2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項復(fù)習(xí)：集合含參拔高題型七大題型（解析版）

重難點(diǎn)02集合含參拔高題型七大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.由集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的步驟

1.根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值

2.根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進(jìn)行檢驗

3.寫出所有符合題意的字母的取值

技巧二.求給定集合的子集的兩個關(guān)注點(diǎn)

Q）按子集中元素個數(shù)的多少，以一定的順序來寫.

（2）在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身.

-3*題型提分練

題型1集合中元素的特性求參數(shù)

【例題1]（2023秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中?？奸_學(xué)考試）若0,-1}={a,b,0）,則ab的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【分析】根據(jù)缶2,0,-l}={a,瓦0}得到或{:;U，然后解方程根據(jù)元素的互異性進(jìn)行取舍即可.

【詳解】因為{a2,0,-1}={a,b,0}，所以①或②，由①得{或{/=,「其中{/二01

與元素互異性矛盾，舍去，{J=J]符合題意，由②得{，[，]，符合題意，兩種情況代入得仍=-1.

故選：C.

【變式1-1]1.(2023秋?寧夏銀川?高一銀川一中?？茧A段練習(xí))已知集合4=[-2,0},B={x}ax2+bx=

0,a,bEN),A=B,貝！Ja+b的值為()

A.3B.—3C.1D.—1

【答案】A

【分析】由集合相等求解即可.

【詳解】因為集合Z={-2,0},B=(x\ax2+bx=0,a,bE,A=B,

所以4a—2b=0,即b=2a,

所以a+b=3a,因為a,bEN,所以a+b的值為3.

故選：A.

【變式1-1]2.(2023秋?四川眉山?高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)含有三個實(shí)數(shù)的集合可表

示為{a,gl}，也可以示為{a2,a+瓦0},則a2。13+。2。14的值為

【答案】0

【分析】結(jié)合已知條件，利用集合元素的互異性，即可求得本題答案.

【詳解】因為{a,，1}=[a2,a+b,0],且a豐0,所以b=0,

則有{a,0,1}={a2,a,0},

所以a?=1,且a豐1,彳導(dǎo)a=-1,

所以，。2013+a2014=(-1)2013+(_1)2。14=一1十]=()

故答案為：0

【變式1-1J3.（多選I2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知集合A中有3個元素2,4,6且當(dāng)a64時,6-ae4，

則a可能為（）

A.2

B.4

C.6

D.2或4或6

【答案】AB

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系分類討論即可.

【詳解】對于A,當(dāng)a=2e4時，6-a=4€4,滿足題意，A正確；

對于B,當(dāng)a=464時，6—a=2e4,滿足題意,B正確；

對于C,當(dāng)a=6￡4時,6-a=0A,不合題意，C錯誤；

對于D,由ABC知：a=2或4,D錯誤.

故選：AB.

【變式1-D4.（多選I2023?江蘇?高一專題練習(xí)期全集U={-7,-5,-1,0,5,7），集合4滿足CM={\a\,a},

則a的值可能為（）

A.—7B.—5C.—1D.0

【答案】AB

【分析】根據(jù)集合中元素的性質(zhì)以及補(bǔ)集概念求解即可.

【詳解】因為CM={|a|,a},所以根據(jù)元素互異性可知|a|力a,所以a<0,

顯然|a|eU,aeU,

則a=-7,|a|=7或a=-5,|a|=5.

故選：AB

【變式1-1]5.(2023秋?全國?高一專題練習(xí))若式={%+I,/一5,4},求%的取值范圍.

【答案】(—00,—3)U(-3,-2)U(—2,3)U(3,+oo)

【分析】由集合的特性列出不等式組，求解得出%的取值范圍.

【詳解】M={%+-5,4}

'%+1H-5x—2且％H3

/—5H4，得＜%W3

%+1W4W3且％H—3

綜上ixW3且％W—3xW—2

即工的取值范圍為(—8,—3)U(—3,—2)U(—2,3)U(3,+8)

【變式1-1]6.(2023秋?全國?高一專題練習(xí))設(shè)集合S中的元素全是實(shí)數(shù)，且滿足下面兩個條件：

①1￡S;②若aGS,則eS.

