北師大版八年級數(shù)學 第2章《實數(shù)》全章復習與測試（原卷版+解析）

第2章實數(shù)全章復習與測試

【知識梳理】

一、平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)

符號表示±4a\[a

一個正數(shù)有兩個平方根，且互一個正數(shù)有一個正的立方

為相反數(shù)；根；

性質零的平方根為零；一個負數(shù)有一個負的立方

負數(shù)沒有平方根；根；

零的立方根是零；

(4a)2=a(a>0)(l/a)3=a

重要結論K1I=a

Va=a=<

[-a(a<0)\)-a=

二、實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

i.實數(shù)的分類

'正有理數(shù)'

有理數(shù)0有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù),［負有理數(shù).

無理數(shù)任餐熬］無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

要點詮釋：(1)所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限

循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如石，蚯等；

②有特殊意義的數(shù)，如“；

③有特定結構的數(shù)，如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點--對應.

數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.

3.實數(shù)的三個非負性及性質：

在實數(shù)范圍內，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).我們已經學習過的非負數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個實數(shù)。的絕對值是非負數(shù)，即Ia|20；

(2)任何一個實數(shù)。的平方是非負數(shù)，即/20；

(3)任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即4'20(?>0).

非負數(shù)具有以下性質：

(1)非負數(shù)有最小值零；

(2)有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

(3)幾個非負數(shù)之和等于0,則每個非負數(shù)都等于0.

4.實數(shù)的運算：

數(shù)。的相反數(shù)是一a；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是

0.

有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內仍然成立.

法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

三、二次根式的相關概念和性質

1.二次根式

形如&(a20)的式子叫做二次根式，如石,國等式子，都叫做二次根式.

要點詮釋：二次根式而有意義的條件是a20,即只有被開方數(shù)a之。時，式子?■才是二次根式,

4a才有意義.

2.二次根式的性質

(1)/之0(白之0)；

⑵(赤)=a(a>0)；

a(a>0)

(3)=|a<

-a(a<0)

要點詮釋：(1)一個非負數(shù)a可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即a=(J7)2(?>0),如

2=(6)2；：=(g)2；X=(6)2(X>0).

(2)中。的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論。取何值，一定有意義.

(3)化簡，時，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.

(4)與(?y的異同

不同點：中。可以取任何實數(shù)，而(GV中的。必須取非負數(shù)；

4a^=\a\,(&y=a(a>0).

相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當a取非負數(shù)時，J戶=(J3)2.

3.最簡二次根式

1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如母，箍,36,飛得+濟等都是最簡二次根式.

要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小

于根指數(shù)2.

四、二次根式的運算

1.乘除法

(1)乘除法法則:

類型法則逆用法則

二次根式的乘法4axy/b=4ab{a>Q,b>0)積的算術平方根化簡公式:

4ab=y/axy[b{a>0,b>0)

商的算術平方根化簡公式:

舊=(a>0,b>0)

二次根式的除法ayja.,c、

byjb一=-^=(a>0,Z?>0)

要點詮釋：

（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如

a4b-c4d^ac4bd.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如

，（-4）義（-9）w4xV—9.

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類

二次根式.

要點詮釋：

二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次

根式.如0+30—5應=（1+3—5）應=一夜.

【考點剖析】

.平方根（共2小題）

1.（2023?常德三模）J五的平方根是（

B.+4C.+2

2.（2023春?濱城區(qū)期中）已知：2〃什1和相-4是正數(shù)。的兩個平方根，則a-%的值是

二.算術平方根（共2小題）

4.（2023?韓城市一模）9的算術平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.±73

三.非負數(shù)的性質：算術平方根（共3小題）

5.（2023春?常州期末）已知忑W^W=0，貝1Ja+b的值是（）

A.1B.3C.5D.6

6.（2023春?雷州市校級期中）若|x-3I+Vy+4=0,則（x+y）2的值為（）

A.-1B.-2C.2D.1

7.（2022秋?成都期末）若無，y為實數(shù)，且（尤-1）2與圾石互為相反數(shù)，則/+產的平方根為（）

A.tMB.匹C.±5D.±V5

四.立方根（共2小題）

8.（2023春?大興區(qū)期末）如果知2.371L333,幻23.7"2.872,那么斗2370約等于（）

A.28.72B.0.2872C.13.33D.0.1333

9.（2023?榆陽區(qū)二模）-_L的立方根為（)

