2025年新高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：棱柱相關(guān)解答題二十大題型（原卷版）

專題1-2棱柱相關(guān)解答題二十大題型匯總

。常考題型目錄

第一篇直棱柱篇..................................................................1

題型1平行關(guān)系..................................................................1

題型2垂直關(guān)系..................................................................4

題型3長度問題..................................................................7

題型4距離問題..................................................................8

題型5線線、線面角問題.........................................................11

題型6二面角問題...............................................................14

題型7線面角與動點(diǎn)問題.........................................................17

題型8二面角與動點(diǎn)問題.........................................................20

題型9體積與動點(diǎn)問題...........................................................21

題型10最值取值范圍問題........................................................22

第二篇斜棱柱篇.................................................................24

題型11平行關(guān)系................................................................24

題型12垂直關(guān)系................................................................26

題型13長度問題................................................................27

題型14體積與距離問題..........................................................28

題型15線面角問題..............................................................30

題型16二面角問題..............................................................31

題型17線面角與動點(diǎn)問題........................................................35

題型18二面角與動點(diǎn)問題........................................................37

題型19體積與動點(diǎn)問題..........................................................39

題型20最值取值范圍問題.......................................................40

但題型分類

第一篇直棱柱篇

題型1平行關(guān)系

【例題1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A/G中，BBi1平面ABC,

D,E分別為棱AB,/Ci的中點(diǎn),BC=2,AB=2陋,&G=4.證明：DE〃平面4CG4.

4G

B

【變式1-1]1.(2023春?河南洛陽?高三欒川縣第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試)如圖，在三

棱柱71BC-a/?中,BB1J_平面ABC,ABLBC,AA±=AB=BC^2.

(2)點(diǎn)M在線段B]C上,且黑=]點(diǎn)可在線段上，若MN〃平面&4CG,求募的值?

【變式1-1】2.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖,在三棱柱4BC-A/iG中，AA.，平面

,AB=8C=4C==2,E,F分別為&G,的中點(diǎn).

(I)在四邊形ABBiA內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使平面GEF〃平面4BG?若存在,求出該點(diǎn)的位

置；若不存在，請說明理由；

(n)設(shè)D是CG的中點(diǎn)，求與平面48cl所成角。的正弦值.

【變式1-1]3.(2023?高二單元測試)如圖，在三棱注4BC-a/?中,BBr1平面,

4B1BC,=48=BC=2.

(1)求證：BCi_L平面4/1。；

(2)求異面直線/C與所成角的大??；

(3)點(diǎn)”在線段/C上，且黑=點(diǎn)N在線段上，若MN〃平面&4CC1,求募的值.

【變式1-D4.(2021春?北京?高二東直門中學(xué)校考期中即圖，在三棱柱ABC-&B1G中，

AA1，平面ABC,/.BAC=,AA1AB=AC=1,CC1的中點(diǎn)為H.

(I)求證：AB1ArC；

(n)求二面角4—BC—/的余弦值；

(m)在棱4當(dāng)上是否存在點(diǎn)N，使得HN〃平面?若存在,求出黑的值；若不存在,

請說明理由.

【變式1-1]5.(2020秋?廣西百色?高二田東中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱柱力BC-

AiBiG中,BB]J■平面ABC,AB±BC,AA-^—AB=BC=2.

(1)求證：BC]_L平面48道；

(2)求異面直線與所成角的大?。?/p>

(3)點(diǎn)M在線段B】C上,且黑=A(A￡(0,1))，點(diǎn)N在線段4/上，若MNII平面&4。酊,

求芳的值(用含屈勺代數(shù)式表示).

題型2垂直關(guān)系

【例題2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖1所示，在邊長為12的正方形&中，點(diǎn)B,C

在線段44'上，且4B=3,BC=4作,分別交公掰、皿于點(diǎn)外P作CQ〃44,

分別交為4、力占'于點(diǎn)Q、Q,將該正方形沿BBi，CG折疊，使得A&'與重合，構(gòu)成如

圖2所示的三棱柱4BC-4/16.

⑴在三棱柱4BC-&B1G中，求證：AB1平面BCQBi；

(2)試判斷直線4Q是否與平面4C/平行，并說明理由.

