第11講 直線與圓錐曲線【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

第11講直線與圓錐曲線【人教A版2019】·模塊一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系·模塊二弦長公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系

類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：>0直線與橢圓相交有兩個公共點(diǎn);

=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點(diǎn);

<0直線與橢圓相離無公共點(diǎn).2．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個數(shù)進(jìn)行判斷.

①代入②得.

當(dāng)=0，即時，直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線交于一點(diǎn).

當(dāng)0，即時，=.

>0直線與雙曲線有兩個交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；

=0直線與雙曲線有一個交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；

<0直線與雙曲線沒有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.(2)對直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件>0x1+x2<0x3．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當(dāng)>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；當(dāng)=0時，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；當(dāng)<0時，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【考點(diǎn)1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線y=32A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線方程y2=4x，過點(diǎn)PA．0條 B．1條 C．2條 D．3條【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C:x225+y29=1A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1.2】（2023·全國·高三對口高考）若直線l被圓C:x2+y2=2所截的弦長不小于A．x-12C．y=x2【考點(diǎn)2根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)】【例2.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）直線x+2y=m與橢圓x2A．22 B．±2 C．±22【例2.2】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線C:x24-y212=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AA．±2 B．±43 C．±23 D【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C的方程為x2=12y，過點(diǎn)A0,-1和點(diǎn)Bt,3的直線A．-∞,-2C．-∞,-22【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線L:y=12x+A．(-2,2) B．(-2,2)模塊二模塊二弦長公式1．橢圓的弦長問題(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點(diǎn)，則或.2．雙曲線的弦長問題①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.3．拋物線的弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).【考點(diǎn)3橢圓的弦長問題】【例3.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知斜率為1的直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)，交橢圓于AA．207 B．227 C．247【例3.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓x22+y2=1與直線y=x+m交于A．±1 B．±1C．2 D．±2【變式3.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過橢圓x29+y2=1的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、A．0 B．1 C．2 D．3【變式3.2】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知直線l是圓C：x2+y2=1的切線，且l與橢圓E：x23+y2=1A．2 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)4雙曲線的弦長問題】【例4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線x2-y2=3上，線段AB的中點(diǎn)為MA．25 B．45 C．210【例4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線x2-y2=2的左焦點(diǎn)作直線l，與雙曲線交于A,BA．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點(diǎn)A．7 B．8 C．9 D．10【變式4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點(diǎn)F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點(diǎn)，與H的漸近線交于C，D兩點(diǎn)．若AB=5，則CD=（A．27 B．26 C．35 D．【考點(diǎn)5拋物線的弦長問題】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為π3的弦AB，則A．837 B．163 C．8【例5.2】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線x2=12y的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線y=kx+m(k>0)與拋物線相交于A．2 B．2 C．22 D．【變式5.1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線y2=-4x，過其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)D，且B是線段AD的中點(diǎn)，則ABA．92 B．72 C．32【變式5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過F的直線l交拋物線C于A,BA．1 B．32 C．3 D．【考點(diǎn)6圓錐曲線中的面積問題】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F斜率不為0的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，記直線MP與直線MQ的斜率分別為k1,k2【例6.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線y2=4x.(1)求以M(1,1)(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D【變式6.1】（2023秋·貴州貴陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)-2,0在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，點(diǎn)Mm,12m≠0在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，(1)求橢圓C的方程；(2)記S△BME，S△AMF分別為△BME，△AMF【變式6.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0離心率為2，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是直線x=1上一點(diǎn)，且滿足3tan(1)求雙曲線C的方程；(2)求S1S模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）若直線y=x+m與橢圓x2A．±6 B．±6 C．±3 D2．（2023春·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí)）過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于A3,y1，A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線x2-y28=1的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于A．一條 B．兩條C．三條 D．四條4．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，若直線x=4與C交于AA．4 B．5 C．6 D．75．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A．23 B．23 C．-26．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）定義曲線a2x2-b2y2=1為雙曲線x2a2-y2b2=1的“伴隨曲線”.在雙曲線C1：x2-A．0 B．1 C．2 D．與點(diǎn)P的位置有關(guān)系7．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且與橢圓相交于A，BA．直線l與OM一定垂直B．若直線l方程為y=2x+2C．若直線l方程為y=x+1，則點(diǎn)D．若點(diǎn)M坐標(biāo)為1,1，則直線l方程為28．（2023春·福建廈門·高二?？计谥校┻^拋物線C：y2=6x上一點(diǎn)Px0,y0作兩條直線分別與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若直線AB的斜率為2，直線PA，A．154 B．5 C．152 D9．（2023·天津武清·天津市?？寄M預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑的圓與A．6 B．43 C．23 D10．（2023秋·四川成都·高三?？奸_學(xué)考試）如圖拋物線Γ1的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l1，焦準(zhǔn)距為4；拋物線Γ2的頂點(diǎn)為B，焦點(diǎn)也為F，準(zhǔn)線為l2，焦準(zhǔn)距為6．Γ1和Γ2交于P、Q兩點(diǎn)，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為

①AB=5

②四邊形MNST的面積為③FS?FT=0

④A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③11．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：x24＋y22＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線（1）有兩個公共點(diǎn)；（2）有且只有一個公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn)．12．（2023·全國·高二課堂例題）設(shè)動直線y=kx+m與定橢圓x2a2+(1)求弦長AB及△OAB的面積S（用含a，b，k，m(2)試求△OAB的面積S的最大值13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為y=±3x(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a14．（2023秋·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知