1—Q

(1)求證：若aes,則1—[es;

(2)若2eS,則在S中必含有其他的兩個元素，試求出這兩個元素.

【答案】Q)證明見解析

(2)集合S中必含有-1J兩個元素.

【分析】(1)根據(jù)集合S中元素的性質(zhì)，循環(huán)迭代即可得出證明；

(2)由2GS可得—16S,由—1eS可得之GS,由[GS可得26S,由此可知會循環(huán)出現(xiàn)2,—1彳三個數(shù)，所

以集合S中必含有兩個元素.

【詳解】(1)證明：因為1生s,所以1—a力0,由aeS,則4GS,

1—tz

可得」es,即3=匕=1一工es,

1---1-------aa

i-a1-a

故若aGS,則1—26S.

a

(2)由2es,得自=-1es;

由一1eS,彳導(dǎo)3eS;

而當(dāng)］6S時，士—2ES,

因此當(dāng)2eS時，集合S中必含有-1《兩個元素.

【變式1-1]7.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知集合4=（x\ax2+6x+l=0,aeR,beR},求：

(1)當(dāng)b=2時，4中至多只有一個元素，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a,6滿足什么條件時，集合力為空集.

【答案】(l){a|a=0或a21}

(2)a=b=?；騔?2—4a<0(a*0)

【分析】(1)當(dāng)a=0時，為一次方程，符合題意，當(dāng)a*0時，則公<?？汕蟮媒Y(jié)果，

(2)當(dāng)a=0,b=0時，方程無解，當(dāng)a70時，貝必<0可得答案.

【詳解】(1)由題意得，方程可化為a/+2x+1=0,

①當(dāng)a=0時，方程可化為2尤+1=0,得x=,

所以力={-1符合題意，

②當(dāng)a豐0時,

因為月中至多只有一個元素，

所以△=22-4a<0,解得a>1,

綜上所述，a的取值范圍為{a|a=0或a>1}；

(2)①當(dāng)a=0時，方程可化為bx+1=0,

因為2為空集，所以b=0,

②當(dāng)aH0時,

因為4為空集，所以△=一4a<0,

綜上所述，當(dāng)a=b=0或房-4a<0(a豐0)時，集合4為空集.

題型2元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【例題2]（2023秋?全國?高一專題練習(xí)）已知集合4={0,科--3/n+2},且2e4,則實(shí)數(shù)m為（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

【答案】B

【分析】根據(jù)264得爪=2或爪2—3爪+2=2,求出血后驗證集合中元素的互異性可得結(jié)果.

【詳解】因為4={0,m,m2-3m+2}且2eA,

所以m=2或Hi?—3m+2=2,

①若巾=2,此時病-3m+2=0,不滿足互異性；

②若爪2-3m+2=2,解得m=。或3,

當(dāng)巾=0時不滿足互異性，當(dāng)m=3時，力={0,3,2}符合題意.

綜上所述，爪=3.

故選：B

【變式2-1]1.（2023秋?廣東惠州?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）集合2={xeR|急>0},若3"且-1莊A,

則a的取值范圍為（）

A.a<3B.a<—1C.a<3D.—1<a<3

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列出限制條件可得答案.

【詳解】因為3”且-1%A,所以B>。且三渣<0,解得a<-1.

o+1—Z+l

故選：B.

【變式2-1]2.（2023春?甘肅白銀?高一?？茧A段練習(xí)）已知集合4={x\（2a-%）（%-a）<0},若2”,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-00,1）U（2,+oo）B.[1,2）C.（1,2）D.[1,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用元素與集合的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為集合A={x\（2a-%）（%一a）<0},且2e4,

所以（2a—2）（2-a）<0,即（a—l）（a-2）>0,解得a>2或a<1.

故選：A.

【變式2-1]3.（多選）（2023秋?甘肅武威?高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合4=

[a+1,3a—5,2a2—7},若1",則實(shí)數(shù)a的可能取值為（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】AB

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，列方程求解，代入檢驗即可.

【詳解】當(dāng)a+1=1,即a=0時，4={1,-5,-71,符合題意；

當(dāng)3a—5=1,即。=2時，不符合題意；

當(dāng)2a2-7=1,即a=2或a=-2時.若a=2,不符合題意；若a=-2,A={-1,-11,1],符合題意.