27

A.-AB.AC.-工D.工

3399

五.計算器一數(shù)的開方（共1小題）

10.（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）求一個正數(shù)的算術平方根，有些數(shù)可以直接求得，如F，有些數(shù)則不能

直接求得，如泥，但可以通過計算器求得，還有一種方法可以通過一組數(shù)的內在聯(lián)系，運用規(guī)律求得,

請同學們觀察表：

n0.00160.16161600160000

Vn0.040.4440400

（1）表中所給的信息中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或向右移動2位則它的算術平方根的小

數(shù)點就向移動_______位;

（2）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：

①若“3.65公1.910,“36.5弋6.042,則V3650002；

②已知7p0.000365,貝ijx心.

六.無理數(shù)（共2小題）

11.（2023春?梁平區(qū)期中）在下列各數(shù)：3.14,-TT,遙，J7、號、病中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2022秋?衡山縣期末）在實數(shù)22,-娓,―,我，3.14中，無理數(shù)有（）

72

A.1個B.2個C.3個D.4個

七.實數(shù)（共2小題）

13.（2023春?東昌府區(qū)期中）在實數(shù)烏，JZ，我，0,411中，有理數(shù)有（）

52

A.1個B.2個C.3個D.4個

14.（2023春?凱里市校級期中）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：

-2.4,m2.022,-0.15,0,-10,-1.1010010001-.

3

整數(shù)集合：｛｝；負分數(shù)集合：｛｝；

正實數(shù)集合：｛｝；無理數(shù)集合：｛｝.

八.實數(shù)的性質（共2小題）

15.（2021秋?萊西市期末）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是2x-3和1-尤，知「2b與Mb-5互為相反

數(shù).求a+2b的算術平方根.

16.（2021秋?射陽縣校級期末）已知實數(shù)人6互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值為西,

求代數(shù)式（a+b+cd）x+7a+b-W/石的值.

九.實數(shù)與數(shù)軸（共1小題）

17.（2022春?寧明縣期末）如圖所示，數(shù)軸的正半軸上有A、B、C三點，表示1和的對應點分別為A、

8,點B到點A的距離與點C到點0的距離相等，設點C所表示的數(shù)為尤.

（1）請你寫出數(shù)x的值；

（2）求（彳-料）2的立方根.

一十.實數(shù)大小比較（共2小題）

18.（2022秋?海口期末）比較2近，3,的大小，正確的是（）

A.*<3<2&B.2&<近<3C.V7<2A/2<3D.2&<3<近

19.（2023春?龍子湖區(qū)期中）比較大?。?5-1工（填

33

一十一.估算無理數(shù)的大小（共2小題）

20.（2023春?合江縣期中）絕對值小于J五的所有正整數(shù)的和是.

21.（2022秋?長安區(qū)校級期末）的小數(shù)部分為a,則。（a+4）=.

一十二.實數(shù)的運算（共3小題）

22.（2023春?東莞市期中）計算：V4-（V3-2）+（-1）2023-

23.（2022秋?泰興市期末）（1）計算：；

（2）求3（x-1）3=81中的x的值.

24.（2022秋?亭湖區(qū)期末）計算：狗7

一十三.二次根式的定義（共1小題）

25.（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.V-2023B.VsC.狗D.4

一十四.二次根式有意義的條件（共1小題）

26.（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則尤的取值范圍是（）

A.Y上B.C.尤D.尤

5尸555

一十五.二次根式的性質與化簡（共3小題）

27.（2023春?合肥期末）化簡冗+兀2的結果是（）

A.3-11B.3+irC.-3-nD.-3+n

28.（2022秋?開福區(qū)校級期末）在學習二次根式時，小明同學發(fā)現(xiàn)了兩個非常有趣的式子，分別把它們定

義為“運算”和“X運算”.其中L（a）=a-序麗，X（a）=aWa2-2021-為了使二次根式有

意義，我們規(guī)定。為實數(shù)，且滿足次》2021.

