2025年高考數學重難點復習：概率統(tǒng)計（30題）（原卷版）

大題概率統(tǒng)計（精選30題）

1.（2024?浙江紹興?二模）盒中有標記數字1,2的小球各2個.

（1）若有放回地隨機取出2個小球，求取出的2個小球上的數字不同的概率；

（2）若不放回地依次隨機取出4個小球，記相鄰小球上的數字相同的對數為X（如1122,則X=2）,求X的

分布列及數學期望E（X）.

2.（2024?江蘇揚州?模擬預測）甲、乙兩人進行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分，負

方得o分；若平局則各得1分.已知甲在每局中獲勝、平局、負的概率均為;，且各局比賽結果相互獨立.

⑴若比賽共進行了三局，求甲共得3分的概率；

（2）規(guī)定比賽最多進行五局，若一方比另一方多得4分，則停止比賽，求比賽局數X的分布列與數學期望.

3.（2024?江蘇南通?二模）某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學入選，該班體育老

師擔任教練.

（1）從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？

（2）某次傳球基本功訓練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練，老師傳給每位學生的概率都相等，每

位學生傳球給同學的概率也相等，學生傳給老師的概率為，傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳

球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？

4.（2024?重慶?模擬預測）中國在第75屆聯合國大會上承諾，努力爭取2060年之前實現碳中和（簡稱“雙碳

目標”）.新能源電動汽車作為戰(zhàn)略新興產業(yè)，對于實現“雙碳目標”具有重要的作用.賽力斯汽車有限公司為

了調查客戶對旗下AITO問界M7的滿意程度，對所有的意向客戶發(fā)起了滿意度問卷調查，將打分在80分

以上的客戶稱為“問界粉”.現將參與調查的客戶打分（滿分100分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖：

頻率

（1）估計本次調查客戶打分的中位數（結果保留一位小數）；

（2）按是否為“問界粉”比例采用分層抽樣的方法抽取10名客戶前往重慶賽力斯兩江智慧工廠參觀，在10名

參觀的客戶中隨機抽取2名客戶贈送價值2萬元的購車抵用券.記獲贈購車券的“問界粉”人數為九求4的

分布列和數學期望E(J).

5.(2024?福建三明?三模)某校開設勞動教育課程，為了有效推動課程實施，學校開展勞動課程知識問答競

賽，現有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占園藝類占!，民族工藝類占;.根據

442

以往答題經驗，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為(2，(2，］4,選手乙答對這三類題

目的概率均為3.

(1)求隨機任選1題，甲答對的概率；

(2)現進行甲、乙雙人對抗賽，規(guī)則如下：兩位選手進行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，比賽時兩位選

手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得-1分，若兩人都答對或都答錯，

則兩人均得0分，累計得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影

響，求甲獲得獎品的概率.

6.(2024?江蘇南京?二模)某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(萬元)與銷售額y(萬元)的數據如下：

超市ABCDE

廣告支出尤24568

銷售額y3040606070

(1)從A,B,C,D,E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數為X,求隨機變量

X的分布列及期望E(X)；

(2)利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程，并預測廣告支出為10萬元時的銷售額.

^x^-nxy

附：線性回歸方程￡=+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：5=等---------，a=y-bx.

2xj-rix2

i=\

7.(2024?重慶?三模)甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，

負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁

判.記隨機變量=可既悲2=…川，Pi=P(Xj=l),X表示前“局中乙當裁判的次數.

(U,弟2同甲以內3萩判

⑴求事件“〃=3且X=l”的概率；

⑵求B；

(3)求E(X),并根據你的理解，說明當〃充分大時E(X)的實際含義.

附：設X,y都是離散型隨機變量,則E(x+y)=E(x)+E(F).

8.(2024?安徽池州?二模)學校組織某項勞動技能測試，每位學生最多有3次測試機會.一旦某次測試通過,

便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到用完3次機會.如果每位學生在3次測試

中通過的概率依次為05060.8,且每次測試是否通過相互獨立.現某小組有3位學生參加測試，回答下列

問題：

(1)求該小組學生甲參加考試次數X的分布列及數學期望E(X)；

(2)規(guī)定：在2次以內測試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格證書，記該小組3

位學生中獲得優(yōu)秀證書的人數為Y,求使得P(Y=k)取最大值時的整數k.

9.(2024?遼寧?二模)一枚棋子在數軸上可以左右移動，移動的方式以投擲一個均勻的骰子來決定，規(guī)則如

下：當所擲點數為1點時，棋子不動；當所擲點數為3或5時，棋子在數軸上向左(數軸的負方向)移動“該

點數減1”個單位；當所擲的點數為偶數時，棋子在數軸上向右(數軸的正方向)移動“該點數的一半”個單位;

第一次投骰子時，棋子以坐標原點為起點，第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點.

