高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬測試卷(二)含答案

高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬測試卷(二)(時(shí)間：90分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合P＝{x|x2－5x－6<0}，Q＝{y|y＝2x，x≥0}，則P∩Q＝()A．(2，3) B．[－1，6]C．[1，6) D．[－6，1]2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝－eq\r(3)＋i(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知命題p：?x>0，總有(x＋1)2x>1，則命題p的否定為()A．?x≤0，使得(x＋1)2x≤1B．?x>0，使得(x＋1)2x≤1C．?x>0，總有(x＋1)2x≤1D．?x≤0，總有(x＋1)2x≤14．某廠10名工人在一小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，第50百分位數(shù)為b，則有()A．a(chǎn)＝13.7，b＝15.5 B．a(chǎn)＝14，b＝15C．a(chǎn)＝12，b＝15.5 D．a(chǎn)＝14.7，b＝155．三個(gè)數(shù)logπ0.3，log3π，π－0.3的大小關(guān)系是()A．logπ0.3<π－0.3<log3π B．logπ0.3<log3π<π－0.3C．π－0.3<logπ0.3<log3π D．π－0.3<log3π<logπ0.36．設(shè)a>0，且a≠1，則“a>1”是“l(fā)ogaeq\f(1,2)<1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－1))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝()A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)8．在空間中，設(shè)l，m為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若l?α，m不平行于l，則m不平行于αB．若l?α，m?β，且α，β不平行，則l，m不平行C．若l?α，m不垂直于l，則m不垂直于αD．若l?α，m?β，l不垂直于m，則α，β不垂直9．定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，f(x)的最小值為()A．－eq\f(1,16) B．－eq\f(1,8)C．－eq\f(1,4) D．010．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，f(2)＝0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，6)上的零點(diǎn)()A．有2個(gè) B．有4個(gè)C．有6個(gè) D．至少有4個(gè)11.如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對角線AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ的值為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(2,7)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)12．在一段線路中有4個(gè)自動(dòng)控制的常用開關(guān)A，B，C，D，如圖連接在一起，假定開關(guān)A，D能夠閉合的概率都是0.7，開關(guān)B，C能夠閉合的概率都是0.8，則這段線路能正常工作的概率為()A．0.9676 B．0.9982C．0.3136 D．0.9674二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．13．某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)小組)(單位：人).類別籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層隨機(jī)抽樣，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．14．設(shè)a，b為平面向量，若a＝(1，0)，b＝(3，4)，則a·b＝________．15．已知tanα＝2，則eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)的值為________．16．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，則eq\f(3y,x)＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是________．17．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別為BC，CC1，A1D1，C1D1的中點(diǎn)，則直線EF與MN所成角的大小為__________．18．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋a＋|x－a|,2)，g(x)＝ax＋1，其中a>0.若f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是____________．三、解答題：本大題共4個(gè)大題，第19～21題各10分，第22題12分，共42分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面積為2eq\r(2)，求b，c.20．已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)(－π<φ<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))).(1)求φ的值以及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(θ)＝eq\f(3,5)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))的值．21.如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；(2)設(shè)DO＝eq\r(2)，圓錐的側(cè)面積為eq\r(3)π，求三棱錐P-ABC的體積．22．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1，1]上的最大值．(1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2；(2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2時(shí)，求|a|＋|b|的最大值．參考答案高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬測試卷(二)1．C由已知可得P＝(－1，6)，Q＝[1，＋∞)，所以P∩Q＝[1，6)，故選C.2．B因?yàn)閦＝－eq\r(3)＋i對應(yīng)的點(diǎn)為(－eq\r(3)，1)，所以對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.3．B根據(jù)全稱量詞命題的否定形式知，p：?x>0，總有(x＋1)·2x>1的否定為q：?x>0，使得(x＋1)2x≤1，故選B.4．D把該組數(shù)據(jù)按從小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故平均數(shù)a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因?yàn)?0×eq\f(10,100)＝5，所以這10名工人一小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的第50百分位數(shù)為b＝eq\f(15＋15,2)＝15.