（1）求證：L（aAX（a）=2021；

（2）若實數(shù)x滿足工（x）=43,求x的值；

（3）已知實數(shù)x,y滿足乙（x）吆（y）=2021,t為任意實數(shù)，求代數(shù)式“（2x-y+t）（x-2y+t）-t+2024

的最小值.

29.（2022秋?永定區(qū)期末）閱讀下列例題.

在學習二次根式性質時我們知道（立）2=@（a>0）

例題求百樂的值.

解：設X=V3-H/5W3W5，兩邊平方得：x2=(^3+75)2+(73^/5)2+2A/(3W5)(3-75)，

X2=3-*V5+3~75+4,，=10

.?.尤=±Vi0.

?-,V3-h/5+V3-V5>0,AV3+V5+V3-V5=V10.

請利用上述方法，求+V4-V7的值.

一十六.最簡二次根式（共1小題）

30.（2023春?路北區(qū)期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.需B.^/15C.A/12D.725^

一十七.二次根式的乘除法（共3小題）

31.（2023春?興縣期中）若皿==\工成立,則（）

V6^xV6-X

A.x<6B.04W6C.尤20D.0?6

32.（2023春?密云區(qū)期末）計算：2五義3\[

33.（2022秋?零陵區(qū)期末）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式

子的平方，如：3+2&=1+2后+2=（1+^2）2,善于思考的小明進行了以下探索：設（m+n

V2）2（其中。、b、m、〃均為整數(shù)），貝！J有。+從/^=92+2〃2+2加小/^..,.^=m2+2n2,b=2mn.這樣小

明就找到了一種把部分〃+6加的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:

（1）當。、b、機、〃均為正整數(shù)時，若a+Zn/5=（m+n-\[3）用含機、〃的式子分別表示°、6的值;

（2）試著把7+4.質化成一個完全平方式.

一十八.二次根式的加減法（共2小題）

34.（2023春?吉林月考）計算：V4+V8-V2.

35.（2023春?撫松縣期中）計算：元-+748-

一十九.二次根式的混合運算（共2小題）

36.（2023春?宿城區(qū)期末）計算：.

37.（2023春?海林市校級期中）（1）觀察下列各式的特點:

V3W2>2-V3,

2^3>V5-2,

V5-2>V6-V5,

…根據(jù)以上規(guī)律可知：V2021-A/2020V知22-V2021（填“>”“<”或“="）.

（2）觀察下列式子的化簡過程：

1_________加-1后1

萬r（a+i）（&

1___________

斐WT（英啦M）6（《3尸-3G。2,

_V4_W1__3__-__（_V__4_Wa3）*（V_4-_V_3_）=7□Fr,???

根據(jù)觀察，請寫出式早1（“22,且，是正整數(shù)）的化簡過程.

Vn+vn-l

（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：

+|___1____1___|+?+|廣_]_______1|.

y+V3VsW4v100+V99v101w100

二十.二次根式的化簡求值（共2小題）

38.（2023春?泰安期中）（1）當a=3-2近時，求代數(shù)式a+24a2-6a+9的值?

（2）當a=3+2\巧，b=3-2、歷，求代數(shù)式/-3"+房的值.

39.（2023春?梁山縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是

小明用J5-1來表示&的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，

因為近的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.又例如：〈詆，即

2<小<3.的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為G/7-2）.

請解答：

（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是

（2）如果通的小數(shù)部分為m的整數(shù)部分為6,求a+b-泥的值.

