2025中考數(shù)學一輪復習第10講 一元二次方程（含解析+考點卡片）

2025年中考數(shù)學一輪復習

第10講一元二次方程

一．選擇題（共10小題）

1．下列方程中，無實數(shù)根的方程是（）

A．x2+3x＝0B．x2+2x﹣1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2﹣x+3＝0

2．某藥品加工廠兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是6400元，現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是3600元．則Ⅰ

型藥品的年平均下降率為（）

A．75%B．56.25%C．25%D．20%

3．關于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0時，將方程化為（x﹣3）2＝a的形式，則a的值是（）

A．8B．9C．10D．12

5．中考將至，九（1）班全體學生互贈“祝?？ā保操洝白８？ā?640張，問九（1）班共有多少名學生？

設九（1）班共有x名學生，那么所列方程為（）

A．x2＝1640B．x（x﹣1）＝1640

C．x（x+1）＝1640D．

1

2?(??1)=1640

6．一元二次方程x﹣5x+3＝0的根的情況是（）2

A．有兩個相等的實數(shù)根

B．有兩個不相等的實數(shù)根

C．有一個實數(shù)根

D．沒有實數(shù)根

7．關于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個實根，則k的取值范圍是（）

A．k≥1B．k≥﹣1C．k＞1D．k＞﹣1

8．根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬人．設

這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為x，根據(jù)題意可列方程（）

A．38.2（1﹣x）＝29.6B．38.2（1﹣x）2＝29.6

C．38.2x2＝29.6D．38.2（1﹣x2）＝29.6

9．某市商品房的均價原為18150元/m2，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后均價為15000元/m2．設平均每次降價的百分

率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000

B．18150（1﹣x2）＝15000

C．18150（1﹣2x）＝15000

D．18150（1﹣x）2＝15000

10．一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，則這個三角形第三邊的

長是（）

A．3B．4C．3或4D．3和4

二．填空題（共5小題）

11．已知，實數(shù)m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，則代數(shù)式m2+3m+n的值為．

12．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是．

13．已知關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值

范圍是．

2

14．設x1、x2是方程x+mx﹣2＝0的兩個根，且x1+x2＝3x1x2，則m＝．

15．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已

知x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則mn＝．

三．解答題（共5小題）

16．“陽光玫瑰”是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種．某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽光玫瑰”300畝，到

2023年年底“陽光玫瑰”的種植面積達到432畝．

（1）求該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率．

（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當“陽光玫瑰”的售價為20元/kg時，每天能售出300kg；銷售單價每降低1元，

每天可多售出50kg．為了減少庫存，該基地決定降價促銷．已知該基地“陽光玫瑰”的平均成本為10

元/kg，若要使銷售“陽光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費者盡可能獲得實惠，則銷售單價應定為

多少元？

2

17．關于x的一元二次方程x﹣4x﹣2m+5＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2．

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）滿足，求m的值．

2

18．為了加強?勞1?動2+教?育1，+我?2校=在?校+園6開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為

28米），用長為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設計了

三個寬1米的小門，便于同學們進入．

（1）若圍成的菜地面積為120平方米，求此時邊AB的長；

（2）若每平方米可收獲2千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？

19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭

盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷

售量的月增長率相同．

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此

基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧

客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？

20．已知關于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若該方程兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．

2025年中考數(shù)學一輪復習之一元二次方程

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．下列方程中，無實數(shù)根的方程是（）

A．x2+3x＝0B．x2+2x﹣1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2﹣x+3＝0

【考點】根的判別式．

【專題】判別式法；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可分別找出四個選項中方程的根的判別式△的

值，取Δ＜0的選項即可得出結論．

【解答】解：A、∵Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，

∴方程x2+3x＝0有兩個不相等的實數(shù)根，選項A不符合題意；

B、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，選項B不符合題意；

C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，

∴方程x2+2x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，選項C不符合題意；

D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，

∴方程x2﹣x+3＝0沒有實數(shù)根，選項D符合題意．

故選：D．

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程

有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根”是解題的關鍵．

2．某藥品加工廠兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是6400元，現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本是3600元．則Ⅰ

型藥品的年平均下降率為（）

A．75%B．56.25%C．25%D．20%

【考點】一元二次方程的應用．

【專題】一元二次方程及應用；應用意識．

【答案】C

【分析】設Ⅰ型藥品的年平均下降率為x，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1tⅠ型藥品的成本＝兩年前生產(chǎn)1tⅠ型藥品的

成本×（1﹣Ⅰ型藥品的年平均下降率）2，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即

可得出結論．

【解答】解：設Ⅰ型藥品的年平均下降率為x，

根據(jù)題意得：6400（1﹣x）2＝3600，

解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合題意，舍去），

∴Ⅰ型藥品的年平均下降率為25%．

故選：C．

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

3．關于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的最小整數(shù)值是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

