2025年泛函分析期中試題及答案

泛函分析期中試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

2.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

3.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

4.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

5.設X是Hilbert空間，Y是Banach空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

6.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

7.設X是Hilbert空間，Y是Banach空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

8.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

9.設X是Hilbert空間，Y是Banach空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

10.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為：

A.有界線性算子

B.可逆線性算子

C.單射線性算子

D.雙射線性算子

二、填空題（每題3分，共30分）

1.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為__________線性算子。

2.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為__________線性算子。

3.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為__________線性算子。

4.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為__________線性算子。

5.設X是Hilbert空間，Y是Banach空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為__________線性算子。

6.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為__________線性算子。

7.設X是Hilbert空間，Y是Banach空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為__________線性算子。

8.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為__________線性算子。

9.設X是Hilbert空間，Y是Banach空間，如果從X到Y的線性算子T滿足∥T(x)∥≤k∥x∥，則稱T為__________線性算子。

10.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，則稱f為__________線性算子。

三、計算題（每題10分，共40分）

1.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

2.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，f:X→Y是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

3.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

4.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，f:X→Y是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

5.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

6.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，f:X→Y是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

7.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

8.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，f:X→Y是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

9.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

10.設X是Banach空間，Y是Hilbert空間，f:X→Y是線性算子，如果f滿足條件∥f(x)∥≤k∥x∥，求證f是有界線性算子。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

2.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，證明f的逆算子f?1存在且有界。

2.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，證明f的逆算子f?1存在且有界。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.設X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，證明f的譜包含在閉球{λ∈C:|λ|≤k}內。

2.設X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，證明f的譜包含在閉球{λ∈C:|λ|≤k}內。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.A.有界線性算子

解析思路：根據(jù)定義，有界線性算子是指存在常數(shù)k使得∥f(x)∥≤k∥x∥。

2.A.有界線性算子

解析思路：Hilbert空間中的有界線性算子同樣滿足上述定義。

3.A.有界線性算子

解析思路：從Banach空間到Hilbert空間的線性算子如果有界，則同樣滿足上述定義。

4.A.有界線性算子

解析思路：與第一題相同，根據(jù)定義判斷。

5.A.有界線性算子

解析思路：從Hilbert空間到Banach空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

6.A.有界線性算子

解析思路：與第四題相同，根據(jù)定義判斷。

7.A.有界線性算子

解析思路：與第三題相同，從Banach空間到Hilbert空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

8.A.有界線性算子

解析思路：與第五題相同，從Hilbert空間到Banach空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

9.A.有界線性算子

解析思路：與第一題相同，根據(jù)定義判斷。

10.A.有界線性算子

解析思路：與第十題相同，根據(jù)定義判斷。

二、填空題答案及解析思路：

1.有界

解析思路：根據(jù)定義，有界線性算子是指存在常數(shù)k使得∥f(x)∥≤k∥x∥。

2.有界

解析思路：Hilbert空間中的有界線性算子同樣滿足上述定義。

3.有界

解析思路：從Banach空間到Hilbert空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

4.有界

解析思路：與第一題相同，根據(jù)定義判斷。

5.有界

解析思路：從Hilbert空間到Banach空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

6.有界

解析思路：與第四題相同，根據(jù)定義判斷。

7.有界

解析思路：與第三題相同，從Banach空間到Hilbert空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

8.有界

解析思路：與第五題相同，從Hilbert空間到Banach空間的線性算子如果有界，則滿足上述定義。

9.有界

解析思路：與第一題相同，根據(jù)定義判斷。

10.有界

解析思路：與第十題相同，根據(jù)定義判斷。

三、計算題答案及解析思路：

1.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：使用三角不等式和線性算子的性質證明。

2.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

3.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

4.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

5.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

6.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

7.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

8.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

9.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

10.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

四、證明題答案及解析思路：

1.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：使用三角不等式和線性算子的性質證明。

2.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

3.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

4.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

5.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

6.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

7.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

8.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

9.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第一題相同，使用三角不等式和線性算子的性質證明。

10.證明：若X是Hilbert空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f是有界線性算子。

解析思路：與第二題類似，利用Hilbert空間中的內積性質進行證明。

五、應用題答案及解析思路：

1.證明：若X是Banach空間，f:X→X是線性算子，且f滿足∥f(x)∥≤k∥x∥，則f的逆算子f?1存在且有界。

解析思路：首先證明f可逆，然后證明f?1有界。

2.證明：