2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：最值模型之瓜豆模型（原理）曲線解讀與提分訓(xùn)練

專題38最值模型之瓜豆模型（原理）曲線

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

.........................................................1

模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）.................................................................1

習(xí)題練模型］

例題講模型］

模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）

模型解讀

“主從聯(lián)動(dòng)”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動(dòng)點(diǎn)問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫作從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”

線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋

轉(zhuǎn)、全等和相似。

模型證明

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧

模型LL如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,。為AP中點(diǎn).。點(diǎn)軌跡是？

分析：如圖，連接A。，取中點(diǎn)任意時(shí)刻，均有AAM。QM,PQ=AQ：AP=1：2。

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

P

模型1-2.如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQLAP且AQ=AP,當(dāng)點(diǎn)尸在圓。上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，。點(diǎn)軌跡是?

分析：如圖，連結(jié)A。，作AM_LA。，AO=AM；任意時(shí)亥!|均有△APO0AAQM,MMQ=PO.

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，M。為半徑的圓。

模型1-3.如圖，“P。是直角三角形，/山。=90咀AP=hA。，當(dāng)尸在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？

分析：如圖，連結(jié)A。，作AM_LA。，AO:AM=A:1；任意時(shí)亥lj均有“？。6八4。加，且相似比為聯(lián)

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型1-4.為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)尸、Q,可稱P為“主動(dòng)點(diǎn)”，。為“從動(dòng)點(diǎn)”。

此類問題的兩個(gè)必要條件：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NE40是定值）；②主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)

點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：A0是定值）。

分析：如圖，連結(jié)A。，^ZOAM=ZR\Q,AO:AM=AP：AQ；任意時(shí)刻均有△APOS/XAQM。

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心,MQ為半徑的圓。

特別注意：很多題目中主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。

（1）定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn),AB=AC=AP,則3、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)尸是以A圓心，A3半徑的圓或圓弧。

（2）定邊對(duì)定角（或直角）模型

1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，ZAPB=90°,則動(dòng)點(diǎn)尸是以A3為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，為定值，為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

模型運(yùn)用

例1.（2024.河南南陽三模）如圖，點(diǎn)尸（3,4）,OP半徑為2,A（2.8,0）,3（5.6,0）,點(diǎn)”是QP上的動(dòng)點(diǎn),

D.3

例2.（2023?黑龍江大慶?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的O。與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,

3

點(diǎn)B是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線＞=^工-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,則點(diǎn)C到直線DE

的最小距離為（）

例3.（2023春?湖北黃石?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為正方形，尸是以邊AD為直徑的。。

上一動(dòng)點(diǎn)，連接3尸，以3尸為邊作等邊三角形3PQ,連接OQ,若AB=2,則線段OQ的最大值為.

例4.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3,4）,點(diǎn)B是。A

上一點(diǎn)，0A的半徑為2,將繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得。C,連接AC,則線段AC的最小值為（）

372-1C.5D.6

例5.（2024?江蘇南通??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓,

E是。A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。并縮短到原來的一半，得到線段DF,連結(jié)

AF,則AF的最小值是

例6.（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，線段為。。的直徑，點(diǎn)C在的延長線上，AB=4,BC=2,

點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在尸C的上方作RQPCD,且使/DCP=60。，連接OO,則。。

長的最大值為

例7.（23-24九年級(jí)上.安徽合肥?期末）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上有

一點(diǎn)P,AP=1,連接AP,BP,取3尸的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則CG的最大值

是（）

A.3B.4C.3啦D.5

例8.（2024?北京海淀?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圖形M與圖形N給出如下定義：P為圖形N上

任意一點(diǎn)，將圖形〃繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AT,將所有V組成的圖形記作ML稱是圖形M關(guān)于

圖形N的“關(guān)聯(lián)圖形”.⑴已知4一2,0）,8（2,0）,C（2,t）,其中20.①若y1,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)A關(guān)于

線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”；②若點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，直接寫出/的取值范圍；⑵

對(duì)于平面上一條長度為。的線段和一個(gè)半徑為r的圓，點(diǎn)S在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點(diǎn)S的縱坐標(biāo)

的最大值和最小值的差為d,當(dāng)這條線段和圓的位置變化時(shí)，直接寫出d的取值范圍（用含。和廠的式子表

習(xí)題練模型

1.（2024?安徽淮北?三模）如圖，線段AB=4,點(diǎn)M為A8的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1,連接尸8,