【考點】根的判別式．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】D

【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，

再解兩個不等式得到m的取值范圍，然后找出m的最小整數(shù)即可．

【解答】解：根據(jù)題意得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，

解得m＞﹣1且m≠0，

所以m的最小整數(shù)值為1．

故選：D．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：

當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程

無實數(shù)根．

4．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0時，將方程化為（x﹣3）2＝a的形式，則a的值是（）

A．8B．9C．10D．12

【考點】解一元二次方程﹣配方法．

【專題】一元二次方程及應用．

【答案】A

【分析】先把方程中的常數(shù)項移到等號右邊，再把方程兩邊同時加9，進行配方，然后根據(jù)配方結果求

出a即可．

【解答】解：x2﹣6x+1＝0，

x2﹣6x＝﹣1，

x2﹣6x+9＝﹣1+9，

（x﹣3）2＝8，

∴a＝8，

故選：A．

【點評】本題主要考查了解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握利用配方法解一元二次方程．

5．中考將至，九（1）班全體學生互贈“祝?？ā?，共贈“祝?？ā?640張，問九（1）班共有多少名學生？

設九（1）班共有x名學生，那么所列方程為（）

A．x2＝1640B．x（x﹣1）＝1640

C．x（x+1）＝1640D．

1

?(??1)=1640

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．2

【專題】一元二次方程及應用；應用意識．

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得：每人要贈送（x﹣1）張賀卡，有x個人，然后根據(jù)題意可列出方程：（x﹣1）x＝

1640．

【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈送（x﹣1）張賀卡，有x個人，

列方程為x（x﹣1）＝1640，

故選：B．

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈送x

﹣1張賀卡，有x個人是解決問題的關鍵．

6．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情況是（）

A．有兩個相等的實數(shù)根

B．有兩個不相等的實數(shù)根

C．有一個實數(shù)根

D．沒有實數(shù)根

【考點】根的判別式．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】B

【分析】根據(jù)根的判別式進行判斷即可．

【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：B．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：

當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程

無實數(shù)根．

7．關于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個實根，則k的取值范圍是（）

A．k≥1B．k≥﹣1C．k＞1D．k＞﹣1

【考點】根的判別式．

【專題】探究型．

【答案】B

【分析】先根據(jù)方程有兩個實根列出關于k的不等式，求出k的取值范圍即可．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有兩個實根，

∴Δ＝22+4k≥0，

解得k≥﹣1．

故選：B．

【點評】本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下

關系：

①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根．

8．根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的出生人數(shù)為38.2萬人，2022年的出生人數(shù)為29.6萬人．設

這兩年福建省出生人數(shù)的年平均下降率為x，根據(jù)題意可列方程（）

A．38.2（1﹣x）＝29.6B．38.2（1﹣x）2＝29.6

C．38.2x2＝29.6D．38.2（1﹣x2）＝29.6

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．

【專題】一元二次方程及應用；應用意識．

【答案】B

【分析】根據(jù)2020年的出生人數(shù)及2022年的出生人數(shù)，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．

【解答】解：依題意得：38.2（1﹣x）2＝29.6．

故選：B．

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵．

9．某市商品房的均價原為18150元/m2，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后均價為15000元/m2．設平均每次降價的百分

率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A．18150（1﹣x）2＝18150﹣15000

B．18150（1﹣x2）＝15000

C．18150（1﹣2x）＝15000

D．18150（1﹣x）2＝15000

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．

【專題】增長率問題．

【答案】D

【分析】此題利用基本數(shù)量關系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）＝現(xiàn)在的價格，列方程即

可．

【解答】解：由題意可列方程是：18150（1﹣x）2＝15000．

故選：D．

【點評】此題考查一元二次方程的應用最基本數(shù)量關系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）＝

現(xiàn)在的價格．

10．一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，則這個三角形第三邊的

長是（）

A．3B．4C．3或4D．3和4

【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三邊關系．

【答案】B

【分析】先解方程，求出x的值，再根據(jù)三角形三邊關系舍去不合題意的解．

【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝0，

∴x1＝3，x2＝4，

當x＝3時，3+3＝6（不合題意，舍去），

∴x＝4，即這個三角形第三邊的長是4．

故選：B．

【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三邊關系，此題比較簡單，易于掌握．

二．填空題（共5小題）

11．已知，實數(shù)m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，則代數(shù)式m2+3m+n的值為1．

【考點】根與系數(shù)的關系．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】1．

【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2+2m＝3，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到m+n＝﹣2，然后

利用整體代入的方法計算．

【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣3＝0的根，

∴m2+2m＝3，

∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的兩根，

∴m+n＝﹣2，

∴m2+3m+n

＝m2+2m+m+n

＝3﹣2

＝1．

故答案為：1．

【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方

程根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解的定義是解決本題的關鍵．

2

12．一元二次方程x+x﹣1＝0的解是x1，x2．

?1+5?1?5

【考點】解一元二次方程﹣公式法．=2=2

【專題】計算題．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】a＝1，b＝1，c＝﹣1，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，然后代入求根公式進行計算即可．

【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，

∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，

∴x，

?1±5

=2×1

所以x1，x2．

?1+5?1?5

=2=2

故答案為x1，x2．

?1+5?1?5

【點評】本題=考查2了一元=二次方2程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的解法．可以直接利用它的

求根公式求解，它的求根公式為：x（b2﹣4ac≥0）；用求根公式求解時，先要把方程化

2

??±??4??

