2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長(zhǎng)與等邊內(nèi)接等邊模型解讀與提分訓(xùn)練（全國(guó)版）

專(zhuān)題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長(zhǎng)與等邊內(nèi)接等邊模型

等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨(dú)特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的?？?

并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專(zhuān)題將把等腰三角形的三類(lèi)重要模型作系

統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對(duì)它有個(gè)全面的了解與掌握。

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長(zhǎng)短手模型）..................................2

模型2.等邊截等長(zhǎng)模型（定角模型）...................................................5

模型3.等邊內(nèi)接等邊..................................................................7

習(xí)題練模型］

.........................................................................

例題講模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(長(zhǎng)短手模型)

模型解讀

帽子模型，其實(shí)是等腰三角形獨(dú)特性質(zhì)的應(yīng)用，因?yàn)槟Ｐ秃芟衩弊?，學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)也增加了趣味性。

模型證明

條件：如圖，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,結(jié)論：①DF=FE；②BC=2FG。

4

EE

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。AC交5c于X,則/陽(yáng)D=ZDHF=ZECF,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.NB=/BHD,ABD=DH,VCE=BD,：.DH=CE,

"NDHF=ZECF

在△力H尸和/\ECF中,<NDFH=NEFC.：.DHFRiECF（AAS）,:.DF=EF；

DH=EC

.DHF沿；ECF,:.FH=CF=、CH,VBD=DH,DGJLBC,：.BG^GH=-BH,

22

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,；.BC=2FG.

222

模型運(yùn)用

例1.(23-24八年級(jí)上?廣東中山?期末)如圖，ABC中，AB=AC,BC=10,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿線(xiàn)段

出移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿AC的延長(zhǎng)線(xiàn)移動(dòng)，并與點(diǎn)P同時(shí)停止.已知點(diǎn)P,。移動(dòng)

的速度相同，連接尸。與線(xiàn)段8c相交于點(diǎn)。(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A,8重合時(shí)的情況).

(1)求證：AP+AQ=2AB.(2)求證：PD=DQ.(3)如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PE于點(diǎn)E,在點(diǎn)P,。移動(dòng)的過(guò)程

中，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AA

例2.（24-25九年級(jí)上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究

問(wèn)題情境：在VABC中，AB=AC在射線(xiàn)AB上截取線(xiàn)段8。，在射線(xiàn)C4上截取線(xiàn)段CE,連結(jié)DE,DE

所在直線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M.

猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)。在邊A3的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)石作所〃45交BC于點(diǎn)尸，如圖①.若

BD=CE,則線(xiàn)段。欣、上”的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊A3的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在邊C4的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②.若BD=CE,判斷線(xiàn)段

DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊A3上（點(diǎn)Z）不與A、B重合），點(diǎn)E在邊。1的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③.若BD=1,

CE=4,DM=0.7,求EM的長(zhǎng).

例3.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為6的等邊AABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PEJ_AC于E,。為

8C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連尸。交AC邊于D當(dāng)孫=C。時(shí)，。石的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

例4.（2024?河南??？家荒＃﹩?wèn)題背景:已知在VABC中，邊AB上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)（與A,B不重

合），同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)（E不與C重合），連接DE交AC于點(diǎn)E點(diǎn)H是線(xiàn)段AF上

Ar

一點(diǎn)，求而的值.

（1）初步嘗試：如圖①，若VABC是等邊三角形，DHLAC,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)

Ar

可以過(guò)點(diǎn)D作。G//5C交AC于點(diǎn)G,先證G"=AH,再證Gb=C尸，從而求得"的值為

HF

（2）類(lèi)比探究：如圖②，若VABC中，ZABC=90°,ZADH=NBAC=30°,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是

"求而的值;

（3）延伸拓展：如圖③，若在VABC中，AB=AC,ZADH=ABAC^36°,記蕓=機(jī)，且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)

速度相等’試用含m的代數(shù)式表示而的值（直接寫(xiě)出結(jié)果’不必寫(xiě)解答過(guò)程）.

圖②

模型2.等邊截等長(zhǎng)模型（定角模型）

模型解讀

條件：如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)。，E分別在邊2C,AC±,S.AE=CD,8E與AD相交于點(diǎn)尸，BQ±AD

于點(diǎn)。.結(jié)論：①一ABE四_C4D；?AD=BE-③NBPD=60°；@BQ=2PQ.

