2025版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)1.1集合與常用邏輯用語學(xué)案文

PAGE11-第1講集合與常用邏輯用語eq\a\vs4\al\co1()考點1集合的概念及運算集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U；(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.[例1](1)[2024·全國卷Ⅲ]已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1}D．{0,1,2}(2)[2024·全國卷Ⅰ]已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝()A．{x|－4<x<3}B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2}D．{x|2<x<3}【解析】(1)本題主要考查集合的交運算與一元二次不等式的求解，考查考生的運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算．集合B＝{x|－1≤x≤1}，則A∩B＝{－1,0,1}．(2)本題主要考查集合的交運算、解一元二次不等式等，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化實力、運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算．通解∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故選C.優(yōu)解由題得N＝{x|－2<x<3}．∵－3?N，∴－3?M∩N，解除A，B；∵2.5?M，∴2.5?M∩N，解除D.故選C.【答案】(1)A(2)C1．解答集合問題的策略先正確理解各個集合的含義，弄清集合元素的屬性；再依據(jù)元素的不同屬性采納不同的方法對集合進(jìn)行化簡求解，一般的策略為：(1)若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解．(2)若給定的集合是點集，用圖象法求解．(3)若給定的集合是抽象集合，常用Venn圖求解．2．[警示]忽視空集的探討，若遇到A?B，A∩B＝A時，要考慮A為空集的可能性.『對接訓(xùn)練』1．[2024·四川南充適應(yīng)性考試]已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))則()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝?解析：在集合P中，x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k＋1,4)，k∈Z，在集合Q中，x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(k＋2,4)，k∈Z.因為k∈Z，所以2k＋1為奇數(shù)，k＋2為整數(shù)，由集合間的關(guān)系推斷，得PQ.故選B.答案：B2．[2024·北京延慶一模]已知集合A＝{x|x(x＋1)≤0}，集合B＝{x|－1<x<1}，則A∪B＝()A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1<x≤0}C．{x|－1≤x<1}D．{x|0<x<1}解析：解一元二次不等式x(x＋1)≤0，可得A＝{x|－1≤x≤0}，則A∪B＝{x|－1≤x<1}，故選C.答案：C

eq\a\vs4\al\co1()考點2命題的真假與邏輯聯(lián)結(jié)詞1．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題若原命題為“若p，則q”，則其逆命題是若q，則p；否命題是若綈p，則綈q；逆否命題是若綈q，則綈p.(2)四種命題間的關(guān)系2．命題p∧q、p∨q、綈p的真假推斷pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真[例2](1)[2024·北京卷]能說明“若f(x)＞f(0)對隨意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________；(2)[2024·福建漳州一中月考]已知命題p：橢圓25x2＋9y2＝225與雙曲線x2－3y2＝12有相同的焦點；命題q：函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值為eq\f(5,2).則下列命題為真命題的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．綈(p∨q)D．p∧(綈q)【解析】(1)設(shè)f(x)＝sinx，則f(x)在0，eq\f(π,2)上是增函數(shù)，在eq\f(π,2)，2上是減函數(shù)．由正弦函數(shù)圖象的對稱性知，當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)>f(0)＝sin0＝0，故f(x)＝sinx滿意條件f(x)>f(0)對隨意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不始終都是增函數(shù)．(2)p中橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦點坐標(biāo)分別為(0,4)，(0，－4)，雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的焦點坐標(biāo)分別為(4,0)，(－4,0)，故p為假命題；q中f(x)＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))，設(shè)t＝eq\r(x2＋4)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立)，則f(t)＝t＋eq\f(1,t)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝eq\f(5,2)，故q為真命題．所以(綈p)∧q為真命題，故選B.【答案】(1)f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)(2)B1．命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關(guān)學(xué)問辨別；(2)四種命題真假的推斷：一個命題和它的逆否命題同真假，而其他兩個命題的真假無此規(guī)律；(3)形如p∧q，p∨q，綈p命題的真假依據(jù)p，q的真假與聯(lián)結(jié)詞的含義判定．2．全稱命題與特稱命題真假的判定(1)全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必需對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可；(2)特稱命題：要判定一個特稱命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成馬上可；否則，這一特稱命題就是假命題.