2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型解讀與提分訓(xùn)練（全國版）

專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中數(shù)學(xué)中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見常用的性質(zhì)大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比1:1:忘"、“45。輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸，

常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學(xué)習(xí)中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，

有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常

用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等直內(nèi)接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分線模型...............................................................5

習(xí)題練模型一

...........................................................................................................................................8

例題講模型］

模型1.等直內(nèi)接等直模型

模型解讀

等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點為

原等腰直角三角形的斜邊中點，其他兩頂點落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。

模型證明

條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC,NBAC=90。，尸為底邊BC的中點，且NEPP=90。。

結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；?AE+AF=42AP；

⑤S=1S；⑥CE'BF'EF，

A匕尸r2ADC

（注意題干中的條件：/EPF=90。,可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦?。?/p>

證明：???等腰直角三角形ABC,ZfiAC=90°,點P是BC的中點.?.AP=JBP=PC=；2C,AP，BC

ZAPE+ZAPF=ZCPE+ZAPE=90°/.ZAPF=ZCPE同理可得：=X.C=45°,

AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,\'AB=AC,：.AE=FB；

又-NEP尸是直角，.?.她/>尸是等腰直角三角形，同理：易證AAB尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,：.AE+AF=拒AP。

AAPF=ACPE（ASA）,SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC>°

22222

?:AE=FB,CE=AF,ZJBAC=90°；CE+BF=AF+AE=EF

模型運用

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊8c的中點，點E,

廠分別在邊A3,AC上，AE=CF,則四邊形AEZm的面積為（）

例2.（2024?天津.模擬預(yù)測）如圖，已知中，AB^AC=6,/B4C=90。，直角/EPF的頂點尸是BC

中點，兩邊產(chǎn)區(qū)尸尸分別交AB、AC于點E、E當(dāng)NEPb在SBC內(nèi)繞頂點尸旋轉(zhuǎn)時（點￡不與42重合），

給出下列四個結(jié)論：@EPR是等腰三角形；②M為EF中點時，AM+PM=EF；③EF=AB；④△BEP

和一尸CF的面積之和等于9,上述結(jié)論中始終正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

例3.（23-24九年級上?四川內(nèi)江?期末）如圖，邊長為1的正方形A8CD的對角線AC,8。相交于點。，Z

MPN為直角，使點尸與點。重合，直角邊PM,PN分別與重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)NMPN,旋轉(zhuǎn)

角為0（0。＜。＜90。），PM,PN分別交AB,8C于E,F兩點，連接取交OB于點G,則下列結(jié)論：①EF

=&.OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4:③BE+BF=血OA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與△＜%?/的面積

3

之和最大時，⑤OG?BD=AE2+CF2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

例4.（23-24八年級上?山西呂梁?期末）綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板A3C中，ZBAC^90°,

AB=AC,D為8c的中點，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點放置于點。上，得到將NMEW繞點。

旋轉(zhuǎn)，射線ZW,DN分別與邊A3,AC交于E,尸兩點，如圖1所示.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)E,尸分別是A3,AC的中點時，試猜想線段。E與。歹的數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是.

（2）類比探究：如圖3,當(dāng)E,尸不是AB,AC的中點，但滿足3E=A尸時，判斷」）EF形狀，并說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：①如圖4,將NMDN繞點。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線QM,DN分別與AB,C4的延長線交于E,F

兩點，滿足=。砂是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；

②若在NMDN繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，射線。欣，ZW分別與直線AB,C4交于E,尸兩點，滿足BE=AF,

若AB=a,BE=b,則AE=（用含。，b的式子表示）.

模型2.等直+高分線模型

模型解讀

等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點作另一個底角平分線的垂線。

模型證明

A

條件：如圖，AABC中，ZABC=45°,<20，回于。，8E平分/ABC,且班，4。于￡,與CO相交于點

F,”是BC邊的中點，連接與8E相交于點G.

結(jié)論：①BF=AC；②CE=(BF；③ADG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤”=也.

2FC2

證明：CDVAB,BEVAC,:.ZBDC=ZADC=ZAEB=90。,

：.ZA+ZABE^90°,ZABE+ZDFB=90°,:.ZA=ZDFB,

ZABC=45°,NBDC為0。,ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,:.BD=DC,

ZBDF=ZCDA

在ABDF和kCDA中</A=/DFB,/.ABD尸思ACZM(AAS),BF=AC.