模型證明

證明：在等邊三角形A3C中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在和.CAD中，＜NBAE=NC,AASE四△C4D（SAS）,：.AD=BE,NCAD-ABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQ±AD,：.ZPBQ=3Q°,：.BQ=2PQ.

模型運(yùn)用

例1.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，點(diǎn)。、E分別是等邊三角形ABC邊8C、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,

8E與AD交于點(diǎn)尸.求證：AD=BE.

E

F

C

BD

例2.（2024八年級(jí)?重慶?培優(yōu)）如圖，ABC為等邊三角形，且=CN,AM與相交于點(diǎn)尸，則NAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50。D.大小不確定

例3.（23-24八年級(jí)?廣東中山?期中）如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊3C、AC上，SLAE=CD,

班與AD相交于點(diǎn)尸，于點(diǎn)0.⑴求證：3E=A￡＞；（2）若尸。=4,求取的長(zhǎng).

例4.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊三角形ABC的AC,邊上各取一點(diǎn)尸，Q（均不與端點(diǎn)

重合），且AP=CQ,AQ,砰相交于點(diǎn)。，下列結(jié)論不正確的是（）

B.AP2=POPB

C.若AB=8,BP=1,則如=3D.若PC=mAP,BO=nOP,則〃=”/+機(jī)

模型3.等邊內(nèi)接等邊

模型解讀

模型證明

1）等邊內(nèi)接等邊（截取型）

條件：如圖1,等邊三角形A8C中，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AB,BC,CA上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足AO=8E=CF；

結(jié)論：三角形。E尸也是等邊三角形。

證明：：ABC是等邊三角形，：.ZA=ZB=ZC=^°,AB=BC=AC.

VAD=BE=CF,：.AF=BD=CE.

AF=BD,

在，ADF和BED中，\=ZB,AD0BED（SAS）,

AD=BE,

:.DF=DE.同理。尸=跖，ADF=DE=EF,__DEF是等邊三角形.

2）等邊內(nèi)接等邊（垂線(xiàn)型）

條件：如圖，點(diǎn)、P、M、N分別在等邊VABC的各邊上，且MP_LAB于點(diǎn)尸，M0_L3c于點(diǎn)M,PN1.AC

于點(diǎn)N,結(jié)論：三角形。EF也是等邊三角形。

證明：.是等邊三角形，，NA=ZB=NC=60。，

MPLAB,NM±BC,PN±AC,ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

ZPMB=ZMNC=ZAPN=30°,ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,.?.△PMN是等邊三角形，

模型運(yùn)用

例1.（2024七年級(jí)下?成都?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，過(guò)等邊三角形.ABC的頂點(diǎn)A、B、C依次作AB、BC、AC

的垂線(xiàn)MG、MN、NG,三條垂線(xiàn)圍成。腦VG,若AM=2,則JWNG的周長(zhǎng)為（）

A.12B.18C.20D.24

例2.（24-25九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC,點(diǎn)A,鳥(niǎo)，6分別為邊ARBC,CA

上的黃金分割點(diǎn)（A片<2片，BP2<CP2,CPi<APi）,連接4鳥(niǎo)，P2P3,PtP3,我們稱(chēng)鳥(niǎo)鳥(niǎo)為VABC的“內(nèi)

含黃金三角形”,若在VA3C中任意取點(diǎn)，則該點(diǎn)落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是.

例3.（23-24八年級(jí)下.廣東云浮.期中）如圖，點(diǎn)、P,M,N分別在等邊三角形A3C的各邊上，且

于點(diǎn)尸，NM1BC于點(diǎn)、M,尸NLAC于點(diǎn)N.（1）求證：一是等邊三角形；（2）若AB=15cm,求BP的長(zhǎng).

例4.（2023?廣西?中考真題）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)，E,尸分別在邊AB,BC,CA

上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足A￡）=3E=CF.（1）求證：ADF%.BED；（2）設(shè)AD的長(zhǎng)為x,DE尸的面積為y,求y關(guān)于

尤的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述，?！陸?hù)的面積隨AD的增大如何變化.