故選AB.

【變式2-1]4.（多選）（2023秋?江蘇南京?高一?？奸_學(xué)考試）若3e{爪-1,3皿m2-1},則實(shí)數(shù)m的

可能取值為（）

A.4B.2C.1D.-2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系、集合元素的互異性求得正確答案.

【詳解】三個元素中有且只有一個是3,要分三類討論.

當(dāng)m—1=3時，nt=4,此時37n=12,m2—1=15,故m=4符合題意；

當(dāng)37n=3時，6=1,此時爪-1=爪？一1=o（注意檢驗），不滿足集合中元素的互異性，故舍去；

當(dāng)巾2-1=3時，m=±2,經(jīng)檢驗m=±2符合題意.

綜上可知，m-4或m=±2.

故選：ABD

【變式2-1]5.(2023秋?高一課時練習(xí))已知集合M是由a,a-1,a?-1三個元素組成的，目0eM,求

實(shí)數(shù)a的值.

【答案】-1

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系分類討論即可求解.

【詳解】.OeM,

二①當(dāng)a=0時，貝!|a-1=-1,a?-i=一1,不符合集合元素的互異性，故舍去；

②當(dāng)a-1=o時，貝必=1,a?-1=0,不符合集合元素的互異性，故舍去；

③當(dāng)a?-1=0時，a=±1,由②得，a=1舍去，貝!]a=-1,

此時a—1——2,a2—1—0,符合題意.

綜上所述，a=-1.

題型3利用集合間的關(guān)系求參數(shù)

【例題312023秋?江蘇連云港?高一?？奸_學(xué)考試)已知集合A=(%|%>2}萬=(%|x<2m}目CRBAA,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(1,+oo)B.[1,+8)

C.(-co,1)D.(-00,1]

【答案】A

【分析】先求出CRB={x|%>2m},再根據(jù)條件CRBCA,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為B=[x\x<2m},所以CRB={x\x>2m},

又A={x}x>2},CRB￡A,所以2nl>2，得到m>1,

故選：A.

【變式3-1]1.（2023秋?甘肅武威?高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合4=

{x|-7<2%-3<3},B={x\3m-2<x<m+l],若BUA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.|m>|jB.|m>|jC.{m\m>0}D.{m\m>0）

【答案】C

【分析】分類討論B集合為空集及非空分別列出不等式計算求解即可.

【詳解】A=[x\-7<2x-3<3}={x|-2<x<3].

若B=0,貝！]3m-2>m+1,解得m>|,符合題意；

3m—2<m+1,

若BW0時，貝！]—2<3rrt-2,解得0<m<|.

m+1<3,

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是>0）.

故選:C.

【變式3-1]2.（2022秋?天津?高一統(tǒng)考期中）已知集合2={x\x2-x-2>0）,集合B={x\ax>1},若

BQA,aeZ,貝！Ja的最大值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)a的正負(fù)性，結(jié)合一元二次不等式的解法，子集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】A={x\x2—x—2>0]—{x\x>2或久<—1],

當(dāng)a=0時，B=0,顯然BcA；

當(dāng)a<0時，B={x}ax>1}=,

因為B￡A,所以!<-l=>a>-l^-l<a<0；

當(dāng)a>0時,B={x\ax>1}=&°°)

因為85,所以"2=aS"0<aw]

綜上所述：a的取值范圍為-1<a<|,

因為aeZ,所以a的最大值是0,

故選：B

【變式3-1]3.（多選）（2023秋?江蘇連云港?高一校考開學(xué)考試）已知集合4={用/一4=o},B=

（x\ax—1=0},若BU4,則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

A.OB.|C.2D.-|

【答案】ABD

【分析】先求出集合4={-2,2},再利用條件BcA,即可求出結(jié)果.

【詳解】由——4=0,得到x=2或x=-2,即4={-2,2},

因為B=4,由ax-1=0,

當(dāng)a=。時，ax-1=0無解，此時B=0,滿足題意，

當(dāng)a*0時，得到x=（,所以：=-2或5=2，得到a=-撒a=|,

故選：ABD.

