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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題共有12題,滿分36分)選對得3分,否則一律得零分.1.集合的子集的個數(shù)為_________.【答案】4【解析】集合有個元素,集合的子集的個數(shù)為.2.函數(shù)的定義域?yàn)開______________.【答案】【解析】由得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?3.已知陳述句或x>2,則的否定形式為__________.【答案】【解析】由或x>2,則的否定形式為.4.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為,則_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?,則.5.已知,用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知,,且,則的最大值為_________.【答案】【解析】∵,,∴,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.7.若關(guān)于的不等式的解集是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?,在上恒成立,,即?.若冪函數(shù)(為整數(shù))的定義域?yàn)?,則的值為________.【答案】1【解析】若冪函數(shù)(為整數(shù))的定義域?yàn)镽,則,解得,而是整數(shù),則只能,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.9.已知,,則_________.(結(jié)果用a,b表示)【答案】【解析】.10.如果函數(shù)在區(qū)間2,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù),那么實(shí)數(shù)的取值范圍為_________【答案】【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì),可知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù),所以,即.11.若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】令,由題意可知,對任意的恒成立,當(dāng)時,,則函數(shù)在上為減函數(shù),則;當(dāng)時,,則;當(dāng)時,,則函數(shù)在上為增函數(shù),.綜上所述,函數(shù)在上的最小值為,故.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.12.已知集合,其中.若存在正數(shù),使得對任意,都有,則的值是_________.【答案】【解析】因?yàn)?,則只需考慮下列三種情況:因?yàn)?,,則,又因?yàn)椋瑒t,因?yàn)?,則且,可得,所以,解得.二、選擇題(本大題共有4題,滿分12分)每小題都給出四個選項(xiàng),其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的,選對得3分,否則一律得零分.13.如果,那么下列不等式中成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?,故由不等式的性質(zhì)得,故C選項(xiàng)正確;對于A選項(xiàng),當(dāng)時滿足,但不成立,故A選項(xiàng)錯誤;對于B選項(xiàng),由于,但,故B選項(xiàng)錯誤;對于D選項(xiàng),由于,但,故D選項(xiàng)錯誤.故選:C.14.已知,,若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】已知,,若是的充分不必要條件,則,所以.故選:B.15.如圖,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,在AB邊上任取一點(diǎn)P,過P作斜邊BC的垂線交BC于Q,則當(dāng)P點(diǎn)按B→A→C的方向移動時,圖中陰影部分的面積S隨BQ的長度h變化的函數(shù)關(guān)系S(h)的圖象是()A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(如下圖所示),在等腰直角三角形ABC中,,所以陰影部分的面積,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(如下圖所示),在等腰直角三角形ABC中,,所以陰影部分的面積,根據(jù)二次函數(shù)的圖像得:面積增加的速度:先慢后快,當(dāng)P過A點(diǎn)后面積增加的速度:先快后慢.故選:D.16.已知,則下列結(jié)論錯誤的是()A.不等式的解集為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.若、為實(shí)數(shù),且,則D.若、為實(shí)數(shù),且,則【答案】D【解析】任取、且,則,且,,所以,,則函數(shù)在上為增函數(shù),對于A選項(xiàng),由可得,所以,不等式的解集為,A對;對于B選項(xiàng),,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,B對;對于C選項(xiàng),若、為實(shí)數(shù),且,則,所以,,則,C對;對于D選項(xiàng),取,,則,D錯.故選:D.三、解答題(本大題共有5題,滿分52分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.已知集合,集合,求.解:因?yàn)?,所以或,即,因?yàn)椋?,所以?18.已知是常數(shù),設(shè)是二次方程的兩個實(shí)根.(1)求的值;(2)當(dāng)取到最小值時,求的值.