A

D

習(xí)題練模型

1.（23-24九年級(jí)上.山西晉中?階段練習(xí)）如圖，VABC是等邊三角形，點(diǎn)。，E分別在2C,AC上，且

BD:DC=2:1,CE:AE=2A,8E與AD相交于點(diǎn)孔則下列結(jié)論：①/AEE=60。，@CE2=DFDA,

③AQBE=AE-AC.其中正確的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

2.（2024廣東九年級(jí)二模）如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)P,。分別是AC,BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（都不與線(xiàn)

段端點(diǎn)重合），SLAP=CQ,A。、8尸相交于點(diǎn)。.下列四個(gè)結(jié)論：①若PC=2AP,貝|8O=6OP；②若BC=8,

BP=7,則PC=5；③A/=OPAQ；④若AB=3,則。C的最小值為石，其中正確的是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

3.（2024?廣西?一模）如圖，在等邊一ABC中，AB=3,點(diǎn)。，E分別在邊BC,AC_L,S.BD=CE,連接

AD,BE交于點(diǎn)F,在點(diǎn)。從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）

4.（23-24八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZACS=90。,AC=3C,點(diǎn)尸在邊A3上，

點(diǎn)。在邊AC上，連接。尸并延長(zhǎng)。尸交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接C尸，且CF=FD,過(guò)點(diǎn)A作AGLCb于

點(diǎn)G,AG交ED于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)8作即7,CP交CP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,以下四個(gè)結(jié)論中：

?AG=CH-②A(yíng)D=BE；③當(dāng)NBG〃=45。時(shí)，2BH-EF=FG；@ZCAG=ZCEF.正確的有（）

個(gè).

A.1B.2C.3D.4

5.（2023?福建莆田?一模）如圖，一ABC和△3DE都是等邊三角形，將△&）￡先向右平移得到.G",再繞

頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得點(diǎn)尸，“分別在邊A3和AC上.現(xiàn)給出以下兩個(gè)結(jié)論：①僅已知一至。的周長(zhǎng)，就

可求五邊形DEC止的周長(zhǎng)；②僅已知一AFH的面積，就可求五邊形的面積.下列說(shuō)法正確的是（）

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確C.①②均正確D.①②均錯(cuò)誤

6.（23-24九年級(jí)上?北京昌平?期末）如圖，VABC是等邊三角形,D,E分別是AC,2C邊上的點(diǎn)，且AT>=CE,

連接3D,AE相交于點(diǎn)F則下列說(shuō)法正確的是（）

AT）1Ap1

①△ABD/CAE；②ZBFE=60。；③AAFBs^ADF；④若——=一，則——=-

AC3BF2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.（23-24九年級(jí)上?四）\I達(dá)州?期末）如圖，4ABC是等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，且=CE,AD

與仍相交于點(diǎn)P.若AF=7,DF=1,貝舊力BC的邊長(zhǎng)等于（）

A

E

A.757-72B.病-&C.V58+V2D.V57+V2

8.（23-24八年級(jí)上.湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）如圖所示，過(guò)等邊VABC的頂點(diǎn)A,B,C依次作AB,BC,C4的

垂線(xiàn)A/G,MN,NG,二條垂線(xiàn)圍成一MNG,已知CG=4cm,貝的周長(zhǎng)是cm.

9.（23-24天津九年級(jí)上期中）如圖，點(diǎn)RE,廠(chǎng)分別在正三角形ABC的三邊上，且AZ）E5也是正三角形.若

AABC的邊長(zhǎng)為。，ADEF的邊長(zhǎng)為6,則AAEF的內(nèi)切圓半徑為.

10.（2024?甘肅金昌?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角VABC中，/A=90。,AB=AC=40,E為A3的中點(diǎn)，F(xiàn)

為AC上一點(diǎn)，連接E尸并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，若則￡>￡的長(zhǎng)為_(kāi)____.

4

A

E

RD

11.（23-24八年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為。的等邊VA3C的邊A3上一點(diǎn)P,作PELAC于

E,。為3C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)PA=C。時(shí)，連PQ交AC邊于。，則DE的長(zhǎng)為.

12.（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC,BC邊上各取一點(diǎn)尸，Q,使AP=C0,AQ,BP

相交于點(diǎn)。.若2。=6,PO=2,則AP的長(zhǎng)，AO的長(zhǎng)分別為.

