2025年高考數學模擬試卷3（北京卷）及答案

絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷03（北京卷）

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合A={%[l<x<3},B=|x|0<x<2},則AD6=（）.

A.1x|l<x<21B.x{Hlv%v3}

C.1x|0<x<2!D.1x|0<x<3|

2.在等差數列{%}中,q+“2=1,%+/=5,貝ijg022+“2023二（）

A.2022B.2023C.4043D.4044

22—

3.已知雙曲線C：5—T^=l（〃〉0）的離心率為行，則雙曲線C的一個焦點廠到它的一條漸近線的距離

為（）

A.4&B.2&C.72D.2

4.若/。）=（1+2幻”+（1+3無）"的展開式中工的系數為13,則一的系數為（）.

A.31B.40C.31或40D.不確定

5.若向量況=（3,2）,AB=（-5,2）,則點B的坐標為（）

A.（1,7）B.（-2,4）C.（1,3）D.（5,3）

6.2021年11月24日，貴陽市修文縣發(fā)生了4.6級地震，所幸的是沒有人員傷亡和較大財產損失，在抗震

分析中，某結構工程師提出：由于實測地震記錄的缺乏，且考慮到強震記錄數量的有限性和地震動的不

可重復性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)計特征的非平穩(wěn)地震波時程，其中地震動時程

強度包絡函數/?）=1,,44（單位：秒）分別為控制強震平穩(wěn)段的首末時刻；〃（單

1

e（t-t2），G<t?td

位：秒）表示地震動總持時；c是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次抗震分析中，地震動總持

時是20秒，控制強震平穩(wěn)段的首末時刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,則當7=15秒時，地震動

時程強度包絡函數值是（）

-12

A.eB.1C.9D.e-

7.已知直線依->一。+2=0與圓尤2+,2-4x-5=0相交于A,8兩點，則g目的取值范圍為（）

A.[3,2百]B.[4,2番〕

C.[4,6]D.[2A/5,6]

8.下列命題中，真命題是（）

A.對于任意實數X,不等式（〃-2）%2一2（。-2）%-4<0恒成立，則實數。的取值范圍為｛。1-2vav2｝.

B.Vx>0,且xwl,貝1Jlg%+」22

Igx

c.“必>1”的一個充分不必要條件是“q>i,b>r

]71

D."sinx=x”的必要不充分條件是“a：”

26

9.已知三棱錐P-ABC滿足PA=P3=PC=BC=2若，ZBAC=60°.則其外接球。的體積為（）

A.36KB.18KC.9A/2TID.與~兀

10.已知數列｛%｝的各項均為正數，其前幾項和為工，滿足%S.=9（〃=l,2「..），給出下列四個結論：

①｛q｝的第2項小于3；②｛凡｝為等比數列；③｛q｝為遞減數列；④｛4｝中存在小于的項

其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.設aeR,若復數z=（1§—\」（i是虛數單位）的實部為1：，貝1]4=

3+12

12.已知cosa='，且T,24貝?。輈os16T+-1-1=

4

13.若拋物線>的焦點到直線>=1的距離為i,則實數加的值為.

m

14.已知〃x+l)=d+2x,則〃3)=

f（x\

15.若數列｛七｝滿足：X用“一片j，77eN*,則定義數列｛%｝為函數"無）的“切線一零點數列”.已知

/（尤）=/_2尤-3,數列上｝為函數/（丈）的“切線——零底數列"，占=-5,若數列｛4｝滿足。產也工不

則數列｛%｝的前”項和S.=

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（14分）

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，四邊形A8CD為菱形，且NABC=60。，PA_L平面ABC。，E為8c的中

點，/為棱PC上一點.

⑴求證：平面A￡F_L平面PAD；

（2）若G為尸。的中點，AB=AP^2,是否存在點凡使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為g?

若存在，求出P言F的值；若不存在，請說明理由.

17.（13分）

已矢口函數/（%）=瘋吊［2尤+；+cos\2x+—\.

I3J

71

(I)求/的值;

（II）求函數/（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間.

18.（13分）

踢毯子在我國流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項傳統(tǒng)民間體育活動.某次體育課上，甲、乙、1丙、

丁四人一起踢毯子.毯子在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為:；當乙接到德子

時，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為:，當丙接到毯子時，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為二,

3z63

kI;當丁接到毯子時，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為:，除假設毯子一直沒有掉地上，經

z636z

過〃次傳健子后，健子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為?！?，bn,cn,dn,已知％=0.

