《彈性力學》 課件 第9章 空間問題

第9章彈性介質中波的傳播理論§9.1畸變波和集散波§9.2平面波§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論§9.4桿的縱向碰撞§9.5

瑞利表面波§9.6

球對稱波與球形洞內的爆炸壓力1

第九章彈性固體介質中的波的傳播

以上各章論述了彈性靜力學問題。彈性體是在不變的載荷作用下靜止狀態(tài)。或者，即使考慮到載荷的變化，這變化也是充分緩慢的，因而可以正確假定彈性體在每一瞬時都處于靜止狀態(tài)，這就是準靜力問題。來自爆炸的突施載荷，或是引起地震的地殼中斷層滑動那種實施位移，在本質上都屬于動力問題。在動力問題中，平衡方程必須用運動方程來代替。在開始施力時，力的作用并不立即傳到物體的所有各部分。應力和形變的波是以有限大的傳播速度從受載荷區(qū)域向外輻射的。例如在大家熟悉的空氣傳聲的情況下，直到聲波有時間到達某一點，該點才收到擾動。在彈性體中，有不止一種的波，因而有不止一種的波速。2

第九章彈性固體介質中的波的傳播從三維問題的直角坐標系一般方程和最簡單形式的波①的最簡單解答開始，用一般理論澄清涉及的假定性質后，再來近似地描述一些特殊情況下的波（例如桿中的拉伸波）的運動。注：①對其他形式的運動，例如振動，這里不予考慮。關于桿、環(huán)和板的振動，見S.Timoshenko,“VibrationProblemsinEngineering”,chap.5,1955.3

§9.1集散波和畸變波

在討論彈性介質中的波的傳播時，利用以位移表示的微分方程較方便。從這些平衡方程得出運動方程，只須加上慣性力。這時，假定沒有體力，運動方程是其中

是體積膨脹，而記號

表示算子

首先假定波所引起的形變是這樣一種形變：體積膨脹為是零，而形變只包含剪應變和轉動。這時方程（9.1-1）成為這些方程所代表的波稱為等容波或畸變波。（9.1-1）4

§9.1集散波和畸變波現(xiàn)在來考慮波所引起的形變不伴有轉動的情形。單元體的轉動是因此，無旋形變的條件可以表示為（9.1-2）5

§9.1集散波和畸變波如果位移

可由單一函數(shù)

表示為則方程

可被滿足。這時代入方程（9.1-1），得這就是無旋波或集散波的方程①。

（9.1-3）6

將畸變波與集散波相結合，就得到彈性介質中的波的傳播的更一般的情形②。對于這兩種波，運動方程具有共同的形式對于集散波而對于畸變波下面將證明，和各為平面集散波和平面畸變波的傳播速度。注：①但集散一般都伴有剪應變。②關于這種結合的普遍性及其與彈性靜力學的聯(lián)系，見E.Sternberg,Arch.Ra-tionalMech.AndAnal.,vol.6,pp.34-50,1960.§9.1集散波和畸變波（9.1-4）（9.1-5）（9.1-6）7

§9.2平面波如果在彈性介質中的某一點發(fā)生擾動，就有波從這一點各個方向輻射。在離擾動中心較遠之處，這種波可以看作平面波，并可假設所有質點的運動都平行于波的傳播方向（縱波）或垂直于波的傳播方向（橫波）。第一種情況下的波是集散波，第二種情形下的波是畸變波。首先考察縱波。取波的傳播方向為

軸，于是

，而

只是

和的函數(shù)。這時方程（9.1-3）給出

用代入法可以證明，任一函數(shù)

都是方程（9.2-1）的解，函數(shù)也是一個解，因而方程（9.2-1）的通解可以表示成為如下的形式：（9.2-1）（9.2-2）8

§9.2平面波

這個解具有很簡單的物理意義，說明如下。試考察方程（9.2-2）右邊的第二項。在一定的瞬時，這一項只是

的函數(shù)，可用一曲線如

1（圖9.2-1）表示，它的形狀與函數(shù)

