新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想第1講數(shù)學(xué)文化學(xué)案文新人教A版

PAGE1-第1講數(shù)學(xué)文化滲透數(shù)學(xué)的美[典型例題](1)(2024·高考全國卷Ⅰ)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿意上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm(2)(2024·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____________個(gè)面，其棱長為____________．【解析】(1)不妨設(shè)此人咽喉至肚臍的長度為xcm，則eq\f(26,x)≈0.618，得x≈42，故此人身高大約為26＋42＋105＝173(cm)，考慮誤差，結(jié)合選項(xiàng)，可知選B.(2)依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．留意到該多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故題中的半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.【答案】(1)B(2)26eq\r(2)－1eq\a\vs4\al()數(shù)學(xué)文化的美學(xué)特征是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)美表現(xiàn)為一種抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、含蓄的理性美，從表現(xiàn)形式上分為數(shù)學(xué)內(nèi)容的和諧美、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式美、幾何圖形的構(gòu)造美、數(shù)學(xué)公式的簡潔美．縱觀數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一切公式、公理和定理，無不是對(duì)客觀世界存在的秩序、對(duì)稱、和諧、統(tǒng)一的美的反映．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成改變根源的哲理，呈現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美．依據(jù)太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案(如圖)，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)解析：選B.函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象與x軸相交于點(diǎn)(6，0)和點(diǎn)(－6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36π，而小圓的半徑為1，兩個(gè)小圓的面積和為2π，所以所求的概率是eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18)，故選B.滲透古代名家(學(xué)派)的探討[典型例題](1)兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上探討數(shù)學(xué)問題．他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，依據(jù)點(diǎn)或小石子能排列的形態(tài)對(duì)數(shù)進(jìn)行分類．如圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)5，9，14，20，…為梯形數(shù)．依據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2017項(xiàng)為a2017，則a2017－5＝()A．2023×2017 B．2023×2016C．1008×2023 D．2017×1008(2)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到隨意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________．【解析】(1)視察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得5＝2＋3＝a1，9＝2＋3＋4＝a2，14＝2＋3＋4＋5＝a3，…an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝eq\f(（n＋1）（2＋n＋2）,2)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n＋4)，由此可得a2017＝eq\f(1,2)×2018×2021＝1009×2021.所以a2017－5＝(1008＋1)(2023－2)－5＝1008×2023.(2)由題意，得S6＝6×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝eq\f(3\r(3),2).【答案】(1)C(2)eq\f(3\r(3),2)eq\a\vs4\al()本例(1)以古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的探討故事為背景，本例(2)以我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”為命題背景，分別考查了數(shù)列問題和圓內(nèi)接正六邊形的面積問題．其中畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”問題，備受命題者的青睞，已成為高考命題的熱點(diǎn)問題．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2024·長沙市統(tǒng)一模擬考試)我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了聞名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．“冪”是面積，“勢(shì)”是高，意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面所載，假如截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體滿意“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A．8－eq\f(4π,3) B．8－πC．8－eq\f(2π,3) D．4－eq\f(π,2)解析：選B.題中三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是一個(gè)棱長為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為1、高為2的半圓柱后剩余的部分，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的體積V＝23－eq\f(1,2)×π×12×2＝8－π，由祖暅原理得不規(guī)則幾何體的體積為8－π，故選B.2．(2024·江西七校第一次聯(lián)考)意大利聞名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)覺有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2017a2019－aeq\o\al(2,2018)等于()A．1 B．－1C．2017 D．－2017解析：選A.因?yàn)閍1a3－aeq\o\al(2,2)＝1×2－1＝1，a2a4－aeq\o\al(2,3)＝1×3－22＝－1，a3a5－aeq\o\al(2,4)＝2×5－32＝1，a4a6－aeq\o\al(2,5)＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－aeq\o\al(2,n＋1)＝(－1)n＋1，所以a2017a2019－aeq\o\al(2,2018)＝(－1)2017＋1＝1，故選A.

