2025屆山西省陽泉市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省陽泉市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（其中虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.3.在中，D是AB邊上的中點，則=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B.5.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，因為在上單調(diào)遞增，又，由，可得，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A.7.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點在軸上的投影為點，則的最小值是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線可知，焦點為，設(shè)，則，則，所以，當時，的最小值是.故選：B.8.已知定義域為的函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.因為，所以，即，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.故選:A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分．）9.隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升，人們對新能源汽車的需求逐步增加，從而推動了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長，如圖為某機構(gòu)統(tǒng)計的2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模及預(yù)測數(shù)據(jù)，則（）A.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模逐年增長B.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元C.逐年比較，預(yù)計2025年中國新能源汽車市場規(guī)模的增長量最大D.2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進行擬合【答案】ABD【解析】對A：從2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模數(shù)據(jù)看新能源汽車市場規(guī)模逐年增長，故A正確；對B：數(shù)據(jù)從小到大排列為1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)3.4，故B正確；對C：2021年增長是為，2022年增長1.6，2023年增長6.9，2024年增長4.7，從增長量上看并不是逐年增加，故無法預(yù)計2025年的增長量最大，故C錯誤；對D：從數(shù)據(jù)上看，市場規(guī)模前期增長緩慢，后期增長較快，故可用指數(shù)型函數(shù)模型進行擬合，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)滿足，函數(shù)圖象上距原點最近的最高點坐標為，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.為函數(shù)圖象的一條對稱軸D.為函數(shù)圖象的一個對稱中心【答案】BC【解析】由函數(shù)圖象上距原點最近的最高點坐標為，可得，，，由得，得，又，故，故由得，由，得，故，故，故，故A錯誤；，故B正確；由得函數(shù)的對稱軸為，當?shù)茫蔆正確；由得函數(shù)的對稱中心為，令得，故D錯誤，故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.是函數(shù)的極值點C.過原點僅有一條直線與曲線相切D.若，則【答案】ACD【解析】對于A項，由已知可得，令，則.解可得，，所以在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，恒成立，即恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項A正確；對于B項，由A可知，在上單調(diào)遞增，故B項錯誤；對于選項C，設(shè)切點的坐標為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，所以過的切線方程為.又切線經(jīng)過原點，所以有，整理為.令，有，當時，，有；當時，，有.所以恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增.又由，，根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點.故過原點僅有一條直線與曲線相切，選項C正確；對于D選項，若，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，有，.令，有．令，有（當且僅當時取等號），可得恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增.又由，所以時，，，所以在上單調(diào)遞減；時，，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，故成立，選項D正確．故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.若直線與曲線相切，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】設(shè)切點坐標為，由得，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，所以，所以.故答案：.13.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，滿足，且，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，則______．【答案】5【解析】①，∴當時，②，①②得，即.∵數(shù)列各項均為正數(shù)，，即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.∵，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，，解得，.故答案為：5.14.在直角坐標平面內(nèi)，橫，縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，點P從原點出發(fā)，在直角坐標平面內(nèi)跳躍行進，每次跳躍的長度都是5且落在整點處.則點P到達點所跳躍次數(shù)的最小值是__________.