(1)投擲骰子一次，求棋子的坐標的分布列和數學期望；

⑵投擲骰子兩次，求棋子的坐標為-2的概率；

(3)投擲股子兩次，在所擲兩次點數和為奇數的條件下，求棋子的坐標為正的概率.

10.(2024?廣東湛江?一模)甲進行摸球跳格游戲.圖上標有第1格，第2格，…，第25格，棋子開始在第

1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球(5個球除顏色外其他都相同).每次甲在盒中

隨機摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2

格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結束.記棋子跳到第〃格的概率為￡(〃=1,2,3,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數記為X,求X的分布列和期望；

(2)證明：數列{￡-%}(〃=2,3,…,24)為等比數列.

11.(2024?廣東韶關?二模)小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是:，

擊中區(qū)域乙的概率是：，擊中區(qū)域丙的概率是:，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復的部分.這次射擊比賽獲獎

規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機會獲得二等獎，有一半的機會獲得三等獎；

若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評

為“優(yōu)秀射擊手”稱號.

(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；

（2）小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結果相互獨立，設獲三等獎的次數為X,求X分布列和數學期望.

12.（2024?河北邢臺?一模）小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和8類題，小張回答A類

題正確的概率為0.9,小張回答8類題正確的概率為0.45.已知題庫中B類題的數量是A類題的兩倍.

（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；

（2）已知題庫中的題目數量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題

目中恰好回答正確上個（左=0,1,2,L,10）的概率為鼻，則當人為何值時，A最大？

13.（2024?湖南衡陽?模擬預測）某電競平臺開發(fā)了43兩款訓練手腦協同能力的游戲，A款游戲規(guī)則是：

五關競擊有獎闖關，每位玩家上一關通過才能進入下一關，上一關沒有通過則不能進入下一關，且每關第

一次沒有通過都有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，各關和同一關的兩次挑戰(zhàn)能否通過相

互獨立，競擊的五關分別依據其難度賦分.8款游戲規(guī)則是：共設計了"（〃eN*且〃》2）關，每位玩家都有

〃次闖關機會，每關闖關成功的概率為§,不成功的概率為；，每關闖關成功與否相互獨立；第1次闖關時，

若闖關成功則得10分，否則得5分.從第2次闖關開始，若闖關成功則獲得上一次闖關得分的兩倍，否則得

5分.電競游戲玩家甲先后玩AJ?兩款游戲.

（1）電競游戲玩家甲玩A款游戲，若第一關通過的概率為:，第二關通過的概率為:，求甲可以進入第三關

43

的概率；

⑵電競游戲玩家甲玩B款游戲，記玩家甲第i次闖關獲得的分數為X,?=l,2,?,〃），求E（XJ關于i的解析

式，并求即Xg）的值.（精確到0.1,參考數據：?0.059.）

14.（2024?湖南邵陽?模擬預測）2023年8月3日，公安部召開的新聞發(fā)布會公布了“提高道路資源利用率”

和“便利交通物流貨運車輛通行”優(yōu)化措施，其中第二條提出推動緩解停車難問題.在持續(xù)推進緩解城鎮(zhèn)老

舊小區(qū)居民停車難改革措施的基礎上，因地制宜在學校、醫(yī)院門口設置限時停車位，支持鼓勵住宅小區(qū)和

機構停車位錯時共享.某醫(yī)院門口設置了限時停車場（停車時間不超過60分鐘），制定收費標準如下：停

車時間不超過15分鐘的免費，超過15分鐘但不超過30分鐘收費3元，超過30分鐘但不超過45分鐘收費

9元，超過45分鐘但不超過60分鐘收費18元，超過60分鐘必須立刻離開停車場.甲、乙兩人相互獨立地

來該停車場停車，且甲、乙的停車時間的概率如下表所示：

停車時間/分鐘(0,15](15,30](30,45](45,60]

￡￡

甲3aa

44

1

乙2bb

63

設此次停車中，甲所付停車費用為X,乙所付停車費用為F.

⑴在X+Y=18的條件下，求X2y的概率；

(2)若&=|x-y|,求隨機變量4的分布列與數學期望.

