第2節(jié)無界函數(shù)的反常積分

本節(jié)討論把定積分概念在另一個方面進(jìn)行拓廣,即假定積分區(qū)間仍為有限,但被積函數(shù)在區(qū)間上是無界.這種情況下積分稱為無界函數(shù)反常積分(瑕積分).引言3/12/202511/29一、無界函數(shù)廣義積分概念二、無界函數(shù)廣義積分性質(zhì)三、無界函數(shù)廣義積分收斂判別法四、無界函數(shù)廣義積分主值主要內(nèi)容3/12/202522/291.定義:

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在(a,b]上廣義積分.

這時也稱廣義積分

收斂.

一.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)概念注意區(qū)間左端點(diǎn)而在點(diǎn)a右鄰域內(nèi)無界,

取

>0.假如極限假如上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.3/12/202533/292.定義:

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在

上廣義積分.

以上定義中a，b稱為函數(shù)奇點(diǎn)或瑕點(diǎn).注意區(qū)間右端點(diǎn)而在點(diǎn)

b左鄰域內(nèi)無界,取

>0.假如極限（即函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù)點(diǎn)）3/12/202544/29

若在內(nèi)部有一個奇點(diǎn)c，a<c<b,3.定義:奇點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部則收斂,且有且都收斂,3/12/202555/29例1:解:3/12/202566/29所以3/12/202577/29例2：解：3/12/202588/29二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)性質(zhì)和無窮積分相仿，瑕積分也有定積分含有性質(zhì),包含分部積分法和換元法對于瑕積分也成立.瑕積分一樣能夠引進(jìn)絕對收斂和條件收斂概念，而且也有：絕對收斂必收斂，但反之未必.3/12/202599/29性質(zhì)１3/12/20251010/29性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）3/12/20251111/29性質(zhì)３3/12/20251212/29注:性質(zhì)３說明絕對收斂積分本身一定收斂．我們稱收斂而不絕對收斂積分為條件收斂．（這里結(jié)論與級數(shù)中相關(guān)結(jié)論相同注意比較）但本身收斂積分不一定絕對收斂．3/12/20251313/29性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價敘述為：3/12/20251414/29柯西判別法極限形式這里關(guān)鍵是記清楚條件中p、k關(guān)系問題.3/12/20251515/29無窮積分與瑕積分聯(lián)絡(luò)：瑕積分無窮積分兩種積分關(guān)系經(jīng)過上述等式就聯(lián)絡(luò)起來了.3/12/20251616/29例3：解：3/12/20251717/29所以,x=a為被積函數(shù)無窮間斷點(diǎn).

于是:oyx

a-

加3/12/20251818/29因?yàn)榻猓杭幼鳂I(yè):P701、2（1、3、5、7）3/12/20251919/29三.瑕積分收斂判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論會用）3/12/20252020/29*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會用）3/12/20252121/29解依據(jù)比較判別法,加3/12/20252222/29解由洛必達(dá)法則知依據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.

a=1這里k=1，p=1加3/12/20252323/29四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)主值1.瑕積分柯西主值:3/12/20252424/292.無窮積分柯西主值:例6：解：作業(yè):P714（2、4、5）6（1、2）3/12/20252525/29特點(diǎn):1.積分區(qū)間為無窮;3/12/20252626/293/12/20252727/29－函數(shù)幾個主要性質(zhì)：3/12/2025282