線段PB繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸C,連接AC,則線段AC長度的最大值是（）

AMB

A.3B.4C.2應(yīng)D.3亞

（?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，ZABC^90°,

2.2023VABCtanZBAC=1,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，P是以A

為圓心，以為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PEPC,則裝的最大值為（

）

AMR3函「713-1nV13+1

31044

3.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)4（8,0）的動(dòng)直線,i,b,其夾角NO區(qū)4=30。，點(diǎn)

M是。8中點(diǎn)，連接40,則40的最小值是（）

A.4B.25/3+2C.-4D.4G+4

4.（23-24九年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí)）等邊VA8C的邊長為6,尸是上一點(diǎn)，AP=2,把AP繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)一周，尸點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接3尸'，8P的中點(diǎn)為。，連接C。.則C。長度的最小值是（）

A.373-1B.373-2C.3朋+1D.3&2

5.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,AC=3,3C=4,平面上有一

點(diǎn)P,AP=\,連接AP,BP,取的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則CG的最大值是

（）

A.3B.4C.3拒D.5

6.（2024?河南關(guān)B州?三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形ABC邊8C的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,將

線段AP以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,連接V。.若鈣=4,MP=1,則MQ的最小值為.

7.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCQ邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接3P,

線段3P以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8Q,連接MQ.若AB=4,MP=l,則的最小值為一

8.（2024年成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)西區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試題）如圖，AB=AC=^,/B4C=90。，點(diǎn)M是線段

AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將線段54沿直線進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)N處，連接CN,以CN為斜邊在

直線CN的左側(cè)（或者下方）構(gòu)造等腰直角三角形CND,則點(diǎn)M從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中，線段CD的最小值

是,當(dāng)Af從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總路徑長是.

9.（2023?深圳外國語學(xué)校中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作

圓，E是。A上的任意一點(diǎn)，將線段OE繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。并縮短到原來的一半，得到線段。尸，

連接AF,則AF的最小值是.

10.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,0是矩形ABC。左側(cè)一

點(diǎn)，連接AQ、BQ,且ZAQ8=9O。，連接D。，E為。。的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為.

11.（2024?四川瀘州.二模）如圖，正方形ABCD的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作QC,點(diǎn)P為。C上

的動(dòng)點(diǎn)，連接3尸，并將3尸繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到3P,連接CP,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，CP長度的

最大值是.

12.（23-24九年級(jí)上?江蘇無錫?期中）如圖，A是。8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知=2,BC=4,AACD

是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為

13.（2024?浙江紹興?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在及AA8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以點(diǎn)

B為圓心，長為半徑作圓，點(diǎn)E為。8上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC,作BCLCE,垂足為C,點(diǎn)尸在直線2C的

上方，且滿足CF==CE,連結(jié)8F當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，8尸的值為.點(diǎn)E在。3上運(yùn)動(dòng)過程中，

存在最大值為.

14.（23-24九年級(jí)?重慶?階段練習(xí)）如圖，AS=4,O為鉆的中點(diǎn)，的半徑為1,點(diǎn)P是?O上一動(dòng)

點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形P3C（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長的取值范

圍為

AO'B

15.（2024?浙江?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,尸是線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,。繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E,F,若在運(yùn)動(dòng)過程中NE4F的度數(shù)最大值恰好為90。，則BC的長度為.

16.（23-24九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）（1）問題提出：如圖①，在矩形ABC。中，AB=1,BC=石，

尸是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+^PD的最小值為

（2）問題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3,點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，且CE=1,連接BE,在BE上方

作正方形3EMN,求8河的最大值.

（3）問題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運(yùn)會(huì)，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對(duì)一正

方形區(qū)域ABC。進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，方使大家鍛煉運(yùn)動(dòng).如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計(jì)等腰直角△口才為健身運(yùn)動(dòng)

區(qū)域，直角頂點(diǎn)E設(shè)計(jì)在草坪區(qū)域扇形的弧MN上.設(shè)計(jì)鋪設(shè)CP和。尸這兩條不同造價(jià)鵝卵石路，

已知AB=40米，8M=10立米，ZCEF=90°,CE=EF,若鋪設(shè)C尸路段造價(jià)為每米200元，鋪設(shè)“'路

段的造價(jià)為每米100元，請(qǐng)求出鋪設(shè)CP和兩條路段的總費(fèi)用的最小值.

