2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：相似模型之母子型（共邊共角）模型解讀與提分訓(xùn)練（全國版）

專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解

模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

............................................................................1

模型L“母子型,，模型（共邊共角模型）........................................................1

習(xí)題練模型］

例題講模型］

【知識儲備】母子型相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共邊共角模型）

模型解讀

“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點(diǎn)和另外一個不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三

角形相似。

DBC

圖2圖4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

條件：如圖1,ZC=ZABD；結(jié)論：AABDS^ACB,AB2ADAC.

證明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,：.^ADB^/\BAC,.?.絲=竺，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2,ZACB=90°,CD±AB；

結(jié)論：AACDsAABCsACBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD'=DADB.

證明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=9Q°,ZA+ZB=9Q°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,AACD^^ABC,...生=絲，：.AC2=ADAB.同理可證：BC2=BDBA,CU=DA-DB.

ABAC

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3,ZD=ZCAE,AB=AC；結(jié)論：△ABOS^ECA；

證明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共邊模型

條件：如圖1,在四邊形A3CD中，對角線3D平分/ABC,ZADB=NDCB,結(jié)論：BD2=BABC;

證明：：對角線8。平分/ABC,

???ZADB=ZDCB,，xADBsADCB,.?.絲=殷，BD2=BABC

DBBC

例1.（2024.河北石家莊.二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，ZBAE=ZDAC,AB=9,

AD=n,則CE長為（）

例2.（2023?湖北孝感?模擬預(yù)測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)P

RPAp

是線段AB上一點(diǎn)（AP>5。），若滿足失=黑，則稱點(diǎn)p是A3的黃金分割點(diǎn).黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)

APAB

習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

（1）應(yīng)用：如圖1,若點(diǎn)C是線段鉆的黃金分割點(diǎn)（AC>3C）,若筋=1,則AC的長為.

（2）運(yùn)用：如圖2,已知等腰三角形ABC為“黃金三角形"，AB=AC,ZA=36°,8。為/ABC的平分線.求

證：點(diǎn)。是AC的黃金分割點(diǎn).（3）如圖3中，AB=AC,ZA=36°,8尸平分交AC于尸，取43的

中點(diǎn)E,連接E尸并延長交BC的延長線于BC=1,請你直接寫出CM的長為__________.

C

圖3

例3.（22-23八年級下?湖南衡陽?期中）如圖，在矩形A5CD中，對角線AC,3D交于點(diǎn)。，庭,即于

點(diǎn)E,已知3E:DE=3:1,BD=26,則矩形ABCD的周長為

例4.（2024?廣西南寧?三模）閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理.如圖，在Rt^ABC中，ABAC=90°,是

斜邊BC上的高，則有如下結(jié)論：

①AT>2=BDgC；@AB2=BDBC-,@AC2=CDBC.下面是該定理的證明過程（部分）：

：AD是斜邊BC上的高，ZADB90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AAB￡>^AC4D（依據(jù)）..即.女.

ADCD

A

(1)材料中的“依據(jù)”是指;(2)選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明;

(3)應(yīng)用：AABC中，ZA=90°,C(-3,0),點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

例5.(2023?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末)如圖，已知AABP，點(diǎn)、C,D在邊AB上,連接PC,PD,使ZADP=60°,

且AACPSAPDB.(1)請判定APCD的形狀，并說明理由；(2)若AC=2,BD=3,求AABP的面積.

例6.(2024?浙江溫州?三模)如圖，在銳角三角形A3C中，AC>BC.以點(diǎn)C為圓心3c長為半徑畫弧，交

邊A3于點(diǎn)￡),連接8.點(diǎn)E是CB延長線上的一點(diǎn)，連接AE,若AB平分/CAE.

(1)求證：(2)當(dāng)4)=9時，求生的值.

例7.(2024?河南?二模)三角形的布洛卡點(diǎn)^Brocardpoint^是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾

(A.LCre//el780-1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意.1875年，布洛卡點(diǎn)被

一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡(Bracarrfl845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.如圖1,若內(nèi)

一點(diǎn)尸滿足===則點(diǎn)尸是AABC的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角.

