河南省許昌、平頂山兩市2024屆高三下學期期末數(shù)學試題理試題

河南省許昌、平頂山兩市2023屆高三下學期期末數(shù)學試題理試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．3．下列四個結論中正確的個數(shù)是（1）對于命題使得，則都有；（2）已知，則（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．44．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．5．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)（）.A．6 B．5 C．4 D．36．已知，，，，．若實數(shù)，滿足不等式組，則目標函數(shù)（）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值7．由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)且的圖象恒過定點，則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．10．如圖所示，三國時代數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．10811．在中，角的對邊分別為，若．則角的大小為()A． B． C． D．12．設雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為F，右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D．若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，雙曲線的一條準線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.14．已知為橢圓內一定點，經過引一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為________________．15．雙曲線的焦距為__________，漸近線方程為________．16．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標系中，曲線：.直線經過點，且傾斜角為，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）寫出曲線的極坐標方程與直線的參數(shù)方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，求實數(shù)的值．18．（12分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標為，，求的值.20．（12分）設函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內恒成立.21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設分別是數(shù)列的前項和，且，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知橢圓：的兩個焦點是，，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

以D為原點，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結合思想和向量法的應用，屬于中檔題．2．B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3．C【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定．【詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可知命題使得，則都有，是錯誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質，可知其對稱軸的方程為，所以是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當時，可得成立，當時，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件．【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質、回歸直線方程的性質，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．4．B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．5．C【解析】

若對任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知，，又三角形有一個內角為，所以，，解得或（舍），故，當時，取得最大值，所以.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題，考查學生的計算能力，是一道基礎題.6．B【解析】

判斷直線與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.【詳解】由，，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【點睛】本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結合思想，考查了不等式的性質應用.7．C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵.8．D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【詳解】，，，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.9．A【解析】

由題可得出的坐標為，再利用點對稱的性質，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點的坐標為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應用，屬于基礎題.10．B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.11．A【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得，結合，可得，結合范圍，可得，可得，即可得解的值．【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．12．A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上，設，則由得：，因為到直線的距離小于，所以，即，所以雙曲線漸近線斜率，故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準線方程，求出三角形的頂點的坐標，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點睛】本題考查雙曲線方程的應用，雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題．14．【解析】

設弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，利用點差法可求得直線的斜率，進而可求得直線的點斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，由于點為弦的中點，則，得，由題意得，兩式相減得，所以，直線的斜率為，所以，弦所在的直線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用弦的中點求弦所在直線的方程，一般利用點差法，也可以利用韋達定理設而不求法來解答，考查計算能力，屬于中等題.15．6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.16．-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當直線經過A點時目標函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（t為參數(shù)）；（Ⅱ）或或.【解析】

試題分析:本題主要考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉化、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，用，化簡表達式，得到曲線的極坐標方程，由已知點和傾斜角得到直線的參數(shù)方程；第二問，直線方程與曲線方程聯(lián)立，消參，解出的值.試題解析：（1）即,.（2）,符合題意考點：本題主要考查：1.極坐標方程，參數(shù)方程與直角方程的相互轉化；2.直線與拋物線的位置關系.18．（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點的縱坐標為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點H的縱坐標，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因為直線的斜率為1，則，所以，因為，所以線段中點的縱坐標為.直線的方程為，即①直線的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點的縱坐標為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結論也顯然成立，綜上所述，直線的斜率為0.【點睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.19．（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標準式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標方程，韋達定理得，點在直線上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標方程為，由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線的普通方程為.（Ⅱ）點的直角坐標為，則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標準式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標方程，整理得，直線與曲線交于兩點，，即.設點所對應的參數(shù)分別為，由韋達定理可得，.點在直線上，，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化及應用，屬于中檔題.20．（Ⅰ）當時，<0，單調遞減；當時，＞0，單調遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【解析】試題分析：本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導，再對a進行討論，判斷函數(shù)的單調性；第（Ⅱ）問，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而證明結論，第（Ⅲ）問，構造函數(shù)=（），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而求解a的值.試題解析：（Ⅰ）<0，在內單調遞減.由=0有.當時，<0，單調遞減；當時，＞0，單調遞增.（Ⅱ）令=，則=.當時，＞0，所以，從而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.當，時，=.故當＞在區(qū)間內恒成立時，必有.當時，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此時＞在區(qū)間內不恒成立.當時，令=（）.當時，=.因此，在區(qū)間單調遞增.又因為=0，所以當時，=＞0，即＞恒成立.綜上，.【考點】導數(shù)的計算，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，解決恒成立問題【名師點睛】本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力．求函數(shù)的單調性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調性；要證明不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調性．本題