【變式2-1]1.(2022秋河南開封?高二?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱柱71BC-a/?中，

四邊形441cle是邊長為次的正方形，CG18C,BC=1,48=2.

(1)證明：平面&BC_L平面28G；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)M，使得CM1BG,若存在，求署的值；若不存在，請說明

DAI

理由

C.

【變式2-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-A/1G中，AA.1底

面ABC,/.CAB=90。，AB=AC=2,=百，M為8C的中點(diǎn),P為側(cè)棱BBr上的動

點(diǎn).

(1)求證：平面4PM1平面B81GC；

(2)試判斷直線BCi與4P是否能夠垂直.若能垂直，求PB的長；若不能垂直，請說明理由.

【變式2-1]3.(2023秋?河北唐山?高二校考期末)如圖，在三棱柱X8C-&B1G中,AA.1

底面ABC,AB1BC,AB=1,BC=2,AA1=V3.

(1)求直線&C與44所成角的余弦值；

(2)設(shè)〃為AC的中點(diǎn)，在平面8CG內(nèi)找一點(diǎn)N，使得MN1平面&BC，求點(diǎn)N到平面48c和

平面AB4的距離.

【變式2-1]4.(2021秋?北京豐臺?高二北京市第十二中學(xué)?？计谥?如圖，在三棱柱

ABC-AiBiCi中，AAiCiC是邊長為4的正方形.平面ABC,平面AAiJC,AB=3,BC=5.

(工)求證：AAL平面ABC;

(H)求二面角Ai-BQ-Bi的余弦值；

(DI)證明：在線段BJ存在點(diǎn)D，使得AD±AiB,并求咨的值.

題型3長度問題

【例題3](2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱中，，平面A8C,

AB^_LZiG,AA^=AB=3.

(1)求證：CB11ArB；

(2)若平面4BC與平面A/iG所成銳二面角的余弦值為等,求4c的長.

【變式3-1]1.(2023?高二單元測試)如圖，在三棱柱ABC-A/?中，底面是邊長為近

的正三角形,且側(cè)棱1底面48c.試?yán)每臻g向量的方法解決下列問題：

(1)設(shè)側(cè)棱長為1,求證：AB11BG；

(2)設(shè)力Bi與BG的夾角為:，求側(cè)棱長.

【變式3-1J2.(2022秋?山東濟(jì)南?高二濟(jì)南一中校考期中聊圖在直三棱隹WC-AB?

(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)中，C4=C8=1,NBG4=90。，棱=2,N為的中點(diǎn).

(1)求8N的長；

(2)求與BiC所成角的余弦值.

題型4距離問題

【例題4](2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-4當(dāng)?shù)闹?，CC1，平面A8C,

BC1AC,BC=AC=2,AAr=3,點(diǎn)M為4c中點(diǎn).

⑴求證：AB"/平面；

(2)求點(diǎn)B到直線的距離.

G4

B

【變式4-1]1.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱4BC-4/1。中，CG，平面

ABC,ACIBC,BC=AC=CC^4,D為2%的中點(diǎn)，C%交8好于點(diǎn)E.

⑴證明：CBi1JD；

(2)求點(diǎn)E到平面BiG。的距離.

【變式4-1]2.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱2BC-A/iG中，A.A，平面

ABC,4A±A=3AB,△ABC是等邊三角形，。㈤F分別是棱的中點(diǎn)

(1)證明：AD〃平面6EF；

(2)求平面4DE與平面GEF所成銳二面角的余弦值；

(3)若2B=4,求點(diǎn)到平面CiEF的距離.

A______E_____c

Bi

【變式4-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱718C-A/iG中，側(cè)棱A41

底面4/iG,NBAC=90°,AB=4,AC=2,“是48中點(diǎn),可是4出中點(diǎn),「是8的與斗。的

交點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段GN上.

(1)求證：PQ〃平面4CM；

(2)若二面角4-CM-4的余弦值是白，求點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫?CM的距離.

【變式4-1]4.(2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學(xué)校考三模)如圖，在三棱柱力BC-

中以48。為等邊三角形，四邊形BCC/i是邊長為2的正方形，。為48中點(diǎn)，且&D=

V5.