(1)如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是；PA,PB、PC的數(shù)量關(guān)系

是；(2)如圖3,點(diǎn)尸為等腰直角三角形ABC(其中/54C=90。)的布洛卡點(diǎn)，且N1=N2=N3.

①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若AABC的面積為g,求APBC的面積.

例8.(2024?四川廣元?中考真題)數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是

培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

(如圖1)產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

在"RC中，點(diǎn)。為邊A8上一點(diǎn)，連接CO.(1)初步探究：如圖2,若NACD=ZB,求證：AC2=ADAB-,

(2)嘗試應(yīng)用：如圖3,在(1)的條件下，若點(diǎn)。為A3中點(diǎn)，BC=4,求CO的長；(3)創(chuàng)新提升：如圖4,

點(diǎn)后為8中點(diǎn)，連接BE,若NCDB=NCBD=30。,ZACD=ZEBD,AC=2不，求BE的長.

圖3圖4

習(xí)題練模型

1.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,ZB=36°.分別以點(diǎn)AC為圓心，大于工AC

2

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)DE,作直線DE分別交AC,BC于點(diǎn)、F,G.以G為圓心，GC長為半

徑畫弧，交BC于點(diǎn)H,連結(jié)AG,A8.則下列說法鎮(zhèn)用的是（）

2

A.AG=CGB.ZB=2ZHABC.ACAH=ABAGD.BG=CGCB

2.（2024?河北張家口?一模）如圖，點(diǎn)。在AABC的邊AC上，添加一個條件，使得△相周口△他c.以下是

天翼和往琛的做法.下列說法不正確的是（）

天冀的做法：添加條件ZABD=NC.

證明：?：ZABD=ZC,NA=NA./.AADB^AABC（兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）

往琛的做法：添加條件粵=畀.

ACCB

證明：：/4=/4,空=嬰....△AD3sAABC（兩組對應(yīng)邊成比例及一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似）

ACCB

A.天翼的做法證明過程沒有問題B.往琛的做法證明過程沒有問題

C.天翼的做法添加的條件沒有問題D.往琛的做法添加的條件有問題

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E在線段3。上（不與點(diǎn)8,點(diǎn)。重

合），ZAED=2ZADE,則DE的長為（）

A.7.8B.5C.7.5D.8

4.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，正五邊形的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長是.

5.（2024?四川成都.中考真題）如圖，在中，ZC=90°,AD是AABC的一條角平分線，E為AD中

點(diǎn)，連接8E.若BE=BC,CD=2,貝l」5￡）=.

6.（23-24九年級下?遼寧本溪?階段練習(xí)）如圖，在中，AB=2AC.以點(diǎn)A為圓心，以AC的長為半徑

作弧交邊4?于點(diǎn)D分別以點(diǎn)DC為圓心，以大于gc。的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線AP交BC

于點(diǎn)E,則F名C的值為.

7.（23-24九年級上?陜西漢中?期中）如圖，點(diǎn)C、O在線段A3上，且以）是等腰直角APCD的底邊.當(dāng)

△PDBS^ACP時（尸與A、8與尸分別為對應(yīng)頂點(diǎn)），ZAPB=

8.（2024?河北邢臺?校考二模）如圖1,在AABC中，AB=AC,BC=24,tanC=，，點(diǎn)尸為BC邊上一

點(diǎn)，則點(diǎn)尸與點(diǎn)A的最短距離為.如圖2,連接AP,作/APQ,使得NAPQ=NB,PQ交AC于Q,

則當(dāng)BP=11時，A。的長為.

9.（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，以點(diǎn)C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AC,BC

于點(diǎn)￡）,E；分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于;OE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸；作射線CF交A3于點(diǎn)G,

若AC=9,BC=6,A3CG的面積為8,則AACG的面積為.

10.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，AC,A￡?,CE是正五邊形ABCDE的對角線，AD與CE相交于點(diǎn)八下

列結(jié)論：①CP平分/ACD；②AF=2DF；③四邊形MCP是菱形；④AB?=ADEF

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

11.（2024.湖北黃石?三模）已知菱形ABCD中，點(diǎn)￡、G分別為邊AD、上一點(diǎn)，連接CE、EG.若

NDCE=ZAEG,ED=2AE=4,EG=—,則CE的長

3

12.（2024?廣東九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、。在線段上，且APC。是等邊三角形.ZAPB=120°.