有關。在經(jīng)過一段時間

1以后，函數(shù)的自變數(shù)成為假使隨著

增加而橫坐標也同時增加,函數(shù)將保持不圖9.2-1

9

§9.2平面波變。這就是說，如果將那為瞬時而作的曲線沿

方向移動一距離

1（如圖中虛線所示），這曲線對于

的瞬時也適用。由此可見，解答（9.2-2）的第二項代表以勻速

沿

方向移動的波。同樣可以證明，解答（9.2-2）的第一項代表沿相反方向移動的波。于是通解（9.2-2）代表兩個波，沿著

軸以方程（9.1-5）所示的勻速

向兩相反方向移動。這個速度可以用表示，為此，只需將方程和代入方程（9.1-5）。于是得鋼材的

可以取為19550。（9.2-3）10

§9.2平面波考慮方程（9.2-2）中函數(shù)

所示的“向前”波動，得出質點速度為

其中

，而一撇的記號表示

對求導。于是得單元體

1

的動能為勢能就等于應變能。應變分量是于是通過方程得11

§9.2平面波單元體的應變能為將方程

與對比，并注意方程（9.1-5），顯然可見，在任一瞬時，動能與勢能相等。對于應力，我們有從而有這些應力分量和

是為了保持

所需要的。將中的

與中的對比，并應用由得來的

，可得12

如果考慮方程（9.2-2）中函數(shù)

所示的“向后”波動，則方程（g）和方程（a）中的負號將改為正號。在每一具體情況下，函數(shù)

和須由t=0時的初始條件來決定。對于初瞬時，由方程（9.2-2）有例如，假定初速度是零，但有初位移如下式所示：為了滿足條件（h），可以取于是，在這一種情況下，初位移分為兩半，作為相反方向的兩個波進行傳播（圖9.2-1b）?！?.2平面波13

現(xiàn)在來考察橫波，取

軸沿波的傳播方向，而

軸沿橫向位移的方向，于是位移

和是零，而位移

是和的函數(shù)。這時，由方程（9.1-2）得這方程的形式與方程（9.2-1）相同，因而可以斷定，畸變波沿

軸傳播的速度是或者，用（9.2-3），得當

時，上列方程給出§9.2平面波14

任一函數(shù)都是方程（i）的解，并代表以速度

沿

方向傳播的波。例如，取解答

1為如下的形式：

這個波是正弦曲線形的，波長為，波幅為

。橫向運動的速度是

當位移（k）為最大時，速度為零，而當位移為零時，速度有最大值。這個波所引起的剪應變是§9.2平面波15

可見，在某一定點，剪應變

的最大值與速度

的最大絕對值同時發(fā)生。這一類的波的傳播可表示如下：設

（圖9.2-2）是彈性介質的一根細絲。當正弦曲線波

沿

軸傳播時，細絲的一個單元

將發(fā)生位移和畸變，其變化有如陰影單元1、2、3、4、5、…所示。在

的瞬時，單元

的位置如1所示。在這一瞬時，這單元的畸變和速度都是零。然后，它將圖9.2-2§9.2平面波16

有一正速度，而在經(jīng)過時間

以后，它的畸變如2所示。在這一瞬時，這單元的位移是零而速度最大。再經(jīng)過時間

以后，情況如3所示，以后類推。取細絲的截面積為

，則單元

的動能是而它的應變能是圖9.2-2§9.2平面波17

由于

，因而可以斷定，在任一瞬時，這單元的動能與勢能相等。當?shù)卣饡r，集散波與畸變波各以速度

和在地球內傳播。這兩種波都可用地震儀記錄，而兩種波到達時間之差，可以約略指示記錄站與擾動中心的距離。正弦曲線形的和其他形式的平面波可用不同的方式相結合，以滿足自由邊界面或兩種不同介質的交界面的物理條件。當傳播方向不平行于界面時，將會發(fā)生相應于自由面的反射或相應于交界面的反射和折射①。平行于自由邊界，以不同于

