充分不必要條件”與“p的一個(gè)充分不必要條件是q”兩者不同，前者是“p?q但qeq\a\vs4\al(eq\o(?,\s\up0(/)))p”而后者是“q?p，peq\a\vs4\al(eq\o(?,\s\up0(/)))q”．集合間的關(guān)系及運(yùn)算[典型例題](1)(2024·高考江蘇卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝________．(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實(shí)數(shù)a的值為________．(3)(2024·蘇州其次次質(zhì)量預(yù)料)已知集合P＝{x|y＝eq\r(－x2＋x＋2)，x∈N}，Q＝{x|lnx＜1}，則P∩Q＝________．【解析】(1)由交集定義可得A∩B＝{1，6}．(2)因?yàn)閍2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即實(shí)數(shù)a的值為1．(3)由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因?yàn)閤∈N，所以P＝{0，1，2}．因?yàn)閘nx＜1，所以0＜x＜e，所以Q＝(0，e)，則P∩Q＝{1，2}．【答案】(1){1，6}(2)1(3){1，2}eq\a\vs4\al()解集合運(yùn)算問題應(yīng)留意以下兩點(diǎn)(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從探討集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵．(2)對集合化簡．有些集合是可以化簡的，先化簡再探討其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡潔明白、易于解決．[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2024·高考江蘇卷)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．[解析]由集合的交運(yùn)算可得A∩B＝{1，8}．[答案]{1，8}2．(2024·江蘇省名校高三入學(xué)摸底)已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m＝________．[解析]因?yàn)锽?A，所以m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，經(jīng)檢驗(yàn)均滿意題意，故m＝－1或0．[答案]－1或0四種命題及其真假推斷[典型例題](1)(2024·蘇州第一次質(zhì)量預(yù)料)下列說法正確的是________．①“若a＞1，則a2＞1”的否命題是“若a＞1，則a2≤1”；②“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真命題；③存在x0∈(0，＋∞)，使3x0＞4x0成立；④“若sinα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,6)”是真命題．(2)給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________．【解析】(1)對于①，“若a＞1，則a2＞1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故①錯(cuò)誤；對于②，“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為“若a＜b，則am2＜bm2”，因?yàn)楫?dāng)m＝0時(shí)，am2＝bm2，所以其逆命題為假命題，故②錯(cuò)誤；對于③，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，對隨意的x∈(0，＋∞)，都有4x＞3x，故③錯(cuò)誤；對于④，“若sinα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,6)”的逆否命題為“若α＝eq\f(π,6)，則sinα＝eq\f(1,2)”，且其逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故④正確．(2)易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題只有一個(gè)．【答案】(1)④(2)1eq\a\vs4\al()一個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題是依據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時(shí)要留意對于一些關(guān)鍵詞的否定，等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于．“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)都沒有”，“全部的”的否定是“某些”，“隨意的”的否定是“某個(gè)”，“至多有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n＋1個(gè)”，“隨意兩個(gè)”的否定是“某兩個(gè)”．像這類否定同學(xué)們不妨探究一下．[對點(diǎn)訓(xùn)練]3．已知命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是________．(只填序號(hào))①否命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題②逆命題“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”是假命題③逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”是真命題④逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題[解析]命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題．[答案]④4．命題“面積相等的三角形是全等三角形”的否定為________，否命題為________．[答案]面積相等的三角形不是全等三角形面積不相等的三角形不是全等三角形充分條件與必要條件[典型例題](1)若a，b∈R，則“a(a－b)<0”是“eq\f(b,a)>1”的____________．(填寫“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中的一個(gè))(2)已知條件p：－1≤x＋2≤1，q：x≥a，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】(1)因?yàn)閑q\f(b,a)>1?eq\f(b,a)－1>0?eq\f(b－a,a)>0?a(a－b)<0，所以“a(a－b)<0”是“eq\f(b,a)>1”的充要條件．(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，故p?q，但qeq\o(?,\s\up0(/))p，即不等式－1≤x＋2≤1的解集是{x|x≥a}的真子集，從而a≤－3．【答案】(1)充要條件(2)(－∞，－3]eq\a\vs4\al()推斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是在以否定形式給出的充要條件推斷中可以運(yùn)用命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法．[對點(diǎn)訓(xùn)練]5．(2024·湖南湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是________．①m＞eq\f(1,4)；②0＜m＜1；③m＞0；④m＞1．[解析]若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞eq\f(1,4)，因此當(dāng)不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立時(shí)，必有m＞0，但當(dāng)m＞0時(shí)，不肯定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m＞0．[答案]③6．(2024·徐州模擬)若a＝2x，b＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，則“a>b”是“x>1”的________條件．[解析]如圖所示，當(dāng)x＝x0時(shí)，a＝b．若a＞b，則得到x＞x0，且x0＜1，所以由a＞b不肯定得到x＞1，所以“a＞b”不是“x＞1”的充分條件；若x＞1，則由圖象得到a＞b，所以“a＞b”是“x＞1”的必要條件．故“a＞b”是“x＞1”的必要不充分條件．[答案]必要不充分邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞和存在量詞[典型例題](1)命題“?x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定，下列正確的是________．①?x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1②?x0?(0，＋∞)，lnx0＝x0－1③?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1④?x?(0，＋∞)，lnx＝x－1(2)已知命題p：?x∈[0，1]，a≥2x；命題q：?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0．若命題“p∨q”是真命題，“﹁p∧q”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【解析】(1)變更原命題中的兩個(gè)地方即可得其否定，?改為?，否定結(jié)論，即lnx≠x－1．(2)命題p為真，則a≥2x(x∈[0，1])恒成立，因?yàn)閥＝2x在[0，1]上單調(diào)遞增，所以2x≤21＝2，故a≥2，即命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為P＝{a|a≥2}．