圖①圖②圖③

17.（2024?吉林長春?二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，。。的半徑為2,點(diǎn)A是

0。外的一個(gè)定點(diǎn)，Q4=4.點(diǎn)尸在。。上，作點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接R4、AQ.當(dāng)點(diǎn)尸在0。上

運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑.

【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問題；如圖②，延長Q4至點(diǎn)使

AM=OA,連接OP、MQ,通過證明AOAP/AM4。，可推出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)〃為圓心、2為半徑的

圓.下面是部分證明過程：

證明：延長Q4至點(diǎn)使=連接OP、MQ.

1°當(dāng)點(diǎn)尸在直線Q4外時(shí)，

證明過程缺失

2。當(dāng)點(diǎn)尸在直線Q4上時(shí)，易知。尸="Q=2.

綜上，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)〃為圓心、2為半徑的圓.請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過程.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點(diǎn)區(qū)廠分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，連接EF,點(diǎn)。是所中點(diǎn)，點(diǎn)

M是線段0尸上的任意一點(diǎn)，AB=4,3c=8.點(diǎn)尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=2,連接AP.作點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)M的

對(duì)稱點(diǎn)。，連接PM、MQ.

（1）當(dāng)點(diǎn)M是線段。尸中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長為.

（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段0P上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接EQ.設(shè)線段EQ長度的最大值為。，最小值為6,則。+》=

圖①圖②圖③e

18.（2024.吉林.二模）【問題呈現(xiàn)】在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，小明遇到了這樣一個(gè)問題：如圖1,已知。。半

徑是3,點(diǎn)A是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，。尸=8,求證：線段PA的最大值為11.

【問題解決】經(jīng)過分析，如圖2,小明將尸。延長交。。于點(diǎn)A,并猜想此時(shí)PA最大，為了驗(yàn)證這個(gè)猜

想，小明想利用如下方法來解決，下面是部分證明過程，請(qǐng)補(bǔ)全缺失的部分.

證明：如圖2,在。。上任意取一點(diǎn)3（點(diǎn)B不與點(diǎn)A重合），連結(jié)PB、OB,

證明過程缺失

貝則此時(shí)，PA最大，最大值為8+3=11.

【問題延申】如圖3,在中，ZABC=90°,AB=6,8C=8,點(diǎn)D是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連結(jié)08,過點(diǎn)A作于點(diǎn)歹，連結(jié)CP,則線段b的最小值是一

【拓展提升】如圖4,某景區(qū)有一片油菜花地，形狀由AABC和以為直徑的半圓兩部分構(gòu)成，已知

8C=80米，ZABC=90°,ZACB=60°,為了方便游客游覽，該景區(qū)計(jì)劃對(duì)油菜花地進(jìn)行改造，根據(jù)設(shè)

計(jì)要求，在半圓上確定一點(diǎn)E,沿AE修建小路，并在AE中點(diǎn)廠處修建一個(gè)涼亭，沿CF修建仿古

長廊，由于仿古長廊造價(jià)很高、為了控制成本，景區(qū)要求仿古長廊CP的長度盡可能短，若不考慮其他因

素，則仿古長廊CF最短為一米.（結(jié)果保留根號(hào)）

專題38最值模型之瓜豆模型（原理）曲線

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

.........................................................1

模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）.................................................................1

習(xí)題練模型］

例題講模型］

模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）

模型解讀

“主從聯(lián)動(dòng)”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動(dòng)點(diǎn)問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫作從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”

線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋

轉(zhuǎn)、全等和相似。

模型證明

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧

模型LL如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,。為AP中點(diǎn).。點(diǎn)軌跡是？

分析：如圖，連接A。，取中點(diǎn)任意時(shí)刻，均有AAM。QM,PQ=AQ：AP=1：2。

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

P

模型1-2.如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQLAP且AQ=AP,當(dāng)點(diǎn)尸在圓。上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，。點(diǎn)軌跡是?

分析：如圖，連結(jié)A。，作AM_LA。，AO=AM；任意時(shí)亥!|均有△APO0AAQM,MMQ=PO.