滲透古代數(shù)學(xué)名著[典型例題](1)(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該書完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對(duì)我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)學(xué)問起到了很大的作用．如圖所示程序框圖的算法思路源于該書中的“李白沽酒”問題，執(zhí)行該程序框圖，若輸入a的值為4，則輸出的m的值為()A．19 B．35C．67 D．131(2)《數(shù)書九章》中對(duì)已知三角形三邊長求三角形面積的求法填補(bǔ)了我國數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，雖與聞名的海倫公式形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)完全等價(jià)，由此可以看出我國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積”．把以上這段文字用數(shù)學(xué)公式表示，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))(S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜)．現(xiàn)有周長為4eq\r(2)＋2eq\r(5)的△ABC滿意sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)＋1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)－1)，試用上面給出的數(shù)學(xué)公式計(jì)算△ABC的面積為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)【解析】(1)由題意，執(zhí)行程序框圖，可得a＝4，m＝5，i＝1，m＝7，滿意條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝2，m＝11，滿意條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝3，m＝19，滿意條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝4，m＝35，滿意條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝5，m＝67，此時(shí)，不滿意條件i≤4，退出循環(huán)體，輸出m的值為67，故選C.(2)因?yàn)閟inA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)＋1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)－1)，則由正弦定理得a∶b∶c＝(eq\r(2)＋1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)－1)．設(shè)a＝(eq\r(2)＋1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)－1)x，又周長為4eq\r(2)＋2eq\r(5)，所以4eq\r(2)＋2eq\r(5)＝(eq\r(2)＋1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)－1)x，解得x＝2.所以S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(42×（\r(2)－1）2×（\r(2)＋1）2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22×（\r(2)＋1）2＋22×（\r(2)－1）2－20,2)))\s\up12(2))))＝eq\r(3).故選A.【答案】(1)C(2)Aeq\a\vs4\al()中國古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之等宏大的數(shù)學(xué)家，以及《九章算術(shù)》等經(jīng)典的數(shù)學(xué)傳世之作，這些中國古代數(shù)學(xué)名著是我們的豐富寶庫，繼新課程改革以來，高考題中出現(xiàn)了一些以古代名著為命題背景的試題，涉及的有《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《算法統(tǒng)宗》等．從某種意義上講，這些試題的價(jià)值事實(shí)上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了試題本身．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V＝eq\f(1,12)×底面圓的周長的平方×高，由此可推得圓周率π的取值為()A．3 B．3.1C．3.14 D．3.2解析：選A.設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得，體積為V＝πr2h.由題意知V＝eq\f(1,12)×(2πr)2×h，所以πr2h＝eq\f(1,12)×(2πr)2×h，解得π＝3.故選A.2．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形，如圖所示，若圖中直角三角形兩銳角分別為α，β，且小正方形與大正方形的面積之比為4∶9，則cos(α－β)的值為()A.eq\f(5,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(2,3) D．0解析：選A.設(shè)大正方形的邊長為1，由小正方形與大正方形的面積之比為4∶9，可得小正方形的邊長為eq\f(2,3)，則cosα－sinα＝eq\f(2,3)，①sinβ－cosβ＝eq\f(2,3).②由題意可得α＋β＝eq\f(π,2)，所以cosα＝sinβ，sinα＝cosβ.①×②，可得eq\f(4,9)＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝eq\f(5,9).故選A.一、選擇題1．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A．104人 B．108人C．112人 D．120人解析：選B.由題設(shè)可知這是一個(gè)分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108.故選B.2．如圖，半徑為1的圓形古幣內(nèi)有一陰影區(qū)域，在圓內(nèi)隨機(jī)撒一大把豆子，共n顆，其中，落在陰影區(qū)域內(nèi)的豆子共m顆，則陰影區(qū)域的面積約為()A.eq\f(m,n) B.eq\f(n,m)C.eq\f(mπ,n) D.eq\f(nπ,m)解析：選C.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，由幾何概型概率計(jì)算公式可得eq\f(S,π×12)＝eq\f(S,π)＝eq\f(m,n)，所以S＝eq\f(mπ,n)，故選C.3．將元代聞名數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》中的一首詩改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一起先輸入的x的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(15,16)C．4 D.eq\f(7,8)解析：選D.這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題，當(dāng)i＝1時(shí)，酒量為2x－1；當(dāng)i＝2時(shí)，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3；當(dāng)i＝3時(shí)，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7；當(dāng)i＝4時(shí)，酒量為0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故選D.4．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗(yàn)過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項(xiàng)為()A．180 B．200C．128 D．162解析：選B.依據(jù)前10項(xiàng)可得規(guī)律：每兩個(gè)數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．可得從第11項(xiàng)到20項(xiàng)為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列第20項(xiàng)為200.5．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從其次天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達(dá)目的地．”