江蘇專用2024高考數(shù)學二輪復習課時達標訓練七平行與垂直

PAGEPAGEPAGE1課時達標訓練(七)平行與垂直A組——大題保分練1．(2024·蘇北三市期末)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是B1C1，AB，AA(1)求證：EF∥平面A1BD；(2)若A1B1＝A1C1，求證：平面A1BD⊥平面BB1證明：(1)因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EF∥A1B.因為EF?平面A1BD，A1B?平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C因為A1D?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D因為A1B1＝A1C1，且D是B1C1所以A1D⊥B1C1因為BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1?平面BB所以A1D⊥平面BB1C因為A1D?平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C2.(2024·南京四校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，E是BC的中點，F(xiàn)在棱PC上，且PA∥平面DEF.(1)求證：AD⊥PC；(2)求eq\f(PF,FC)的值．解：(1)證明：因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥DC.因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.又PD，DC?平面PCD，PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PCD.又PC?平面PCD，所以AD⊥PC.(2)如圖，連接AC，交DE于G，連接FG.因為PA∥平面DEF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面DEF＝FG.所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).因為底面ABCD是矩形，E是BC的中點，所以AD∥BC，AD＝2EC.所以易知eq\f(AG,GC)＝eq\f(AD,EC)＝2.所以eq\f(PF,FC)＝2.3.(2024·揚州期末)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B為矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是四邊形AA1B1B，BB1C求證：(1)EF∥平面ABC；(2)BB1⊥AC.證明：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B，四邊形BB1∵E，F(xiàn)分別是四邊形AA1B1B，BB1C1C對角線的交點，∴E，F(xiàn)分別是AB1，CB1的中點，∴EF∵EF?平面ABC，AC?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵四邊形AA1B1B為矩形，∴BB1⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1?平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面ABC＝∴BB1⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴BB1⊥AC.4．(2024·南京三模)在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°.(1)求證：平面PAC⊥平面PAB；(2)設平面PBC∩平面PAD＝l，求證：BC∥l.證明：(1)因為PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PA⊥AC.因為AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，所以由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC)＝eq\r(12＋22－2×1×2cos60°)＝eq\r(3).因為12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))eq\s\up12(2)＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB.又AC⊥PA，PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.(2)因為BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又BC?平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.B組——大題增分練1．(2024·鹽城三模)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分別是棱A1D1，D1C1求證：(1)AC∥平面DMN；(2)平面DMN⊥平面BB1D1D.證明：(1)連結(jié)A1C1，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，因為AA1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC.又M，N分別是棱A1D1，D1C1的中點，所以MN∥A1C1，所以AC∥MN.又AC?平面DMN，MN?平面DMN，所以(2)因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱所以DD1⊥平面A1B1C1D1，而MN?平面A1B1C1D所以MN⊥DD1.又因為棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形所以A1C1⊥B1D1，而MN∥A1C1，所以MN⊥B1D又MN⊥DD1，DD1?平面BB1D1D，B1D1?平面BB1D1D，且DD1∩B1D1＝D1，所以MN⊥平面BB1D1D.而MN?平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1D1D.2．(2024·揚州中學模擬)如圖，已知三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，PA＝PC，棱AC的中點為E，且BC∥平面PEF.(1)求證：EF∥平面PBC；(2)求證：平面PAC⊥平面PEF.證明：(1)因為BC∥平面PEF，BC?平面ABC，平面PEF∩平面ABC＝EF，所以EF∥BC.又EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC.(2)因為PA＝PC，E是AC的中點，所以AC⊥PE.又AC⊥BC，EF∥BC，所以AC⊥EF.又PE∩EF＝E，PE，EF?平面PEF，所以AC⊥平面PEF.又AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PEF.3．(2024·南師附中、天一中學四月聯(lián)考)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知點M為棱BC上異于B，C(1)若M為BC的中點，求證：A1C∥平面AB1(2)若平面AB1M⊥平面BB1C1C，求證：證明：(1)連接A1B，交AB1于點N.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，易知四邊形AA1B1B為矩形，∴N為A1B的中點．又M為BC的中點，連接MN，∴MN∥A1C又A1C?平面AB1M，MN?平面AB1M，∴A1C∥(2)過點B作BP⊥B1M，垂足為P，∵平面AB1M⊥平面B1BCC平面AB1M∩平面B1BCC1＝B1M，BP?平面BB1C1C，∴BPAM?平面AB1M.∴BP⊥AM在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD∴AM?平面ABCD，∴BB1⊥AM.又BP∩BB1＝B，BP，BB1?平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C.又BC?平面BB14．(2024·常州期末)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，點Q是棱PC上異于P，C的一點．(1)求證：BD⊥AC；(2)過點Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點F在棱PB上)，求證：QF∥BC.證明：(1)因為PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PC.記AC，BD交于點O，連結(jié)OP.因為平行四邊形對角線相互平分，則O為BD的中點．在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.又PC∩