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，M。為半徑的圓。

模型1-3.如圖，“P。是直角三角形，/山。=90咀AP=hA。，當(dāng)尸在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？

分析：如圖，連結(jié)A。，作AM_LA。，AO:AM=A:1；任意時(shí)亥lj均有“？。6八4。加，且相似比為聯(lián)

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型1-4.為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)尸、Q,可稱P為“主動(dòng)點(diǎn)”，。為“從動(dòng)點(diǎn)”。

此類問題的兩個(gè)必要條件：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NE40是定值）；②主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)

點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：A0是定值）。

分析：如圖，連結(jié)A。，^ZOAM=ZR\Q,AO:AM=AP：AQ；任意時(shí)刻均有△APOS/XAQM。

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心,MQ為半徑的圓。

特別注意：很多題目中主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。

(1)定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。(常見于動(dòng)態(tài)翻折中)

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn),AB=AC=AP,則3、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)尸是以A圓心，A3半徑的圓或圓弧。

1)一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，A8為定值，ZAPB=9Q°,則動(dòng)點(diǎn)尸是以A3為直徑的圓或圓弧。

2)一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，為定值，為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

模型運(yùn)用

例1.(2024?河南南陽?三模)如圖，點(diǎn)尸(3,4),0尸半徑為2,4(2.8,0),3(5.6,0),點(diǎn)〃是上的動(dòng)點(diǎn),

D.3

【答案】A

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、三角形中位線定理、勾股定理，連接。P交。P于連接由題意

得出AC是AOBM的中位線，貝=從而得到當(dāng)ON最小值，AC最小，即當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到AT時(shí)，OM

最小，此時(shí)AC也為最小，求出OM'的長即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OP交。尸于連接OM,

：4(2.8,0),3(5.6,0),/.OA=2.8,AB=2.8,：.OA=AB,

?.,點(diǎn)C是A?的中點(diǎn)，3C=CM,，AC是AOBM的中位線，，AC=，OM,

2

.?.當(dāng)ON最小值，AC最小，，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到M'時(shí)，OM最小，此時(shí)AC也為最小，

_____]3

OM'=OP-PM'=yj32+42-2=5-2=3＞，AC的最小值為5x3=5,故選：A.

例2.（2023?黑龍江大慶?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,

,3

點(diǎn)8是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，直線y=^x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,則點(diǎn)C到直線DE

的最小距離為（）

A.1

【答案】C

【分析】先確定C點(diǎn)的軌跡是OP,則C到直線DE的最小距離為NX,根據(jù)相似得到邊長的數(shù)量關(guān)系，列

方程直接求解即可.

;點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，.?.OCLAB,.?.48=90。，.,.點(diǎn)C在以。4為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外）,

以。4為直徑作。P,過尸點(diǎn)作直線于"，交。P于/、N,

33,,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x-3=-3,貝IJE(0,—3),當(dāng)y=0時(shí)，-x-3=0,解得％=4,則0(4,0),

44

0D=4,ADE=V32+42=5,???。。的半徑為2,???A(2,0),.??尸(1,0),???。尸=1,???尸。=0?！猀P=3,

VZPDH=ZEDO,ZPHD=ZEOD=90°,：.^DPH^^DEO,；.PH:OE=DP:DE,

Q144

即777:3=3:5,解得PH=-，MH=PH+l=—,NH=PH-1=-.

555

4

.?.點(diǎn)C到直線￡>E的最小距離為二.故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查圓與三角形的綜合，解題關(guān)鍵是先確定C點(diǎn)的軌跡是圓，則C到直線OE的最小距離為N”,

根據(jù)相似列方程直接求解即可.

例3.(2023春?湖北黃石?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，四邊形ABCD為正方形，尸是以邊AO為直徑的。。

上一動(dòng)點(diǎn)，連接3尸，以3尸為邊作等邊三角形2PQ,連接OQ,若筋=2,則線段的最大值為.

【答案】V5+1/1+A/5

【分析】連接OB、OP,將。8繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B,連接。'。，通過證明△OBP^AO，BQ(SAS),

得出OP=O0=1,從而得出點(diǎn)。在以點(diǎn)O,為圓心，。。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；則當(dāng)點(diǎn)O,O',P三點(diǎn)在同

一直線上時(shí)，OQ取最大值，易證△03。為等邊三角形，求出。0，=08=若，即可求出

OQ=OO'+O'Q=j5+l.