13.（23-24八年級(jí)上?上海浦東新?期末）如圖，在等邊VA3C的AC,BC上各取一點(diǎn)D,E,使AD=CE,

AE,相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)AE的垂線(xiàn)3",垂足為H.若BE=2EC=4,則MH的長(zhǎng)為.

14.（2023?遼寧鞍山?一模）如圖，在三角形A3C中，AB=AC,/84C=6O。，AD=CE,AE與相交

于點(diǎn)E若EF=4,則E到所的距離為.

15.（23-24九年級(jí)下.河南商丘?階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】

數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1,在等邊三角形A8C中，點(diǎn)。，E分別在A(yíng)C,2C邊上，AE,

交于點(diǎn)/，且AD=CE.

（1）線(xiàn)段AE,的數(shù)量關(guān)系為，N3EE的度數(shù)為.

【類(lèi)比探究】老師繼續(xù)提出問(wèn)題，若改變VABC的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？

同學(xué)們根據(jù)老師的提問(wèn)畫(huà)出圖形，如圖2,VA3C是等腰直角三角形，/ABC=90。，點(diǎn)。，E分別在A(yíng)C,

BC邊上,AE,BD交于點(diǎn)、F,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，想要類(lèi)比（1）中的探究過(guò)程得出結(jié)論，還需要確定線(xiàn)段AD,

CE的數(shù)量關(guān)系.

（2）請(qǐng)先將條件補(bǔ)充完整：線(xiàn)段AO,CE的數(shù)量關(guān)系為；再根據(jù)圖2寫(xiě)出線(xiàn)段AE,8。的數(shù)量關(guān)

系和/BFE的度數(shù)，并說(shuō)明理由.

【拓展探究】（3）如圖3,VA8C是等腰直角二角形，AB=4,若點(diǎn)。沿AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是射線(xiàn)8上

一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AE,BD交于點(diǎn)F,在（2）的條件下，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。沿AC邊從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C（與點(diǎn)C重合）

時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中C尸長(zhǎng)的最大值和最小值.

16.（2023?浙江杭州?二模）如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)。，E分別是邊3C,C4上的點(diǎn)，且8。=。石,

連結(jié)AO,BE交于點(diǎn)尸.⑴求證：ABE^CAD；（2）連接CP,若CPLAP時(shí)，①求的值;

②設(shè)VABC的面積為耳，四邊形皿石的面積為$2,求包的值.

S1

AEC

17.（23-24九年級(jí)下?上海寶山?階段練習(xí)）如圖（1）,已知&ABC是等邊三角形，點(diǎn)。、E、尸分別在邊A3、

BC、C4上，且21=32=13.（1）試說(shuō)明△DEF是等邊三角形的理由.

⑵分別連接3尸，DC,8廠(chǎng)與DC相交于。點(diǎn)（如圖（2））,求N30。的大小.

（3）將△/）跖繞/點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到圖（3）,AP與BC平行嗎？說(shuō)明理由.

圖⑴

18.（23-24八年級(jí)下.遼寧沈陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）VABC中（AB>AC）,點(diǎn)。是BC邊中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)交AB邊

于點(diǎn)M,交AC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,且AM=AN.（1）如圖①，當(dāng)44c=60。時(shí)，求證：DN-DM=CN；

（2）如圖②，當(dāng)NR4C=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段。N,DM,CV的數(shù)量關(guān)系.

19.（2024.廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)、D,E,歹分別在邊AB,BC,CA

上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足40=座=。尸.（1）求證：ADF^BED；（2）設(shè)AD的長(zhǎng)為無(wú)，DEF的面積為》求y關(guān)于

》的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述，/）￡戶(hù)的面積隨AO的增大如何變化.

20.（23-24山東八年級(jí)上期中）問(wèn)題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題:

（4）

①如圖（1）,在正44BC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)。，若NBON=60。，則

=CN；②如圖（2）,在正方形ABC。中，M、N分別是C。、上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)O,若NBON

二90。，則BAf=CN.

然后運(yùn)用類(lèi)似的思想提出了如下命題：③如圖（3）,在正五邊形A8CQE中，M、N分別是CZ）、￡>￡上的點(diǎn)，

與CN相交于點(diǎn)O,若/BON=108。，則8M=CN.

