2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.2兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE1§9.2兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.能依據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率判定這兩條直線(xiàn)平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).3.駕馭兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離.以考查兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為主，有時(shí)也會(huì)與圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)交匯考查.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對(duì)較低，但內(nèi)容很重要，特殊是距離公式，是高考考查的重點(diǎn).1.兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)兩條直線(xiàn)平行與垂直①兩條直線(xiàn)平行：(ⅰ)對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(ⅱ)當(dāng)直線(xiàn)l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.②兩條直線(xiàn)垂直：(ⅰ)假如兩條直線(xiàn)l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.(ⅱ)當(dāng)其中一條直線(xiàn)的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.(2)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解.2.幾種距離(1)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).概念方法微思索1.若兩條直線(xiàn)l1與l2垂直，則它們的斜率有什么關(guān)系？提示當(dāng)兩條直線(xiàn)l1與l2的斜率都存在時(shí)，·＝－1；當(dāng)兩條直線(xiàn)中一條直線(xiàn)的斜率為0，另一條直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，l1與l2也垂直.2.應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和兩平行線(xiàn)間的距離公式時(shí)應(yīng)留意什么？提示(1)將方程化為最簡(jiǎn)的一般形式.(2)利用兩平行線(xiàn)之間的距離公式時(shí)，應(yīng)使兩平行線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等.題組一思索辨析1.推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線(xiàn)l1和l2斜率都存在時(shí)，肯定有k1＝k2?l1∥l2.(×)(2)已知直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線(xiàn)l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(√)(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)(4)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.(√)(5)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上.(√)題組二教材改編2.已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線(xiàn)l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2)B.2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋1答案C解析由題意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2).3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線(xiàn)PQ垂直于直線(xiàn)x＋y＋1＝0，則m＝________.答案1解析由題意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.4.若三條直線(xiàn)y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為_(kāi)_______.答案－9解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以點(diǎn)(1,2)滿(mǎn)意方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.題組三易錯(cuò)自糾5.直線(xiàn)2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線(xiàn)mx＋3y－2＝0平行，則m等于()A.2 B.－3C.2或－3 D.－2或－3答案C解析直線(xiàn)2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線(xiàn)mx＋3y－2＝0平行，則有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或－3.故選C.6.直線(xiàn)2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是______.答案eq\f(3\r(2),4)解析先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋eq\f(1,2)＝0，則兩平行線(xiàn)間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).7.若直線(xiàn)(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________.答案0或1解析由兩直線(xiàn)垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.題型一兩條直線(xiàn)的平行與垂直例1(2024·滿(mǎn)洲里調(diào)研)已知直線(xiàn)l1：ax＋2y＋6＝0和直線(xiàn)l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)試推斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求a的值.解(1)方法一當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線(xiàn)可化為l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a＋1，))解得a＝－1，綜上可知，當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2，a≠－1時(shí)，l1與l2不平行.方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l(xiāng)1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6，))可得a＝－1，故當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2.當(dāng)a≠－1時(shí)，l1與l2不平行.(2)方法一當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1，得a＝eq\f(2,3).方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝eq\f(2,3).思維升華(1)當(dāng)直線(xiàn)方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般狀況，也要考慮到斜率不存在的特殊狀況.同時(shí)還要留意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.(2)在推斷兩直線(xiàn)平行、垂直時(shí)，也可干脆利用直線(xiàn)方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線(xiàn)l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為()A.－eq\f(3,2) B.0C.