15.(2024?湖北?一模)2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，

隨后成功將衛(wèi)星互聯網技術實驗衛(wèi)星送入預定軌道，發(fā)射任務獲得圓滿完成，此次任務是長征系列運載火

箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官.某市一調研機構為了了解當地學生對我國航天事

業(yè)發(fā)展的關注度，隨機的從本市大學生和高中生中抽取一個容量為”的樣本進行調查，調查結果如下表:

關注度

學生群體合計

關注不關注

17

大學生—n——n

210

高中生

3

合計—n

5

附:

a0.10.050.00250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc)2,

/2=m+b)(c+d)(a+c)(Hd)'其中1

(1)完成上述列聯表，依據小概率值＜/=0。5的獨立性檢驗，認為關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體有關，求樣本

容量n的最小值;

(2)該市為了提高本市學生對航天事業(yè)的關注，舉辦了一次航天知識闖關比賽，包含三個問題，有兩種答題

方案選擇:

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二：在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學答出三個問題的概率分別3是彳2，1小華回答三個問題正確與否相互獨立，則小華應該

432

選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）

16.（2024?湖北?二模）吸煙有害健康，現統(tǒng)計4名吸煙者的吸煙量x與損傷度y,數據如下表:

吸煙量尤1456

損傷度y3867

（1）從這4名吸煙者中任取2名，其中有1名吸煙者的損傷度為8,求另1吸煙者的吸煙量為6的概率；

⑵在實際應用中，通常用各散點（廠,V）到直線y=笈+〃的距離的平方和S='（如+a-%尸來刻畫“整體接近

1=1

程度”S越小，表示擬合效果越好.試根據統(tǒng)計數據，求出經驗回歸直線方程y=嬴+&.并根據所求經驗回歸

直線估計損傷度為10時的吸煙量.

-￡（毛-?。▂-歹）.

附：---------,a=y-bx.

，（占-君2

i=l

17.（2024?山東棗莊?一模）有甲、乙兩個不透明的罐子，甲罐有3個紅球，2個黑球，球除顏色外大小完全

相同.某人做摸球答題游戲.規(guī)則如下：每次答題前先從甲罐內隨機摸出一球，然后答題.若答題正確，

則將該球放入乙罐；若答題錯誤，則將該球放回甲罐.此人答對每一道題目的概率均為g.當甲罐內無球

時，游戲停止.假設開始時乙罐無球.

（1）求此人三次答題后，乙罐內恰有紅球、黑球各1個的概率；

⑵設第eN*,”25）次答題后游戲停止的概率為a,.

①求凡;

②。"是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說明理由.

18.（2024?安徽合肥?二模）樹人中學高三（1）班某次數學質量檢測（滿分150分）的統(tǒng)計數據如下表：

性別參加考試人數平均成績標準差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為占，龍2,尤3，，%，其平均數記為最

方差記為s；；把第二層樣本記為%,%，%，?，%，其平均數記為7,方差記為學；把總樣本數據的平均數記

為白方差記為d.

(2)求該班參加考試學生成績的平均數和標準差(精確到1)；

(3)假設全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布以該班參加考試學生成績的平均數和標準差分別作

為〃和。的估計值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為四

個等級，試確定各等級的分數線(精確到1).

附：P(xz-or<X<//+cr)^0.68,7302-17,7322?18,>/352~19.

19.(2024?福建福州?模擬預測)甲企業(yè)生產線上生產的零件尺寸的誤差X服從正態(tài)分布N(0,0.2),規(guī)定

Xe(-0.2,0.2)的零件為優(yōu)等品，Xe(-0.6,0.6)的零件為合格品.

(1)從該生產線上隨機抽取100個零件，估計抽到合格品但非優(yōu)等品的個數(精確到整數)；

(2)乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件，先對該批零件進行質量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個

作檢測，若這2個零件都是優(yōu)等品，則通過檢測；若這2個零件中恰有1個為優(yōu)等品，1個為合格品但非優(yōu)

等品，則再從這批零件中任取1個作檢測，若為優(yōu)等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測.求這批零

件通過檢測時，檢測了2個零件的概率(精確到0.01).

(附：若隨機變量。N(〃,b2),貝ijp(〃一b<J<〃+b)=0.6827,P(〃-2b<J<〃+2b)=0.9545,

P(〃—3b<自<M+3CT)=0.9973)

20.(2024?河北保定?二模)某興趣小組調查并統(tǒng)計了某班級學生期末統(tǒng)考中的數學成績和建立個性化錯題

本的情況，用來研究這兩者是否有關.若從該班級中隨機抽取1名學生，設4="抽取的學生期末統(tǒng)考中的數

學成績不及格”，3="抽取的學生建立了個性化錯題本”，且P(A|B)=g,P(B\A)=^,

⑴求尸⑷和

(2)若該班級共有36名學生，請完成列聯表，并依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析學生期末統(tǒng)考中

的數學成績與建立個性化錯題本是否有關，

期末統(tǒng)考中的數學成績

個性化錯題本合計

及格不及格

建立

未建立

合計

（3）為進一步驗證（2）中的判斷，該興趣小組準備在其他班級中抽取一個容量為36發(fā)的樣本（假設根據新樣

本數據建立的列聯表中，所有的數據都擴大為（2）中列聯表中數據的左倍，且新列聯表中的數據都為整數）.