BD=CD

郎平分/ABC,ZAJ5C=45°,:.ZABE=ZEBC=22.5°

VBE1AC,.-.ZA=ZBG4=67.5°,:.BA=BC,BE上AC,AE=EC=-AC=-BF

22f

NBDC=9。。,BH=HC,:.ZBHG=90°,:./BDF=/BHG=90。,

ZABE=ZCBE=22.5°,ZBGH=ZBFD=67.5°,ZDGF=ZDFG=67.5°,

：.DG=DF,..ADG尸是等腰三角形.NBDF^CDA,:.DF=AD,.?.BC=AB=BD+AD=BD+DF,

sBD

BE平分點尸到AB的距離等于點尸到BC的距離，，$此=正，

-S^DF_DFBD+2_DF.DFBD???三角形BDC是等腰直角三角形，，生=些=工=也。

9

?S&BC「FCBD+2-而‘FC~BCFCBC722

模型運用

例1.（23-24九年級下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZABC=45°,于。，BE平分，ABC,

且3ELAC于E,與CD相交于點E5是2c邊的中點，連接DH與BE相交于點G,以下結(jié)論中：

①VABC是等腰三角形；@BF=AC；③BH:BD:BC=1：6：2;@GE2+CE2=BG2.

正確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

例2.（23-24八年級上.山東臨沂?期中）如圖，等腰RtZkABC中，AB=AC,/BAC=90。,ADL3C于點。,

/ABC的平分線分別交AC、AD于E、尸兩點，M為族的中點，40的延長線交BC于點N,連接ZW,

下列結(jié)論：?DF=DN；②ZXAFE為等腰三角形；③NN4C=22.5。；@AE=NC,其中正確結(jié)論有（）

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3.(23-24八年級?浙江杭州?階段練習(xí)汜知:如圖，ABC中，NASC=45。,CD工AB于D,BE平分ZABC,

且3ELAC于E,與C。相交于點K”是2c邊的中點，連結(jié)￡歸與8E相交于點G.(1)說明：BF=AC；

(2)說明：CE=^BF.(3)試探索CE,GE,3G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Z

BHC

例4.(23-24八年級上.廣東東莞?期末)如圖，等腰直角VABC中，ZCAB=90°,AC=AB,點、E為BC上

一點，于點M,交AC于點。，AHLCB于點H,交BD于點、G,連接。E,MH.

⑴若BE=54,求證：8。垂直平分AE；⑵若點E在線段C"上運動.

①請判斷CE與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：MH平分ZEMB.

一/

EHB

習(xí)題練模型

1.（23-24山東威海九年級上期中）已知VABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,。是A3邊的中點，點、E、

尸分別在AC、8C邊上運動，且保持AE=CF.連接。E、DF、E尸得到下列結(jié)論：①①跖是等腰直角

三角形；②△CEF面積的最大值是2；③的最小值是2.其中正確的結(jié)論是（）

C.①③D.①②③

2.（2024.廣東汕頭?二模）如圖，四邊形48C。為正方形，NCAB的平分線交BC于點E,將ABE繞點8

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到NCBF，延長AE交CV于點G,連接BG,OG與AC相交于點”.有下列結(jié)論:①5E=3

AFr-

②ZACF=NF；③BG,DG；?—=>/2,其中正確的結(jié)論有（）個

DH

C.3D.4

3.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖，等腰直角VABC中，NB4c=90。，ADIBC于點，,ABC的平分

線分別交AGAD于點E,F,M為EF中點"AM延長線交BC于點N,連接,下列結(jié)論：①=ON；

②FM+AM=6DM;③DM平分4MN；④SABM=SDBM；⑤MNBF=BDCN,其中正確結(jié)論的個數(shù)

A.2B.3C.4D.5

4.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，AABC中，ZABC=45°,CZ）_LAB于點。，BE平分/ABC,且8E_L

AC于點E,與CO交于凡〃是BC邊的中點，連接。”與8E交于點G,則下列結(jié)論：?BF=AC；②乙4

=NDGE；③CEVBG；④S*DC=S四邊形CEGH；⑤。G?AE=Z）C?EF中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2024?湖南長沙.一模）如圖，在ABC中，ZS4C=90°,AB=AC.點E是AC邊上的中點，連接BE,