【過關檢測】

一、單選題

1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

C.2兀D.0.232332333

2.估計近+4的值（）

A.在5和6之間B.在6和7之間C.在7和8之間D.在8和9之間

3.如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

4.下列說法：①所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示；②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；③任何實數(shù)都有立方

根；④標的平方根是±4,其中正確的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.的三邊長a,b,c滿足6（Z?-12）2+|c-13|=0,則她3C的面積是（）

A.65B.60C.30D.26

6.若J^I+|y+7|+(z-7)2=0,則x-N+z的平方根為()

A.±2B.4C.2D.±4

7.已知a?—QH---i~Jb+2=0,貝ljob=()

4

A.1B.-1C.4D.-4

8.閱讀下面的解題過程：團一2G=J（—2）2x3=疵①,垣=2若②..0-273=273@.以上推導過程

中開始錯誤的一步是（）

A.①B.②C.③D.沒有錯誤

9.下列運算正確的是（）

A.75-73=72B.75x^=715

C.2+指=26D.巫一6=2

10.設〃是任意正整數(shù)，代入式子"一w中計算時，四名同學算出如下四個結果，其中正確的結果可能是

()

A.388947B.388944C.388953D.388949

二、填空題

11.如圖所示，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)2的點為圓心，正方形的對角線長為

半徑畫弧，交數(shù)軸于點4則點A表示的數(shù)是.

12.若|。|=#，則一而三的相反數(shù)是一?

13.觀察：①，3-2及=&-1，②55-2#=6-忘,③。7-46=2-扣..按此規(guī)律，第8

個等式的是—.

14.計算舊-3疵的結果是.

15.后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

16.若廊是正整數(shù)，則整數(shù)”的最小值為.

17.一個正數(shù)的平方根分別是X+1和x-5,貝”=_.

18.計算9-|2-閻+際=.

三、解答題

19.把下面?zhèn)€各數(shù)填入相應的大括號內

421

-13.5,5,0,-10,3.14,+27,--,-15%,—.

53

負數(shù)集合：｛...｝,

非負數(shù)集合：｛…｝,

整數(shù)集合：｛...｝,

負分數(shù)集合：｛

20.計算題:

(1)次+加

(2)^27-V0-

21.已知：。與2b互為相反數(shù)，a-b的算術平方根是3.

(1)求。、b的值；

(2)12a+c|+y/b—d=0,求3+d-1的立方根.

22.已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根是3a-14和a+2,6+11的立方根為-3

(1)求的值

(2)求1-(a+b)的平方根

23.觀察：回4<7<9,E2<>/7<3,回近的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為4一2.

⑴庖的整數(shù)部分是，9-庖的小數(shù)部分是；

(2)小明將一個長為10cm,寬為8cm的長方形紙片按與邊平行的方向進行裁剪，裁剪出兩個大小不一的正

方形，使它們的邊長之比為4:3,面積之和為75cm2,小明能否裁剪出這兩個正方形？若能，請說明理由

并求出這兩個正方形的面積；若不能，也說明理由.

24.如圖，有一塊正方形鐵皮，從四個頂點處分別剪掉一個面積為25cm2的正方形后，所剩部分正好圍成

一個無蓋的長方體容器，量得該容器的體積是180cm3,求原正方形鐵皮的邊長.

25.如圖在數(shù)軸上A點表示數(shù)。，8點表示數(shù)6,5滿足|a+2|+|b-6|=0.

AB

-4---------1---------------------------------1-A

O

⑴點A表示的數(shù)為;點8表示的數(shù)為;

（2）若在原點。處放一擋板，一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點8處

以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方

向運動，設運動的時間為秒）.

①當/=1時，甲小球到原點的距離=;乙小球到原點的距離=;

當t=4時，甲小球到原點的距離=：乙小球到原點的距離=；

②試探究：甲，乙兩小球到原點的距離可能相等嗎？若不能，請說明理由.若能，請直接寫出甲，乙兩小

球到原點的距離相等時經歷的時間.