【變式3-1]4.（多選）（2023秋?遼寧撫順?高一撫順一中?？茧A段練習(xí)）已知集合力=[0,1},B=

{x\ax2+x-1=0},若42B,則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）

A.OB.lC.-lD.|

【答案】AC

【分析】分a=0和a豐0兩種情況討論集合B中的原式，即可求解.

【詳解】當(dāng)a=0時，B={1},滿足條件，

4

當(dāng)a*0時，若B={1},則e二：+1a=2，無解，

<a+l—1=0

若8={0},則{△=：：：；=°,無解,

(△=1+4?！?

若B={o,1},則-1=0,無解，

、a+1-1=0

若B=0,貝必=1+4a<0,得a<-二

4

綜上可知，a=0或a<-：，只有AC符合條件.

故選：AC

【變式3-1]5(2023秋,全國?高一專題練習(xí))已知A={xIx2+4x=0}={x|%2+2(a+l)x+a2-1=

0).

⑴若4是B的子集，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若B是力的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)a=1

(2)a<-1或a=1

2

【分析】(1)首先求出集合4，依題意可得B=4,則-4和0為方程/+2(a+l)x+a-10的兩根；

(2)分B=0、B為單元素集合、B為雙元素集合三種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)因為A={xI/+4久=0}={-4,0},

若4是B的子集，則B=4={-4.0},

△>0

所以-4+0=-2(a+1),解得a=1.

"-4x0=a2—1

(2)若B是4的子集，則BcA.

①若8為空集，則4=4(a+I)2—4(a2—1)=8a+8<0,解得a<—1；

②若B為單元素集合，則4=4(a+-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1.

將a=-1代入方程%?+2(a+l)x+a?-1=0,得/=。，解得乂=0,所以8={0},符合要求；

③若8為雙元素集合，B=4={-4,0},貝！]a=1.

綜上所述，a<—1或a=1.

題型4子集與真子集的個數(shù)求參數(shù)

【例題4](2023秋?上海徐匯?高一上海市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí))若集合2={x\ax2+(a-6)%+2=0)

有且僅有兩個子集，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.2,18B.2C.18D.0,2,18

【答案】D

【分析】根據(jù)集合子集個數(shù)確定元素的個數(shù)，討論a片0、a=0,結(jié)合一元二次方程中判別式求參數(shù)值.

【詳解】由題意,集合A中只有一個元素，即方程a/+3_6沈+2=。僅有一個解，

當(dāng)a#0時，△=(a-6)2-8a=a2-20a+36=(a-2)(a-18)=0,可得a=2或a=18；

當(dāng)a=0時，方程為-6“+2=。僅有一解，滿足題設(shè)；

綜上，實(shí)數(shù)a的值為0,2,18.

故選：D

【變式多選)(2023秋河北張家口?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合A=302-4)/+①+2)x+

1=0}有兩個子集，那么a的取值可以是()

A.-1B.1C.2D*

【答案】CD

【分析】根據(jù)題意可判斷集合4只有一個元素，考慮二次項系數(shù)是否為零的兩種請況，計算得出結(jié)果即可.

【詳解】因為集合4={%l(a2-4)%2+(a+2)%+1=0}有兩個子集,說明集合A中只有一個元素，

所以當(dāng)a?-4=0時，解得：a=2或a=-2,

若a=2時，4={x|4x+1=0}={-1，符合題意,

若a=-2時，A={x|l=0)=0,不符合題意；

當(dāng)a?-440時，即a豐±2,且集合A有且僅有一個元素，

則4=(a+2)2—4(a2—4)=(a+2)(3a—10)=0,解得：a=—2(舍去)或a=g,

綜上所述，a的可能取值為2或?.

故選：CD.

【變式4-1]2.（2023秋?重慶北倍?高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）若集合4={%Ia%2-3%+1=0},

若4的真子集個數(shù)是3個，則a的范圍是

【答案】（-8,0）u（0,3

【分析】由題意可得方程a/—3x+1=。有兩個不相等的根，所以黑；°,從而可求出a的范圍

【詳解】因為集合4的真子集個數(shù)是3個，所以集合4中有兩個元素，

所以方程a久2—3久+1=。有兩個不相等的根,

所以1，解得a<=，且"0，

即a的范圍為（一8,0）u（0,,

故答案為：（—8,0）u（0,：）

【變式4-1]3.（2022秋?江西宜春?高一校聯(lián)考期末）集合{yeN|y=-%2+6,xeN}的真子集的個數(shù)是

（）

A.15B.8C.7D.63

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求解x,y的范圍，結(jié)合x61\1,）/€1\1,得到集合為{2,5,6},寫出其真子集即得解.