－eq\f(3,2)或0 D.2答案C解析若a≠0，則C.(2)(2024·營(yíng)口模擬)已知兩條直線(xiàn)l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿(mǎn)意下列條件的a，b的值.①l1⊥l2，且直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)；②l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線(xiàn)的距離相等.解①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，又∵直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.②∵直線(xiàn)l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線(xiàn)l1的斜率存在.∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線(xiàn)的距離相等，∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝b.故a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.題型二兩直線(xiàn)的交點(diǎn)與距離問(wèn)題1.(2024·葫蘆島調(diào)研)若直線(xiàn)l與兩直線(xiàn)y＝1，x－y－7＝0分別交于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)是P(1，－1)，則直線(xiàn)l的斜率是()A.－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C.－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)答案A解析由題意，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－1)－1，分別與y＝1，x－y－7＝0聯(lián)立解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋1，1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1))).又因?yàn)镸N的中點(diǎn)是P(1，－1)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得k＝－eq\f(2,3).2.若P，Q分別為直線(xiàn)3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上隨意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)答案C解析因?yàn)閑q\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以?xún)芍本€(xiàn)平行，將直線(xiàn)3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線(xiàn)間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).3.已知直線(xiàn)y＝kx＋2k＋1與直線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析方法一由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))(若2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)，則兩直線(xiàn)平行)∴交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交點(diǎn)位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)>0，))解得－eq\f(1,6)<k<eq\f(1,2).方法二如圖，已知直線(xiàn)y＝－eq\f(1,2)x＋2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)，B(0,2).而直線(xiàn)方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過(guò)定點(diǎn)P(－2,1)，斜率為k的動(dòng)直線(xiàn).∵兩直線(xiàn)的交點(diǎn)在第一象限，∴兩直線(xiàn)的交點(diǎn)必在線(xiàn)段AB上(不包括端點(diǎn))，∴動(dòng)直線(xiàn)的斜率k需滿(mǎn)意kPA<k<kPB.∵kPA＝－eq\f(1,6)，kPB＝eq\f(1,2).∴－eq\f(1,6)<k<eq\f(1,2).4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線(xiàn)l：4x＋3y－2＝0，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7)))解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b).∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－2).而AB的斜率kAB＝eq\f(－3＋1,4－2)＝－1，∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵點(diǎn)P(a，b)在直線(xiàn)x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又點(diǎn)P(a，b)到直線(xiàn)l：4x＋3y－2＝0的距離為2，∴eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7)，,b＝－\f(8,7).))∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7))).思維升華(1)求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程的方法先求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線(xiàn)方程.(2)利用距離公式應(yīng)留意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線(xiàn)y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線(xiàn)間的距離公式要把兩直線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)化為相等.題型三對(duì)稱(chēng)問(wèn)題命題點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)例2過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線(xiàn)l，使它被直線(xiàn)l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線(xiàn)段被點(diǎn)P平分，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_______________.答案x＋4y－4＝0解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線(xiàn)l上，所以直線(xiàn)l的方程為x＋4y－4＝0.命題點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)例3如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線(xiàn)經(jīng)直線(xiàn)AB反射后再射到直線(xiàn)OB上，最終經(jīng)直線(xiàn)OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的路程是()A.3eq\r(3)B.6C.2eq\r(10)D.2eq\r(5)答案C解析直線(xiàn)AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(－2,0)，則光線(xiàn)經(jīng)過(guò)的路程為|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).命題點(diǎn)3直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例4直線(xiàn)2x－y＋3＝0關(guān)于直線(xiàn)x－y＋2＝0對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是______________.答案x－2y＋3＝0解析設(shè)所求直線(xiàn)上隨意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2，))由點(diǎn)P′(x0，y0)在直線(xiàn)2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.