和

的速度傳播的波動（瑞利表面波）9.5節(jié)中加以考慮。注：①例如，見H.Kolsky,“StressWavesinSolids”1953.§9.2平面波18

§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論在一根矩形截面的桿中，只有當桿的側面上保持著方程

所示的

1

和

時，9.2節(jié)中所述的簡單平面波才可能存在。對一根任意截面的桿來說，側面上也必須有相應的應力。當側面為自由面時，要得出整套運動方程（9.1-1）的適當解答，那就困難得多①。但是，對于很多實際得情形，簡單得近似理論就夠用了。在這種初等理論中，把桿的每一薄片當作受有簡單拉伸，相應的軸向應變?yōu)?

，而

只是

和的函數(shù)。于是其他的應力分量則略去不計。試考察一個原來處于和

兩個截面之間的單元體，圖9.3-1。它的運動方程（在消去截面積以后）是19

或將式

代入而得其中方程

與9.2節(jié)中的方程（9.2-1）具有同樣的形式，其通解為

圖9.3-1（9.3-1）§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論20

這通解的意義與前面對方程（9.2-2）所述的意義相仿。但這里的波速②是

，如方程（9.3-1）所示。它低于方程（9.2-3）中的波速

，比值

為當

時，這個比值等于1.16.對于鋼材，可以取如果在方程

中只保留函數(shù)

（向前的波動），則由方程

和方程（9.3-1）有

如果只有

（向后的傳播），則有不借助微分方程，也可以到處方程（9.3-1）和

的結果。試考慮突然§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論21

施加于桿左端的均布壓應力（圖9.3-2）。在最初的瞬時，只有桿端無限薄的一層內發(fā)生均勻壓縮。這壓縮將被傳送至相鄰的一層，并繼續(xù)傳送。于是有一個壓縮波開始以某一速度

沿桿移動，而在經(jīng)過時間

之后，長度為

的一段桿將被壓縮，但其余部分仍然保持無應力狀態(tài)。波的傳播速度

與壓力所給予桿的受壓部分的質點速度

不同。質點的速度

可由受壓部分（圖中陰影部分）因受壓應力而縮短

的條件求得。因此，桿的左端移動的速度，也就等于受壓部分的各質點的速度，是圖9.3-2§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論22

波的傳播速度

可用動量方程求得。開始時，桿的陰影部分是靜止的。經(jīng)過時間

之后，它將由速度

和動量

。令這動量等于壓力的沖量，得利用方程

，就得到方程（9-10）③所示的

值，而質點的速度是這一結果與方程相對應，因為方程中的代表質點的速度。由此可見，

與壓力無關，而質點的速度

則與應力

成比例。如果不是將壓力而是將拉力突然加于桿端，就將有拉伸波以速度

沿桿傳播。質點的速度仍然如方程（9.3-2）所示，但方向與

軸的方向相反。因此，在壓縮波中，質點速度

的方向與波的傳播速度的方向相同（9.3-2）§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論23

，而在拉伸波中，速度的方向與波的傳播方向相反。由方程（9.3-1）和（9.3-2）得可見波中的應力決定于兩個速度的比率和材料的彈性模量

。如果有一個以速度

運動的絕對剛體沿縱向沖擊一根柱形桿，則在最初的瞬時，接觸面上的壓應力即如（9.3-3）所示④。如果沖擊體的速度

超過某一限度（這限度決定于桿的材料的機械性質），那么，即使沖擊體的質量很小，桿中也將發(fā)生永久形變⑤?，F(xiàn)在來考察圖9.3-2中陰影部分的波的能量。這能量包括兩部分：一部分是由于形變而有的應變能，等于（9.3-3）§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論24