任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從①②③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索；

①在正力（?>3）邊形A8COEF…中，M、N分別是C￡>、OE上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)O,試問(wèn)當(dāng)/BON

等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立（不要求證明）；

②如圖（4）,在正五邊形A2CDE中，M.N分別是?！闍E上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)O,/BON=108。

時(shí)，試問(wèn)結(jié)論8M=CN是否成立.若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（23-24九年級(jí)?四川綿陽(yáng)?期末）小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材的一個(gè)習(xí)題做如下探究：

【習(xí)題回顧工如圖，在等邊三角形ABC的AC、3c邊上各取一點(diǎn)P,。使AP=C。，AQ,BP相交于點(diǎn)。,

求480。的度數(shù).請(qǐng)你解答該習(xí)題.

【拓展延伸】：（1）如圖1,在等腰的AC,BC邊上各取一點(diǎn)P,Q,使AP=CQ,成平分/ABC,

AQ=42,ABAC=90°,求8尸的長(zhǎng).小明的思路：過(guò)點(diǎn)A作AG3c交3尸延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,證明

△AQCmXGPA、…

AR1

（2）如圖2,在Rt^ABC的AC,3c邊上各取一點(diǎn)尸、Q,使CQ=2AP,BP平分/ABC,—

ZBAC=90°,求A。BP的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你解答小明提出的問(wèn)題.

22.（23-24八年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）如圖：VABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，

由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（尸與點(diǎn)A、C不重合），點(diǎn)。同時(shí)以點(diǎn)尸相同的速度，由點(diǎn)8向CB延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)

。不與點(diǎn)3重合），過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)E,連接尸。交A3于點(diǎn)。.

A

（1）若設(shè)"的長(zhǎng)為x,則PC=,QC=

（2）當(dāng)NBQD=30。時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)P,。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段即的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.（2023?河南開(kāi)封?一模）教材呈現(xiàn)：如下為華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第65頁(yè)的部分類(lèi)容.

做一做：如圖，已知兩條線(xiàn)段和一個(gè)角，以長(zhǎng)的線(xiàn)段為已知角的鄰邊，短的線(xiàn)段為已知角的對(duì)邊，畫(huà)一個(gè)

三角形.把你畫(huà)的三角形與其他同學(xué)畫(huà)的三角形進(jìn)行比較，所畫(huà)的三角形都全等嗎?此時(shí)，符合條件的角形

有多少種？

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,通過(guò)作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)（即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等）的兩個(gè)三角形

全等.（填“一定”或“不一定”）

（2）【探究證明】已知：如圖2,在VABC和DEF中，ZB=ZE,AC=DF,ZC+ZF=180°（ZC<ZF）.

求證：AB=DE.證明：在BC上取一點(diǎn)G,使AG=AC.請(qǐng)補(bǔ)全完整證明過(guò)程：

（3）【拓展應(yīng)用】在VABC中，=AC,點(diǎn)。在射線(xiàn)54上，點(diǎn)E在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，^,BD=CE,連接DE,

DE與邊所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作3c交直線(xiàn)2c于點(diǎn)若3c=4,CF=1,則

.（直接寫(xiě)出答案）

圖1

圖2

24.（2023九年級(jí)上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖1,在等腰VABC中，A3=AC=6,3C=1。，點(diǎn)E是射線(xiàn)創(chuàng)

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊2C上的動(dòng)點(diǎn)，且BD=DE,射線(xiàn)。E交射線(xiàn)C4于點(diǎn)?

⑴求證：ABCsDBE；（2）連接A￡>,如果△AED是以AE為腰的等腰三角形，求線(xiàn)段9的長(zhǎng)；

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，連接若NBFD=NACE,線(xiàn)段8。的長(zhǎng)為

25.（2024?陜西渭南?一模）【問(wèn)題提出】（1）如圖1,4〃，2,A、。在乙上，B、C在4上，AB//CD,若AB=5,

則CO的長(zhǎng)為；

【問(wèn)題探究】（2）如圖2,已知VABC是等邊三角形，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE,連接