（1）求證：AACPSAPDB；（2）當(dāng)AC=4,8。=9時，試求CD的值.

ADB

13.（2022?江西?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，ZACD=ZABE.

(1)求證：AABCS^AEB；(2)當(dāng)A3=6,AC=4時，求AE的長.

AB

14.（2024?上海?中考真題）如圖所示，在矩形ABCQ中，E為邊以>上一點(diǎn)，且AE_LBD.

（1）求證：AD2=OQOC;（2）尸為線段AE延長線上一點(diǎn)，且滿足斯=5=耳5D,求證:CE=AD.

15.（2024?四川南充?二模）在矩形ABCD中，AD>AB,在AD邊上截取AE,使AE=AB,點(diǎn)。為AC的中

點(diǎn).如圖1,連接E。并延長交3c于點(diǎn)b，連接8E交AC于點(diǎn)G.

圖1圖2

⑴求證：CD=CF；⑵若NACB=30。，證明GE2=OC.OG.

（3汝口圖2,若AC=10,連接CE,當(dāng)CE取最小值時，求CE的最小值及矩形ABCD的面積.

16.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）閱讀與思考

請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

規(guī)定：在一個三角形中，若一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角度數(shù)的"倍，則稱三角形為“倍角三角形”.當(dāng)”=1時,

稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形"；當(dāng)〃=2時，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索

后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系.

如圖，在AABC中，NBAC,ZB,"所對的邊分別為a,b,c,若NBAC=2NB,則合一廿二歷.

下面是小康對“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：

證法1：如圖1,作NBAC的平分線AD,ZBAD=ZCAD=-ABAC.

2

NBAC=2ZB,/BAD=ZCAD=ZB

ACDCAD

,/^ACD—NBCA「.△ACD?4BCA---=----

BCACAB

設(shè)DC=%，貝UAD=RD=a—x.*/AC=b,BC=a,AB=c

bXa-X2222

,,一T—-..b—ciXja—cue—be..a—b—be

abc

證法2：如圖2,延長C4到點(diǎn)0,使得AD=AB=c,連接……

任務(wù)：（1）上述材料中的證法1是通過作輔助線,構(gòu)造出__________三角形來加以證明的（填“全等”或“相似”）.

（2）請補(bǔ)全證法2剩余的部分.

17.（23-24九年級下?河南南陽?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，NW=/54C=45。，點(diǎn)尸為AABC內(nèi)的

一個動點(diǎn)，已知ZBPA=135。，ZAPC=90°.⑴求證：△BP2ACPB；（2）求一的值.

18.（2023?廣東深圳?一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角AABC中，點(diǎn)。，。分別為邊54,BC

上一點(diǎn)，且02=00,延長0。交射線C4于點(diǎn)E,則有下列命題：①LBDOs^BCA；②△EDAS^ECO；

③ABDOS^EDA；請你從中選擇一個命題證明其真假，并寫出證明過程；

【類比遷移】（2）如圖②所示，在等腰JBC中，AB=AC=5,3c=8,點(diǎn)￡?,。分別為邊區(qū)4,3c上一

點(diǎn)，且08=00,延長0D交射線C4于點(diǎn)E,若03=2,求AE的值；

【拓展應(yīng)用】（3）在等腰AABC中，AB=AC=a,BC=b,（a<b<2a）,點(diǎn)D,。分別為射線54,BC±

一點(diǎn)，且03=8,延長0。交射線C4于點(diǎn)E,當(dāng)△ADO為等腰三角形時，請直接寫出。2的長（用a,b

表示）.

BO

④

③

19.（2024?遼寧大連?三模"課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開放探索”為主題，開展了一節(jié)“綜

合與實踐”的數(shù)學(xué)課.課堂上，王老師給出了這樣一個圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維.

【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：

“如圖1,已知AABC中，點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為44BC外一點(diǎn)，連接AE、EC.此時我們假設(shè)這個幾

何圖形滿足=的數(shù)量關(guān)系.”