另一部分是動能，等于可見，波的總能量，等于壓力

在

一段距離內所作的功，一半是勢能，一半是動能。決定波的傳播的方程

是線性方程，因此，如果有這方程的兩個解，則兩個解之和也將是這方程的解。由此可見，在討論沿桿移動的波時，可應用疊加法。如果沿相反方向移動的兩個波（圖9.3-3）相遇，與應力合質點的合速度都可用疊加法求得。例如，設兩個波都是壓縮波，那么，合壓力可用簡單加法求得，如圖9.3-3b

所示，而質點的合速度則用減法求得。兩波分離以后，仍各恢復其原來的形狀，如圖9.3-3c

所示。§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論25

設有一壓縮波沿著桿在

方向運動，另有一波長相同、應力大小也相同的拉伸波向相反方向運動（圖9.3-4）。當兩波相遇時，拉伸與壓縮互相抵消，因而在桿中兩波重疊部分的應力是零；同時，在這部分桿中質點的速度加倍，等于。兩波分離以后，仍各恢復其原來的形狀，如圖9.3-4b所示。在中間件

處，無論何時應力都是零，因而可將這截面當作桿的自由圖9.3-3§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論26

端（圖9.3-4c）。將圖9.3-4a與9.3-4b

對比，可以斷定：在自由端，壓縮波反射而成為相似的拉伸波，反過來也是一樣。如果相向運動的兩個等同的波（圖9.3-5a）相遇，則在桿中兩波重疊部分的應力加倍而質點的速度是零。在中間截面

處，速度總是零。當波傳播時，這截面保持不動，因而可當作桿的固定端（圖9.3-5c）。圖9.3-4§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論27

將圖9.3-5a

與9.3-5b

對比，可以斷定：波由固定端反射后毫無改變。注：①一些特殊情況下的數(shù)字結果，曾由數(shù)字電子計算機得來。例如見L.D.Bertholf,J.Appl.Mech.,vol34,pp.725-734,1967.圖9.3-5§9.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論28

關于桿件問題和應力波傳播的其他主要問題，綜合論述（附有文獻目錄）見J.Miklowitz,ElasticWavePropagation,pp.809-8399及R.M.Davies,StressWavesinSolids,pp.803-807,均載于H.M.Abramson,H.Libowitz,J.M.Crowley及S.Juhasz所編的“AppliedMechanicsSurveys”,1966.②常被稱為“桿速”。③波的傳播速度的這一初等公式是Babinet導出的，見Clebsch,“Théoriedel’élasticitédesCorpsSolides”,traduiteparSaint-Venant,p.480d,1883.④這個結論是ThomasYoung得到的，見他的“CourseofLecturesonNaturalPhilosophy…”,vol.1,pp.135and144,1807.⑤假定桿端截面上所有各點同時發(fā)生接觸?！?.3縱波在柱形桿中傳播的初等理論29

§9.4桿的縱向碰撞如果兩根長度相等，材料相同的桿以相同的速度沿縱向互相碰撞（圖9.4-1a），那么，在碰撞過程中，接觸面

將不動①，而兩個相同的壓縮波開始以相等的速度沿兩桿傳播。波區(qū)內的質點的速度與桿的初速度疊加以后，使波區(qū)成為靜止，而在波到達桿的自由端的瞬時

，

兩桿都受均勻壓縮并處于靜止中。然后，壓縮波由自由端折回成為拉伸波，并向接觸面移動，這時，波區(qū)內的質點的速度等于而方向是離開。圖9.4-130

當波到達接觸面時，兩桿就以與初速度

相等的速度分離。在這情形下，碰撞延續(xù)時間顯然等于

，而壓應力等于[由方程（9.3-2）]?，F(xiàn)在來考察桿1和桿2（圖9.4-1b）各以速度

和而運動的更一般的情形②。在碰撞開始的瞬時，兩個相同的壓縮波開始沿兩桿傳播。兩桿波區(qū)內的質點對于兩桿的未受應力部分的相對速度相等，而方向是離開接觸面。兩桿在接觸面上的質點的絕對速度必須相等，因而相對速度的大小必等于