若要使得依據夕=。001的獨立性檢驗可以肯定（2）中的判斷，試確定左的最小值

n(ad-bc)

參考公式及數據：Z2--------77-------77-------77--------r，n=a+b+c+d.

ya+b)^c+d)^a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

21.（2024?浙江紹興?模擬預測）書接上回.麻將學習小組中的炎俊同學在探究完問題后返回家中觀看了《天

才麻將少女》，發(fā)現超能力麻將和現實麻將存在著諸多不同.為了研究超能力麻將，他使用了一些“雀力值”

和“能力值”來確定每位角色的超能力麻將水平，發(fā)現每位角色在一局麻將中的得分與個人值和該桌平均值

之差存在著較大的關系.（注：平均值指的是該桌內四個人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，個人

值類似.）為深入研究這兩者的關系，他列出了以下表格:

個人值與平均值之差X-9-6-30369

得分y-38600-23100-109000+11800+24100+36700

（1）①計算xj的相關系數r,并判斷工，丁之間是否基本上滿足線性關系，注意：保留至第一位非9的數.

②求出y與x的經驗回歸方程.

③以下為《天才麻將少女》中幾位角色的“雀力值"和“能力值”：

角色宮永照園城寺憐花田煌松實玄

雀力值249104

能力值241636

試估計此四位角色坐在一桌打麻將每一位的得分（近似至百位）

（2）在分析了更多的數據后，炎俊發(fā)現麻將中存在著很多運氣的成分.為衡量運氣對于麻將對局的影響，炎俊

建立了以下模型，其中他指出：實際上的得分并不是一個固定值，而是具有一定分布的，存在著一個標準

差.運氣實際上體現在這一分布當中取值的細微差別.接下去他便需要得出得分的標準差.他發(fā)現這一標準差

來源自兩個方面：一方面是在（1）②問當中方程斜率》存在的標準差另一方面則是在不影響平均值的

情況下，實際表現“個人值”X符合正態(tài)分布規(guī)律（〃為評估得出的個人值.）已知松實玄實際

表現個人值滿足P（X>10.5）=0.02275,求（1）③中其得分的標準差.（四舍五入到百位）

（3）現在新提出了一種賽制：參賽者從平均值為10開始進行第一輪挑戰(zhàn)，之后每一輪對手的“雀力值“和“能

力值”均會提升至原來的；我們設進行了i輪之后，在前i輪內該參賽者的總得分為磯X〉；若園城寺憐參

加了此比賽，求

z=i2

77

③對于隨機變量X~N（〃,b2）,P（ju-a<X<ju+a）~0.6827,尸（〃一2crWXW〃+2。）處0.9545,

P（〃—3cr4X4〃+30b0.9973.

④國<<1時，（1+x）"al+ax,tzeR；

⑤對間接計算得出的值/=犯有標準差V滿足

@—1―-3.2X10-4；扃。26；72946524^1715x（1+9x10^'）

3136''

22.（2024?江蘇南通?模擬預測）“踩高蹺，猜燈謎”是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動.某地為了弘揚文化傳統(tǒng),

發(fā)展“地攤經濟”，在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動.

（1）某商戶借“燈謎”活動促銷，將燈謎按難易度分為3、C兩類，抽到較易的B類并答對購物打八折優(yōu)惠，抽

到稍難的C類并答對購物打七折優(yōu)惠，抽取燈謎規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，

其中3張寫有A字母，3張寫有3字母，2張寫有C字母，顧客每次不放回從箱中隨機取出1張卡片，若抽

到寫有A的卡片，則再抽1次，直至取到寫有B或C卡片為止，求該顧客取到寫有8卡片的概率.

（2）小明嘗試去找全街最適合他的燈謎，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，他在街道上一共

會遇到〃條燈謎（不妨設每條燈謎的適合度各不相同），最適合的燈謎出現在各個位置上的概率相等，小明

準備采用如下策略：不摘前左。＜左＜〃）條燈謎，自第七+1條開始，只要發(fā)現比他前面見過的燈謎適合的，

就摘這條燈謎，否則就摘最后一條，設％=制，記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為P.