【提出問題】擅長幾何的小胖同學(xué)經(jīng)過思索后，為題目增加如下條件，請你幫他作答.

（1）“若/8+/片=。（0。＜。＜180。），AB=CE,再給出和AE的長度，可以求出。的長度.”為了簡

化計算，王老師提出令6=150。，皮）=1,AE=2,求C￡）的長（結(jié)果無需化簡）；

（2）在小胖的啟發(fā)下，同學(xué)們紛紛開始積極地進(jìn)行討論.后來，小明與他的小組更改了題目的部分信息，

令點(diǎn)E在BC上運(yùn)動，將條件“〃4。=/區(qū)4。+/￡1€4”改為了“2/24￡＞=2/￡46=/3"，其他條件不變，

想要探究邊的關(guān)系.王老師根據(jù)他們關(guān)于題目的修改，提出問題，請你解答.

【拓展探索】“如圖2,已知"SC中，點(diǎn)。為3c邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，2NBAD=2NEAC=NB,

若BC=2,探究A3、AC,EC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題背景：數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣

并展開探究.

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在JRC中，ZA=36°,AB=AC.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將AABC折疊，使邊BC落在邊區(qū)4上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交AC于點(diǎn)￡>,連接DE,

DB,則=。，設(shè)AC=1,BC=x,那么AE=（用含x的式子表示）;

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：黑9=好二這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：自”=避二1

腰AC2腰AC2

拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的“5C是

黃金三角形.如圖2,在菱形ABCD中，ZBAD=12°,AB=1.求這個菱形較長對角線的長.

專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解

模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

...........................................................................14

模型L“母子型,，模型（共邊共角模型）.......................................................14

習(xí)題練模型］

...........................................................................24

例題講模型］

【知識儲備】母子型相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共邊共角模型）

模型解讀

“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點(diǎn)和另外一個不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三

角形相似。

DBC

圖2圖4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

條件：如圖1,ZC=ZABD；結(jié)論：AABDS^ACB,AB2ADAC.

證明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,：.^ADB^/\BAC,.?.絲=竺，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2,ZACB=90°,CD±AB；

結(jié)論：AACDsAABCsACBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD'=DADB.

證明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=9Q°,ZA+ZB=9Q°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,AACD^^ABC,...生=絲，：.AC2=ADAB.同理可證：BC2=BDBA,CU=DA-DB.

ABAC

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3,ZD=ZCAE,AB=AC；結(jié)論：△ABOS^ECA；

證明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共邊模型

條件：如圖1,在四邊形A3CD中，對角線3D平分/ABC,ZADB=NDCB,結(jié)論：BD2=BABC;

證明：：對角線8。平分/ABC,

???ZADB=ZDCB,，xADBsADCB,.?.絲=殷，BD2=BABC

DBBC

例1.（2024.河北石家莊.二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，ZBAE=ZDAC,AB=9,

AD=n,則CE長為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD,得到AD=BC=12,AD||BC,繼而得到46=的。，結(jié)合

結(jié)合NB=NB證明△B4￡1SABC4,列出比例式解答即可.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】：平行四邊形ABCD,">=BC=12,A￡)||BC,NBCA=NZMC,

VZBAE=ZDAC,：.ZBCA=ZBAE,

AfiRFQRF97

;ZB=ZB,：.ABAEs^BCA,：.——=——，A—=——，解得BE=一，

BCBA1294

21

故CE=BC-BE一,故選A.

例2.(2023?湖北孝感?模擬預(yù)測)閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)尸

RPAp

是線段A8上一點(diǎn)(AP>5P),若滿足黑=三，則稱點(diǎn)尸是A3的黃金分割點(diǎn).黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)

APAB

習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

C

圖3

⑴應(yīng)用：如圖1,若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>3C),若AB=1,則AC的長為.

(2)運(yùn)用：如圖2,已知等腰三角形A3C為“黃金三角形"，AB=AC,ZA=36°,8。為—ABC的平分線.求

證：點(diǎn)。是AC的黃金分割點(diǎn).(3)如圖3中，AB=AC,ZA=36°,B尸平分/ABC交AC于凡取A3的

中點(diǎn)E,連接E尸并延長交BC的延長線于M.SC=1,請你直接寫出CM的長為.