第2章實數(shù)全章復習與測試

【知識梳理】

一、平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)

符號表示±4a\[a

一個正數(shù)有兩個平方根，且互一個正數(shù)有一個正的立方

為相反數(shù)；根；

性質零的平方根為零；一個負數(shù)有一個負的立方

負數(shù)沒有平方根；根；

零的立方根是零；

(4a)2=a(a>0)(l/a)3=a

重要結論K1I=a

Va=a=<

[-a(a<0)\)-a=

二、實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

i.實數(shù)的分類

.正有理數(shù)

有理數(shù)，0＞有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)，［負有理數(shù)

無理嘴蠢卻無限不循環(huán)小數(shù)

要點詮釋：(1)所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限

循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如石，蚯等；

②有特殊意義的數(shù)，如“；

③有特定結構的數(shù)，如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點--對應.

數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.

3.實數(shù)的三個非負性及性質：

在實數(shù)范圍內，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).我們已經學習過的非負數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個實數(shù)。的絕對值是非負數(shù)，即Ia|20；

(2)任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即1三0；

(3)任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即4'20(a>0).

非負數(shù)具有以下性質：

(1)非負數(shù)有最小值零；

(2)有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

(3)幾個非負數(shù)之和等于0,則每個非負數(shù)都等于0.

4.實數(shù)的運算：

數(shù)。的相反數(shù)是一a；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是

0.

有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內仍然成立.

法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

三、二次根式的相關概念和性質

1.二次根式

形如&(a20)的式子叫做二次根式，如6,欄,回血,C等式子,都叫做二次根式.

要點詮釋：二次根式而有意義的條件是a20,即只有被開方數(shù)時，式子后才是二次根式,

4a才有意義.

2.二次根式的性質

(1)而之0Q20)；

(2)(石)=a(a>0)；

a(a>0)

(3)=|a<

-a(a<0)

要點詮釋：(1)一個非負數(shù)?？梢詫懗伤乃阈g平方根的平方的形式，即a=(J7)2(?>0),如

2=(應)2；；=(4)2；%=(?)2(%>0).

(2)而中。的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論。取何值，一定有意義.

(3)化簡病時，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.

(4)與(&)2的異同

不同點："中?？梢匀∪魏螌崝?shù)，而(GT中的。必須取非負數(shù)；

4^=\a\,(4a)2=a(a>0).

相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當。取非負數(shù)時，J/=(G)2.

3.最簡二次根式

1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如母，箍,36,飛得+濟等都是最簡二次根式.

要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小

于根指數(shù)2.

四、二次根式的運算

1.乘除法

(1)乘除法法則:

類型法則逆用法則

二次根式的乘法Vax=4ab{a>0,b>0)積的算術平方根化簡公式:

y[ab-4ax>0,/?>0)

_商的算術平方根化簡公式:

二次根式的除法.l^=^（a>0,b>0）rn

也揚由弋（心。公。）

要點詮釋：

（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如

a4b-c4d^ac4bd.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如

，（-4）義（-9）w4xV—9.

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類

二次根式.

要點詮釋：

二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次

根式.如0+3行—5行=（1+3—5）0=一行.

【考點剖析】

一.平方根（共2小題）

1.（2023?常德三模）J五的平方根是（）

A.4B.+4C.±2D.2

【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)。的平方根，也就是求一個數(shù)尤，使得了=。，則x就是。的平方根,

由此即可解決問題.

【解答】解：岳=4,4的平方根是±2.

故選：C.

【點評】本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0；負

數(shù)沒有平方根.

2.（2023春?濱城區(qū)期中）己知：2〃什1和m-4是正數(shù)。的兩個平方根，則a-相的值是8.

【分析】一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，由此即可計算.

【解答】解：,.,2nt+l和相-4是正數(shù)a的兩個平方根，

2m+l+m-4=0,

??"2=1,

/.2m+l=2X1+1=3,

-m=9-1=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查平方根的概念，關鍵是掌握平方根的定義.

二.算術平方根（共2小題）

3.（2023春?漢陽區(qū)期末）若3a-22和2a-3是實數(shù)機的平方根，貝八區(qū)的值為（）

【分析】根據(jù)平方根的性質可知，3a-22和2a-3互為相反數(shù)，即可求解.

【解答】解：根據(jù)平方根的性質可知,3a-22+2a-3=0,

解得a=5,

3a-22——7,

.\m=（-7）2=49,

?噂為

故選：A.