【詳解】由于yeN;y=-%2+6>0,

A—V6<x<V6,又xEN,

x=0,1,2,

y=6,5,2,即集合{yeN|y=—/+6,xeN}={2,5,6},

該集合的所有真子集為0,⑵,{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6},

:該集合的真子集個數(shù)為7,

故選：c.

【變式4-1]4.(2023秋?江西新余?高一統(tǒng)考期末)已知集合2={-1,0},B={1,2},則集合C=

{z|z=x2+y2,xeA,yGB}的真子集個數(shù)為()

A.7B.8C.15D.16

【答案】C

【分析】先根據(jù)題意求出集合C,再求其真子集的個數(shù).

【詳解】當(dāng)％=-l,y=1時，z=(-1)2+I2=2,

當(dāng)x--l,y-2時，z=(-1)2+22-5,

當(dāng)x=0,y=1時，z=。2+I?=1,

當(dāng)x=0,y=2時，z=。2+2?=4,

所以C={z\z=x2+y2,xEA,yEB}={1,2,4,5},

所以集合C的真子集的個數(shù)為24-1=15個，

故選：C

題型5集合的運(yùn)算求參數(shù)

【例題5](2023秋?吉林長春?高一東北師大附中?？茧A段練習(xí))設(shè)集合4=(%|%(%-1)(%-2)>0],B=

[xIx>2a-2),若AUB=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.{aIa>2}B.{aIa<2}

C.{a|a>2]D.{a|a<2]

【答案】A

【分析】化簡集合A,由4UB=/,得到Bcz求解.

【詳解】因為4UB=Af所以8cA,

又因為4={x|%(%—1)(%—2)>0}={%|0<%<1或%>2],B=[x\x>2a-2},

所以2a-222,即a22,

故選：A

【變式5-1]1.（2023秋?山東威海?高一校考階段練習(xí)）已知集合4={13a2},B=口,a+2},4UB=4,

則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由題設(shè)知B￡A,討論a+2=3、a+2=a?求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.

【詳解】由4U8=4知：BC4,

當(dāng)a+2=3,即a=1,則a?=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

當(dāng)a+2=a2,即a=-1或a=2,

若a=-1,則a?=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若a=2,則4={1,3,4},B={1,4},滿足要求.

綜上,a=2.

故選：A

【變式5-1]2..（2023秋?江蘇泰州?高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合力=（-2,1,2},集合B={l,a,a2+a）,

若4nB={1,2},貝！|a=.

【答案】2

【分析】根據(jù)交集的概念，結(jié)合集合中元素的互異性可得.

【詳解】因為4=（-2,1,2},B={l,a,a2+a],AnB={1,2},

所以2G.B,—2iB,a2+a1,a1,a2+aa,

當(dāng)a=2時，a?+a=4,集合B={1,2,4}滿足題意，

當(dāng)a?+a=2時，a=一2或a=1（舍去），

此時B={1,-2,2),不滿足題意，

綜上a=2,

故答案為：2

【變式5-1]3.(2023秋?山東荷澤?高一山東省鄴城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí))設(shè)集合M=[2,3,a2+

1},N=(a2+a,a+2,-1}且朋nN={2},則a的取值組成的集合是

【答案】{-2,0}

【分析】由"nN={2},可得{2}￡N,即可得到a?+a=2或a+2=2,分別求解可求出答案.

【詳解】由題意,{2}UN,

①若a?+a=2,解得。=1或。=-2,

當(dāng)a=l時，集合M中,a?+1=2,不符合集合的互異性，舍去；

當(dāng)a=-2時,"=[2,3,5},N={2,0,-1},符合題意.

②若a+2=2,解得a=0,M={2,3,1},N={0,2,—1},符合題意.

綜上,a的值是-2或0.

故答案為：[-2,0}.

【變式5-1]4.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知集合4={x|-2<%<8],B={%|-3<%<5].