『對接訓(xùn)練』3．[2024·山西芮城期末]在一次數(shù)學(xué)測試中，成果在區(qū)間[125,150]內(nèi)視為優(yōu)秀，有甲、乙兩名同學(xué)，設(shè)命題p是“甲測試成果優(yōu)秀”，q是“乙測試成果優(yōu)秀”，則命題“甲、乙中至少有一名同學(xué)成果不是優(yōu)秀”可表示為()A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析：“甲測試成果不優(yōu)秀”可表示為綈p，“乙測試成果不優(yōu)秀”可表示為綈q，“甲、乙中至少有一名同學(xué)成果不是優(yōu)秀”即“甲測試成果不優(yōu)秀”或“乙測試成果不優(yōu)秀”，表示形式為(綈p)∨(綈q)．故選A.答案：A4．[2024·江西臨川一中月考]已知命題p：?x∈R，x2－2ax＋1>0；命題q：?x0∈R，axeq\o\al(2,0)＋2≤0.若p∨q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]解析：∵p∨q為假命題，∴p，q均為假命題．若命題p為假命題，則Δ≥0，即4a2－4≥0，解得a≤－1或a≥1；若命題q為假命題，則a≥0，∴實數(shù)a答案：Aeq\a\vs4\al\co1()考點3充分、必要條件充分條件與必要條件的3種判定方法定義法正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．集合法利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．等價法將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于推斷真假的命題.[例3](1)[2024·天津卷]設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)[2024·浙江卷]設(shè)a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】(1)本題主要考查充分性與必要性的推斷、簡潔的不等式求解，考查考生的運算求解的實力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．(2)本題主要考查充分條件、必要條件，考查考生分析問題的實力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．通解因為a>0，b>0，所以a＋b≥2eq\r(ab)，由a＋b≤4可得2eq\r(ab)≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；當(dāng)ab≤4時，取a＝8，b＝eq\f(1,3)，滿意ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A.優(yōu)解在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)b＝4－a，b＝eq\f(4,a)的圖象，如圖，則不等式a＋b≤4與ab≤4表示的平面區(qū)域分別是直線a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)與曲線b＝eq\f(4,a)及其左下方(第一象限中的部分)，易知當(dāng)a＋b≤4成立時，ab≤4成立，而當(dāng)ab≤4成立時，a＋b≤4不肯定成立．故選A.【答案】(1)B(2)A推斷充分、必要條件時的3個關(guān)注點要弄清先后依次“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.要擅長舉出反例當(dāng)從正面推斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明．要留意轉(zhuǎn)化綈p是綈q的必要不充分條件?p是q的充分不必要條件；綈p是綈q的充要條件?p是q的充要條件.『對接訓(xùn)練』5．[2024·甘肅天水一模]設(shè)a，b是向量．則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：取a＝－b≠0，則|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|(zhì)a－b故由|a|＝|b|不肯定能推出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，此時不肯定能得出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件．故選D.答案：D6．[2024·天津一中月考]已知命題p：x≥k，命題q：eq\f(3,x＋1)<1.假如p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，1]解析：由eq\f(3,x＋1)<1得，eq\f(3,x＋1)－1＝eq\f(2－x,x＋1)<0，即(x－2)(x＋1)>0，解得x<－1或x>2，由p是q的充分不必要條件知，k>2，故選B.答案：B課時作業(yè)1集合與常用邏輯用語1．[2024·全國卷Ⅱ]設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)解析：本題考查不等式的求解、集合的交運算，意在考查考生的運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算．因為A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故選A.答案：A2．[2024·寧夏中衛(wèi)一模]命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是()A．若a2＋b2≠0，則a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，則a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0解析：命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0”，故選D.答案：D3．[2024·四川內(nèi)江、眉山等六市診斷性考試]已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，則滿意A∪C＝B的集合C的個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1解析：由A∪C＝B可知集合C中肯定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4種狀況，所以選A.答案：A4．[2024·廣東廣州一測]已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，則()A．A∩B＝?B．A∪B＝RC．B?AD．