2024-2025學(xué)年湖北省部分省級示范高中高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，且，則.故選：B.2.已知，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，故.故選：C.4.已知某扇形的周長是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，所對弧長為，則有，解得，故.故選：.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的圖象大致形狀是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由解析式，有，即，故定義域為，，即為奇函數(shù)，排除C、D；當(dāng)時，，即，排除B.故選：A.6.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于A選項，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，A滿足條件；對于B選項，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不滿足條件；對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，則函數(shù)在上不單調(diào)，C不滿足條件；對于D選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，D不滿足條件.故選：A.7.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為.因為，所以.由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，得，且，即，且.當(dāng)時，，解得，所以；當(dāng)時，，解得，所以；當(dāng)時，，解得，此時解集為空集.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因為所以的定義域為，則，又，，所以所以為奇函數(shù)；在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，又也為增函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)；等價于，即，則解得：或，即關(guān)于x的不等式的解集為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域為C.函數(shù)的圖象的對稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BD【解析】函數(shù)的最小正周期為，所以A錯誤；由，則定義域為，所以B正確；因為正切函數(shù)的對稱中心為，則，可知函數(shù)的對稱中心應(yīng)為，所以C錯誤；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，正確的是（）A.的一個周期為B.的圖象關(guān)于對稱C.在上單調(diào)遞增D.的值域為【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：，故的一個周期為，即A正確；對于B，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：，所以的圖象關(guān)于對稱，即B正確；對于C，易知，即為偶函數(shù)，當(dāng)時，，顯然此時函數(shù)單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性可知時函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；由B結(jié)論可知為的一個周期，此區(qū)間上，故D正確.故選：ABD11.函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.C.函數(shù)有2個零點D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上的實數(shù)根的之和為12【答案】BCD【解析】由于為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，則，故，結(jié)合可得，用取代，得到，用取代，得到，于是，的周期為4，由可得，結(jié)合可得，故為奇函數(shù).對A，由冪函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)，在上遞增，又關(guān)于對稱，則在上遞減，又周期為4，故在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對B，奇函數(shù)的定義域為，故，又周期為4，故，由，取得到，取，得到，故，所以，故B正確；對C，在同一直角坐標系中作出和的圖像如下：由圖象可得有兩個交點，故有兩個零點，故C正確；對D，先作出在上的圖象，由，根據(jù)對稱性，四個點的橫坐標之和為，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)圖象過點，則__________.【答案】【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，所以，又函數(shù)過點，則，故答案為：.13.某殺菌劑每噴灑一次就能殺死某物質(zhì)上的細菌的，要使該物質(zhì)上的細菌少于原來的，則至少要噴灑______次【答案】【解析】設(shè)噴灑次，則：，，，且，，，即至少噴灑次．故答案為：.14.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若對任意，都有，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】【解析】由得，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，依次類推，又函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)的大致圖象為因為，，所以，，所以由，可得，當(dāng)時，由的，所以對任意，都有，得實數(shù)取值范圍為，則實數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）計算：；（2）已知，且，求c的值.解：（1）原式.（2）由得，由得，，，，，，，.16.（1）已知是關(guān)于的方程的一個實根，且是第一象限角，求的值；（2）已知，且，求的值．解：（1）解方程，得，，是關(guān)于的方程的一個實根，且是第一象限角，則，（2），且，，則，而，則，故，17.南京馬拉松作為江蘇省的省會馬拉松賽，創(chuàng)辦于2015年，六年的時間它已成為中國馬拉松金牌賽事世界田聯(lián)標牌賽事，有穿越中華門、玄武湖、總統(tǒng)府等經(jīng)典景點的比賽路線，為了迎接2023年11月南京馬拉松賽的回歸，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（如圖）上設(shè)計三個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個全等的直角三角形和一個等腰三角形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度也都是），．（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長：（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？解：（1）設(shè)，直角三角形另一個直角邊長為，則有宣傳欄的面積為，且海報周長，又由，即，因為，則，所以海報周長，答：海報紙的周長為．（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時，解得，即長和寬時，使用紙量最少．18.已知函數(shù)奇函數(shù).（1）求m的值；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對任意的，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，整理得，又，所以，所以.（2）設(shè)，且，則，因為，單調(diào)遞增，所以，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即在區(qū)間上恒成立，令，因為在上單調(diào)遞增，所以，由題意，得，所以a的取值范圍為.19.定義域為的函數(shù)滿足：對任意，都有，則稱具有性質(zhì).