【答案】(1)苴二1(2)證明見解析(3)CM=叵口

22

【分析】(1)設(shè)AC=“，則3c=1-。，根據(jù)黃金分割的含義可得：整=空，即AC2=3CAB,再解方

ACAB

程即可；(2)證明△C5DSAC4B,推出匕=多，推出W=%，可得結(jié)論.

BCACADAC

(3)如圖，連接AM,同理可得：ZABC=ZACB=72°,Zl=Z2=36°=ZBAC9可得AF=3/=5C=1,

證明MELAS,MB=MA,Z.CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是的黃金分割點(diǎn)，S.BC<CM,

可得二7=37,設(shè)。W=尤，再解方程可得答案?

CMBM

【詳解】（1）解：；點(diǎn)C是線段A3的黃金分割點(diǎn)（AC>80,AB=1,

設(shè)AC=a,貝=a,——=——，BPAC2=BC-AB>

ACAB

a2=l-a,a2+a—1=0>解得：a=--（負(fù)根舍去），AC=—―:

22

（2）證明：VAB=AC,ZA=36°,ZABC=ZC=72°,

又,/3D平分ZABC,：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

Z.BDC=360+36°=72°,：.AD=BD,BC=BD,即AD=3r>=BC,

又,/ZC=ZC,ZCBD=ZA,/.Z\CBD^ACAB,

.CDBC.CDAD

點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn).

"~BC~~XC'"AD"AC

（3）如圖，連接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Nl=N2=36。=NB4C,

AF=BF=BC=1,為AB的中點(diǎn)，AF=BF,：.ME±AB,：-MB=MA,

圖3

ZABM=NBAM=72°,ZAMB=36°,：.ZCAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是BAf的黃金分割點(diǎn)，且3C<CN,

.BCCM1V

設(shè)CW=x,------，整理得：x2-x-l=O,

"CMBMx1+x

解得：y（負(fù)根舍去—

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的含義,相似三角形的

判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.

例3.（22-23八年級下?湖南衡陽?期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC.BD交于點(diǎn)、O,CE_LBD于

點(diǎn)E,已知3E:￡）E=3:1,BD=2拒,則矩形A3CD的周長為

【答案】2-73+6/6+273

【分析】首先根據(jù)題意求出BE=士叵，DE力,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得48=90。，然后證明

22

DFCF3

△DCEs衛(wèi)BE,得分二三，求得CE=W，然后利用勾股定理求出8和5C的長度，即可得出結(jié)果.

CEBE2

【詳解】解：：BE：DE=3:1,BD=2A/3,：.BE=—,DE=—

22

?.?四邊形ABCD是矩形，AZBCD=90°,

VCE±BD,ZCED=ZBEC=90°,ZDCE=ZCBE=90°-ZBCE,:.^DCE^^CBE,

73

fj=H'即雇=音解得虛（負(fù)值舍去）

2

?：NCED=ZBEC=90°/.CD=^DE2+CE2=6，BC=Y/BE2+CE2=3

矩形ABCD的周長為2（CO+8C）=2（道+3）=2君+6.故答案為：26+6.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形判定與性質(zhì)，證明AOCESACBE是解題關(guān)鍵.

例4.（2024?廣西南寧?三模）閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是

斜邊BC上的高，則有如下結(jié)論：

①AD2=BD.DC；②AB。=BDBC;?AC2=CDBC.下面是該定理的證明過程（部分）：

：是斜邊BC上的高，ZADB=90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AABD^ACAD（依據(jù)）.即仞2=BDOC.

（1）材料中的“依據(jù)”是指;（2）選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明;

⑶應(yīng)用：AABC中，ZA=90°,3（1,0）,C（-3,0）,點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】（1）兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似（2）見解析（3）頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,百）或（0,-如）

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證

明和計算.（1）根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”即可解答;

（2）②根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似"證明即可得證；③根據(jù)“兩角分別對應(yīng)

相等的兩個三角形相似”證明（3）根據(jù)題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用證

明的射影定理得。4?=OBOC=lx3,即可求出0A=6，由此求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似,

故答案為：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似;

（2）證明：@AB-^BDBC,理由如下:

ADJ.BC,ZCAB=90°,：.ZADB=ZCAB=90°,

VZABD=ZCBA,：./\ABD^CBA,=：.AB2=BDBC-,

BCAB

@AC2=CDBC，理由如下：VADIBC,ZC4B=90°,AZADC=ZCAB=90°,

ACCD.