解:(1)因?yàn)橛袃蓚€根,所以,,即,解得或,由韋達(dá)定理,得,,.(2),設(shè)拋物線方程,定義域?yàn)榛颍_口向上,拋物線對稱軸,當(dāng)時,函數(shù)嚴(yán)格減函數(shù),即在上是嚴(yán)格減函數(shù),時,函數(shù)為嚴(yán)格增函數(shù),即在上是嚴(yán)格增函數(shù),當(dāng)時,取最小值32即取最小值.19.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為.(1)判斷函數(shù)y=fx(2)用定義證明:函數(shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對稱,所以y=fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)任取則,因?yàn)樗裕?,即,所以函?shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).20.某校為了鼓勵學(xué)生利用業(yè)余時間閱讀名著,預(yù)備制定一個每日閱讀考核評分制度,建立一個每日得分(單位:分)與當(dāng)日閱讀時間(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系.要求如下:(i)函數(shù)的部分圖象接近圖示;(ii)每日閱讀時間為0分鐘時,當(dāng)日得分為0分;(iii)每日閱讀時間為30分鐘時,當(dāng)日得分為3分;(iiii)每日閱讀時間設(shè)置上限,最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇:①;②;③.(1)請你根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì),從中選擇一個合適函數(shù)模型,不需要說明理由;(2)根據(jù)你對(1)的判斷以及所給信息,寫出合適函數(shù)模型的解析式;(3)若該校要求每日的得分不少于5分,問每日至少閱讀名著多少分鐘?(結(jié)果精確到整數(shù)).解:(1)根據(jù)題意可得應(yīng)選擇增加速度為先快后慢的增長模型,所以選對數(shù)型模型,故選.(2)由題意及(1)可知,在上,所以,解得3,,所以,令6,可得,解得,所以函數(shù)的解析式為.(3)令,可得,即,解得,所以每天得分不少于5分,至少需要閱讀66分鐘.21.若函數(shù)y=fx滿足:在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱函數(shù)y=fx為“函數(shù)”.(1)若,問y=fx是否為“函數(shù)”,請說明理由;(2)若,問y=fx是否為“函數(shù)”,請說明理由:(3)若,且y=fx是“函數(shù)”,則求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)若函數(shù)為“函數(shù)”,則,得,明顯不成立,所以不為“函數(shù)”.(2)若存在滿足條件,即,則,整理可得,設(shè),則函數(shù)在上為增函數(shù),因?yàn)?,,所以,,由零點(diǎn)存在定理可知,存在,使得,故函數(shù)為“函數(shù)”.(3)由條件得,令,可得,整理可得,所以關(guān)于的方程有正根,則,可得,解得或,設(shè)方程的兩根分別為、,則,且,解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.上海市浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題共有12題,滿分36分)選對得3分,否則一律得零分.1.集合的子集的個數(shù)為_________.【答案】4【解析】集合有個元素,集合的子集的個數(shù)為.2.函數(shù)的定義域?yàn)開______________.【答案】【解析】由得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?3.已知陳述句或x>2,則的否定形式為__________.【答案】【解析】由或x>2,則的否定形式為.4.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為,則_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?,則.5.已知,用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知,,且,則的最大值為_________.【答案】【解析】∵,,∴,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.7.若關(guān)于的不等式的解集是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?,在上恒成立,,即?.若冪函數(shù)(為整數(shù))的定義域?yàn)椋瑒t的值為________.【答案】1【解析】若冪函數(shù)(為整數(shù))的定義域?yàn)镽,則,解得,而是整數(shù),則只能,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.9.已知,,則_________.(結(jié)果用a,b表示)【答案】【解析】.10.如果函數(shù)在區(qū)間2,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù),那么實(shí)數(shù)的取值范圍為_________【答案】【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì),可知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù),所以,即.11.若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】令,由題意可知,對任意的恒成立,當(dāng)時,,則函數(shù)在上為減函數(shù),則;當(dāng)時,,則;當(dāng)時,,則函數(shù)在上為增函數(shù),.