2025年線代大一試題及答案

線代大一試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[25]分）

1.設矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則A的行列式為：

A.1B.2C.5D.0

2.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec=(2,3,4)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的點積為：

A.1B.5C.10D.11

3.設線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為\(\overline{A}\)，則下列說法正確的是：

A.A的秩為2B.\(\overline{A}\)的秩為3C.A的秩為3D.\(\overline{A}\)的秩為2

4.設線性方程組

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，則：

A.A的行列式為0B.A的行列式為1C.A的行列式為2D.A的行列式為3

5.設矩陣A可逆，則A的逆矩陣\(\overline{A}\)滿足：

A.\(A\overline{A}=\overline{A}A=I\)B.\(A\overline{A}=\overline{A}A=A\)C.\(A\overline{A}=I\)D.\(\overline{A}A=I\)

6.設向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關，向量\(\veczplznb3=(1,2,3)\)，則向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vectbhjfrf\}\)：

A.必然線性相關B.必然線性無關C.不能確定D.與向量\(\vec11zxdnl\)的關系無關

二、填空題（每題[5]分，共[25]分）

1.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec=(4,5,6)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的叉積為\(\boxed{\_}\)。

2.設矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

則A的秩為\(\boxed{\_}\)。

3.設線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為\(\overline{A}\)，則A的秩為\(\boxed{\_}\)，\(\overline{A}\)的秩為\(\boxed{\_}\)。

4.設矩陣A可逆，且A的逆矩陣為\(\overline{A}\)，則\(\overline{A}\)的逆矩陣為\(\boxed{\_}\)。

5.設向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關，向量\(\veczlxd3nb=(1,2,3)\)，則向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vecd313r1v\}\)線性相關的充要條件是\(\boxed{\_}\)。

三、計算題（每題[15]分，共[45]分）

1.計算矩陣A的行列式，其中

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

2.設線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\end{cases}\]

求該方程組的通解。

3.設矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

求矩陣A的逆矩陣。

4.設向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關，向量\(\vec1zfd1hl=(1,2,3)\)，求向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vecd1bhlhx\}\)的秩。

5.設線性方程組

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，求A的秩。

四、證明題（每題[20]分，共[40]分）

1.證明：設矩陣A為\(n\timesn\)矩陣，且\(A^2=A\)，則A可逆。

2.證明：設向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關，向量\(\vecjflrflz\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，則\(\vechj11z53\)必然與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性相關。

五、應用題（每題[20]分，共[40]分）

1.設線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}\]

求該方程組的通解，并解釋其經(jīng)濟意義。

2.設矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的特征值和特征向量。

六、綜合題（每題[25]分，共[50]分）

1.設矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的特征值和特征向量，并求矩陣A的對角化形式。

2.設線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，求A的秩，并解釋其幾何意義。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.2

解析思路：根據(jù)行列式的定義，\(A\)的行列式為\(1\cdot4-2\cdot3=2-6=-4\)。

2.D.11

解析思路：向量的點積公式為\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，代入得\(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4=2+6+12=20\)。

3.A.A的秩為2

解析思路：由于方程組有3個方程，但增廣矩陣的秩為2，說明有1個自由變量，因此系數(shù)矩陣的秩為2。

4.B.A的行列式為1

解析思路：每個方程都是前一個方程的倍數(shù)，說明方程組是線性相關的，因此系數(shù)矩陣的行列式為0。

5.A.\(A\overline{A}=\overline{A}A=I\)

解析思路：這是矩陣可逆的定義，即矩陣的逆矩陣與原矩陣相乘等于單位矩陣。

6.B.必然線性無關

解析思路：因為\(\veczlp1t5x\)可以由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，而\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性無關，所以\(\vecbpnlhnz\)必須與這三個向量線性無關。

二、填空題

1.\(\vec{a}\times\vec=\begin{bmatrix}3-10\\6-8\\5-8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\\-2\\-3\end{bmatrix}\)

解析思路：根據(jù)叉積的定義，計算\(\vec{a}\times\vec\)。

2.3

解析思路：由于矩陣A是上三角矩陣，其對角線上的元素為1,5,9，因此其行列式為1\*5\*9=45。

3.2，2

解析思路：根據(jù)增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相等，可以得出A的秩為2。

4.A

解析思路：由于A可逆，其逆矩陣\(\overline{A}\)存在，且滿足\(A\overline{A}=\overline{A}A=I\)。

5.\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)中的某個向量與\(\vec3l1hnbx\)成比例

解析思路：線性相關的定義是向量組中至少有一個向量可以由其他向量線性表示。

三、計算題

1.\(A\)的行列式為-4

解析思路：根據(jù)行列式的定義，計算矩陣A的行列式。

2.方程組的通解為

\[x=1+t,\quady=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2},\quadz=\frac{1}{2}t\]

解析思路：通過高斯消元法將方程組化為行階梯形矩陣，然后求解。

3.矩陣A的逆矩陣為

\[\overline{A}=\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-1&1\\1&2&-1\end{bmatrix}\]

解析思路：根據(jù)矩陣逆的定義，計算矩陣A的逆矩陣。

4.向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vecl1h1n5x\}\)的秩為3

解析思路：由于\(\vecn33vd1v\)可以由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，且\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性無關，因此向量組的秩為3。

5.矩陣A的秩為1

解析思路：由于方程組中所有方程都是同一個方程的倍數(shù)，系數(shù)矩陣的秩為1。

四、證明題

1.證明：設矩陣A為\(n\timesn\)矩陣，且\(A^2=A\)，則A可逆。

解析思路：由于\(A^2=A\)，則\(A(A-I)=0\)，其中\(zhòng)(I\)是單位矩陣。如果A不可逆，則\(A-I\)不可逆，導致矛盾，因此A可逆。

2.證明：設向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關，向量\(\veczj1d3hv\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，則\(\vecfpfzxlr\)必然與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性相關。

解析思路：由于\(\vec1vb1ttx\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，存在一組不全為零的系數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(\vecvxfb1fb=k_1\vec{a}+k_2\vec+k_3\vec{c}\)。如果\(\vecvfrxthv\)與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性無關，則\(k_1,k_2,k_3\)必須全為零，這與\(\vech33d1xl\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示矛盾，因此\(\vecdfbflzn\)必然與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性相關。

五、應用題

1.方程組的通解為

\[x=1+t,\quady=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2},\quadz=\frac{1}{2}t\]

解析思路：通過高斯消元法將方程組化為行階梯形矩陣，然后求解。

2.矩陣A的特征值和特征向量：

特征值：\(1,2,3\)

特征向量：\(\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)

解析思路：計算特征多項式\(|A-\lambdaI|\)，解出特征值，然后根據(jù)特征值求出對應的特征向量。

六、綜合題

1.矩陣A的特征值和特征向量：

特征值：\(1,2,