?XACD=/BCA,「?△ACD0°A5C4,-----=AC2=CD-BC;

BCAC

（3）解：如圖，根據(jù)題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，???8（1,0）,C（-3,0）,：.OB=1,OC=3,

VZCAB=90°,AO.LBC,OA2=og.oc=lx3,OA=g,；.頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。，⑹或（0,-6）.

例5.（2023?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C,。在邊上，連接PC,PO,使/ADP=60。,

且AACPSAPDB.（1）請判定APCD的形狀，并說明理由；（2）若AC=2,BD=3,求AABP的面積.

【答案】（1）APCD是等邊三角形，理由見解析（2）66+150

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出NACP=/PD3=180O-NPft4=120。，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角得出

ZPCD=60°,進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：APCD是等邊三角形，理由如下，

---AACPS/DB,ZADP=60°；.ZACP=NPDB=180°-/PDA=120°,

?.NPCD=180°-APAC=60°,：.RCD是等邊三角形，

（2）解：???△尸8是等邊三角形，設(shè)等邊三角形的邊長為。，

74cPC2a

'：AACPS^PDB,=,又,；AC=2,BD=3,,解得：a=娓（負(fù)值舍去），

PDDBa3

如圖所示，過點(diǎn)P,作PELCD于點(diǎn)E,

ED

CD=-xy[6=-s/2,：.AB=AC+DB+CD=2+3+y/6=5+^6,

222一

AAB尸的面積為:48*/^=）（5+布卜90=苑會亞

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.（2024?浙江溫州?三模）如圖，在銳角三角形A3C中，AC>BC.以點(diǎn)C為圓心3c長為半徑畫弧，交

邊A8于點(diǎn)。，連接8?點(diǎn)E是CB延長線上的一點(diǎn)，連接AE,若平分NC4E.

⑴求證：AACD^AAEB.（2）當(dāng)4）=班）時，求——的值.

EB

【答案】⑴見解析⑵3

【分析】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識

點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.（1）由題意得：BC=CD,由等邊對等角得出NCBD=NCOB,從而得出

ZADC=ZABE,再由角平分線的定義得出ND4C=N￡AB,即可證明△ACDs44EB；

（2）由題意得出空=1,由相似三角形的性質(zhì)得出工=1，從而即可得解.

AB2EJD2

【詳解】(1)證明：由題意得：BC=CD,:.ZCBD=ZCDB,:.ZADC=ZABE,

?.,AB平分/CAE,:.ZDAC^ZEAB,.^ACD^^AEB；

CD1BC1

(2)I?：,AD=BD,-?.公ACDS&AEB,：.處=出-.-BC=CD,

AB2ABEBEB~2

例7.（2024?河南?二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoim）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾

（A.LCre//el780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意.1875年，布洛卡點(diǎn)被

一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（BrorarJl845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.如圖1,若AABC內(nèi)

一點(diǎn)尸滿足===則點(diǎn)尸是AABC的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角.

（1）如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形4BC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是；出、PB、PC的數(shù)量關(guān)系

是；（2）如圖3,點(diǎn)尸為等腰直角三角形ABC（其中/&LC=90。）的布洛卡點(diǎn)，且N1=N2=N3.

①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若“15C的面積為3,求APBC的面積.

2

【答案】（1）30°,PA=PB=PC；⑵①△ABPs^BCP,證明見解析；（3）SAPBC=1.

【分析】（1）根據(jù)題意理清布洛卡點(diǎn)、布洛卡角的概念，利用概念來解答；（2）①找證明

過程利用等腰直角三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過找出三個角分別對應(yīng)相等來證明；②把三角形

"RC面積看作三個三角形面積之和來表示，除所求三角形面積之外的兩個，其中一個根據(jù)條件可以利用勾

股定理求出面積，另一個可以利用所求三角形面積來表示，建立等式即可求解.