AD、BE.求證：BE=AD；

【問(wèn)題解決】（3）如圖3是某公園一塊四邊形空地ABCD,其中AD〃臺(tái)C,3c=400米，C￡>=390米，

tanC=2.4,P、。分別在A(yíng)B、CD上，SLDP=AD,PQ是平行于2C的一條綠化帶，E、尸是線(xiàn)段PQ上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），砂=100米，M在線(xiàn)段。P上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且保持。心=尸產(chǎn)，管理

人員計(jì)劃沿3EAM鋪設(shè)兩條筆直的水管，為了節(jié)省費(fèi)用，公園負(fù)責(zé)人要求這兩條水管的長(zhǎng)度之和（即

BE+AM的值）最小，求這兩條水管的長(zhǎng)度之和的最小值.（綠化帶、水管寬度均忽略不計(jì)）

專(zhuān)題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長(zhǎng)與等邊內(nèi)接等邊模型

等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨(dú)特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的?？?

并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專(zhuān)題將把等腰三角形的三類(lèi)重要模型作系

統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對(duì)它有個(gè)全面的了解與掌握。

例題講模型

.......................................................................................................................................................20

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長(zhǎng)短手模型）.................................20

模型2.等邊截等長(zhǎng)模型（定角模型）..................................................26

模型3.等邊內(nèi)接等邊.................................................................30

習(xí)題練模型一

例題講模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長(zhǎng)短手模型）

模型解讀

帽子模型，其實(shí)是等腰三角形獨(dú)特性質(zhì)的應(yīng)用，因?yàn)槟Ｐ秃芟衩弊樱瑢W(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)也增加了趣味性。

模型證明

條件：如圖，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,結(jié)論：①DF=FE；②BC=2FG。

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。AC交5c于X,則/陽(yáng)D=ZDHF=ZECF,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.NB=/BHD,ABD=DH,VCE=BD,：.DH=CE,

"NDHF=ZECF

在△力H尸和/\ECF中,<NDFH=NEFC.：.DHFRiECF（AAS）,:.DF=EF；

DH=EC

.DHF沿；ECF,:.FH=CF=、CH,VBD=DH,DGJLBC,：.BG^GH=-BH,

22

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,；.BC=2FG.

222

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上?廣東中山?期末）如圖，ABC中，AB=AC,BC=10,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿線(xiàn)段

出移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿AC的延長(zhǎng)線(xiàn)移動(dòng)，并與點(diǎn)P同時(shí)停止.已知點(diǎn)P,。移動(dòng)

的速度相同，連接尸。與線(xiàn)段8c相交于點(diǎn)。（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A,8重合時(shí)的情況）.

AA

(1)求證：AP+AQ=2AB；(2)求證：PD=DQ.(3)如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PELBC于點(diǎn)E,在點(diǎn)P,。移動(dòng)的過(guò)程

中，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析⑶即為定值5,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段的和差，

準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)找出全等三角形是解題關(guān)鍵.

(1)利用P、。的移動(dòng)速度相同，得到CQ=M,利用線(xiàn)段間的關(guān)系即可推出AP+AQ=2"；(2)過(guò)點(diǎn)

尸作P尸〃AC,交BC于點(diǎn)F,利用等邊對(duì)等角結(jié)合己知可證，尸如絲.QCD(AAS),即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作P尸〃AC,交BC于點(diǎn)尸，由(2)得PB=PF,可知為等腰三角形，結(jié)合FD=CD,

可得出=即可得出ED為定值.

【詳解】(1)證明：P、。的移動(dòng)速度相同，...CQ=P8,

AB=AC,AP+AQ=AB-PB+AC+CQ=2AB.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸尸〃AC,交BC于點(diǎn)、F,

PF//AC,：./PFB=ZACB,ZDPF=ZDQC,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.ZB=ZPFB,:.BP=PF,由(1)得BP=CQ,PF=CQ,

ZPDF=ZQDC

在與，。CQ中，\ZDPF=ZDQC,..eCD(AAS),:.PD=DQ;

PF=CQ

（3）解：即為定值5,理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸尸〃AC,交BC于點(diǎn)F,

由（2）得：尸2=尸尸，.?.△PSP為等腰三角形，

PE1BC,;.BE=EF,由（2）得八PFD冬八QCD,：.FD=CD,

:.ED=EF+FD=^BF+^CF=^（BF+CF）=^BC=5,二ED為定值5.