。在經(jīng)過一段時間

后，壓縮波到達兩桿的自由端。在這一瞬時，兩桿都在均勻壓縮狀態(tài)中，而兩桿所有質點的絕對速度都是

此后，壓縮波將自有端折回成為拉伸波，而在波到達兩桿接觸面的瞬§9.4桿的縱向碰撞31

時。桿1和桿2的速度將各為可見，在碰撞后兩桿的速度互換。如果上述兩桿具有不同的長度

和

（圖9.4-2a），則碰撞開始時的情況將與上述情況相同。但是，經(jīng)過一段時間

之后，短桿1中的波折回而到達接觸面，并通過接觸面而沿長桿傳播，情況將如圖9.4-2b所示。圖9.4-2§9.4桿的縱向碰撞32

桿1的拉伸波將兩桿之間的壓力抵消，但兩桿仍保持接觸，直到長桿中的壓縮波（圖中陰影所示）折回而到達接觸面時

為止。在兩桿等長情況下，回跳之后，每桿中所有各點的速度相同，每一桿都像剛體一樣運動。這時的總能量就是平行移動的動能。在兩桿不等長的情況下，回跳之后，長桿中還有移動著的波，在計算桿的總能量時必須考慮這波的能量③?，F(xiàn)在來考察一端固定的桿（圖9.4-3）在另一端受運動體撞擊的問題④。設

是桿截面的每單位面積上所受的運動體的質量，

是運動體的初速度。將運動體看作絕對剛體，在碰撞開始的瞬時

，桿端各質點的速度就是

而初壓應力則由方程（9.3-2）求得為由于桿的阻力，運動的速度及其對于桿的壓力都將逐漸減低§9.4桿的縱向碰撞33

，于是得到一個沿桿長傳播而壓應力逐漸減低的壓縮波（圖9.4-3b）。壓應力隨時間變化很容易由物體的運動方程求得。用

代表桿端的變化壓應力，

代表物體的變化速度，得圖9.4-3§9.4桿的縱向碰撞34

將方程（9.3-2）中

的表達式代入，得由此得在的時間內，這方程都適用。當

時，波前壓力為

的壓縮波將折回到與運動體接觸的桿端。運動體的速度不能突然改變，因此，波將被反射回來，就像從固定端反射回來一樣，而接觸面上的壓應力將突然增大，如圖9.4-3c

所示。在碰撞過程中，在每一段時間

的終了，都將發(fā)生這種壓力突然增大的現(xiàn)象，因而必須用不同的表達式以表示各段時間內的應力

。在第一段時間內，，可用方程

。在第二段時間內，，有如圖9.4-3c所示的情況，壓應力是由兩個離開§9.4桿的縱向碰撞35

撞擊端的波和一個移向這一端的波引起的。用

代表經(jīng)過時間

之后所有離開撞擊端的波在這一端引起的總壓應力?；叵蜃矒舳说牟ň褪乔耙欢螘r間內離開這一端的波，由于在桿中來回一次，所以延遲一段時間。因此，只須把前一段時間內離開撞擊端的波所引起的壓應力的表達式中的

用

代替，就得到由回向撞擊端的波所引起的壓應力。于是，在任一時間內的總壓應力的一般表達式是，撞擊端的質點的速度應為由于離開這一端的波的壓力

而有的速度減去由于移向這一端的波的壓力

而有的速度。于是，由方程（9.3-2）得§9.4桿的縱向碰撞36

現(xiàn)在利用撞擊體的運動方程

求出

與

之間的關系。用

代表桿的質量與撞擊體的質量之比，就有應用這關系式和

與

，方程

就成為乘以

，得或§9.4桿的縱向碰撞37

由此得其中是積分常數(shù)?，F(xiàn)在將利用這方程依次導出得表達式。在第一段時間

內，壓應力由方程

給出，可以寫成

用這個值代替方程中的得積分常數(shù)可由這樣的條件求得：撞擊端的壓應力在

的瞬時突然增加

1（圖9.4-3c

）.因此，用方程，得§9.4桿的縱向碰撞38

由此得代入方程

，得依照同樣的方法進行，用

代替方程中的

，得到再依同樣的方法繼續(xù)進行，就得到§9.4桿的縱向碰撞39

其余類推⑤。圖9.4-4針對

和

四種不同的比率用曲線⑥表示函數(shù)