【點評】本題考查了平方根的性質，解題的關鍵是掌握平方根的性質.

4.（2023?韓城市一模）9的算術平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.

【分析】根據(jù)算術平方根的定義求解即可.

【解答】解：9的算術平方根是3,

故選：A.

【點評】本題考查算術平方根的求解，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵.

三.非負數(shù)的性質：算術平方根（共3小題）

5.（2023春?常州期末）已知互W^E=0,則a+b的值是（）

A.1B.3C.5D.6

【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出。，6的值，進而得出答案.

【解答】解：???正互

.9?a-3=0,2-b=0,

解得：a=3,b=2,

??〃+Z?5.

故選：C.

【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質，正確得出。，b的值是解題關鍵.

6.（2023春?雷州市校級期中）若|x-3I+Vy+4=0，則（x+y）?的值為（）

A.-1B.-2C.2D.1

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質“兩個非負數(shù)相加和為0,這兩個非負數(shù)的值都為0"解出X、y的值，再把

尤、y的值代入求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：卜3=0,

[y+4=0

解得：卜=3,

ly=-4

貝!]（x+y）2=（-1）2=1.

故選：D.

【點評】本題考查了非負數(shù)的性質：有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零.

7.（2022秋?成都期末）若x,y為實數(shù)，且（x-1）2與病音互為相反數(shù)，則/+/的平方根為（）

A.±V3B.VsC.±5D.+V5

【分析】直接利用非負數(shù)的性質得出無，y的值，進而利用平方根的定義得出答案.

【解答】解：\?（尤-1）2與符音互為相反數(shù)，

/.（x-1）2+V3y-6—0,

.*.%-1=0,3y-6=0,

解得：x=l,y=2,

則f+y2=l2+22=5,

故/+/的平方根為：土病.

故選：D.

【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質以及平方根的定義，正確得出x,y的值是解題關鍵.

四.立方根（共2小題）

8.（2023春?大興區(qū)期末）如果為2.歹2L333,刃23.7-2.872,那么知2370約等于（）

A.28.72B.0.2872C.13.33D.0.1333

【分析】根據(jù)立方根，即可解答.

【解答】解：：軻7萬-1.333,

???^2370=啊.37X1000-1.333X10=13.33.

故選：C.

【點評】本題考查了立方根，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義.

9.（2023?榆陽區(qū)二模）的立方根為（）

27

A.-工B.工C.-工D.A

3399

【分析】直接根據(jù)立方根的定義解答即可.

【解答】解：???（-工）3=-。，

327

-工的立方根為-1.

273

故選:A.

【點評】本題考查的是立方根，熟知立方根的定義是解題的關鍵.

五.計算器一數(shù)的開方（共1小題）

10.（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）求一個正數(shù)的算術平方根，有些數(shù)可以直接求得，如F，有些數(shù)則不能

直接求得，如?，但可以通過計算器求得，還有一種方法可以通過一組數(shù)的內在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，

請同學們觀察表：

n0.00160.16161600160000

Vn0.040.4440400

（1）表中所給的信息中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或向右移動2位則它的算術平方根的小

數(shù)點就向向左或向右移動1位;

（2）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題:

①若“3.65葉1.910,736.5=6.042,則#365000?604.2；

②已知了心0.000365,貝Ix一±0.0190.

【分析】（1）從被開方數(shù)和算術平方根的小數(shù)點的移動位數(shù)考慮解答；

（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律解答即可.

【解答】解：（1）由表格可以看出被開方數(shù)的小數(shù)點向左或向右移動2位，算術平方根的小數(shù)點就向左

或向右移動1位，

故答案為：向左或向右，1；

（2）①由（1）可知，被開方數(shù)的小數(shù)點向右移動4位，算術平方根的小數(shù)點就向右移動2位，

?.”36.5心6.042,

/.V365000=604.2；

②由（1）可知，被開方數(shù)的小數(shù)點向左移動4位，算術平方根的小數(shù)點就向左移動2位，

vV3.65^1.910,0.000365,

又..?一個正數(shù)的平方根有兩個，

/.x=+Vo.000365=+0.0190.