將.ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ACD，延長8E交。C于點G,連接AG,過點A作AF，AG,交8G

于點現(xiàn)有如下四個結(jié)論：①ZAGD=45。；②EG:GC:FE=1:2:3；③FE-EG=GC；?SAADC=2SAAEF

6.（2024?江蘇淮安?三模）如圖，VA8C中，ZABC=45。，CD_LAB于。，8E平分NABC,且郎_LAC于

1S.BD

E,與8相交于點尸.下列結(jié)論：①BF=AC；②CE=^BF；③BD+DF=BC；@-AB^nt=—,其中

2、4BCF

正確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（2024?遼寧朝陽?模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABC3中，對角線AC,2。相交于點。，點E在BC邊上，且

CE=2BE,連接AE交80于點G,過點B作3尸，/1E于點F,連接。尸并延長，交8c于點過點。作

OPLOF交DC于占N,S四邊形M°NC=3,現(xiàn)給出下列結(jié)論：①器=：；②sin4。尸=士何；③。尸

4ACr310=*55

④OG=BG；其中正確的結(jié)論有（）

C.①②④D.①③④

8.（2024?黑龍江.二模）如圖，等腰直角三角形A3c中，ZBAC=90°,ADIBC于O,—ABC的平分線分

別交AC、AD于E、尸兩點，M為所的中點，延長AM交3c于點N,連接/N,AE.下列結(jié)論:①AE=AF；

②M2=創(chuàng)介3￡;③即是等邊三角形；④跖=AN;⑤四邊形AE/VF是菱形，正確結(jié)論的序號是（）

A.②④⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②④⑤

9.（23-24九年級上.江蘇南通.階段練習(xí)）如圖，已知VABC中，AB=AC=8,ABAC=90°,直角NEPb的

頂點尸是BC中點，兩邊PE、尸尸分別交AB、AC于點E、F,當(dāng)NEPb在VABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E

不與A、B重合），給出以下四個結(jié)論：?AE=CF-,②.是等腰直角三角形；③/邊形碼F=：SAABC；

@BE+CF=EF-⑤△BEP與△尸歹C的面積和無法確定.上述結(jié)論中始終正確的有（）

A.①②③B.①②⑤C,①③⑤D.②③④

10.（23-24九年級上.廣東河源?期中）如圖，在正方形ABCD中，A5=4,AC,3。相交于點。，E,尸分別

為邊BC,CD上的動點（點E,尸不與線段BC,CD的端點重合）且3E=CF,連接OEOF,EF.在點E,

尸運動的過程中，有下列四個結(jié)論：①.OE5始終是等腰直角三角形；②，。中面積的最小值是2；③至少

存在一個△￡</,使得△ECF的周長是4+2后；④四邊形OECF的面積始終是4.其中結(jié)論正確的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

11.（2024?重慶?中考模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角.ACB=90。，。是斜邊A3的中點，點。、E分別在直角

邊AC、上，且/DOE=90。，DE交OC于點、P.則下列結(jié)論：

⑴圖形中全等的三角形只有兩對;（2）VA8C的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍;⑶C￡>+CE=&OA;

（4）AD-+BE1=2OPOC.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.（23-24九年級上?遼寧丹東?期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,應(yīng)>相交于點。，點E在3C邊

上，且CE=2BE,連接AE交8。于點G,過點B作B尸，隹于點尸，連接。尸并延長，交BC于點過

9GE1

點、。作ONLOF交DC于點,N,S四邊形MONC=:，以下四個結(jié)論：?—=-;②正方形ABC。的面積為9；

4ACJJ

③OG=BG；④OF二空,其中正確的結(jié)論有（）

5

C.3個D.4個

13.（2024?黑龍江??？家荒＃┤鐖D，在面積為4的正方形ABCD中，。是對角線AC/。的交點，過點。作

射線。M,ON分別交Z?C,CD于點瓦/，且NEOF=90°,OC,E尸交于點G.下列結(jié)論：?VFOC^VEOB；

②VOGE:VFGC；③四邊形CEO歹的面積為1；④D尸+BE2=2OG.OC.其中結(jié)論正確的序號有（）

A.①②③B.①②

C.③④D.①②③④

14.（23-24八年級上.廣東茂名.期中）如圖所示，在等腰直角AABC中，點。為AC的中點，DEJ.DF,DE

交42于E,DF交BC于F,若AE=25EF=4,則BC的長是.