若將此問題改為“第6天到達(dá)目的地”，則此人其次天至少走了()A．96里 B．48里C．72里 D．24里解析：選A.依據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)],1－\f(1,2))≥378，則a1≥192.則其次天至少走96里．故選A.6．遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖所示的是一位母親記錄的孩子自誕生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，依據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)誕生的天數(shù)是()A．336 B．510C．1326 D．3603解析：選B.由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù)，化為十進(jìn)制數(shù)為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”(如圖)，四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))，可以圍成一個(gè)大的正方形，中空部分為一個(gè)小正方形(黃實(shí))．若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,25) D.eq\f(25,73)解析：選C.因?yàn)橹苯侨切沃幸粭l較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，所以可得另外一條直角邊長為6，所以小正方形的邊長為8－6＝2，則“黃實(shí)”區(qū)域的面積為22＝4，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為82＋62＝100，所以小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，故選C.8．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)記著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為eq\f(7,2)平方米，則cos∠AOB＝()A.eq\f(1,25) B.eq\f(3,25)C.eq\f(1,5) D.eq\f(7,25)解析：選D.如圖，依題意AB＝6，設(shè)CD＝x(x>0)，則eq\f(1,2)(6x＋x2)＝eq\f(7,2)，解得x＝1.設(shè)OA＝y(tǒng)，則(y－1)2＋9＝y(tǒng)2，解得y＝5.由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(25＋25－36,2×5×5)＝eq\f(7,25)，故選D.9．(2024·昆明市質(zhì)量檢測(cè))數(shù)列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)起先，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S2019＝F2021－1 B．S2019＝F2021＋2C．S2019＝F2020－1 D．S2019＝F2020＋2解析：選A.依據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.10．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計(jì)算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為()A.eq\f(39,2) B.eq\f(75,2)C．39 D.eq\f(601,8)解析：選B.設(shè)下底面的長為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)≤x<9))，則下底面的寬為eq\f(18－2x,2)＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝eq\f(1,6)×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋eq\f(17x,2)＋eq\f(39,2)，故當(dāng)x＝eq\f(9,2)時(shí)，體積取得最大值，最大值為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)×eq\f(17,2)＋eq\f(39,2)＝eq\f(75,2).故選B.11．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，與題中描繪的器具形態(tài)一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)()A．2寸 B．3寸C．4寸 D．5寸解析：選A.由三視圖可知，該器具的上底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸．因?yàn)樗佑晁纳疃葹?寸，所以水面半徑為eq\f(1,2)×(12＋6)＝9(寸)，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以這一天該地的平均降雨量約為eq\f(342π,π×122)≈2(寸)，故選A.12．(2024·江西玉山一中期中)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖．在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()解析：選A.如圖，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，作QR⊥BD于點(diǎn)R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.因?yàn)镻Q⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高．設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3)).又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，故選A.13．楊輝三角又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元11世紀(jì)首先運(yùn)用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而1261年楊輝在《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于楊輝三角．該表由若干行數(shù)字組成，從其次行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最終一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是()A．2017×22016 B．2018×22015C．2017×22015 D．2018×22016解析：選B.由題意，最終一行為第2017行，且第1行的最終一個(gè)數(shù)為2×2－1，第2行的最終一個(gè)數(shù)為3×20，第3行的最終一個(gè)數(shù)為4×21…第n行的最終一個(gè)數(shù)為(n＋1)×2n－2，則第2017行僅有的一個(gè)數(shù)為2018×22015，故選B.14．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，其中的一個(gè)成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負(fù)純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析：選D.依據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx為過定點(diǎn)P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根且k為正實(shí)數(shù)，則直線y＝1－kx應(yīng)在PA，PB之間以及恰好在PA處，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).故選D.二、填空題15.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，非常奇妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽視不計(jì))解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝eq\f(41,4)，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π.答案：41π16．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講解并描述了“勾股定理”及一些應(yīng)用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“