(1)求證:CD1平面ABB/i；

(2)若點(diǎn)P在線段8停上,且直線4P與平面&CD所成角的正弦值為手,求點(diǎn)P到平面&CD的

距離.

【變式4-1】5.(2023?高二課時練習(xí))如圖,在三棱柱4BC-A/iG中,AAr1平面2BC,

AB=2V3,AC=2BC=4,且。為線段4B的中點(diǎn)，連接&D,CD,BQ

(1)證明：BC1ArD；

(2)若當(dāng)?shù)街本€4c的距離為舊,求平面B1&C與平面&CD夾角的余弦值.

題型5線線、線面角問題

【例題5](2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-&B1G中，側(cè)面48/4是邊

長為2的正方形，1BC,M,N分別是A/1，BC的中點(diǎn).

(1)證明：MNII平面acc/i；

(2)若乙4BC=90。，再從條件①、條件②中選擇一個作為條件，求直線AC與平面4MN所成

角。的正弦值.

條件①：異面直線4c與MN所成的角為45°；

條件②：△4MN是等腰三角形.

【變式5-1]1.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱24。-QBC中，側(cè)面ABCD為

正方形，48=4,PA=P。=逐,力B1AP,DC1DP,點(diǎn)M在線段PB上,PD〃平面MAC.

(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；

(2)求二面角B-PD-4的大??；

(3)在線段4c上是否存在點(diǎn)N，使得直線MN與平面BDP所成的角為30。，若存在，求出暗的

值；若不存在，請說明理由.

【變式5-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱由IBC-4B1G中，CG，平面

ABCACIBCAC=BC=26G=3點(diǎn)D,E分別在棱和棱CG上且4。=1,CE=2,

M為棱A/i的中點(diǎn).

(1)求證:GM1BrD；

(2)求直線AB與平面D/E所成角的正弦值.

【變式5-1]3.(2022秋?北京東城?高三?？计谥?如圖，在三棱根IBC-&B1G中,AA,1

平面ABC,481AC,AB=AC=AA1=1,M為線段41前上的一點(diǎn).

(1)求證：BM1ABr；

(2)若M為線段&G上的中點(diǎn),求直線AB】與平面BCM所成角大小.

【變式5-1]4.(2023?高二課時練習(xí))如圖，在三棱柱4BC-A/?中,AA,1平面ABC,

AB=BC=2881,/.ABC=90°,D為BC的中點(diǎn).

⑴求證alBII平面力DCl；

⑵若E為A聲1的中點(diǎn)，求AE與DC1所成的角.

【變式5-1]5.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱TWC-4B1G中，AA.1底面

A/iQ,&C的中點(diǎn)為。\四面體。'-A/】Ci的體積為1,四邊形BCG%的面積為2/.

⑴求。'到平面BCC/i的距離；

(2)設(shè)4%與交于點(diǎn)O,A4BC是以乙4cB為直角的等腰直角三角形且=4/1.求直線

2。'與平面&BC所成角的正弦值.

【變式5-1]6.(2022秋?天津?yàn)I海新?高三?？计谀?如圖所示，在三棱柱48尸-DCE中,

側(cè)面ABCD和ADEF都是邊長為2的正方形，平面4BCD，平面ADEF,點(diǎn)G、M分別是線

段AD、BF的中點(diǎn).

(1)求證:4M〃平面BEG;

(2)求直線DM與平面BEG所成角的正弦值；

(3)求平面BEG與平面ABCD夾角的余弦值.

題型6二面角問題

【例題6】（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱48C-A/iG中，側(cè)面8CC/1為正

方形，4B=BC=2,"=2b,M,N分別為&Bi，2C的中點(diǎn).

⑴求證：MN〃平面BCCB；

（2）再從條件（1）、條件（2）這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角2-BM-N的平

面角的余弦值.

條件①：BNJ■平面A41cle；

條件②：B[N=V5.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【變式6-1]1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱在48C-4B1G中，D為AC

的中點(diǎn),AB=BC—2,Z-AA-^BI—.

（1）證明：BBi1AC；

（2）若BB]1BC,直線他與平面BCQBi所成的角的正弦值為等,二面角4-幽-C的大

小為60°,求二面角B-B1D-G的余弦值.