(1)記丁在前2次傳毯子中，接到健子的次數為X,求X的分布列；

(2)證明［%為等比數列，并判斷經過150次傳毯子后甲接到建子的概率與;的大小.

19.(15分)

己知橢圓C：］+/=1(°>6>0)的左焦點為歹，點8(0,￡|三等分橢圓C的短軸，且

.,3回

sin//FJ7ABn=----?

10

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)過點A作與x軸不垂直的直線/與橢圓C交于點M,N,橢圓C上是否存在點P,使得恒有

H/LRV?若存在，求出點尸坐標；若不存在，請說明理由.

20.(15分)

已知函數/(x)=^+xlnx,g(x)=ax2-2(a-V)x+a-1.

(I)求證：曲線y=/(x)與y=g(x)在(Ll)處的切線重合；

(II)若/(x)Wg(x)對任意xe［l,+8)恒成立，求實數。的取值范圍.

21.(15分)

kk

記±4=。1+電+…+怎，［［弓=4*。2*…X4,存在正整數"，且"22.若集合4=｛4，/，滿足

t=lt=\

=fl。,，則稱集合A為“諧調集”.

r=lt=l

⑴分別判斷集合E=”,2｝、集合尸=｛-1,0,1｝是否為“諧調集”；

⑵已知實數x、》若集合｛工封為“諧調集”，是否存在實數z滿足z2=xy,并且使得｛x,%z｝為“諧調集”？

若存在，求出所有滿足條件的實數z,若不存在，請說明理由；

(3)若有限集/為“諧調集”，且集合M中的所有元素均為正整數，試求出所有的集合性

數學.參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

12345678910

DCBCBACCCc

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.212.零13.814.815.（2"-l）ln2

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（14分）

【詳解】（1）證明：連接AC,

因為底面ABCZ）為菱形，ZABC=6O°,

所以AASC是正三角形，

?.?E是3C的中點，

.-.AE1BC,

又ADUBC,:.AELAD,

平面ABCD,

又PAnAD=A平面PAD,

又AEu平面AEb,

所以平面AEF_L平面PAD.

（2）由（1）知AE,AD,A尸兩兩垂直，以A為坐標原點，直線AE,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸建立

空間直角坐標系，設方=/無（0</<1）,則4（0,0,0）,E（V3,0,0）,C（V3,l,0）,P（0,0,2）,G（0,l,l）,

尸t,2-2r）,

z

C

所以花=("o,o),AF=(^t,t,2-2t),EG=(-73,1,1).

"竺"即廠下＞x=0,

設平面AEF的法向量"=(x,y,z),則

n-AF=0,sj3tx+“+(2—2。z=0,

令z=t,得平面的的一個法向量為=(O,2f-2j).

設石G與平面AEb所成的角為8,則

回臼

|2z-2+彳13T

sin。=

+產岳J5/—&+45'

14

解得f或u],

1PF1PF4

即存在點尸，使得直線￡G與平面皿所成角的正弦值為三，==-

JL乙LJ

17.(13分)

【詳解】(I)因為/⑺=八皿卜工+三卜cosjx+gj,

3

7171(八兀兀兀兀

所以/—+—+cos2-—+—,

63J(6633)

2兀2K

=^sin+COS14=1-

(II)因為/(x)=Ain2x+]+cos\2x+—j,

sinf2x+—兀j+—cos|2x+—71

所以〃%)=2

2323

717171

=2cos—sin2x+—+sin—cos2x+—

6363

c?八J71ij兀

=2sin2xH—H—

36

=2sinI2x+—I=2cos2x,

所以周期T=3=7l.

令2fai—兀<2%<2E,kqZ,

TT

解得：ku---左wZ,

2

TT

所以的單調遞增區(qū)間為：kn--,kn,keZ

18.(13分)

【詳解】⑴X的所有可能取值為0,1,

11115

P(X=0)=2x—X—+—x—

33329

；；14

p(X=l)=+2xx—=—

69

所以X的分布列為

⑵當"22時，a“=，i+g*+￥“-i.