【詳解】解：連接。8、0P,將繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。5,連接。'。，

---OB繞點(diǎn)、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B,：.OB=OB,NOBO'=60°,

?.?丫團(tuán)均為等邊三角形，.?.網(wǎng)=02,ZPBQ=60°,

；.ZOBO'-ZPBO'=ZPBQ-ZPBO',即NOBP=NO'BQ,

OB=O'B

在AOBP和AO'BQ中,.ZOBP=ZO'BQ,:.^OBP^O'BQ（SAS）,

PB=QB

'：AB=2,四邊形ABC。為正方形，；.AD=AB=2,則OA=OP=1,

.?.OP=OQ=1,.?.點(diǎn)。在以點(diǎn)o,為圓心，。。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；

...當(dāng)點(diǎn)。，O',P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，取最大值，

2

在RtAflAB中，根據(jù)勾股定理可得：OB=yjoA^+AB=A/5>

VOBO'B,/。8。=60。，；.△08。為等邊三角形，Z.OO'=OB=45,

：.OQ=OO'+O'Q=y/5+l,故答案為：75+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查看瓜豆模型——圓生圓模型，解題的關(guān)鍵是確定從動(dòng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).

例4.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3,4）,點(diǎn)8是

上一點(diǎn)，GM的半徑為2,將。8繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得。C,連接AC,則線段AC的最小值為（）

372-1C.5D.6

【答案】A

【分析】把。1繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得OA,過點(diǎn)A作AFJLx軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)A，作AG_Lx軸于點(diǎn)G,

以點(diǎn)A為圓心作。A,使0A'的半徑為2,點(diǎn)2是。A上一點(diǎn)，則點(diǎn)C是。A'上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A,O,A三點(diǎn)共

線，即點(diǎn)C在AA上時(shí)，AC最小.

【詳解】解：如圖，把。4繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得04,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)A，作A'G_Lx

軸于點(diǎn)G,以點(diǎn)A為圓心作。A,使OA的半徑為2,

ZAOF+ZA'OG=180°-ZAOA'=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

ZOAF=ZAOG,；.VA尸。絲VOGA'(AAS),AF=OG=4,OF=A'G=3,A(4,3),

過4作A'"，A尸于點(diǎn)H，A7/=4-(-3)=7,AH=4-3=1,

在RtVA/￡4,中，AA'=J(Af/)2+⑷j,y=五”=572,

點(diǎn)8是。A上一點(diǎn)，則點(diǎn)C是。A上一點(diǎn)，AC=2,

當(dāng)點(diǎn)A。,A'三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C在AA上時(shí)，AC最小，

AC=AA'-CA'=5y/2-2,故線段AC的最小值為50-2.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本概念，動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是作出

正確的輔助線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

例5.(2024?江蘇南通??？寄M預(yù)測(cè))如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，

E是。A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。并縮短到原來的一半，得到線段DF,連結(jié)

【分析】通過證VGQF:VADE可得GF=],由勾股定理可得=&，根據(jù)三角形三邊關(guān)

系求AF的最小值即可；

【詳解】解：如圖，取CD中點(diǎn)G,連接AE、GF、AG,

VEDXDF,ZEDF=90°,:四邊形ABCD是正方形，.-.ZGDA=90°,

VZGDF+ZFDA=90°,ZFDA+ZADE=90°,ZGDF=ZADE,

..DGDF_1..GF_1

DADE2AE2

又AE=1,解得GF=；,由勾股定理可得，AG=VAD2+DG2=VF7F=A/5>

由三邊的關(guān)系可得，AF的最小值為：AG-GF=V5-1；故答案為：指-;.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例6.（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，線段A2為。O的直徑，點(diǎn)C在A8的延長線上，AB=4,BC=2,

點(diǎn)尸是上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RJPCD,且使/DCP=60。，連接OO,則。。

長的最大值為

【答案】2A/3+1/1+2^

【分析】作ACOE，使得NCEO=90°,NECO=60。，則CO=2CE,OE=2y/3,ZOCP=ZECD,由

OPCPi

△COPMCED,推出==y=2,即瓦>=/P=l（定長），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，是定長，點(diǎn)。在半徑為

EDCD2

1的OE上，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作ACOE,使得NCEO=90。，NECO=60°,則CO=2CE,OE=2A/LZOCP=ZECD,