A?B解析：A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>0}，故A?B，故選D.答案：D5．[2024·吉林長春模擬]設(shè)命題p：?x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1，則綈p是()A．?x∈(0，＋∞)，lnx>x－1B．?x∈(－∞，0]，lnx>x－1C．?x0∈(0，＋∞)，lnx0>x0－1D．?x0∈(0，＋∞)，lnx0≤x0－1解析：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：?x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1的否定綈p：?x0∈(0，＋∞)，lnx0>x0－1.故選C.答案：C6．[2024·陜西西安鐵一中月考]假如x，y是實數(shù)，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：解法一(集合法)設(shè)集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，則A的補(bǔ)集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補(bǔ)集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，明顯CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．解法二(等價轉(zhuǎn)化法)x＝y(tǒng)?cosx＝cosy，而cosx＝cosy?/x＝y(tǒng).于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．答案：C7．[2024·安徽蕪湖四校聯(lián)考]已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x2≥4}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A．{－2，－1,0,1}B．{0}C．{－1,0}D．{－1,0,1}解析：由韋恩圖可知陰影部分對應(yīng)的集合為A∩(?UB)，∵B＝{x|x2≥4}＝{x|x≥2或x≤－2}，A＝{－2，－1,0,1,2}，∴?UB＝{x|－2<x<2}，A∩(?UB)＝{－1,0,1}，故選D.答案：D8．[2024·西藏拉薩中學(xué)月考]下列命題中是真命題的是()A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x≠1”B．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題C．命題p：?x0∈R，sinx0>1，則綈p：?x∈R，sinx≤1D．“φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)”是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充要條件解析：對于A，命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的否命題是“若x2－3x＋2≠0，則x≠1”，A錯誤．對于B，若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個為假命題，B錯誤．對于C，命題p：?x0∈R，sinx0>1，則綈p：?x∈R，sinx≤1，C正確．對于D，φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數(shù)，充分性成立．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)時，φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，必要性不成立，不是充要條件，D錯誤．故選C.答案：C9．[2024·北京卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：本題考查函數(shù)的奇偶性，充分、必要條件的推斷，以及三角函數(shù)的性質(zhì)；考查學(xué)生的運算求解實力和推理論證實力；考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．當(dāng)b＝0時，f(x)＝cosx為偶函數(shù)；若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx＝f(x)，∴－bsinx＝bsinx對x∈R恒成立，∴b＝0.故“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選C.答案：C10．[2024·安徽六安月考]已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．(－∞，3]解析：依題意可知當(dāng)a<3時，A∩B≠?，故選C.答案：C11．[2024·貴州貴陽模擬]已知命題p：?x∈R,2x<3x，命題q：?x∈R，x2＝2－x，若命題(綈p)∧q為真命題，則x的值為()A．1B．－1C．2D．－2解析：因為綈p：?x∈R,2x≥3x，要使(綈p)∧q為真命題，所以綈p與q同時為真命題．由2x≥3x得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≥1，所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.又x≤0，所以x＝－2.故選D.答案：D12．[2024·海南?？谀M]已知集合A＝{x∈Req\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8))}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一個充分不必要的條件是x∈A，則實數(shù)m的取值范圍是()A．m≥2B．m≤2C．m>2D．－2<m<2解析：集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案：C13．若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)，a，\f(b,a)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)，a2，a＋b))，則a2020＋b2020的值為________．解析：因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)，a，\f(b,a)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)，a2，a＋b))，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a2＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或