【變式6-1]2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱-4/C1中,AC=^2,

28=1,E,F分別為&C,BB］的中點(diǎn),且EF_L平面.

（1）求棱BC的長度;

⑵若BB11X1B1,且4&FC的面積S.FC=f,求二面角/—4F—C的正弦值.

【變式6-1]3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱柱XBC-&B1G中，點(diǎn)。，

E,F,G分別為棱A/,AA±,CG,BB1上的點(diǎn)，且&。=BrD,AE=24E,C#=2CF,

BG=281G.

(1)證明：EF〃平面GDG；

(2)若441=6,BC=2AC=4，四邊形BCC/i為矩形，平面BCC/il^^ACC^,AC1C±G,

求平面GDG與平面DEF所成銳二面角的余弦值

【變式6-1]4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱X8C-&B1G中，D為AC

的中點(diǎn),

AB=BC=2,^AA1B1=z.BrBC.

（1）證明：BBi1AC；

⑵若,且滿足：三棱由的體積為次,二面角的大小為

BBi1BCIBC-4/iG3A-BBr-C

60°,求二面角8-BW-G的正弦值.

【變式6-1]5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖在三棱柱718c-4B1G中，。為4C的中點(diǎn)，

AB—BC—2,Z-AA1B1=Z-B^BC.

⑴證明：BB11AC；

（2）若BBiI.BC,且滿足：,（待選條件）.

從下面給出的①②③中選擇兩個填入待選條件，求二面角B-B]D-G的正弦值.

①三棱柱718C-4/16的體積為3次；

②直線與平面BCC/1所成的角的正弦值為魯；

③二面角4-BBi—C的大小為60°；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分.

【變式6-1]6.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，已知在直四棱柱(側(cè)棱垂直底面的棱柱)

中,ADLDC,AB//DC,DC=DD1=2.AD=2.AB=2.

(1)求證：DB1平面BiBCQ；

(2)求BCi與平面所成的角的余弦值；

(3)求二面角4—DB-G的正弦值.

題型7線面角與動點(diǎn)問題

【例題7】(2023?北京?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-4/iG中，平面力8C，平

面CCRB,CC/iB是矩形，已知CCr=3,ACVBC,AC=BC=2,動點(diǎn)D在棱AAt

上，點(diǎn)E在棱CG上，且CE=2EJ.

(1)求證：BC1ED；

(2)若直線4B與平面DEB1所成角的正弦值為白，求翳的值；

⑶在滿足(2)的條件下，求點(diǎn)A到平面DE%的距離.

4

【變式7-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-AaG中，CQ，平面

ABC.AB=CQ=45。,。,￡'/分另!]是441，。。1，8。的中點(diǎn).

(1)求證：BD〃平面4EF；

(2)在線段4E上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面4EF所成角的正弦值是乎?若存在，則

O

求出翌的值；若不存在，請說明理由.

AE

G空

A

【變式71]2.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-中，AA.1平面

乙

ABC,AA±=AC=BC^2,4cB=90°,D,E分另U是4Bi,CC1的中點(diǎn)

Q)求證:G。"平面&BE；

(2)求平面G&E與平面&BE所成二面角的正弦值；

(3)在棱CCi上是否存在一點(diǎn)P，使得直線PD與平面&BE所成角正弦值為彳?若存在，求出

P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式7-1J3.(2023?全國?高三專題練習(xí)施三棱柱71BC-4/?中AB1AC，平面ABC1

平面ABBiAi,平面1平面4CC1A1.

證明：平面；

(1)AAt1ABC

(2)在①A8=AC=1；②8G與平面4BB14所成的角為30。；③異面直線G。與所成

角的余弦值為手這三個條件中任選兩個，求二面角4-BCi—Bi的余弦值.

【變式7-1】4.(2020?全國?高三專題練習(xí)如圖在三棱柱X8C-4/iG中，四邊形,

8B1GC均為正方形，且A/11ZG,M為CG的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面ABC；

(2)求二面角B-MN-2的正弦值；

(3)設(shè)P是棱46上一點(diǎn)，若直線PM與平面MNBi所成角的正弦值為白，求翳的值

15

題型8二面角與動點(diǎn)問題

【例題8](2022秋?吉林長春?高二長春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱柱

ABC-A/iG中，441，底面ABC,AAr=BC=正AB=&AC,點(diǎn)M為反?！康闹悬c(diǎn).