（1）分別判斷以下兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)：和；（2）函數(shù)，判斷是否存在實數(shù)，，使具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由；（3）在（2）結(jié)論下，若方程（為常數(shù)）在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根，，，求的值.解：（1），，故，則函數(shù)不具有性質(zhì)；，，故，則函數(shù)具有性質(zhì)；（2）若具有性質(zhì)，則，則，因為，所以，則，由得：，若，則存在，使得，而，上式不成立，故，即，因為，所以，則，即，則，驗證：當(dāng)，時，，則對任意，，，等式成立，故存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)；（3）由（2）知，，，令，由題知，在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根，，，由函數(shù)的圖象知：，，則，故，化簡得，則.湖北省部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，且，則.故選：B.2.已知，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，故.故選：C.4.已知某扇形的周長是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，所對弧長為，則有，解得，故.故選：.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的圖象大致形狀是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由解析式，有，即，故定義域為，，即為奇函數(shù)，排除C、D；當(dāng)時，，即，排除B.故選：A.6.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于A選項，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，A滿足條件；對于B選項，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不滿足條件；對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，則函數(shù)在上不單調(diào)，C不滿足條件；對于D選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，D不滿足條件.故選：A.7.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為.因為，所以.由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，得，且，即，且.當(dāng)時，，解得，所以；當(dāng)時，，解得，所以；當(dāng)時，，解得，此時解集為空集.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因為所以的定義域為，則，又，，所以所以為奇函數(shù)；在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，又也為增函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)；等價于，即，則解得：或，即關(guān)于x的不等式的解集為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域為C.函數(shù)的圖象的對稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BD【解析】函數(shù)的最小正周期為，所以A錯誤；由，則定義域為，所以B正確；因為正切函數(shù)的對稱中心為，則，可知函數(shù)的對稱中心應(yīng)為，所以C錯誤；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，正確的是（）A.的一個周期為B.的圖象關(guān)于對稱C.在上單調(diào)遞增D.的值域為【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：，故的一個周期為，即A正確；對于B，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：，所以的圖象關(guān)于對稱，即B正確；對于C，易知，即為偶函數(shù)，當(dāng)時，，顯然此時函數(shù)單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性可知時函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；由B結(jié)論可知為的一個周期，此區(qū)間上，故D正確.故選：ABD11.函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.C.函數(shù)有2個零點D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上的實數(shù)根的之和為12【答案】BCD【解析】由于為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，則，故，結(jié)合可得，用取代，得到，用取代，得到，于是，的周期為4，由可得，結(jié)合可得，故為奇函數(shù).對A，由冪函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)，在上遞增，又關(guān)于對稱，則在上遞減，又周期為4，故在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對B，奇函數(shù)的定義域為，故，又周期為4，故，由，取得到，取，得到，故，所以，故B正確；對C，在同一直角坐標系中作出和的圖像如下：由圖象可得有兩個交點，故有兩個零點，故C正確；對D，先作出在上的圖象，由，根據(jù)對稱性，四個點的橫坐標之和為，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)圖象過點，則__________.【答案】【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，所以，又函數(shù)過點，則，故答案為：.13.某殺菌劑每噴灑一次就能殺死某物質(zhì)上的細菌的，要使該物質(zhì)上的細菌少于原來的，則至少要噴灑______次【答案】【解析】設(shè)噴灑次，則：，，，且，，，即至少噴灑次．故答案為：.14.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若對任意，都有，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】【解析】由得，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，依次類推，又函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)的大致圖象為因為，，所以，，所以由，可得，當(dāng)時，由的，所以對任意，都有，得實數(shù)取值范圍為，則實數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）計算：；（2）已知，且，求c的值.解：（1）原式.（2）由得，由得，，，，，，，.16.（1）已知是關(guān)于的方程的一個實根，且是第一象限角，求的值；（2）已知，且，求的值．解：（1）解方程，得，，是關(guān)于的方程的一個實根，且是第一象限角，則，（2），且，，則，而，則，故，17.南京馬拉松作為江蘇省的省會馬拉松賽，創(chuàng)辦于2015年，六年的時間它已成為中國馬拉松金牌賽事世界田聯(lián)標牌賽事，有穿越中華門、玄武湖、總統(tǒng)府等經(jīng)典景點的比賽路線，為了迎接2023年11月南京馬拉松賽的回歸，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（如圖）上設(shè)計三個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個全等的直角三角形和一個等腰三角形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度也都是），．（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周