故選D.5．A對數(shù)函數(shù)y＝logπx為增函數(shù)，所以logπ0.3<logπ1＝0；對數(shù)函數(shù)y＝log3x為增函數(shù)，所以log3π>log33＝1；指數(shù)函數(shù)y＝πx為增函數(shù)，所以0<π－0.3<π0＝1.因此logπ0.3<π－0.3<log3π.故選A.6．A因?yàn)閘ogaeq\f(1,2)<1?0<a<eq\f(1,2)或a>1，所以“a>1”是“l(fā)ogaeq\f(1,2)<1”的充分不必要條件，故選A.7．D因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)P(－eq\r(3)，－1)，所以|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))\s\up12(2)＋（－1）2)＝2，所以cosα＝－eq\f(\r(3),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝－cos2α＝1－2cos2α＝1－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(1,2).8．C對于A，m可能與α相交或m?α或m∥α；對于B，l與m可能平行、相交或異面；對于C，若m⊥α，則m⊥l，與條件不符，所以m不垂直于α；對于D，α與β可能垂直．綜上所述，故選C.9．A當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，x＋2∈[0，1]，則f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以f(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3x＋2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,16)，所以當(dāng)x＝－eq\f(3,2)時(shí)，f(x)取得最小值，為－eq\f(1,16).10．D因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且周期為3，f(2)＝0，所以f(－1)＝0，f(1)＝0，f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，6)上至少有4個(gè)零點(diǎn)．故選D.11．A因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線可得，eq\f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝eq\f(2,9)，故選A.12．A這段線路能正常工作的對立事件是A，D同時(shí)斷開且B，C中至少有一個(gè)斷開，所以這段線路能正常工作的概率為：P＝1－(1－0.7)(1－0.7)(1－0.8×0.8)＝0.9676．故選A.13．解析：由題意知，eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30.答案：3014．解析：由題意得a·b＝1×3＋0×4＝3.答案：315．解析：eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)－\f(cosα,cosα),\f(sinα,cosα)＋\f(cosα,cosα))＝eq\f(tanα－1,tanα＋1)，把tanα＝2代入得，原式＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)16．解析：把x＋y＝1代入eq\f(3y,x)＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，得eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥2eq\r(4)＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)時(shí)取等號，所以eq\f(3y,x)＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為6.答案：617．解析：連接A1C1，C1B，A1B.因?yàn)镋，F(xiàn)，M，N分別是BC，CC1，A1D1，C1D1的中點(diǎn)．所以MN∥A1C1，EF∥BC1，所以∠A1C1B是異面直線EF與MN所成的角．易知△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1C1B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)18．解析：由題意得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>a，,a，x≤a，))在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出0<a<1，a＝1，a>1時(shí)，函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，由圖易得當(dāng)f(x)，g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,g（a）>a，))解得0<a<1，a的取值范圍為0<a<1.答案：(0，1)19．解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosB·cosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,3)，從而cosA＝－cos(B＋C)＝eq\f(1,3).(2)由于0＜A＜π，cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(2\r(2),3)，又S△ABC＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bc＝6，,b2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝2.))20．解：(1)函數(shù)圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\f(1,2).又因?yàn)椋?lt;φ<0，所以－eq\f(2π,3)<eq\f(π,3)＋φ<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,3)＋φ＝－eq\f(π,3)，即φ＝－eq\f(2π,3)，所以f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).由π＋2kπ≤2x－eq\f(2π,3)≤2π＋2kπ，k∈Z，整理得eq\f(5π,6)＋kπ≤x≤eq\f(4π,3)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋kπ，\f(4π,3)＋kπ))(k∈Z).(2)因?yàn)閒(θ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(2π,3)))＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(2π,3)＋π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(2π,3)))＝－eq\f(3,5).21．解：(1)證明：由題設(shè)可知，PA＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.從而PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P，故PB⊥平面PAC，因?yàn)镻B?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l.由題設(shè)可得rl＝eq\r(3)，l2－r2＝2.解得r＝1，l＝eq\r(3)