=2?

為一般式，確定a，b，c的值，計算出Δ＝b2﹣4ac，然后代入公式．

13．已知關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值

范圍是k＜且k≠﹣1．

3

【考點】根的判28別式；一元二次方程的定義．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】k＜且k≠﹣1．

3

【分析】根據(jù)2一8元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）

＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．

【解答】解：根據(jù)題意得k+1≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4（k+1）（k+3）＞0，

解得k＜且k≠﹣1，

3

所以實數(shù)2k8的取值范圍是k＜且k≠﹣1．

3

故答案為：k＜且k≠﹣1．28

3

【點評】本題考2查8了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：

當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程

無實數(shù)根．

2

14．設x1、x2是方程x+mx﹣2＝0的兩個根，且x1+x2＝3x1x2，則m＝6．

【考點】根與系數(shù)的關系．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】6．

【分析】先利用根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再利用x1+x2＝3x1x2得到﹣m＝3×（﹣2），

然后解一次方程即可．

【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，

∵x1+x2＝3x1x2，

∴﹣m＝3×（﹣2）＝﹣6，

解得m＝6．

故答案為：6．

2

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2，

?

=??

x1x2．

?

=

15．定義：?如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已

知x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則mn＝﹣2．

【考點】根的判別式；一元二次方程的解．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，可得1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1，又因為方程有兩個相等的

實數(shù)根，所以根的判別式Δ＝m2﹣4n＝0，將n＝﹣m﹣1代入，求出m＝﹣2，再求出n＝1，則mn可

求．

【解答】解：∵x2+mx+n＝0是“鳳凰”方程，

∴1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1．

又∵方程x2+mx+n＝0有兩個相等的實數(shù)根，

∴Δ＝m2﹣4n＝0，

將n＝﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）＝0，

解得m＝﹣2，

∴n＝1，

∴mn＝﹣2×1＝﹣2．

故答案為﹣2．

【點評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系，關鍵是熟練掌握：（1）Δ＞0方

程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0方程沒有實數(shù)根．?同時

考查了學生的閱讀理解能力．??

三．解答題（共5小題）

16．“陽光玫瑰”是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種．某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽光玫瑰”300畝，到

2023年年底“陽光玫瑰”的種植面積達到432畝．

（1）求該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率．

（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當“陽光玫瑰”的售價為20元/kg時，每天能售出300kg；銷售單價每降低1元，

每天可多售出50kg．為了減少庫存，該基地決定降價促銷．已知該基地“陽光玫瑰”的平均成本為10

元/kg，若要使銷售“陽光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費者盡可能獲得實惠，則銷售單價應定為

多少元？

【考點】一元二次方程的應用．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】（1）該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為20%；

（2）銷售單價應定為17元．

【分析】（1）設該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為x，利用該基地2023年年底“陽光玫

瑰”的種植面積＝該基地2021年年底“陽光玫瑰”的種植面積乘上（1+該基地“陽光玫瑰”種植面積

的年平均增長率）的平方，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；

（2）設銷售單價應降低y元，則每千克的銷售利潤為（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，

利用總利潤＝每千克的銷售利潤×日銷售量，可列出關于y的一元二次方程，解之即可得出結論．

【解答】解：（1）設該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為x，

根據(jù)題意得：300（1+x）2＝432，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．

答：該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為20%；

（2）設銷售單價應降低y元，則每千克的銷售利潤為（20﹣y﹣10）元，每天能售出（300+50y）千克，

根據(jù)題意得：（20﹣y﹣10）（300+50y）＝3150，

整理得：y2﹣4y+3＝0，

解得：y1＝1，y2＝3，

∵“陽光玫瑰”的售價為20元/kg，使消費者盡可能獲得實惠．

∴銷售單價應定為17元．

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

2

17．關于x的一元二次方程x﹣4x﹣2m+5＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2．

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）滿足，求m的值．

2

【考點】根?與1?2系+數(shù)?的1+關?系2；=根?的+判6別式．

【專題】一元二次方程及應用；推理能力．

【答案】（1）＞；

1

（2）m＝1．?2

【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，然后解不等式即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．

【解答】解：（1）∵方程有兩個實數(shù)根x1，x2，并且x1≠x2，

∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，

∴＞；

1

?