思維升華解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法(1)中心對(duì)稱(chēng)①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(x′，y′)滿(mǎn)意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決.(2)軸對(duì)稱(chēng)①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練2已知直線(xiàn)l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2).求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)m′的方程；(3)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l′的方程.解(1)設(shè)A′(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線(xiàn)m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在m′上.設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))即M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3).又m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如P(1,1)，N(4,3)，則P，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，N′均在直線(xiàn)l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二設(shè)Q(x，y)為l′上隨意一點(diǎn)，則Q(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直線(xiàn)l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.妙用直線(xiàn)系求直線(xiàn)方程在求解直線(xiàn)方程的題目中，可采納設(shè)直線(xiàn)系方程的方式簡(jiǎn)化運(yùn)算，常見(jiàn)的直線(xiàn)系有平行直線(xiàn)系，垂直直線(xiàn)系和過(guò)直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系.一、平行直線(xiàn)系例1求與直線(xiàn)3x＋4y＋1＝0平行且過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線(xiàn)l的方程.解由題意，設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直線(xiàn)方程為3x＋4y－11＝0.二、垂直直線(xiàn)系例2求經(jīng)過(guò)A(2,1)，且與直線(xiàn)2x＋y－10＝0垂直的直線(xiàn)l的方程.解因?yàn)樗笾本€(xiàn)與直線(xiàn)2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線(xiàn)方程為x－2y＋C＝0，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，即所求直線(xiàn)方程為x－2y＝0.三、過(guò)直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系例3求經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)l3：3x－5y＋6＝0的直線(xiàn)l的方程.解方法一將直線(xiàn)l1，l2的方程聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))即直線(xiàn)l1，l2的交點(diǎn)為(－1,2).由題意得直線(xiàn)l3的斜率為eq\f(3,5)，又直線(xiàn)l⊥l3，所以直線(xiàn)l的斜率為－eq\f(5,3)，則直線(xiàn)l的方程是y－2＝－eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))，即5x＋3y－1＝0.方法二由于l⊥l3，所以可設(shè)直線(xiàn)l的方程是5x＋3y＋C＝0，將直線(xiàn)l1，l2的方程聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))即直線(xiàn)l1，l2的交點(diǎn)為(－1,2)，則點(diǎn)(－1,2)在直線(xiàn)l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，所以直線(xiàn)l的方程為5x＋3y－1＝0.方法三設(shè)直線(xiàn)l的方程為3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,5)，所以直線(xiàn)l的方程為5x＋3y－1＝0.1.直線(xiàn)2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能確定答案C解析直線(xiàn)2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直線(xiàn)x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq\f(1,2)，則k1≠k2，且k1k2≠－1.故選C.2.若m∈R，則“l(fā)og6m＝－1”是“直線(xiàn)l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析由log6m＝－1得m＝eq\f(1,6)，若l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則直線(xiàn)斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝eq\f(1,6)，則“l(fā)og6m＝－1”是“直線(xiàn)l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要條件.故選A.3.已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和B(m,4)的直線(xiàn)為l1，直線(xiàn)2x＋y－1＝0為l2，直線(xiàn)x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為()A.－10B.－2C.0D.8答案A解析因?yàn)閘1∥l2，所以kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2.解得m＝－8.又因?yàn)閘2⊥l3，所以－eq\f(1,n)×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.4.過(guò)點(diǎn)M(－3,2)，且與直線(xiàn)x＋2y－9＝0平行的直線(xiàn)方程是()A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝0答案D解析方法一因?yàn)橹本€(xiàn)x＋2y－9＝0的斜率為－eq\f(1,2)，所以與直線(xiàn)x＋2y－9＝0平行的直線(xiàn)的斜率為－eq\f(1,2)，又所求直線(xiàn)過(guò)M(－3,2)，所以所求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x＋3)，化為一般式得x＋2y－1＝0.故選D.方法二由題意，設(shè)所求直線(xiàn)方程為x＋2y＋c＝0，將M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直線(xiàn)為x＋2y－1＝0.故選D.5.(2024·盤(pán)錦模擬)若直線(xiàn)l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2之間的距離為()A.eq\f(4\r(2),3)B.4eq\r(2)C.eq\f(8\r(2),3)D.2eq\r(2)答案C解析∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，∴eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(6,2a)，解得a＝－1，∴l(xiāng)1與l2的方程分別為l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，∴l(xiāng)1與l2的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).6.