故答案為：①604.2；②±0.0190.

【點評】本題考查了算術平方根，平方根以及規(guī)律型一數(shù)字的變化類，找出被開方數(shù)的小數(shù)點的移動規(guī)

律是解題的關鍵.

六.無理數(shù)（共2小題）

11.（2023春?梁平區(qū)期中）在下列各數(shù)：3.14,-TT,迷，五、&、病中無理數(shù)的個數(shù)是（）

11

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有口的數(shù)，找出無理數(shù).

【解答】解：無理數(shù)有-TT,泥，曲共3個.

故選：B.

【點評】本題考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，常見形式有：①開方開不盡的數(shù)，如盛

等；②無限不循環(huán)小數(shù)，如0.101001000…等；③字母，如n等.

12.（2022秋?衡山縣期末）在實數(shù)罵，-娓,—,我，3.14中，無理數(shù)有（）

72"J

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案.

【解答】解：-娓,三是無理數(shù)，

2

故選:B.

【點評】本題考查了無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，注意帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù).

七.實數(shù)（共2小題）

13.（2023春?東昌府區(qū)期中）在實數(shù)4，遍，狗，0,工旦中，有理數(shù)有（）

5—2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)有理數(shù)的意義，即可解答.

【解答】解:在實數(shù)2，F(xiàn),我，。，工^中，有理數(shù)有冬，y,o,共有3個，

525

故選：C.

【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的意義是解題的關鍵.

14.（2023春?凱里市校級期中）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：

-2.4,it,2.022,-0.15,0,-10,-1.1010010001-.

3

整數(shù)集合：｛0,-10）；負分數(shù)集合：｛-2.4,-改，-0.15）；

3

正實數(shù)集合：｛n,2.022｝；無理數(shù)集合：｛IT,-1.1010010001…｝.

【分析】實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行分

類即可.

【解答】解：整數(shù)集合：0,-10；

負分數(shù)集合：-2.4,-兇，-0.15；

3

正實數(shù)集合：m2.022；

無理數(shù)集合：it,-1.1010010001-；

故答案為：0,-10；-2.4,-辿，-0.15；n,2.022；n,-1.1010010001-.

3

【點評】本題考查實數(shù)的分類，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

八.實數(shù)的性質（共2小題）

15.（2021秋?萊西市期末）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是2x-3和1-x,/]__2b與加b-5互為相反

數(shù).求a+26的算術平方根.

【分析】由正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，得2x-3+l-x=0,由如五與海石互為相反數(shù)，得1

-2b+(3b-5)=0,即可求解.

【解答】解：：正數(shù)Q的兩個平方根分別是2x-3和1-x,

.'.2x-3+(1-x)=0,

??1=2,

.\a=(1-x)2=(1-2)2=1,

土l-2b與一b-5互為相反數(shù)，

：.l-2b+(3b-5)=0,

???〃+2b=l+2X4=9,

a+2b的算術平方根是3.

【點評】本題考查平方根，算術平方根，相反數(shù)的概念，關鍵是掌握這些概念的性質.

16.(2021秋?射陽縣校級期末)已知實數(shù)〃、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，尤的絕對值為J前，

求代數(shù)式(a+b+cd)x+Ta+b-的值.

【分析】根據(jù)題意可得a+b=0,cd=l,x=±7,然后代入代數(shù)式求值即可.

【解答】解：小羽=7,

「a、6互為相反數(shù)，

：c、d互為倒數(shù)，

??cd=1,

的絕對值為J芯.

.*.x=±7,

當x=7時，

原式=(0+1)X7+V0-加

=7-1

=6,

當x=-7時，

原式=（0+1）X（-7）--?，4

=-7-1

=-8,

.??所求代數(shù)式的值為6或-8.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算和求代數(shù)式的值，關鍵是掌握相反數(shù)和為0,倒數(shù)積為1.

九.實數(shù)與數(shù)軸（共1小題）

17.（2022春?寧明