15.（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，。為AB中點，E、尸分別是

一個三角板與另一個三角板直角邊AC、BC的交點，已知AE=2,CE=5,連接。E,〃為8c上一點，且滿

足/CME=2/ADE,EM=

圖2

16.（23-24九年級上?陜西榆林?期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=2,對角線AC、BD交于點0,點E、

尸分別為邊BC、CO上的動點（不與端點重合），且BE=CF,連接OE、OF、EF,則線段跖的最小值

17.（2024.山東德州.二模）如圖，在等腰直角VABC中，ZACB=9Q°,尸是線段2C上一動點（與點3、C

不重合），連接AP,延長2C至點。，使得CQ=CP,過點。作于點a,交于點M.

（1）若/R4C=a,則ZAMQ=；（用含a的式子表示）；

⑵求證：AP=QW；（3）猜想線段與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

18.（23-24江蘇泰州八年級上期中）在一ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,將一塊三角板的直角頂點放在

斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點尸旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點、D、點、E,圖

①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形.

（1）觀察線段和尸￡之間有怎樣的大小關(guān)系,并以圖②為例，加以說明；（2）觀察線段C。、CE和之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并以圖③為例，加以說明;（3）把三角板繞P點旋轉(zhuǎn)，點E從C點沿射線CB方向移動,

△P3E是否構(gòu)成等腰三角形？若能，請直接寫出NPEB的度數(shù)；若不能，請說明理由.

19.（2023?山東荷澤?二模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1,正方形ABCD的對角線相交于點。，點。又是正方形ABC0

的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1,四邊形OEB尸為兩個正方形重疊部分，正方形A4G。可繞

點。轉(zhuǎn)動，則下列結(jié)論正確的是（填序號即可）.①△AEgABFO；?OE=OF；③四邊形/

的面積總等于“④連接砂，總有AE、C*E凡

【類比遷移】（2）如圖2,矩形A8CD的中心。是矩形AMG。的一個頂點，4。與邊相交于點區(qū)G。與

邊CB相交于點死連接E尸，矩形4耳。?？衫@著點。旋轉(zhuǎn)，猜想環(huán)之間的數(shù)量關(guān)系，并進行證

明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在Rt^ACB中，NC=90o,AC=3cm,BC=4cm,直角NED尸的頂點。在邊A3

的中點處，它的兩條邊。E和。尸分別與稟繾AC,8c相交于點E,F,NEDF可繞著點D旋轉(zhuǎn),當(dāng)AE=2cm

時，求線段政的長度.

專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中數(shù)學(xué)中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見常用的性質(zhì)大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比1:1:忘"、“45。輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸，

常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學(xué)習(xí)中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，

有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常

用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等直內(nèi)接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分線模型...............................................................5

習(xí)題練模型一

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例題講模型］

模型1.等直內(nèi)接等直模型

模型解讀

等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點為

原等腰直角三角形的斜邊中點，其他兩頂點落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。

模型證明

條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC,NBAC=90。，尸為底邊BC的中點，且NEPP=90。。

結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；?AE+AF=42AP；

⑤S=1S；⑥CE'BF'EF，

A匕尸r2ADC

（注意題干中的條件：/EPF=90。,可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦！）

證明：???等腰直角三角形ABC,ZfiAC=90°,點P是BC的中點.?.AP=JBP=PC=；2C,AP，BC

ZAPE+ZAPF=ZCPE+ZAPE=90°/.ZAPF=ZCPE同理可得：=X.C=45°,

AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,\'AB=AC,：.AE=FB；

又-NEP尸是直角，.?.她/>尸是等腰直角三角形，同理：易證AAB尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,：.AE+AF=拒AP。

AAPF=ACPE（ASA）,SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC>°

22222

?:AE=FB,CE=AF,ZJBAC=90°；CE+BF=AF+AE=EF

模型運用

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊8c的中點，點E,

廠分別在邊A3,AC上，AE=CF,則四邊形AEZm的面積為（）

90C.9D.60

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是

解題關(guān)鍵.連接4）,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AE=CF得出VADEHCC凡將四邊形AEZ萬的面

積轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接AT>,如圖:

點。是BC中點，AE=CF

：./BAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC：.NADE爾CDF,

,"S四邊形AEDF=S^AED+S^ADF=^ACFD+=*^AAZ>C=]*^AABC

又SABC=6x6x5=18S四邊形AEOF=^SABC=9故選：C

例2.（2024?天津?模擬預(yù)測）如圖，已知ABC中，AB^AC=6,ABAC=90°,直角NEPF的頂點尸是8C

中點，兩邊尸區(qū)尸尸分別交AB、AC于點E、F,當(dāng)/EPF在;ASC內(nèi)繞頂點尸旋轉(zhuǎn)時（點￡不與48重合），

給出下列四個結(jié)論：①,EPF是等腰三角形；②M■為EF中點時，AM+PM=EF；③EF=AB；④△BEP

和；PCF的面積之和等于9,上述結(jié)論中始終正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NW=/C=45。，AP=CP，根據(jù)等角的余角相等求出

ZAPE^ZCPF,然后利用“角邊角”證明和式竹全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

AE=CF,PE=PF,全等三角形的面積相等求出SEPB+S"C=SAPB，石廠隨著點E的變化而變化，EF不

一定等于A3,再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得=尸，PM=；EF,然后解答即可.

【詳解】解：：AB=AC,/"4C=90。，..ASC是等腰直角三角形，

:點P為8C的中點，/.ZBAP=ZC=45°,AP=CP,

,：/F,PF是直角，ZAPE+ZAPF=ZCPF+ZAPF=90°,ZAPE=ZCPF,

Z￡AP=ZC=45°

在△AEP和ACEP中，-AP=PC,△AEP絲△CFP(ASA),

/APE=ZCPF

:.AE=CF,PE=PF,S"E=S“F，是等腰三角形，故①正確；

=xx

S￡P(guān)B+SPPC=S4APB~=-—6x6=9,故④正確；

隨著點E的變化而變化，...所不一定等于AB,故③錯誤；

為政中點，ABAC=90°,/EPF=90°,：.AM=-EF,PM=~EF,

22

/.AM+PM=EF,故②正確；故①②④正確，故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明出

4AHpF是解決此題的關(guān)鍵.

例3.(23-24九年級上.四川內(nèi)江.期末)如圖，邊長為1的正方形ABC。的對角線AC,8。相交于點。，Z

MPN為直角,使點P與點。重合，直角邊PM,PN分別與OA,08重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)/MPN,旋轉(zhuǎn)

角為9(0°<0<90°),PM,PN分別交AB,8C于E,尸兩點，連接交于點G,則下列結(jié)論：①EF

=6.OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF=eOA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A8跖與ACOF的面積

3

之和最大時，AE=-；⑤OG?5Q=AE2+c尸.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()

4

AD

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】①由四邊形A8CQ是正方形，直角NMPN,易證得△3OE三/XCO產(chǎn)(ASA),則可證得結(jié)論；②

由①易證得S四邊形OEBF=SBo。=[S正方形，則可證得結(jié)論；?BE+BF=BF+CF=BC=y/2OA,故可得結(jié)

論；④首先設(shè)AE=尤，則班=CF=1—尤，BF=x,繼而表示出ZkBE尸與.CO廠的面積之和，然后利用二

次函數(shù)的最值問題，求得答案；⑤易證得△QEGAOBE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得

OGOB=OE\再利用03與3。的關(guān)系，OE與EF的關(guān)系，即可證得結(jié)論.

【詳解】解：①，四邊形ABC。是正方形，

??.OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,「.ZBOF+ZCOF=90°,

/EOF=90。,「.ZBOF+ZCOE=90°,/BOE=NCOF,

NBOE=ZCOF

在ABOE和CO分中，＜OB=OC,/.ABOE=/\COF(ASA),

/OBE=ZOCF

二.OE=OF,BE=CF,AEF=?OE,故正確；

②四邊形正方形

SO￡BF=SBOE+SB0E=SB0E+S.COF=SBOC=-SMC0，

?二S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1：4,故正確；?BE+BF=BF+CF=s/2OA，故正確；