若直線(xiàn)l1：y＝k(x－4)與直線(xiàn)l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)()A.(0,4) B.(0,2)C.(－2,4) D.(4，－2)答案B解析直線(xiàn)l1：y＝k(x－4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0,2)，又直線(xiàn)l1：y＝k(x－4)與直線(xiàn)l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，故直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,2).7.已知直線(xiàn)l1：ax＋y－6＝0與l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于點(diǎn)P，若l1⊥l2，則a＝________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.答案1(3,3)解析∵直線(xiàn)l1：ax＋y－6＝0與l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于點(diǎn)P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,x－y＝0，))易得x＝3，y＝3，∴P(3,3).8.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________.答案eq\f(34,5)解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線(xiàn)的中垂線(xiàn)，即直線(xiàn)y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線(xiàn)的中垂線(xiàn)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).9.直線(xiàn)l1：y＝2x＋3關(guān)于直線(xiàn)l：y＝x＋1對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l2的方程為_(kāi)_____________.答案x－2y＝0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋3，,y＝x＋1，))解得直線(xiàn)l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)，所以可設(shè)直線(xiàn)l2的方程為y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)(1,2)，由題設(shè)知點(diǎn)(1,2)到直線(xiàn)l1，l2的距離相等，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得eq\f(|k－2＋2k－1|,\r(k2＋1))＝eq\f(|2－2＋3|,\r(22＋1))，解得k＝eq\f(1,2)(k＝2舍去)，所以直線(xiàn)l2的方程為x－2y＝0.10.已知入射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－3,4)，被直線(xiàn)l：x－y＋3＝0反射，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6)，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____________.答案6x－y－6＝0解析設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線(xiàn)l：x－y＋3＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6)，所以所求直線(xiàn)的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點(diǎn)P(－2,2).(1)證明：對(duì)隨意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線(xiàn)，且這些直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同肯定點(diǎn)，并求出這肯定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)證明：該方程表示的直線(xiàn)與點(diǎn)P的距離d小于4eq\r(2).(1)解明顯2＋λ與－(1＋λ)不行能同時(shí)為零，故對(duì)隨意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線(xiàn).∵方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))故直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為M(2，－2).(2)證明過(guò)P作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段PQ，由垂線(xiàn)段小于斜線(xiàn)段知|PQ|≤|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時(shí)，|PQ|＝|PM|，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直線(xiàn)系方程唯獨(dú)不能表示直線(xiàn)x－y－4＝0，∴M與Q不行能重合，而|PM|＝4eq\r(2)，∴|PQ|<4eq\r(2)，故所證成立.12.已知三條直線(xiàn)：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是eq\f(7\r(5),10).(1)求a的值；(2)能否找到一點(diǎn)P，使P同時(shí)滿(mǎn)意下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的eq\f(1,2)；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是eq\r(2)∶eq\r(5).若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.解(1)直線(xiàn)l2：2x－y－eq\f(1,2)＝0，所以?xún)蓷l平行線(xiàn)l1與l2間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq\f(7\r(5),10)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),10)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝eq\f(7,2)，又a>0，解得a＝3.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0).若P點(diǎn)滿(mǎn)意條件②，則P點(diǎn)在與l1，l2平行的直線(xiàn)l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或eq\f(11,6)，所以2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0；若P點(diǎn)滿(mǎn)意條件③，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2),\r(5))eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于點(diǎn)P在第一象限，所以3x0＋2＝0不行能.聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)，))(舍去)聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以存在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))同時(shí)滿(mǎn)意三個(gè)條件.13.已知直線(xiàn)y＝2x是△ABC中∠C的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4，2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(－2,4) B.(－2，－4)C.(2,4) D.(2，－4)答案C解析設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線(xiàn)y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))∴BC所在直線(xiàn)方程為y－1＝eq\f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得點(diǎn)B(3,1)關(guān)于直線(xiàn)y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－1,3)，