①若n=4,k-2,求P；

②當〃趨向于無窮大時，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時f的值.（取：+1工++工=1113）

23.（2024?安徽?模擬預測）某校在90周年校慶到來之際，為了豐富教師的學習和生活,特舉行了答題競賽.在

競賽中，每位參賽教師答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10

分，從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題所得分數兩倍的得分，答錯得10分，教師甲參加答題競賽，

每次答對的概率均為每次答題是否答對互不影響.

⑴求甲前3次答題的得分之和為70分的概率.

⑵記甲第i次答題所得分數eN*）的數學期望為.

（i）求E（Xj,E（X2）,E（X3）,并猜想當上2時,E（Xj與E（X“）之間的關系式;

（ii）若￡E（X,）＞320,求〃的最小值.

1=1

24.（2024?遼寧?模擬預測）某自然保護區(qū)經過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動物數量有大幅度的增加.已知

這種動物尸擁有兩個亞種（分別記為A種和8種）.為了調查該區(qū)域中這兩個亞種的數目，某動物研究小組

計劃在該區(qū)域中捕捉100個動物產，統(tǒng)計其中A種的數目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗結果.

重復進行這個試驗共20次，記第i次試驗中A種的數目為隨機變量X,?=1,2,,20）.設該區(qū)域中A種的數目

為M,B種的數目為N（M,N均大于100）,每一次試驗均相互獨立.

（1）求X]的分布列；

⑵記隨機變量一已知E（X,+xj=E（Xj+E（X,）,O（X,+X,）=O（X,）+O（XJ

⑴證明：￡（%）=￡（%1）,D（X）=^D（X1）；

（ii）該小組完成所有試驗后，得到X,的實際取值分別為%[=1,2,,20）.數據%[=1,2,,20）的平均值

嚏=30,方差$2=1.采用最和d分別代替石岡和。岡，給出〃，N的估計值.

(已知隨機變量尤服從超幾何分布記為：x~"(P,〃,Q)(其中尸為總數，。為某類元素的個數，”為抽取

的個數)，則

25.(2024?廣東廣州?一模)某校開展科普知識團隊接力闖關活動，該活動共有兩關，每個團隊由

w(〃N3,〃eN*)位成員組成，成員按預先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關闖關成功,

則該成員繼續(xù)闖第二關，否則該成員結束闖關并由下一位成員接力去闖第一關；若某成員第二關闖關成功，

則該團隊接力闖關活動結束，否則該成員結束闖關并由下一位成員接力去闖第二關；當第二關闖關成功或

所有成員全部上場參加了闖關，該團隊接力闖關活動結束.已知A團隊每位成員闖過第一關和第二關的概率

分別為［和)，且每位成員闖關是否成功互不影響，每關結果也互不影響.

(1)若〃=3,用X表示A團隊闖關活動結束時上場闖關的成員人數，求X的均值；

⑵記A團隊第?14心eN*)位成員上場且闖過第二關的概率為Pk，集合北eN,

<128中元素的

最小值為人o，規(guī)定團隊人數〃=%+1,求".

26.(2024?廣東深圳?二模)某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產.經過調研和試生

產，質檢人員抽樣發(fā)現：甲工廠試生產的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產的另一批零件的合格

品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數為X,求X

的分布列和數學期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產訂單，甲工廠提高了生產該零件的質量指標.已知在甲工廠提高質量指標的

條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產的概率，大于在甲工廠不提高質量指標的條件下，該大型企業(yè)

把零件交給甲工廠生產的概率.設事件A="甲工廠提高了生產該零件的質量指標”，事件3="該大型企業(yè)

把零件交給甲工廠生產”、已知?！词?lt;1,證明：P(A|B)>P(A|B).

27.(2024?湖南?二模)某大學有甲、乙兩個運動場.假設同學們可以任意選擇其中一個運動場鍛煉，也可選擇

不鍛煉,一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運動場.若同學們每次鍛煉選擇去甲或乙運動場的概率均為g,

每次選擇相互獨立.設王同學在某個假期的三天內去運動場鍛煉的次數為X,已知X的分布列如下：(其中

<2>0,0<p<l)

X0123

a

Pa(l-p)2aa(l-P)

P

(1)記事件4表示王同學假期三天內去運動場鍛煉i次(，=0,1,2,3),事件B表示王同學在這三天內去甲運動場

鍛煉的次數大于去乙運動場鍛煉的次數.當P=g時，試根據全概率公式求產(為的值；

(2)是否存在實數〃，使得E(X)=g?若存在，求P的值：若不存在，請說明理由；

(3)記M表示事件“甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”，N表示事件“王同學去甲運動場鍛煉"，0<P(M)<1.

已知王同學在甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲運動