若命題q為真，則方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4．故命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為Q＝{a|a≤4}．若命題“p∨q”是真命題，那么命題p，q至少有一個(gè)是真命題；﹁由“﹁p∧q”是假命題，可得﹁p與q至少有一個(gè)是假命題．①若p為真命題，則﹁p為假命題，q可真可假，此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞)；②若p為假命題，則q必為真命題，此時(shí)，“﹁p∧q”為真命題，不合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞)．【答案】(1)③(2)[2，＋∞)eq\a\vs4\al()全稱命題(存在性命題)的否定是其全稱量詞改為存在量詞(存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定，而命題的否定則是干脆否定結(jié)論．[對點(diǎn)訓(xùn)練]7．(2024·無錫市高三上學(xué)期期末考試)命題“?x≥2，x2≥4”的否定是“________，x2＜4”．[解析]由全稱命題的否定是存在性命題得，命題“?x≥2，x2≥4”的否定是“?x≥2，x2＜4”，故填?x≥2．[答案]?x≥28．下列四個(gè)命題：①?x∈R，使sinx＋cosx＝2；②對?x∈R，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2；③對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④?x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2)．其中正確命題的序號(hào)為________．[解析]因?yàn)閟inx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]；故①?x∈R，使sinx＋cosx＝2錯(cuò)誤；④?x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2)正確；因?yàn)閟inx＋eq\f(1,sinx)≥2或sinx＋eq\f(1,sinx)≤－2，故②對?x∈R，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2錯(cuò)誤；③對?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx>0，eq\f(1,tanx)>0，由基本不等式可得tanx＋eq\f(1,tanx)≥2正確．[答案]③④1．(2024·江蘇名校高三入學(xué)摸底)設(shè)集合A＝{－2，2}，B＝{x|x2－3x－4≥0}，則A∩(?RB)＝______．[解析]由B＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，得?RB＝{x|－1<x<4}，又A＝{－2，2}，所以A∩(?RB)＝{2}．[答案]{2}2．命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是____________．[答案]隨意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)3．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是________________．[解析]命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以應(yīng)填“若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3”．[答案]若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<34．(2024·無錫模擬)下列命題中真命題的序號(hào)是________．①?x∈R，x＋eq\f(1,x)＝2；②?x∈R，sinx＝－1；③?x∈R，x2>0；④?x∈R，2x>0．[解析]對于①x＝1成立，對于②x＝eq\f(3π,2)成立，對于③x＝0時(shí)明顯不成立，對于④，依據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)明顯成立．[答案]①②④5．已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(?UA)∩B＝?，則a＝______．[解析]由題意知B?A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a．當(dāng)a2－2a＋2＝1時(shí)，解得a＝1；當(dāng)a2－2a＋2＝a時(shí)，解得a＝1或a＝2．當(dāng)a＝1時(shí)，不滿意集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)a＝2時(shí)，滿意題意．所以a＝2．[答案]26．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]ax2－2ax－3≤0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，－3≤0成立；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))得－3≤a<0；所以－3≤a≤0．[答案]－3≤a≤07．(2024·南京調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影部分表示的集合為________．[解析]因?yàn)锳＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}＝(－1，1)，?RA＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，則u＝1－x2∈(0，1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}＝(－∞，0]，?RB＝(0，＋∞)，所以題圖陰影部分表示的集合為(A∩?RB)∪(B∩?RA)＝(0，1)∪(－∞，－1]．[答案](0，1)∪(－∞，－1]8．(2024·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)已知集合P＝{x|x≤a}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z|log8x≤\f(1,3)))，若P∩Q＝Q，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]由Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z|log8x≤\f(1,3)))，得Q＝{1，2}，又P∩Q＝Q，所以a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)9．若?θ∈R，使sinθ≥1成立，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))的值為________．[解析]由題意得sinθ－1≥0．又－1≤sinθ≤1，所以sinθ＝1．所以θ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)．[答案]eq\f(1,2)10．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(八))已知x≠0，x∈R，則“eq\f(2,x)<1”是“3x>9”的______條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]由eq\f(2,x)<1得x>2或x<0．由3x>9得x>2，所以由“3x>9”可以得“eq\f(2,x)<1”，反之卻無法得到，所以“eq\f(2,x)<1”是“3x>9”的必要不充分條件．[答案]必要不充分11．給出以下三個(gè)命題：①若ab≤0，則a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sinA＝sinB，則A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，則方程有實(shí)數(shù)根．其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是________．(填序號(hào))[解析]在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB?a＝b?A＝B．故填②．[答案]②12．(2024·南京高三模擬)下列說法正確的序號(hào)是________．①命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件；③命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題；④命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1＜0”．[解析]命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，所以①不正確．由x＝－1，能夠得到x2－5x－6＝0，反之，由x2－5x－6＝0，得到x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，所以②不正確．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”為真命題，所以其逆否命題也為真命題，所以③正確．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，所以④不正確．[答案]③13．若命題“?x∈[－1，1]，1＋2x＋a·4x<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的最小值為__________．[解析]變形得a<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,4x)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋\f(1,2)