④過點。作O"IBC,

BC=l,：.OH=-BC=~,設(shè)AE=x,則3E=CF=1—x,BF=x,

22

SBEF+SC0F+++：,

〃=—-■＜。，.,.當(dāng)X=:時，SBEF+SCOF最大；

24

即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△3EF與》CO尸的面積之和最大時，A￡=|,故錯誤；

4

⑤?.ZEOG=NBOE,ZOEG=NOBE=45°,

AOEG△O3E,OE:OB=OG:OE,；.OGOB=OE2,

iB

OB=-BD,OE=—EF,■-OGBD=EF2,

22

■?在△BEF中，EF2=BE2+BF-，EF2=AE2+CF2,■■OG-BD=AE~+CF2,故正確.故選C.

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三

角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題.注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

例4.(23-24八年級上.山西呂梁?期末)綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板ABC中，ABAC=90°,

AB=AC,。為5c的中點，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點放置于點。上，得到NMDV,將NMEW繞點。

旋轉(zhuǎn)，射線ZW,DN分別與邊A3,AC交于E,尸兩點，如圖1所示.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)E,尸分別是AB,AC的中點時，試猜想線段。E與。R的數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是.

(2)類比探究：如圖3,當(dāng)E,尸不是AB,AC的中點，但滿足=時，判斷/郎形狀，并說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：①如圖4,將繞點。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線A暇，EW分別與AB,C4的延長線交于E,F

兩點，滿足3E=A尸，_DEF是否仍然具有(2)中的情況？請說明理由；

②若在NMZW繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，射線DM,ON分別與直線AB,C4交于E,歹兩點，滿足BE=AF,

若AB=a,BE=b,貝!JAE7=（用含。，b的式子表?。?

【答案】Q）DE=DF,DE1DFC2）DEF是等腰直角三角形，理由見詳解

（3）①/）EF是等腰直角三角形，理由見詳解；②。+人或a-匕或

【分析】（1）根據(jù)題意易得3萬=。尸,3。=8,然后可證V3￡Z在VCFD,則問題可求證；（2）連接AD,

然后可證即/&FD,則有。E=DR,NAT不=進而問題可求解；（3）①連接AD,然后可證

ABED^AAFD,則有r>E=O￡ZADP=NBr）E,進而問題可求解；②根據(jù)①及（2）可直接進行求解.

【詳解】（1）解：連接A￡>,如圖所示：

VABAC=90°,AB=AC,。為3C的中點，

:.NB=NC=45o,BD=CD,AD1BC,△ABQ,A4CD都是等腰直角三角形，

,:E,尸分別是A3,AC的中點，

DE±AB,DF±AC,2ADE?ADF45?,DE=-AB,DF=-AC,

22

:.DE=DF,NEDF=90°,：.DELDF-,故答案為DE=DF,DELDF-,

（2）解：。砂是等腰直角三角形，理由如下：連接AD,如圖所示：

VZfiAC=90°,AB=AC,。為BC的中點，AZS=ZC=ZZMF=45°,AD=BD,AD1BC,

'：BE=AF,.BED^AFZ）（SAS）,/.DE=DF,ZADF=ZBDE,

VZADE+ZBDE=90°,：.ZADE+ZADF=90°,：.ED±DF,，勿即是等腰直角三角形；

（3）解：①,QEF仍然具有（2）中的情況，理由如下：連接AD,如圖所示：

E圖4

VABAC=90°,AB=AC,。為3C的中點,

AZABC=ZC=ZDAC=45°,AD=BD,NDIBC,

：./FAD=180°-ADAC,/EBD=180°-ZABC,ZFAD=ZEBD,

BE=AF,/.BED^.AFZ）（SAS）,；.DE=DF,ZADF=NBDE,

VZADF+ZBDF=90°,：.ZBDE+ZBDF=90°,：.ED±DF,是等腰直角三角形；

②由①和（2）可知：在NMDN繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，始終有ABED當(dāng)AAFD,

當(dāng)E,尸是AB,AC上的點，如圖3,VAB=a,BE=b,：.AE=AB-BE=a-b-,

當(dāng)射線。暇，分別與直線AB,C4交于E,尸兩點，如圖4,AE=AB+8E=a+%；

當(dāng)射線DM,DN分別與直線AB,C4交于E,尸兩點，如圖所示：AE=BE-AB=6-。

故答案為或或6—a.