(1)若C={x\m+1<x<2m-1),C￡(XnB),求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若D={x\x>3m+2},且(力UB)Cl0=0,求實(shí)數(shù)ni的取值范圍.

【答案】Q)(-8,3]

⑵[2,+8)

【分析】(1)根據(jù)集合的交集的運(yùn)算和caQ4nB),分類討論，求出m的范圍，

(2)根據(jù)集合的并集和(4uB)nD=0,求出m的范圍.

【詳解】（1）,?集合4={%|-2<x<8},B={幻一3<x<5},

.'.AC\B={x\—2<x<5}t

若C=0,則TH+1>2m—1,m<2,

fm+1<2m—1

若C大。，故m+1>-2，解得2<m<3,

、2m—1<5

綜上：THW3,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,3].

(2)XuB={x|-3<%<8},

由題意得3m+2>8,：.m>2,

，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+oo).

【變式5-1]5.(2023秋?陜西榆林?高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合4={劃/-奴+。2-19=0},B=

{x\x2—5x+6—0),C={x}x2—2x—3—0).

(1)若AnB=2UB,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若0Q4nB)且4CC=0,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】Q)5

⑵-3

【分析】(1)首先求出集合B，依題意可得4=B,從而得到2,3是方程/一磔+a?-19=0的兩個根,

利用韋達(dá)定理計算可得；

(2)首先求出集合C,依題意可得ACB力。，又4nc=0,所以2eA,即可求出a的值，再檢驗即可.

【詳解】(1)由題可得8={x\x2-5x+6=0}={2,3]，由4n8=4UB,得4=8.

從而2,3是方程/—a久+a?—19=。的兩個根，即k/+3/a解得。=5

12X3=a"-19

(2)因為8={2,3}；C—{x\x2—2%—3=0}={—1,3}.

因為0(4nB),所以4CIB70,又4CC=0,所以2￡A,

即4-2a+a?-19=0,a?-2a-15=0,解得a=5或a=-3.

當(dāng)a=5時，4={2,3}，貝必CC不0,不符合題意；

當(dāng)a=-3時，A={-5,2}，貝！|0AQB={2}且力nC=0,故(1=一3符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)a的值為-3.

【變式5-1】6(2022秋?河北衡水?高一?？茧A段練習(xí))已知集合A=[x\{孑}J25'B=(x|3x一。40}?

(1)若對任意xeB,都有％?A,求a的取值范圍；

(2)若2nB的所有元素中恰有100個整數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】⑴{a|aW—前

⑵{a[297<a<300}

【分析】(1)根據(jù)題意化簡集合4B,討論a的取值范圍，求出滿足條件時a的取值范圍即可；

(2)由題意知a>0,求出AnB,寫出這100個整數(shù),即可求得a的取值范圍.

【詳解】⑴暄兄一貝憶潑，

V5

即—mftW,

又B={x\3x—a<0}=^x|x<^jf

當(dāng)《a<-J,即a<—2時，4=0,滿足對任意％GB,都有％；

bzloeA

當(dāng)gci>—|,即a>—，寸，^4=^x|—1<x<|a}<令—~21解得61—~21此時。的值不存在；

綜上,a的取值范圍是{a|a<-亮}；

(2)若AC8的所有元素中恰有10。個整數(shù)，貝M>0,所以口〉.

所以4nB=[x|-|<x<^},這100個整數(shù)為0,1,2,...,99；

所以99<^<100,解得297<a<300,

所以a的取值范圍是{a1297<a<300].

題型6集合與充分、必要條件求參數(shù)

【例題6](2023秋?全國?高一專題練習(xí))設(shè)0:|x-a|W3,q:2/+%-14o，若p是q的必要不充分條件，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.卜|,2]B.(-|,2)C,[-2,|]D.(-2,|)

【答案】A

【分析】根據(jù)充分必要條件和集合的包含關(guān)系求解即可.

【詳解】由|%—a|<3,解得a_3<x<a+3,

所以p:a-3<x<a+3,

又由2/+%-1<0,解得-1<x<l，

所以q:-1<%<|,

因為P是q的必要不充分條件，

所以集合{%|-1WxW1真包含于-3<x<a+3},

(a-3W—1r

所以…,解得-注"2,

(a+3-22

經(jīng)檢驗，a=-|時，p:-/W%W]滿足題意；

a=2時，p:-14%45,滿足題意；

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,2].