綜上所述,函數(shù)在上的最小值為,故.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.12.已知集合,其中.若存在正數(shù),使得對任意,都有,則的值是_________.【答案】【解析】因?yàn)?,則只需考慮下列三種情況:因?yàn)椋?,則,又因?yàn)?,則,因?yàn)?,則且,可得,所以,解得.二、選擇題(本大題共有4題,滿分12分)每小題都給出四個選項(xiàng),其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的,選對得3分,否則一律得零分.13.如果,那么下列不等式中成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋视刹坏仁降男再|(zhì)得,故C選項(xiàng)正確;對于A選項(xiàng),當(dāng)時滿足,但不成立,故A選項(xiàng)錯誤;對于B選項(xiàng),由于,但,故B選項(xiàng)錯誤;對于D選項(xiàng),由于,但,故D選項(xiàng)錯誤.故選:C.14.已知,,若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】已知,,若是的充分不必要條件,則,所以.故選:B.15.如圖,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,在AB邊上任取一點(diǎn)P,過P作斜邊BC的垂線交BC于Q,則當(dāng)P點(diǎn)按B→A→C的方向移動時,圖中陰影部分的面積S隨BQ的長度h變化的函數(shù)關(guān)系S(h)的圖象是()A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(如下圖所示),在等腰直角三角形ABC中,,所以陰影部分的面積,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(如下圖所示),在等腰直角三角形ABC中,,所以陰影部分的面積,根據(jù)二次函數(shù)的圖像得:面積增加的速度:先慢后快,當(dāng)P過A點(diǎn)后面積增加的速度:先快后慢.故選:D.16.已知,則下列結(jié)論錯誤的是()A.不等式的解集為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.若、為實(shí)數(shù),且,則D.若、為實(shí)數(shù),且,則【答案】D【解析】任取、且,則,且,,所以,,則函數(shù)在上為增函數(shù),對于A選項(xiàng),由可得,所以,不等式的解集為,A對;對于B選項(xiàng),,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,B對;對于C選項(xiàng),若、為實(shí)數(shù),且,則,所以,,則,C對;對于D選項(xiàng),取,,則,D錯.故選:D.三、解答題(本大題共有5題,滿分52分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.已知集合,集合,求.解:因?yàn)?,所以或,即,因?yàn)椋?,所以?18.已知是常數(shù),設(shè)是二次方程的兩個實(shí)根.(1)求的值;(2)當(dāng)取到最小值時,求的值.解:(1)因?yàn)橛袃蓚€根,所以,,即,解得或,由韋達(dá)定理,得,,.(2),設(shè)拋物線方程,定義域?yàn)榛?,開口向上,拋物線對稱軸,當(dāng)時,函數(shù)嚴(yán)格減函數(shù),即在上是嚴(yán)格減函數(shù),時,函數(shù)為嚴(yán)格增函數(shù),即在上是嚴(yán)格增函數(shù),當(dāng)時,取最小值32即取最小值.19.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為.(1)判斷函數(shù)y=fx(2)用定義證明:函數(shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對稱,所以y=fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)任取則,因?yàn)樗?,所以,即,所以函?shù)y=fx在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).20.某校為了鼓勵學(xué)生利用業(yè)余時間閱讀名著,預(yù)備制定一個每日閱讀考核評分制度,建立一個每日得分(單位:分)與當(dāng)日閱讀時間(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系.要求如下:(i)函數(shù)的部分圖象接近圖示;(ii)每日閱讀時間為0分鐘時,當(dāng)日得分為0分;(iii)每日閱讀時間為30分鐘時,當(dāng)日得分為3分;(iiii)每日閱讀時間設(shè)置上限,最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇:①;②;③.(1)請你根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì),從中選擇一個合適函數(shù)模型,不需要說明理由;(2)根據(jù)你對(1)的判斷以及所給信息,寫出合適函數(shù)模型的解析式;(3)若該校要求每日的得分不少于5分,問每日至少閱讀名著多少分鐘?(結(jié)果精確到整數(shù)).解:(1)根據(jù)題意可得應(yīng)選擇增加速度為先快后慢的增長模型,所以選對數(shù)型模型,故選.(2)由題意及(1)可知,在上,所以,解得3,,所以,令6,可得,解得,所以函數(shù)的解析式為.(3)令,可得,即,解得,所以每天得分不少于5分,至少需要閱讀66分鐘.21.若函數(shù)y=fx滿足:在定義域內(nèi)
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