(1)證明：4。111平面4/用；

(2)AC上是否存在點(diǎn)N，使二面角B--N的大小為％若存在，求震的值；若不存在，

4C/V

請說明理由.

B

【變式8-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖,在三棱柱ABC-4/iG中，AA.，平面

ABC,AAr=AC=BC^2,^ACB=90°,D,E分另U是4Bi,CC1的中點(diǎn).

(1)求證：6?！ㄆ矫?8E；

(2)求直線BC1與平面&BE所成角的正弦值；

(3)在棱CG上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PAB與平面4/E所成二面角為60。？若存在，

求出線段CP的長；若不存在，請說明理由.

ClBi

A

【變式8-1]2.(2022秋?北京西城?高三統(tǒng)考期中)如下圖，在三棱隹4BC-4/iG中，

CCr1底面ABC,AC=BC^2,AB=2或,CCX=4,M是棱CC;上一點(diǎn).

(1)求證：BC1AM.

(2)若M,N分別是CG,4B的中點(diǎn),求證：CNII平面ABiM.

(3)若二面角力-MB1一C的大小為：，求線段GM的長

4

題型9體積與動點(diǎn)問題

【例題9】(2023?山西忻州統(tǒng)考一模)如圖，在三棱柱4BC-481G中，「平面力,

D,E分別為棱AB,81cl的中點(diǎn),BC=2,AB=2痘,&G=4.

(1)證明：DE〃平面4CC14；

⑵若三棱錐力-&DC的體積為竽,求二面角。-A.C-4的余弦值.

【變式9-1](2023?全國?高二專題練習(xí))如圖直三棱桓4BC-&B1G中，乙4cB=90°,AC=

BC=^AAlt。是棱上的動點(diǎn).

⑴證明：DG1BC；

(2)若平面BDG分該棱柱為體積相等的兩個部分，試確定點(diǎn)。的位置，并求二面角4-BD-

題型10最值取值范圍問題

【例題10](2023秋?全國?高二期中)如圖，在三棱柱2BC-4/?中，底面是邊長為2

的等邊三角形，CCi=2,D,E分別是線段4&CG的中點(diǎn)，G在平面4BC內(nèi)的射影為D.

⑴求證：ArC1平面BDE；

(2)若點(diǎn)F為棱BiG的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到平面BDE的距離；

(3)若點(diǎn)F為線段BiG上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，求銳二面角F-BD-E的余弦值的取值范圍.

【變式10-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱MC—&B1G中，，底

面ABC,D為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)P為棱BBi上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),ABAC=^,BC=2,

AA1=2.

(1)求證：ADJ_平面BCC/i；

(2)求直線EC】與平面P4C所成角的正弦值的最大值

【變式10-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱4BC—4B1G中，BB.，平

面ABC,ABIBC,AA±=AB=BC=2.

(1)求證：BC]_L平面4/1。；

(2)點(diǎn)N在線段BBi上運(yùn)動，求&N與4C所成角的范圍.

【變式10-1】3.(2021秋?上海閔行?高二閔行中學(xué)?？计谥?如圖，為正六棱柱71BCDEF-

A^B-^C^D^E-^F^,底面邊長4B=a,高44]=h.

(1)若a=%，求異面直線BA和CFi所成角的大??；

(2)計(jì)算四面體BCD1&的體積(用a,無來表小)；

(3)若正六棱柱為一容器(有蓋)，目底面邊長a和高八滿足：2%+Ba=k(k為定值),

則當(dāng)?shù)酌孢呴La和高八分別取得何值時，正六棱柱的表面積與體積之比最??？

第二篇斜棱柱篇

題型11平行關(guān)系

【例題111(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-中，側(cè)面441GC，底

面力BC,AAr=A1C=AC2,AB=BC,S.AB1BC,。為AC的中點(diǎn).在BG上是否存在一

點(diǎn)E，使得OE〃平面44B?若不存在，說明理由；若存在,確定點(diǎn)E的位置.