【答案】10【解析】每次跳躍的路徑對應(yīng)的向量為因為求跳躍次數(shù)的最小值，則只取，設(shè)對應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，可得則，兩式相加可得，因為，則或，當時，則次數(shù)為；當，則次數(shù)為；綜上所述：次數(shù)最小值為10.故答案為：10.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，.（1）求cosC；（2）若，，求b.解：（1）由已知，由余弦定理，得，得，所以，所以（2）由正弦定理得，則，又所以，又，所以，即又，所以，由，得，所以，由正弦定理：.16.在十九大報告中提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，廈門市政府貫徹落實實施這一戰(zhàn)略，形成了“一村一品一業(yè)”的新格局．同安區(qū)郭山村是全國科教興村計劃試點村，也是廈門市第一批科技示范村，全村從事以紫長茄為主的蔬菜種植受種植條件、管理水平、市場等因素影響，每年紫長茄的平均畝產(chǎn)量和統(tǒng)一收購價格會有波動，畝產(chǎn)量與收購價格互不影響．根據(jù)以往資料預(yù)測，該村紫長茄今年的平均畝產(chǎn)量X（單位：噸）的分布列如下：X1012P0.50.5紫長茄今年的平均統(tǒng)一收購價格Y（單位：萬元／噸）的分布列如下：Y0.50.6P0.80.2（1）某農(nóng)戶種植三個大棚紫長茄，每個大棚1畝，每個大棚產(chǎn)量相互獨立，求這三個大棚今年總產(chǎn)量不低于34噸的概率；（2）紫長茄今年每畝種植成本約1.5萬元，設(shè)Z表示該村紫長茄今年平均每畝的利潤（單位：萬元），求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件A表示一個大棚畝產(chǎn)量為12噸，事件A發(fā)生的次數(shù)為，因為每個大棚產(chǎn)量相互獨立，所以這三個大棚總產(chǎn)量不低于34噸的概率（2）設(shè)事件B表示畝產(chǎn)量為10噸，事件C表示市場價格為0.5萬元／噸，則，每畝利潤Z的所有可能取值為：，，，，所以Z的分布列為Z3.54.55.7P0.40.50.1利潤Z的數(shù)學(xué)期望（萬元）．17.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因為平面，所以平面．因為平面，所以．因為為的中點，且是等邊三角形，所以．因為平面，且，所以平面．（2）解：取的中點，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則，故．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．18.已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)橢圓C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為橢圓C上異于A，B的動點，設(shè)直線PB交直線于點T，連接AT交橢圓C于點Q，直線AP，AQ的斜率分別為，．（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線PQ：，證明：直線PQ過定點．（1）解：由橢圓C過點得，又離心率為，即，則，∴．∴橢圓C的標準方程為．（2）（i）證明：設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則．，又，即，∴為定值．（ii）證明：由消去x，得，①，由①得，，又，則，解得（舍）或，滿足，因此直線PQ的方程為，∴直線PQ過定點．19.已知數(shù)列的前項積為．定義：若存在，使得對任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若，且為“2數(shù)列”，求．（2）若，且為“數(shù)列”，的前項的平方和為，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項公式．（3）若，，且為“數(shù)列”，的前項和為，證明：．（1）解：由，且為“2數(shù)列”，得，即，則，，，．（2）解：設(shè)數(shù)列的公比為，由，得，即，則．兩式相減得，即．因為是首項為2的“數(shù)列”，所以，即，所以，即對任意的恒成立．因為，，則，即，解得，．又由，即，得，所以．檢驗可知符合要求，故數(shù)列的通項公式為．（3）證明：因為為“數(shù)列”，所以，即對任意的恒成立，因為，，所以．再結(jié)合，，，反復(fù)利用，可得對任意的，．設(shè)函數(shù)，則．由，得．當時，，所以在上單調(diào)遞減．所以當時，，即．又，所以．可得，，，，累加可得，即，即，所以．山西省陽泉市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（其中虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.3.在中，D是AB邊上的中點，則=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B.5.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，因為在上單調(diào)遞增，又，由，可得，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A.7.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點在軸上的投影為點，則的最小值是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線可知，焦點為，設(shè)，則，則，所以，當時，的最小值是.故選：B.8.已知定義域為的函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.因為，所以，即，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.故選:A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分．）9.隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升，人們對新能源汽車的需求逐步增加，從而推動了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長，如圖為某機構(gòu)統(tǒng)計的2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模及預(yù)測數(shù)據(jù)，則（）A.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模逐年增長B.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元C.