例2.（24-25九年級(jí)上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究

問(wèn)題情境：在VABC中，AB=AC,在射線(xiàn)A3上截取線(xiàn)段在射線(xiàn)C4上截取線(xiàn)段CE,連結(jié)￡>E,DE

所在直線(xiàn)交直線(xiàn)2C于點(diǎn)M.

猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)。在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作砂〃AB交2C于點(diǎn)凡如圖①.若

BD=CE,則線(xiàn)段。暇、的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊A3的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在邊C4的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②.若BD=CE,判斷線(xiàn)段

DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊A3上（點(diǎn)。不與A、8重合），點(diǎn)E在邊C4的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③.若3￡>=1,

CE=4,DM=0.1,求府的長(zhǎng).

【答案】（1）DM=EM-（2）DM=EM,理由見(jiàn)解析；（3）EM=2.8

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作跖〃AB交BC于點(diǎn)兒證明，瓦加f烏FEM（AAS）即可得解；

（2）過(guò)點(diǎn)￡作砂〃AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)片證明BDMZaEaaAAS）即可得解；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)孔證明BDM^.-.FEM,由相似三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）解：DM=EM,理由如下：過(guò)點(diǎn)石作跖〃相交2C于點(diǎn)足

圖①

VAB=AC,:.ZABC=ZC,VEF//AB,:.ZEFC=ZABC,:.NEFC=NC,:.EF=CE

BD=CE;.BD=EF,VEF//AB,：.ZMEF=ZD,

ND=NMEF

在aBDM和AFEM中，,ZBMD=NFME,：.BDM-FEM（AAS），,DM=EM；

BD=EM

（2）解：DM=EM

理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作砂〃AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)凡

AB=ACZ.ABC—Z.CZ.EFC—/CEF=CEBD=CE/.BD=EF

ZEFM=/DBM

在SDM和AFEM中，,NBMD=ZFME,/.BDMgFEM(AAS),DM=EM；

BD=EF

（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作所〃AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸

VEF//AB,:.ZF=ZABCAB=AC:.ZABC=ZC:.ZF=ZC

CE=4:.EF=CE=4QBD〃EFBDM^FEM—

MEFE

0.71

DM=0.7,EF=4,BD=1,-----=—EM=2.8.

ME4

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平

行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵.

例3.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為6的等邊的邊A3上一點(diǎn)尸，作尸于E,。為

5C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連尸。交AC邊于O,當(dāng)B4=C。時(shí)，的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意過(guò)P作BC的平行線(xiàn)，交AC于M；則AAPM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，

PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)知AE=EM；易證得APMD也ZkQCD,則DM=CD；此

時(shí)發(fā)現(xiàn)DE的長(zhǎng)正好是AC的一半，由此得解.

【詳解】解：過(guò)P作PM〃:BC,交AC于M,

ABC是等邊三角形，且PM〃BC,.「△APM是等邊三角形;

又YPELAM,.\AE=EM=1AM;（等邊三角形三線(xiàn)合一）

VPM/7CQ,；./PMD=/QCD,ZMPD=ZQ；

ZPDM=ZQDC

又：PA=PM=CQ,在A(yíng)PMD和AQCD中，＜ZPMD=ZQCD,

PM=QC

/.APMD^AQCD(AAS)；；.CD=DM=；CM；

.,.DE=DM+ME=y(AM+MC)=3AC=3.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構(gòu)建出等邊

三角形AAPM是解答此題的關(guān)鍵.

例4.(2024?河南??？家荒?問(wèn)題背景：已知在VABC中，邊AB上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重

合)，同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)H是線(xiàn)段AF上

一點(diǎn)，求黑的值.

HF

(1)初步嘗試：如圖①，若VABC是等邊三角形，DHLAC,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)

可以過(guò)點(diǎn)D作￡>G〃3C交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證Gb=CF,從而求得寸的值為_(kāi)_______；

HF

(2)類(lèi)比探究：如圖②，若VABC中，ZABC=90°,ZADH=ZBAC=30°,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是

AC

61,求煞的值；

(3)延伸拓展：如圖③，若在VA3C中，AB=AC,ZADH=ABAC=36°,記??；=根，且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)

AC

速度相等，試用含m的代數(shù)式表示會(huì)的值（直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)解答過(guò)程）.