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰直角三角

形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

模型2.等直+高分線模型

模型解讀

等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點作另一個底角平分線的垂線。

條件：如圖，AABC中，ZABC=45°,CD,鉆于。，8E平分/ABC,且況，47于￡,與8相交于點

F,H是BC邊的中點，連接￡羽與8E相交于點G.

結(jié)論：①BF=AC；②CE=2BF；③ADG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤”=理.

2FC2

證明：CDLAB,BEVAC,:.ZBDC=ZADC=ZAEB=90。,

」.NA+NAB石=90。，ZABE+ZDFB=90°f:.ZA=ZDFB,

ZABC=45°,/BDC=9U。,ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,:.BD=DC,

ZBDF=ZCDA

在ABDF和ACZM中</A=/DFB,/.ABO尸思ACZM(AAS),BF=AC.

BD=CD

助平分/ABC,ZABC=45°,:.ZABE=ZEBC=22.5°

VBEVAC,.\ZA=ZBG4=67.5°,，BA=BC,BE工AC,?.AE=EC=-AC=-BF

22f

NBDC=90。,BH=HC,..ZBHG=90。,ZBDF=ZBHG=90°,

ZABE=ZCBE=22.5°,ZBGH=ZBFD=67.5°,/.ZDGF=ZDFG=67.5°,

:.DG=DF,..AZX汨是等腰三角形.ABDF^ACDA,,\DF=AD,:.BC=AB=BD+AD=BD+DF,

SBD

助平分/ABC,點尸到AB的距離等于點尸到BC的距離，.?.渭也=正，

???源=。足血2二竺,??.空=些，?.?三角形BDC是等腰直角三角形，，空=變=2=也。

“FFCBD+2FCFCBCFCBC722

模型運用

例1.（23-24九年級下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZABC=45°,?！?gt;，45于￡>,BE平分/ABC,

且3ELAC于E,與CD相交于點片反是2C邊的中點，連接DH與BE相交于點G,以下結(jié)論中：

①VABC是等腰三角形；@BF=AC；③BH:BD:BC=1:拒：2;@GE2+CE2=BG2.

正確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】證明sAEBg.CEB可得AB=CB,即可判定①；證明/BCD=45。=NABC得到CD=3D,進而證

明△ACDgAEBD（ASA）得到AC=W,即可判斷②；利用三線合一定理和直角三角形的性質(zhì)得到

DH=CH=BH=；BC,DHLBC,進而利用勾股定理得到=,由此即可判斷③；如圖所示，連

接CG,證明△GHC/△GHB（SAS）,得至ljBG=CG,利用勾股定理即可證明G爐+CE?=8爐，即可判斷④.

【詳解】解：*/BE平分ZABC,：.ZABE=ZCBE,：BEVAC,：.ZAEB=ZCEB=90°,

又；BE=BE,：.^AEB學(xué)4CEB（ASZ，：?AB=CB,即VABC是等腰三角形，故①正確；

VZABC=45°,CD±AB,：.ZBDC=ZADC=90°,

：.ZBCD=180°-Z.BDC-ZABC=45°=ZABC,/.CD=BD,

,/ZCEF=ZBDF=90°,ZCFE=NBFD,/.ZACD=NFBD,

AAACD^Arar>(ASA),/.AC=BF,故②正確；

是3c邊的中點，==DH±BC,；.BD='。斤+BH?=&DH，

；?BH:BD:BC=DH:垃DH:2DH=1:0:2,故③正確；

如圖所示，連接CG,,:CH=BH,ZGHC=ZGHB=90°,GH=GH,

：.△GHC絲△GHB(SAS),；.BG=CG,

在Rt.ECG中，由勾股定理得GE2+CE2=CG2,AGE2+CE2=BG2,故④正確；故選A.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和

定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，靈活運用所學(xué)知識，通過證明三角形全等得到相應(yīng)的線段相

等，進而利用勾股定理得到結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

例2.（23-24八年級上?山東臨沂?期中）如圖，等腰RtZkABC中，AB=47,/84?=90。,4￡），3（7于點。,

—A3C的平分線分別交AC、AD于￡、尸兩點，M為族的中點，AM的延長線交8