上“，111J11,1J,11,1

“2時，bn=-an_l+-cH_l+-dn^,cn=-an_l+-bn_l+-dn_x,dn=-an.^n^-cn_x,

2

所以勿+cn+二an_x+-(bn_]+%+d〃_i)=an_x+2a〃,

因為%=g%+gc,T+g4.1，所以3a“+i=b”+c”+d”,

所以3%=2a,+%,所以3o?+1+an=3an+%

1""41

因為q=0,a2=-,所以3a,+a,i=l,所以-----p=

a,1-'~4

所以卜"一是首項為一；，公比q=J的等比數列，

所以。150

故經過15。次傳璀子后甲接到毯子的概率大于1.

19.（15分）

【詳解】⑴由點40,-，2（0。三等分橢圓C的短軸，得6=1,

由sinZFAB=3A,得tanAFAB=3,

10

即c=3xg=l,

又/=一/,

所以橢圓C的方程為上+丁=1.

2

(2)設%),N(%,%)，直線/的方程為丁=履-：,

y=kx--

3

由＜整理得（9+18必）爐-12fcc-16=0,

—+r=i

12'

4k-16

所以%+Z=12

6左2+39+18左2

△=144左2+64（9+18左2）>0,

設尸（%o，%）,則尸M=（%]—%,必―Vo）,尸N=（々—九0,%—%），

PMPN=（xl-x0）（x2-x0）+（y-%）（%—%）

=%%2-%0（%+%2）+%+%%-%（%+%）+￥

上21

=%%2—%0（玉+%2）+片+左2%工2一+%2）—%陜（玉+%2）—§]+§+

=a+左之）玉%2_（§+/+佻）a+%2）+*+公+§%+§

—16—（20+12%）左2—12與女+￥+￥+"1%+￡=o，

9+18-

%=0%二o

首先滿足°,即

20+12%=32%=1

（瑪=0___

當｛1時，PMkPNk=0^且點（0,1）在橢圓。上,

Uo=l

所以橢圓。上存在點尸(。，1),使得恒有PMJ_RV.

20.（15分）

【詳解】證明：(I)r(x)=2+lnx，r(l)=2,/(l)=l

y=/⑺在Q,D處的切線方程為y=2x-1

g'(x)=2or-2(a—l),g'(l)=2,g(l)=l

y=g(x)在Q,D處的切線方程為y=2x-l

所以切線重合.

(II)(方法1)：^(-x)==<xv2-2^a-\)x+a-\-x-x\Dxix>X)

F,(x)=2a(x-l)-lnx

①當aVO時，F'(x)<0,當且僅當x=l時取“=”，

F(x)在［l,+8)遞減,F(x)<F(l)=0,/(x)Wg(x)不恒成立.

②當a>0時，F"(x)=2a~—=,

XX

(i)當0<a<；時，時，F"(x)<0,F'(x)遞減，

F,(x)<F,(l)=0,網尤)在遞減，

F(x)<F(l)=0,/(x)<g(x)不恒成立.

(ii)當azg時，F"(x)>0,尸⑺在［1,+⑹遞增，

F'(A:)>F'(1)=0,尸(無)在遞增,

F(x)>F(l)=0,/(x)Vg(x)恒成立.

綜上，a>—.

(II)(方法2)：

x+xlnxK亦2-2(〃一1卜十〃一1,

a_］

ax-(2Q-1)H----2Inx(x21),

ci—1

設P(%)=axH------2Q+1―Inx,

x

ax+aT)(l)

p'(x)=

X2

q^x)=ar+(?-l)(x>1)

⑴當aWO時，破力<0,y(x)<0,。(%)在[1,+00)遞減，二當%>1時,p(x)<0,與已知矛盾

(2)當a>0時，q(x)=ax+(a-l"2a-l

①當〃時，^(x)>0,y(%)>0.?.〃(%)在[1,+00)遞增.“(%)之〃(1)=0,滿足題意

②當0<〃<!時，取p\x)<Q,.?.〃(%)在遞減，=

2QIaJ

不滿足題意

綜上，〃之7?

2

21.(15分)

【詳解】(1)因為1X2W1+2,所以萬不是“諧調集”,

因為(—l)x0xl=(—1)+0+1,所以方是“諧調集”;