B

【變式11-1】1.(2022秋?全國?高二專題練習(xí))棱柱4BCD-4/6%的所有棱長都等于

4,/.ABC=60°,平面4416。，平面ABC。,^ArAC=60°.

(1)證明：DB1AA1；

(2)求平面44/與平面的夾角的余弦值；

(3)在直線CCi上是否存在點(diǎn)P,使BP〃平面D&G?若存在，求出點(diǎn)P的位置.

【變式11-1】2.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖所示，已知在三棱柱-AB?中，

平面BBiCiC1平面AAiBiB,CB1BB1,AB=BC4,BBr=8,^ABBr=120°,M為AB

中點(diǎn)，N為中點(diǎn)

(1)試在線段BC上找一點(diǎn)P,使MP〃平面UN%；

【變式11-1】3.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，棱柱ABCD-AiBiCiDi的所有棱長

者B等于2,zABC和NAIAC均為60°,平面AAiQC，平面ABCD.

(1)求證：BD±AAi;

⑵在直線CQ上是否存在點(diǎn)P,使BPII平面DAiCi，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，

請說明理由.

B

【變式(2022春?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？计谀┤鐖D，在三棱由18C-

中，側(cè)面A&GC1底面ABC,A4i=A1CAC=2,AB=BC，且2B1BC,0為AC中點(diǎn).

(1)求直線&C與平面&4B所成角的正弦值；

(2)在8C]上是否存在一點(diǎn)E,使得。E〃平面若不存在，說明理由;若存在，確定點(diǎn)E的位置.

【例題12](2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱布4BC-44G中，底面是邊長為2

的等邊三角形，CG=2,D,E分別是線段4C,CG的中點(diǎn)，G在平面48c內(nèi)的射影為D.

求證：241c_L平面BDE.

【變式12-1](2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱aBC-A/iCi中，四邊形441cle

是邊長為4的菱形，A8=BC=VH，點(diǎn)D為棱AC上動點(diǎn)(不與A,C重合)，平面8道。與

棱41cl交于點(diǎn)E.

(1)求證：BBJ/DE；

(2)若竿=|,從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線AB與

平面歷8。￡所成角的正弦值.條件①：平面ABC_L平面44遙1。；條件②：乙4]4。=60°；條件

③：A-^B-y/TL.

題型13長度問題

【例題13】(2023?全國?高三專題練習(xí))在三棱柱ABM-DCN中,AM1平面4BCD,AB=

4。=2M,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)且DE1AB.

Q)證明：2N〃平面MEC；

(2)P為線段AM上一點(diǎn)，若二面角P-EC-。的大小為？,求AP的長.

O

卜，，、,**、

AEB

【變式13-1J1(2022?全國?高三專題練習(xí)如圖所示在三棱柱ABC-中AB=BC,

點(diǎn)4在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D,側(cè)面A&GC是邊長為2的菱形.

(1)若AABC是正三角形，求異面直線。/與BC所成角的余弦值；

(2)當(dāng)直線CBi與平面48當(dāng)公所成角的正弦值為手時，求線段BD的長.

A\

B

【變式13-1】2.(2022?高二課時練習(xí))如圖，在三棱柱XBC-中，28=AC=2,

D為BC的中點(diǎn)，平面BBiG。_L平面ABC.

(1)證明：AD1BB]；

(2)已知四邊形8B1GC是邊長為2的菱形，旦4B/C=60。，問在線段CC】上是否存在點(diǎn)E,

使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為卓,若存在，求出CE的長度，若不存在，請

說明理由.

題型14體積與距離問題

【例題14](2022?全國?高三專題練習(xí))在三棱柱ABC中,AB1BC，平面4CG&1

平面ABC,A4i=&C,E,F分別為線段4C,4/i的中點(diǎn).

(1)求證：EFLBC；

⑵若4B=BC=V2,直線A4與平面GEF所成角的正弦值為之,且乙＞30。，求三棱錐

O

G—&EF的體積.

【變式14-1]1.(2022?高二課時練習(xí))如圖，為正六棱柱TIBCDEF-,底

面邊長A8=a,=h.