HF

m

【詳解】解:(1)2；

【解法提示】如解圖①,過(guò)點(diǎn)D作。G3c交AC于點(diǎn)G,

圖③

AABC是等邊三角形，，AAGD是等邊三角形,

AD=GD,由題意知CE=AT>,:.CE=GD,

,：DGBC,，Z.GDF=ZCEF,

ZGDF=ZCEF

在dGDF與ACEF中,<ZGFD=ZEFC,AGDF^ACEF(AAS),：.CF=GF,

CE=GD

VDHLAG,:.AH=GH,：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),HF=GH+GF,：.—=2；

HF

(2)如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作。GBC交AC于點(diǎn)G,則ZADG=ZA8C=90,

VZBAC^ZADH=30,：.AH=DH,NGHD=NBAC+ZADH=6。，

ZHDG=ZADG-ZADH=60,.?.△DGH為等邊三角形，GD=G"=D"=AH,A￡>=GDtan60=^GD.

由題意可知，AD=ACE.:.GD=CE.'：DGBC,ZGDF=ZCEF.

ZGDF=ZCEF

在，GDF與ACEF中，<NGFD=NEFC,：._GDF^CEF(AAS),：.GF=CF.

CE=GD

1AC

GH+GF=AH+CF,HF^AH+CF,：.HF=-AC=2,即——=2；

2HF

A「yyi_1_1

(3)黑="二如解圖③，過(guò)點(diǎn)D作。GBC交AC于點(diǎn)G,

HFm

易得AD=AG,AD=EC,ZAGD=ZACB.

在VABC中，VZBAC=ZADH=36,AB=AC,

:?AH=DH,ZACB=/B=72,ZGHD=ZHAD+ZADH=72,ZAGD=ZGHD=72,

?:Z.GHD=/B=ZHGD=ZACB,AABC^ADGH.

BCGH

-----=m,：.GH=mDH=mAH.由△ADG^AABC可得些=生二"=

ACDHADABAC

FG_GDGD

?.?DGBC,---二m.FG=mFC.

~FC-ECAD

：.GH+FG=m(AH+FC)=m(AC—HF),^HF=m(AC-HF)..?.止

HFm

模型2.等邊截等長(zhǎng)模型（定角模型）

模型解讀

條件：如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)O,E分別在邊BC,AC±,S.AE=CD,8E與AD相交于點(diǎn)P,BQ±AD

于點(diǎn)2.結(jié)論：①ABE^CAD-,?AD=BE；③/9工＞=60。；?BQ=2PQ.

模型證明

證明：在等邊三角形A3C中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在」.ABE和CAD中，＜NBAE=ZC,AASE絲△C4D(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQ1AD,：.ZPBQ=3Q°,：.BQ=2PQ.

模型運(yùn)用

例1.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖，點(diǎn)。、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，且8D=CE,

班與AD交于點(diǎn)尸.求證：AD=BE.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出"=BC,

ZABD=/BCE=60。,然后根據(jù)SAS證明一ABD也一BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：：ABC是等邊三角形，AAB=BC,ZABD=NBCE=60。,

又BD=CE,：.AABD^ABCE(SAS),:.AD=BE.

例2.(2024八年級(jí).重慶?培優(yōu))如圖，ABC為等邊三角形，且3M=CN,AM與M相交于點(diǎn)P,則ZAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50°D.大小不確定

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，先證明

△ABM^ABCTV(SAS),得到ZBAM=NCBN,在三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】：等邊，ABC，:.BC=CA=AB,?BCN?CAB?ABC60?,

AB=BC

?：<AABM=ZBCN,：.AABM^ABGV(SAS),:.NBAM=/CBN,

BM=CN

V?APN?ABP?BAM,：.1APN2ABp?CBN?ABM60?,故選B.

例3.（23-24八年級(jí)?廣東中山?期中）如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)E分別在邊3C、AC上，且AE=CD,

班與AD相交于點(diǎn)尸，于點(diǎn)。.⑴求證：BE=AD；⑵若PQ=4,求8尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）8

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.（1）證明，ABE會(huì)二CW即可得證；

（2）求出NPBQ=3。。，再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：為等邊三角形，；.A5=AC,ZBAC=ZC=60°,

AB=AC

在，A