。利用這些曲線，很容易由方程算出撞擊端的壓應力

。圖9.4-5針對

和

用曲線表示這壓應力。在每一段時間1的終了，應力都有突變。應力的最大值與比率

有關。當

和

時，在

的瞬時，應力有最大值。當

時，最大應力發(fā)生在

1

的瞬時。當變成等于零的瞬時，表明碰撞終止。可見，當

減小時，碰撞延續(xù)時間增長。圣維南的計算給出碰撞延續(xù)時間的值如下：1/61/41/217.4195.9004.7083.068§9.4桿的縱向碰撞40

當

很小時，碰撞延續(xù)時間可用初等公式圖9.4-4§9.4桿的縱向碰撞41

算得。推導這公式時，完全不計桿的質量，并假定碰撞延續(xù)時間等于將撞擊體固著于桿端作簡諧振動時的周期的一半。上面算得的函數(shù)也可以用來確定桿的任一截面上的應力。總應力總是兩個

值之和[方程]，一個值是由于移向固定端的合成波而有的，另一個值是由于向相反的方向移動的合成波而有的。當對應于

的最大值（圖9.4-4中每一曲線的最高點）的波到達固定端而折回時，上述兩個波都將具有這一最大值，而這一點在這一瞬時的總壓應力發(fā)生在圖9.4-5§9.4桿的縱向碰撞42

固定端，并等于

的最大值的兩倍。由圖9.4-4立即可知，當

1

時，最大壓應力分別是2×1.752、2×1.606、2×1.368和2x1.135。圖9.4-6中給出為各種值時的

的值⑦。為了作比較，圖中圖9.4-6§9.4桿的縱向碰撞43

并畫出由下列方程算得的拋物線：這一方程可用簡單的方法得到——完全不計桿的質量，并令桿的應變能等于撞擊體的功能。圖中虛線是方程所決定的拋物線⑧；可見，對于大的

值，能由這曲線得到很好的近似值。上述碰撞理論是根據(jù)“桿端全部表面同時發(fā)生接觸”這一假定推出的。事實上，這一假定很難實現(xiàn)。為了保證桿端確是平面而且兩桿確能對準，以及為了把兩桿端之間的空氣薄膜的影響降至最小，必須非常當心。這§9.4桿的縱向碰撞44

樣，觀察到的波的傳播就能很好地符合初等理論。由拜克和孔衛(wèi)的一篇論文⑨中摘來的圖9.4-7，表示沿圓桿傳播并由平面桿端折回的波形的示波儀記錄，波形在情況

之下的失真是可以不計的。在早期的實驗工作中，⑩曾把碰撞端作成圓球面，并用核茲理論考慮了接觸處的局部形變。

圖9.4-7應變儀信號的振動圖表面碎波的形成與碰撞速度有關。桿徑；應變片距碰撞處

；碰撞錘速度

?！?.4桿的縱向碰撞45

§9.4桿的縱向碰撞注：①假設桿端整個截面同時發(fā)生接觸。②沿

軸方向的速度作為正的。③在桿的縱向碰撞的情況下，平行移動的功能的損失曾經(jīng)由Cauchy和Poisson討論過，最后又由Saint-Venant討論過，見Compt.Rend.,p.1108,1866,和J.Mathémat.(Liouville),pp.257和376,1867.④這問題曾經(jīng)由幾個著者討論過，最后的解答是J.Boussinesq得出的，見Compt.Rend.,p.154,1883.這問題的歷史見“Théoriedel’élasticité,”Clebsch,traduiteparSaint-Venant,第60節(jié)的注解。L.H.Donnell也曾討論過這問題，他應用波的傳播定律以簡化解答，并將解答推廣到錐形桿的情形，見Trans.ASME,AppliedMechanicsDivision,1930.46