(1)若a—h—2,求點(diǎn)％到平面BF1。的距離；

(2)計(jì)算四面體BCD/1的體積(用a、八來表示).

【變式14-1】2.(2023秋?高二單元測試如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形A1C1CA

為菱形，ZB1A1A=ZC1A1A=60°,AC=4,AB=2,平面ACC1A1L平面ABB1A1,Q在

線段AC上移動,P為棱AA1的中點(diǎn).

(1)若Q為線段AC的中點(diǎn)，H為BQ中點(diǎn)，延長AH交BC于D,求證：ADII平面BiPQ;

(2)若二面角Bi-PQ-Ci的平面角的余弦值為譽(yù)，求點(diǎn)P到平面BQBi的距離.

題型15線面角問題

【例題?全國高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱中，

15](2023?4BC-&B1GBC=CCt,AC=

ABr.

(1)證明：平面ABC11平面BCC/i；

⑵若8c=V2AC,AB=BiC,"B2=60°,求直線與平面2/停1所成角的正弦值.

【變式15-1]1.(2022?全國?模擬預(yù)測)如圖,在三棱柱XBC-481cl中，側(cè)面441cle1

底面ABC,A4BC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且4B=42,AA1=2,AA1AC=；,

OA+OC^0.

⑴證明：4。1平面ABC；

(2)求直線為C與平面BCG4所成角的正弦值.

B

【變式15-1】2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖,在三棱柱ABC-4/iG中，AC1

是的中點(diǎn).

BC,BrC1AB,AA1=AB=0,AC=1,z.BrAC=45",FAC

⑴證明:；

AC1BB1

⑵求B#與平面accMi所成角的正弦值.

【變式15-1]3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱柱中4BC—4/1G中，=13,AB=

8,BC=6,2BJ.BC,AB1=為AC中點(diǎn),平面他。_L平面ABC.

⑴求證：B]D_L平面ABC；

（2）求直線與平面AB】。所成角的正弦值.

【變式15-1】4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）在三棱柱43。-力/道1中，平面1平

面ABC，側(cè)面為菱形,zXBBi=,A±B1AC,AB=AC=2,E是AC的中點(diǎn).

（1）求證:ArB1平面A/。；

⑵點(diǎn)P在線段&E上（異于點(diǎn)4，E）,4P與平面4BE所成角為；，求詈的值.

4七月1

題型16二面角問題

【例題16】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱4BC-a/G中，平面"。出1平

面BCC/i,側(cè)面4CG4是邊長為2的正方形，C/=GC=2,8品1A.C,E、F分別為8C、

2/1的中點(diǎn)

(1)求證：BCr1EF

(2)求二面角2—FG-B的余弦值.

【變式16-1】1.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱-&B1G中,AB=AA.=

ArC=BC=2.

⑴求證：A^B1BrC；

⑵若AC=V2/力BBi=60。，點(diǎn)M滿足3前=2MQ,求二面角A-A1B1-M的余弦值.

【變式16-1]2.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-中,AB=BC,

AB^—B]C.

⑴證明：AC1B]B；

(2)若AB=BBi=2,A2=泥，4ABC=120°,求二面角A-BB1-C的余弦值.

小G

B

【變式16-1】3.(2023?全國?高二專題練習(xí)即圖在三棱柱48C-&B1G中AB=AC2,

D為BC的中點(diǎn)，平面B/GC，平面4BC.

(1)證明：AD1平面BBiGC；

(2)已知四邊形8B1GC是邊長為2的菱形，且N/BC=60。,求平面48c與平面26。所成角

的正弦值.

【變式16-1】4.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，在三棱由IBC-a/?中，側(cè)面4CG4是

矩形，4C=24=2,2C=3,乙41aB=120。，E,F分別為棱的中點(diǎn)，G為

線段CF的中點(diǎn).

(1)證明：&G〃平面AEF.

(2)求二面角4-EF-B的正弦值.

【變式16-1】5.(2023?廣東東莞??？既h口圖所示在三棱柱4BC-4/1。中，底面△ABC

是正三角形，側(cè)面44GC是菱形，點(diǎn)&在平面ABC的射影為線段力。的中點(diǎn)。，過點(diǎn)％,B,

。的平面a與棱&G交于點(diǎn)E.