■.■ZCDP=90°,Z￡）CP=60°,:.CP=2CD,：.——=——=2,“COPs&ED,

CECD

OPCPi

?-?—=—=2,即￡0=彳0尸=1（定長），?.?點(diǎn)E是定點(diǎn)，OE是定長，，點(diǎn)。在半徑為1的。E上，

EDCD2

OD<OE+DE=2y/3+l,；.OD的最大值為2石+1,故答案為：26+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常

用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

例7.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上有

一點(diǎn)尸，AP^l,連接"，BP,取3P的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則CG的最大值

是（）

A.3B.4C.3亞D.5

【答案】A

【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的

確定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；如圖，取A5的中點(diǎn)。，連接GQ,CQ,證明G在以。為圓心，

g為半徑的圓上，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)。，連接GQ,CQ,

為的中點(diǎn)，/尸=1,二QG==AP==，；.G在以。為圓心，；為半徑的圓上，

222

c

當(dāng)C,。，G三點(diǎn)共線時(shí)，CG最大，CG=CQ+QG,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,：.AB=y/32+42=5,**-c2=|1

CG=CQ+QG=[+；=3,即CG的最大值為3.故選A

例8.（2024?北京海淀?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于圖形M與圖形N給出如下定義：P為圖形N上

任意一點(diǎn)，將圖形〃繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到V,將所有AT組成的圖形記作V,稱〃'是圖形M關(guān)于

圖形N的“關(guān)聯(lián)圖形（1）已知4-2,0）,B（2,0）,C（2/）,其中uo.①若f=l,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)A關(guān)于

線段8C的“關(guān)聯(lián)圖形”；②若點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍；（2）

對(duì)于平面上一條長度為。的線段和一個(gè)半徑為r的圓，點(diǎn)S在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點(diǎn)S的縱坐標(biāo)

的最大值和最小值的差為d,當(dāng)這條線段和圓的位置變化時(shí)，直接寫出d的取值范圍（用含。和廠的式子表

【答案】（D①見詳解；②"T或止2（2）20rWdV2應(yīng)r+a

【分析】（1）①根據(jù)新定義找出關(guān)鍵點(diǎn)3、C的旋轉(zhuǎn)90。后連接B'C'即可；②同上理分情況討論即可；

（2）畫出分析圖，如圖所示，線段AB的長度為。，圓N的半徑為人易得ABN尸且相似比為1：后，

再移動(dòng)圖形即可求出d;本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上

知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：①如圖所示：線段8'。'即為所求;

②如圖：當(dāng)仁2時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與y軸恰有公共點(diǎn),

22時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與y軸有公共點(diǎn)；

當(dāng)t=T時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于線段8C的“關(guān)聯(lián)圖形”與x軸恰有公共點(diǎn),

(2)如圖，畫出分析圖，如圖所示，線段A8的長度為。，圓N的半徑為「，

點(diǎn)AB分別繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至I]NpN?,分析可知ABNPS^BNQ且相似比為1：0,

可得圓必、%的半徑均為在,，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)圖，可得2形rWdW2應(yīng)r+a.

習(xí)題練模型

1.（2024?安徽淮北?三模）如圖，線段AB=4,點(diǎn)〃為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離是1,連接PB,

線段尸3繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PC,連接AC,則線段AC長度的最大值是（）

A.3B.4C.2A/2D.3萬

【答案】D

【分析】以A3為斜邊向上作等腰直角AA",連接C7,BC.利用相似三角形的性質(zhì)證明"=形，推出點(diǎn)

C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，0為半徑的圓，根據(jù)ACVA/+/C=3右，可得結(jié)論.

【詳解】解：以為斜邊向上作等腰直角AA/B,連接C7,BC.

BM-JBBC

：.ZMBJ=ZPBC=45°:.BJ=-----=y/2BM,同理5C二正尸5，:.ZMBP=ZJBC,——=——,

cos45°MBBP

jCJB

—=—=V2,-：PM=\,:.JC=y[2,

PMBM

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為圓心，夜為半徑的圓，

AJ=^AB=2y/2,;.AC<AJ+JC=3-H，故線段AC長度的最大值為3亞.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,

三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓

軸題.