故選：A.

【變式6-1]1.(2023秋?四川南充?高一慢I中中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)m”W-5或x>2,<-2爪-7或

x>4-3m,mGR,a是,的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

【答案】-1<m<|

【分析】由題意,a是￡的必要不充分條件，即0對應(yīng)的集合是a對應(yīng)集合的真子集,列式可求出結(jié)果.

【詳解】「a是0的必要不充分條件，

0對應(yīng)的集合是a對應(yīng)的集合的真子集,

解得一"W

故答案為：一1w加<|.

【變式6-1]2.(2023?全國?高一專題練習(xí))若A={x\2a-l<x<2a+l],B={x\x<-3或%>1],

且A是B的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】(-00,-2]u[1,+00)

【分析】依題意有AB，根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因為A是B的充分不必要條件，所以AB,

又4={x\2a—l<x<2a+l],B-{x\x<-3或x>1},

因此2a+1<-3或2a-1>1,解得a<一2或a>1

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,-2]u[l,+8）.

故答案為:(-00,-2]U[1,+00)

【變式6-1]3.（2023秋?遼寧大連?高一大連市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)「：-mWxW>0）,q:

-1<%<4,若p是q的充分條件，則機(jī)的最大值為

【答案】1

【分析】設(shè)4=[-m,m],B=[-1,4],若P是q的充分條件，則4=B,從而得到小范圍，進(jìn)而可求解.

【詳解】設(shè)4=[-m,m],B=[-1,4],

若P是q的充分條件，貝￡B,又m>0,

所以「黑廣，所以。<-1，

所以小的最大值為1.

故答案為：1.

【變式6-1]4.（2023秋?重慶銅梁?高一銅梁二中校考階段練習(xí)）已知4={x\2-a<x<2+a],B=

{%|—7<%<1}.

(1)當(dāng)a=1時，求anB;

(2)若"xEA"是"xGB"的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴0；

⑵a>9.

【分析】(1)ffia=1代入，求出集合4,再利用交集的運(yùn)算求解作答.

(2)根據(jù)給定條件可得BA,再借助包含關(guān)系列出不等式組求解作答.

【詳解】(1)當(dāng)a=1時，4={x[l<%<3},而B={%|-7<%<1},

所以4CB=0.

(2)由"x€4"是"xeB"的必要不充分條件，得BA,

于是「二。,二7或『二a<-7,解得。>9或a>9,因此a>9,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍aN9.

【變式6-1]5.(2023秋?江蘇南京?高一南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知y=/_2ax+a.

(1)方程y=0有兩個實(shí)數(shù)根%，%2.

①若/,電均大于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②若好+底=6%1%2-3,求實(shí)數(shù)a的值；

⑵設(shè)a>0,若關(guān)于久的不等式y(tǒng)<3a2+a的解集為2,B={x|-l<x<2},S.xEB是x”的充分不必要

條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)①a21；②a=|

(2)a>1

【分析】(1)①②由△>。求出參數(shù)a的取值范圍，再利用韋達(dá)定理得到不等式(方程)，解得即可；

(2)首先求出集合4，依題意可得BA,即可得到不等式組，解得即可.

【詳解】(1)由題意可知，△=4a?-4a20,即a21或a<0,

+第2=2a>0

①由%1,%2均大于0，所以=。>o/解得a>1.

.A>0

=2

②由好+%26%I%2—3可得(%i+x2)=8Tl%2—3,即(2a)2=8a—3,

.,.4a2—8a+3=0,解得a=;或|，

又因為a>1或a<0z/.a=|.

2

(2)".'x—2ax+a<3a2+a(a>0)z

2

/.x—2ax—3a2<0,即(％+a)(x—3a)<0,又a>0,解得—a<x<3az

所以4={x\—a<x<3a,a>0}z

因為％e8是％E4的充分不必要條件，所以8A,

一a4一1

3a>2(等號不能同時成立)，解得a>1,

、a>0

經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時，A={x|-l<x<3)=AB,滿足BA,符合題意，所以a>1.

題型7命題真假求參數(shù)

【例題7](2023?四川南充?模擬預(yù)測)若命題"3xeR，使得/+2x-m=