⑴證明：四邊形BBiED是矩形；

(2)求平面AB/和平面B/E夾角的余弦值.

【變式16-1】6.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱4BC-4B1G中，&ABC是

邊長為2的正三角形，頂點(diǎn)&在底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)。，已知與底面ABC內(nèi)

所有直線所成角中的最小值為W,M為棱&G上一點(diǎn).

(1)求三棱錐&-48G的體積；

(2)若&G=3alM,求二面角4-BM-C的正弦值.

B

【變式16-1]7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC

是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是矩形，AB=A1B,N是B1C的中點(diǎn)，M是棱AA1上的中

點(diǎn)，HAA1±CM.

（1）證明：MNil平面ABC;

⑵若ABLA1B,求二面角A-CM-N的余弦值.

題型17線面角與動點(diǎn)問題

【例題17]（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-中，底面ABC是以

AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面A41GC為菱形，點(diǎn)占在底面上的投影為AC的中點(diǎn)D,

且4B=2.

（1）若M、N分別為棱AB、BiG的中點(diǎn)，求證：Bi"||平面CDN；

⑵求點(diǎn)C到側(cè)面的距離；

⑶在線段上是否存在點(diǎn)E使得直線DE與側(cè)面42B1B所成角的正弦值為乎?若存在，

請求出&E的長；若不存在，請說明理由.

故存在滿足條件的點(diǎn)E,且|&E|=（|4B|=1,

【變式17-1】1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱2BC-中，四邊形

44/iB是菱形,ABLAC,平面44//1平面ABC.

⑴證明：1B±C；

(2)已知乙4BBi=5,AB=AC=2,平面4/16與平面力B4的交線為1.在1上是否存在點(diǎn)P,

使直線與平面ABP所成角的正弦值為?若存在，求線段B/的長度；若不存在，試說明

理由

【變式17-1】2.(2023?全國?高二專題練習(xí)如圖在三棱柱2BC-4B1G中，平面1

平面ABC,AB=BC=2,/.ABC=120°,,^_ArB1AC,E是棱上的一點(diǎn).

(1)求證：1BiG；

⑵是否存在點(diǎn)E使得直線CE與平面BCGBi所成角的正弦值為嚼？若存在求出等的值；

bocA

若不存在，說明理由.

【變式17-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-A/G中，AC，平面

乙

AArBrB,ABBi=,AB=1,AC=AA1=2,D為棱的中點(diǎn).

(1)求證：AD1平面4Ci。；

(2)在棱BC上是否存在異于點(diǎn)B的一點(diǎn)E,使得DE與平面所成的角為？?若存在,求

O

出嬰的值若存在，請說明理由.

題型18二面角與動點(diǎn)問題

【例題18](2023?全國?高三專題練習(xí))在三棱柱ABC—A/iG中,=ArC=AA.=

2,AB1AC,。為BC的中點(diǎn).

(1)證明：4。_L平面4BC.

(2)已知AB==2,在線段ZG上(不含端點(diǎn))是否存在點(diǎn)Q,使得二面角Q-ArC-%

的余弦值為乎?若存在，確定點(diǎn)Q的位置，若不存在，請說明理由.

B

【變式18-1】1.(2023秋?高二單元測試)如圖，在三棱柱4BC-a/?中，△44C為

等邊三角形，四邊形44//為菱形，AC1BC,"=4,BC=3.

(1)求證：BC1平面ACBi；

(2)線段CC]上是否存在一點(diǎn)E，使得平面ABiE與平面ABC的夾角的正弦值為苧?若存在，

4

求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由.

【變式18-1】2.(2023?全國?高二假期作業(yè))在三棱由4BC-4/iG中，平面1平

面，側(cè)面為菱形是的中點(diǎn).

ABC&BiB4/ABB】=^,AB11AC,AB=AC=2,EAC

求證：平面。

(1)ArB1A/

(2)確定在線段&E上是否存在一點(diǎn)P，使得AP與平面所成角為與，若存在，求出言的

值;若不存，說明理由.

【變式18-1】3.(2023?全國?高二專題練習(xí)力］圖，已知在三棱柱ABC-A/iG中MiB=