2.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，/ABC=90。，tanNBAC=；，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，P是以A

為圓心，以為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PHPC,則包的最大值為（）

A而口3瓦0713-1nV13+1

A.D.------C.---------D.------

31044

【答案】D

【分析】此題考查了解直角三角形，根據(jù)阿氏圓的定義，分別固定3P,分別確定A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓

。，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O',,由此可知，當(dāng)PC最最小時(shí)，黑的值最大，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：固定3尸，則不=2,.?*點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O,

AP

設(shè)O尸=a,貝ijAO=2a,BO=4a,貝|尸3=30—0尸=3a,

VZABC=90°,x=2，；.C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O',NO3O'=90。，

A(JB=2a,O'C=a,...當(dāng)PC最小時(shí)，的值最大,

22PB3aV13+1

PO'=^PB'+OB=J(3a)+(2a『=5a,：.一故選：D.

PO'-O'CJ]3a-a

3.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)A（8,0）的動(dòng)直線a,b,其夾角/O及1=30。，點(diǎn)

M是02中點(diǎn)，連接AM,則A"的最小值是（）

C.4A/3-4D.4』+4

【分析】作VAOB的外接圓。P,連接OP,PA,PB,取OP的中點(diǎn)Q,連接QM,證明ACMP是等邊三角形,

求出。聞=（8=4,得到點(diǎn)M在以。為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，畫出。。，當(dāng)Af在。。與QA的交點(diǎn)時(shí),

連接出交。。于此時(shí)AM有最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解.

【詳解】解：作VA03的外接圓。尸，連接。P,PA,PB,取。尸的中點(diǎn)Q,連接W,

VZAPO^2ZABO=60°,PO=PA,A。4P是等邊三角形，VA（8,0）,/.PO=PA=PB=8,

VOQ=QP,=；.QM=；B=4,.?.點(diǎn)M在以。為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，畫出0。,

當(dāng)加在。。與QA的交點(diǎn)時(shí)，連接QA交。。于M,此時(shí)AM有最小值，

???△OP4是等邊三角形，OQ=PQ,AQLOP,

?；Q4=8,02=4,/.AQ=\)82-42=473.AM的最小值是4括-4,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到圓上的距離，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性

質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造三角形外接圓是解題的關(guān)鍵.

4.（23-24九年級(jí)上.江蘇連云港?階段練習(xí)）等邊VABC的邊長為6,尸是A2上一點(diǎn)，AP=2,把AP繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接族'，3P的中點(diǎn)為。，連接C。.則C。長度的最小值是（）

A

A.35/3-1B.373-2C.3^+1D.3^+2

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)及三邊關(guān)系，取A8

中點(diǎn)。，連接CD,AP',利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CD=3有，根據(jù)三角形中位線定理得

到。。=1,再利用三角形三邊關(guān)系CQADC-D。即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；AP=2,把轉(zhuǎn)統(tǒng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，叱=2,

等邊VABC的邊長為6,點(diǎn)。是A3中點(diǎn)，，BD=AD=3,CDLAB,：.CD=y/BC2-BD2=762-32=373-

:點(diǎn)。是3P的中點(diǎn)，BQ=QP,y.'：AD=BD,：.DQ=^AP'=1,

在ACOQ中，CQ2DC-DQ=36-1,C。的最小值為3君-1,故選：A.

5.(23-24九年級(jí)上.安徽合肥?期末)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上有一

點(diǎn)P,AP=1,連接"，BP,取的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則CG的最大值是

()

A.3B.4C.3五D.5

【答案】A

【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的

確定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；如圖，取A2的中點(diǎn)。，連接GQ,CQ,證明G在以。為圓心，

）為半徑的圓上，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，取A8的中點(diǎn)Q,連接GQ,CQ,

為的中點(diǎn)，Af*=l,QG=：A尸=彳，；.G在以Q為圓心，；為半徑的圓上，

當(dāng)C,Q,G三點(diǎn)共線時(shí)，CG最大，CG^CQ+QG,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,：.AB=y/^+4T=5

：.CG=CQ+QG=^+^=3,即CG的最大值為3.故選A

6.（2024.河南關(guān)B州.三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形A3C邊BC的中點(diǎn)，尸是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,將

線段"以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ，連接.若AB=4,=1,則的最小值為.

【答案】2石-1

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的有

關(guān)定義以及和性質(zhì)等知識(shí)，得