§9.4桿的縱向碰撞⑤這個問題說明的逐次反射的影響，可用拉普拉斯變換法精確導出。例如見W.T.Thomson,“LaplaceTransformation”,p.124,1950.⑥這些曲線是Saint-Venant和Flamant算得的。見Compt.Rend.,pp.127,214,281和353,1883.⑦見Saint-Venant和Flamant的論文（見注⑥）。⑧這曲線是Boussinesq建議的，見Compt.Rend.,pp.154,1883.

⑨E.C.H.BeckerandH.D.Conway,Brit.J.Appl.Phys.,vol.15,pp.1225-1231,1964.⑩J.E.Sears曾做過這樣的研究，見Trans.CambridgePhil.Soc.,vol21,p.49,1908.又見J.E.P.Wagstaff,Proc.Roy.Soc(London),Ser.A,vol.105,P.544,1924;W.A.Prowse,Mag.,vol.22,p.209,1936.47

§9.5瑞利表面波在9.1節(jié)和9.2節(jié)中，把服從胡克定律的各向同性均勻介質中傳播的擾動作為兩種波的疊加，即速度為

的無旋波和速度為

的等容波的疊加。即使當波前處的質點速度和應力有間斷時，只要初始的擾動是局限于有限大的區(qū)域內，那么，無限大介質中的波速也只可能是

和

1

。①如果有自由邊界，或者有兩種介質的交界面，就會有另外的傳播速度。可能出現(xiàn)“表面波”它實質上只涉及一個薄表面層的運動。這種波很像石塊投入水中時平靜水面上發(fā)生的波，又很像帶有高頻交流電的導體的“表面效應”。瑞利②首先指出一般方程存在著表面波解答，并曾說過：“這里所研究的表面波，未必不在地震和彈性體碰撞中起重要的作用。由于只是二維的發(fā)散，它們必然在離波源較遠之處繼續(xù)增加其優(yōu)勢?！睂Φ卣鸩ㄓ涗浀难芯浚С秩鹄耐茰y。48

§9.5瑞利表面波在離開波源較遠之處，由這些波所引起的形變可以當作二維形變。假定物體以

的平面為界，并取

軸的正方向指向物體內部，而

軸的正方向為波的傳播方向。將集散波方程（9.1-3）與畸變波方程（9.1-2）結合，可求得位移的表達式。假定在兩種情況下

都是零，集散波方程（9.1-3）的解答可取為如下的形式：其中

和

都是常數(shù)。式中的指數(shù)因子表明，當

為正實數(shù)時，波幅隨深度的增加而迅速減小。三角函數(shù)的幅角

表明波沿

方向傳播，速度是（9.5-1）49

將式

代入方程（9.1-3），可以發(fā)現(xiàn)，如果各方程就都被滿足；或者引用記號就有

現(xiàn)在取畸變波（9.1-2）的解答為如下的形式：其中

是常數(shù)，而

是整數(shù)，可以證明，如果

§9.5瑞利表面波50

對應于位移的體積膨脹就成為零，而方程（9.1-2）也被滿足；或者，引用記號就得到

現(xiàn)在將解答與

結合，而取,，并決定常數(shù)