【詳解】解：（1）由題意知：ZBAP=ZCBP=ZACP,

?.?△ABC為等邊三角形，ZABC=ZBCA=ZCAB,AB=BC=AC,

:.AAPB%BPC,:.AP=BP,:.ZPAB=ZPBA,

NPBA=ZPBC,ZPBA+NPBC=60°,ZPBC=30°,同理可證得出：NBAP=ZCBP=ZACP=30°,

ZABP=ZBCP=ZCBP=30°,R4=P3=PC故答案是：30°,PA=PB=PC.

(2)①AABPSABCP

證明：；AABC是等腰直角三角形NABC=NACB=45。，BPZABP+Z2=Z3+ZBCP=45°,

：/2=/3,:.ZABP=NBCP,又：N1=N2,AABP^ABCP.

---APAB^PBC,AAP=—BP,CP=^/2BP,S^=-S^,：.CP=2AP.

CPBPBC22PAB2APBC

ZAP3=/3PC=180O-（Nl+ZABP）=18（）o—（N2+ZABP）=135。，；.ZAPC=360°-ZAPB-ZBPC=90°.

在RtZXAPC中，VCP=2AP,AC=5由勾股定理得AP=1,CP=2,

，

,?S^APC='CP,AP=1,..1SAABC=S^pBC+S^pAC+S^pAB=S.PBC+“5S^PBC=3,?ScPBC=1-

【點(diǎn)睛】本題考查了新概念問題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質(zhì)、相似三角形

的判定定理和性質(zhì)、勾股定理，涉及知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：通過閱讀材料，弄

明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運(yùn)用所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行解答.

例8.（2024?四川廣元?中考真題）數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是

培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

在AABC中，點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，連接C￡>.（1）初步探究：如圖2,若NACD=ZB,求證：AC2=ADAB；

（2）嘗試應(yīng)用：如圖3,在（1）的條件下，若點(diǎn)。為A3中點(diǎn)，BC=4,求CO的長；（3）創(chuàng)新提升：如圖4,

點(diǎn)E為8中點(diǎn)，連接BE,若NCDB=NCBD=30。,ZACD=ZEBD,AC=2小,求BE的長.

【答案】⑴證明見解析(2)CD=2夜⑶01

【分析】(1)根據(jù)題意，由NACD=N3,NA=NA,利用兩個三角形相似的判定定理即可得到

AACD^AABC,再由相似性質(zhì)即可得證；(2)設(shè)A￡)=8D=加，由(1)中相似，代值求解得到AC=血機(jī)，

An?

從而根據(jù)AACD與&ABC的相似比為益=&求解即可得到答案；

(3)過點(diǎn)C作EB的平行線交AB的延長線于點(diǎn)H,如圖1所示，設(shè)CE=DE=a,過點(diǎn)5作班'_LEC于點(diǎn)

F,如圖2所示，利用含30。的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可得到相關(guān)角度與線段長，再由三角形相似的

判定與性質(zhì)得到當(dāng)=4「=穿=金-=W，代值求解即可得到答案.

ACAriCrL2y//a<7

ACAD

【詳解】(1)證明：?；NACD=NB,AA=AA??,*/\ACD00ZXABC,/.-,AC2=AD-AB；

ABAC

(2)解：??,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，???設(shè)==根，

由(1)知△ACDSA^C,AC2=ADAB=m-2m=2m2,

「,AD1CD1

***AC=42m，，△ACD與AABC的相似比為寶;二五，，萬5=7?，;BC=4CD=2直；

(3)解：過點(diǎn)。作所的平行線交A8的延長線于點(diǎn)H,過。作CY_LAB,如圖1所示：

???點(diǎn)￡為CO中點(diǎn)，:?設(shè)CE=DE=a,*：ZCDB=ACBD=30°,；.CB=CD=2a,ZZ)CB=120°,

在Rt^BCy中，CY=^CD=a,則由勾股定理可得=2氐，過點(diǎn)8作取，EC于點(diǎn)/，如圖2所示:

1L/-

AZFCB=60°,AZCBF=30°,CF=-BC,ACF=a,BF=島,；,EF=2a,