（2）∵2x1，x2是該方程的兩個根，

∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，

∵，

2

∴?﹣1?22m+5?+14+＝?m22+=6，?+6

解得：m＝﹣3或m＝1，

∵＞，

1

∴m?＝12．

【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關系，當Δ＞0，方程有兩個不相等的實

數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系

數(shù)的關系．

18．為了加強勞動教育，我校在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為

28米），用長為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設計了

三個寬1米的小門，便于同學們進入．

（1）若圍成的菜地面積為120平方米，求此時邊AB的長；

（2）若每平方米可收獲2千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？

【考點】一元二次方程的應用；二次函數(shù)的應用．

【專題】一元二次方程及應用；二次函數(shù)的應用；應用意識．

【答案】（1）10米；

（2）294千克．

【分析】（1）設AB的長為x米，則BC的長為（39+3﹣3x）米，根據(jù)圍成的菜地面積為120平方米，

可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結合墻的最大可用長度為28米，即可確定結論；

（2）設AB的長為m米，圍成的菜地面積為n平方米，則BC的長為（39+3﹣3m）米，利用矩形的面

積＝長×寬，可找出n關于m的函數(shù)關系式，結合BC的長大于2米且不超過28米，可求出m的取值

范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．

【解答】解：（1）設AB的長為x米，則BC的長為（39+3﹣3x）米，

根據(jù)題意得：x（39+3﹣3x）＝120，

整理得：x2﹣14x+40＝0，

解得：x1＝4，x2＝10，

當x＝4時，39+3﹣3x＝39+3﹣3×4＝30＞28，不符合題意，舍去；

當x＝10時，39+3﹣3x＝39+3﹣3×10＝12＜28，符合題意．

答：此時邊AB的長為10米；

（2）設AB的長為m米，圍成的菜地面積為n平方米，則BC的長為（39+3﹣3m）米，

根據(jù)題意得：n＝m（39+3﹣3m）＝﹣3m2+42m，

即n＝﹣3（m﹣7）2+147．

∵＞，

39+3?3?2

∴39+m3＜?3?，≤28

1440

≤

∵﹣33＜0，3

∴當m＝7時，n取得最大值，最大值為147，此時可收獲2×147＝294（千克）的菜．

答：該片菜地最多可收獲294千克的菜．

【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正

確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出n關于m的函數(shù)關系式．

19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭

盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷

售量的月增長率相同．

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此

基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧

客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？

【考點】一元二次方程的應用．

【專題】一元二次方程及應用；應用意識．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可

得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值

即可求出結論．

【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，

依題意，得：150（1+x）2＝216，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．

答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．

（2）設該品牌頭盔的實際售價為y元，

依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，

整理，得：y2﹣130y+4000＝0，

解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，

答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

20．已知關于x的一元二次方程x2﹣5mx+4m2＝0．

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若該方程兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．

【考點】根與系數(shù)的關系；根的判別式．

【專題】一元二次方程及應用；運算能力．

【答案】（1）證明見解答；（2）或．

22

?22222

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合3根的3判別式可得出Δ＝（﹣5m）﹣4×1×4m＝25m﹣16m＝9m，

結合偶次方的非負性可得出Δ≥0，進而可證出：無論m為何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；

22

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x2＝5m，x1x2＝4m，結合（x1﹣x2）＝4，即可得出關于m的方程，

解之即可得出結論．

【解答】（1）證明：Δ＝（﹣5m）2﹣4×1×4m2＝25m2﹣16m2＝9m2，

∵m2≥0，

∴Δ≥0，

∴無論m為何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；

22

（2）解：設x1，x2是關于x的一元二次方程x﹣5mx+4m＝0的兩個實數(shù)根，

2

∴x1+x2＝5m，x1x2＝4m，

∵x1﹣x2＝2，

2

∴（x1﹣x2）＝4，

222

∴2x1x2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝4，即（5m）﹣4×4m＝4，

22

∴9?m1+2＝?42，?

解得：m1，m2，

22

==?

∴m的值為3或．3

22

?

【點評】本題3考查3了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，一元二

2

次方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關系結合（x1﹣x2）＝4，找出關于m的方程．

考點卡片

1．一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．

2．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解

也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

2

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）

的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．

22

ax1+bx1+c＝0（a≠0），ax2+bx2+c＝0（a≠0）．

3．解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方

程無實數(shù)解．

4．解一元二次方程-公式法

（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．

2

??±??4??

（2）用求=根公式2解?一元二次方程的方法是公式法．

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；

②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；

③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

5．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩

個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一

元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，

得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．

6．根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：

①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△＜0時，方程無實數(shù)根．

上面的結論反過來也成立．

7．根與系數(shù)的關系