新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積及體積練習(xí)文新人教A版

PAGE1-第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積一、選擇題1．一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個幾何體的俯視圖不行能是()解析：選D.假如該幾何體是一個底面是等腰直角三角形，且側(cè)棱與底面垂直的直三棱柱，故A可能；假如該幾何體是一個圓柱，則其俯視圖必為圓，故B可能；假如該幾何體是一個正方體，則其俯視圖必為正方形，故C可能；假如該幾何體是一個長方體，則其正視圖和側(cè)視圖中必有一個為長方形，故D錯誤；依據(jù)解除法可知，選項D符合題意．2．某幾何體的三視圖中的三角形都是直角三角形．如圖所示，則該幾何體中直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.依題意，該幾何體是一個底面為直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，其四個面均為直角三角形．3．(2024·武漢市調(diào)研測試)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析：選C.VA-BC1M＝VC1-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6).故選C.4．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(3)，則球O的表面積為()A．4π B．8πC．16π D．32π解析：選C.如圖，因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，所以R2＝(eq\r(3))2＋12＝4，所以球O的表面積S＝4πR2＝16π，故選C.5．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選B.依據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和eq\r(2)的直角三角形(如圖所示)，依據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)))×3＝eq\r(2).故選B.6．某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()A．640＋48π B．176πC．640＋16π D．704解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是上面是底面半徑為4，高是3的圓錐，下面是底面邊長為8的正方形，高是10的長方體，所以該幾何體的體積V＝8×8×10＋eq\f(1,3)×π×42×3＝640＋16π.7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為()A．2eq\r(7)＋4eq\r(3)＋2 B．2eq\r(7)＋10C．10＋eq\r(7) D．12＋4eq\r(3)解析：選B.由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖P-ABC如圖所示，其中三角形PAB與三角形PCB為全等的直角三角形，其面積為eq\f(1,2)×2×4＝4，△ABC為等腰直角三角形，面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，△PAC為等腰三角形，面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(14)＝2eq\r(7)，所以表面積是4＋4＋2＋2eq\r(7)＝10＋2eq\r(7).8．在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝eq\f(1,2)SC，且三棱錐S-ABC的體積為eq\f(9\r(3),2)，則該三棱錐的外接球半徑是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.取SC的中點O，連接OA，OB，則OA＝OB＝OC＝OS，即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r，則eq\f(1,3)×2r×eq\f(\r(3),4)r2＝eq\f(9\r(3),2)，所以r＝3.9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點B到平面D1AC的距離等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C．1 D.eq\r(2)解析：選B.如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1-ABC的高，AD1＝CD1＝eq\r(5)，取AC的中點O，連接D1O，則D1O⊥AC，所以D1O＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3).設(shè)點B到平面D1AC的距離為h，則由VB-D1AC＝VD1-ABC，即eq\f(1,3)S△D1AC·h＝eq\f(1,3)S△ABC·D1D，又S△D1AC＝eq\f(1,2)D1O·AC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(2)＝eq\r(6)，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以h＝eq\f(\r(6),3).故選B.10．(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為()A．8 B．4eq\r(5)C．8eq\r(2) D．12eq\r(2)解析：選D.由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2eq\r(5)，PD＝6，PB＝4eq\r(2)，連接AC，則AC＝4eq\r(2)，所以PC＝4eq\r(3)，明顯在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(6)，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(6)＝12eq\r(2)，故該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為12eq\r(2).故選D.11．(2024·洛陽尖子生其次次聯(lián)考)已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是()A.eq\f(7π,4) B．2πC.eq\f(9π,4) D．3π解析：選C.設(shè)正三角形ABC的中心為O1，連接OO1，OA，O1A，由題意得O1O⊥平面ABC，O1O＝1，OA＝2，所以在Rt△O1OA中，O1A＝eq\r(3)，所以AB＝3.因為E為AB的中點，所以AE＝eq\f(3,2).連接OE，則OE⊥AB.過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積最小，此時截面圓的半徑r＝eq\f(3,2)，可得截面圓面積的最小值為πr2＝eq\f(9π,4)，故選C.12．(2024·河北省九校其次次聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的全部頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為4π，則該三棱柱的體積的最大值為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：選A.如圖，取△ABC的中心O′，連接OO′，O′A，OA，則OO′⊥平面ABC，設(shè)OO′＝x，球O的半徑為R，因為球O的表面積為4π，所以4πR2＝4π，所以R＝1，0<x<1，所以AO′＝eq\r(R2－OO′2)＝eq\r(1－x2)，AB＝eq\r(3)AO′＝eq\r(3)·eq\r(1－x2)，所以三棱柱的體積V＝S△ABC·2OO′＝eq\f(1,2)AB2·sineq\f(π,3)·2x＝eq\f(3\r(3),2)(x－x3)，V′＝eq\f(3\r(3),2)(1－3x2)，所以V在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以Vmax＝eq\f(3\r(3),2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(3)))＝1，選A.二、填空題13．(一題多解)(2024·高考天津卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________．解析：法一：連接A1C1交B1D1于點E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1-BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的長和寬分別為eq\r(2)，1，故VA1-BB1D1D＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).法二：連接BD1，則四棱錐A1-BB1D1D分成兩個三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，VA1-BB1D1D＝VB-A1DD1＋VB-A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：依題意，題中的幾何體是一個直三棱柱(其底面左、右相對)，其中底面是直角邊長分別為1，2的直角三角形，側(cè)棱長為3，因此其體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×3＝3.答案：315．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是________．解析：由三視圖知，該幾何體是由一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1、高為1的圓錐后所剩余的部分，所以該幾何體的表面積S＝6×22－π×12＋π×1×eq\r(2)＝24＋(eq\r(2)－1)π.答案：24＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))π16．將1個半徑為1的小鐵球與1個底面周長為2π，高為4的鐵制圓柱重新鍛造成一個大鐵球，則該大鐵球的表面積為________．解析：V球＝eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，V柱＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,2π)))eq\s\up12(2)×4＝4π.設(shè)重新鍛造成一個大鐵球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π＋4π，R＝eq\r(3,4)，則該大鐵球的表面積S＝4π(eq\r(3,4))2＝8eq\r(3,2)π.答案：8eq\r(3,2)π17.(2024·江西省五校協(xié)作體試題)某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是一個上底為2，下底為4的直角梯形，俯視圖是一個邊長為4的等邊三角形，則該幾何體的體積為________．解析：把三視圖還原成幾何體ABC-DEF，如圖所示，在AD上取點G，使得AG＝2，連接GE，GF，則把幾何體ABC-DEF分割成三棱柱ABC-GEF和三棱錐D-GEF，所以VABC-DEF＝VABC-GEF＋VD-GEF＝4eq\r(3)×2＋eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2＝eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)18．(2024·武漢市調(diào)研測試)將一個表面積為100π的木質(zhì)球削成一個體積最大的圓柱，則該圓柱的高為______．解析：如圖，設(shè)球的球心為O，半徑為R，則4πR2＝100π，解得R＝5.設(shè)圓柱的高為x(0<x<10)，圓柱底面圓的圓心為O1，A是圓柱底面圓周上一點，連接OO1，OA，O1A，則OO1＝eq\f(x,2)，圓柱底面圓的半徑O1A＝eq\r(R2－OOeq\o\al(2,1))＝eq\r(25－\f(x2,4))，所以圓柱的體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(x2,4)))·x＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25x－\f(x3,4)))(0<x<10)，則