1、

、

、、使能滿足邊界條件。物體的邊界上沒有外力作用，因此，當

時，

。將這些值代入方程§9.5瑞利表面波51

得到前一個方程表明物體表面上的剪應力是零，第二個方程表面表面上的正應力是零。將上面

和

的表達式代入這兩個方程，得其中的是由

和得來的?！?.5瑞利表面波52

由方程

中消去常數(shù)，并利用

和

，就得到或者，再用

和

，得利用方程

、和（9.5-1），可將這方程中的各個量用集散波的速度

、畸變波的速度

和表面波的速度

表示，于是得用記號并注意§9.5瑞利表面波53

方程

就成為例如，取，得或這方程的三個根是這三個根中，只有最后一個能使方程和中的

和

為正數(shù)。因此在

的極端情形下，方程

成為

由此得

§9.5瑞利表面波54

在這兩種情況下，表面波的速度都只是略小于畸變波在物體中傳播的速度。有了，就容易算出物體表面處的水平位移與鉛直位移兩者的幅度的比率。當

時，這個比率是0.681。上述表面波的傳播速度，也可以考慮兩平行面間的物體的振動而求得③。注：①A.E.H.Love,“MathematicalTheoryofElasticity”,4thed.,pp.295-297,1927.②見Proc.LondonMath.Soc.,vol.17,pp.4-11,1885;或見“ScientificPapers”,vol.2,pp.441-447,1990.③見H.Lamb,Proc.Roy.Soc(London),ser.A,vol.93,p.114,1917又見S.Timoshenko,Phil.Mag.,vol.43,p.125,1922.§9.5瑞利表面波55

§9.6球對稱波與球形洞內的爆炸壓力當球形洞內有球對稱的爆炸之類的擾動時，發(fā)生的波或脈沖也是球對稱的。這時，位移只有徑向分量，它是球迷坐標中的徑向坐標

和時間

1的函數(shù)。由于對稱性，位移是無旋的，因此，只涉及方程（9.1-5）或（9.2-3）所示的傳播速度

。考慮一個如圖9.6-1所示的，由四個徑向平面和兩個球面所圍成的，徑向厚度為

的典型單元體，不難得出的微分方程。徑向運動的動力方程是應變分量是圖9.6-1（一）無限介質中的球對稱波56

§9.6球對稱波與球形洞內的爆炸壓力于是由表面胡克定律的關系式得代入方程

，得相應于9.1節(jié)中的方程

，引用函數(shù)

，可以寫出于是，方程

等價于這是可以實行左邊的求導而立即得到證明的。將

對

積分，得57

其中

是任意函數(shù)。如果這個任意函數(shù)不是零，我們總可以找到

的一個特解，它只是

的一個函數(shù)

。但這并不會改變位移。因此，可以把

刪去。于是，將乘以

，即得與方程（9.2-1）及其解答（9.2-2）對比，可見（9.6-1）的通解是

對這個通解的解釋與對通解（9.2-2）的相似。函數(shù)

代表一個向外的波，而函數(shù)

代表一個向內的波。前者適用于爆炸問題。后者適用于向內爆炸的問題，例如有無限大實心球體中在整個表面上受到實施壓力以后向球心匯集的波。（9.6-2）（9.6-1）§9.6球對稱波與球形洞內的爆炸壓力58

舍去方程（9.6-2）中的函數(shù)，問題就歸結為決定單個函數(shù)，使其既滿足邊界條件，也滿足初始條件。初始條件時：在

時，具有球形洞的無限介質的位移和速度到處為零。當

時，作用于洞表面的壓力是

的已知函數(shù)

。這是邊界條件之一。另一個邊界條件時無限遠處的介質保持不受擾動。由于在

處有一個邊界條件，宜將（9.6-2）取為

于是在

處有

，而且

就量度一個信號從

處發(fā)生而到達

處的時間。用記號

則由9.6節(jié)中的方程和可得，其中（二）球形洞內的爆炸壓力§9.6球對稱波與球形洞內的爆炸壓力59

洞面的邊界條件是：在

處，

。將這個

值代入

的左邊而在右邊取

，并注意有

，可見該邊界條件要求其中的撇號現(xiàn)在可以看作對

的求導，而§9.6球對稱波與球形洞內的爆炸壓力60

常微分方程

屬于

的形式，其中

和

是常數(shù)。這種形式在動力學中是周知的，它是受粘滯阻尼的簡單彈簧振蕩器的一般受迫運動問題的微分方程。它的通解可以表示成為