逐年比較，預(yù)計2025年中國新能源汽車市場規(guī)模的增長量最大D.2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進行擬合【答案】ABD【解析】對A：從2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模數(shù)據(jù)看新能源汽車市場規(guī)模逐年增長，故A正確；對B：數(shù)據(jù)從小到大排列為1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)3.4，故B正確；對C：2021年增長是為，2022年增長1.6，2023年增長6.9，2024年增長4.7，從增長量上看并不是逐年增加，故無法預(yù)計2025年的增長量最大，故C錯誤；對D：從數(shù)據(jù)上看，市場規(guī)模前期增長緩慢，后期增長較快，故可用指數(shù)型函數(shù)模型進行擬合，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)滿足，函數(shù)圖象上距原點最近的最高點坐標為，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.為函數(shù)圖象的一條對稱軸D.為函數(shù)圖象的一個對稱中心【答案】BC【解析】由函數(shù)圖象上距原點最近的最高點坐標為，可得，，，由得，得，又，故，故由得，由，得，故，故，故，故A錯誤；，故B正確；由得函數(shù)的對稱軸為，當?shù)?，故C正確；由得函數(shù)的對稱中心為，令得，故D錯誤，故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.是函數(shù)的極值點C.過原點僅有一條直線與曲線相切D.若，則【答案】ACD【解析】對于A項，由已知可得，令，則.解可得，，所以在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，恒成立，即恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項A正確；對于B項，由A可知，在上單調(diào)遞增，故B項錯誤；對于選項C，設(shè)切點的坐標為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，所以過的切線方程為.又切線經(jīng)過原點，所以有，整理為.令，有，當時，，有；當時，，有.所以恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增.又由，，根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點.故過原點僅有一條直線與曲線相切，選項C正確；對于D選項，若，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，有，.令，有．令，有（當且僅當時取等號），可得恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增.又由，所以時，，，所以在上單調(diào)遞減；時，，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，故成立，選項D正確．故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.若直線與曲線相切，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】設(shè)切點坐標為，由得，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，所以，所以.故答案：.13.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，滿足，且，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，則______．【答案】5【解析】①，∴當時，②，①②得，即.∵數(shù)列各項均為正數(shù)，，即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.∵，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，，解得，.故答案為：5.14.在直角坐標平面內(nèi)，橫，縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，點P從原點出發(fā)，在直角坐標平面內(nèi)跳躍行進，每次跳躍的長度都是5且落在整點處.則點P到達點所跳躍次數(shù)的最小值是__________.【答案】10【解析】每次跳躍的路徑對應(yīng)的向量為因為求跳躍次數(shù)的最小值，則只取，設(shè)對應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，可得則，兩式相加可得，因為，則或，當時，則次數(shù)為；當，則次數(shù)為；綜上所述：次數(shù)最小值為10.故答案為：10.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，.（1）求cosC；（2）若，，求b.解：（1）由已知，由余弦定理，得，得，所以，所以（2）由正弦定理得，則，又所以，又，所以，即又，所以，由，得，所以，由正弦定理：.16.在十九大報告中提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，廈門市政府貫徹落實實施這一戰(zhàn)略，形成了“一村一品一業(yè)”的新格局．同安區(qū)郭山村是全國科教興村計劃試點村，也是廈門市第一批科技示范村，全村從事以紫長茄為主的蔬菜種植受種植條件、管理水平、市場等因素影響，每年紫長茄的平均畝產(chǎn)量和統(tǒng)一收購價格會有波動，畝產(chǎn)量與收購價格互不影響．根據(jù)以往資料預(yù)測，該村紫長茄今年的平均畝產(chǎn)量X（單位：噸）的分布列如下：X1012P0.50.5紫長茄今年的平均統(tǒng)一收購價格Y（單位：萬元／噸）的分布列如下：Y0.50.6P0.80.2（1）某農(nóng)戶種植三個大棚紫長茄，每個大棚1畝，每個大棚產(chǎn)量相互獨立，求這三個大棚今年總產(chǎn)量不低于34噸的概率；（2）紫長茄今年每畝種植成本約1.5萬元，設(shè)Z表示該村紫長茄今年平均每畝的利潤（單位：萬元），求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件A表示一個大棚畝產(chǎn)量為12噸，事件A發(fā)生的次數(shù)為，因為每個大棚產(chǎn)量相互獨立，所以這三個大棚總產(chǎn)量不低于34噸的概率（2）設(shè)事件B表示畝產(chǎn)量為10噸，事件C表示市場價格為0.5萬元／噸，則，每畝利潤Z的所有可能取值為：，，，，所以Z的分布列為Z3.54.55.7P0.40.50.1利潤Z的數(shù)學(xué)期望（萬元）．17.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因為平面，所以平面．因為