2025年重慶三診數(shù)學(xué)試題及答案

重慶三診數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[X]分，共[X]分）

1.下列函數(shù)中，有最小值的是：

A.$f(x)=x^2-2x+1$

B.$f(x)=x^2+2x+1$

C.$f(x)=-x^2+2x-1$

D.$f(x)=-x^2-2x+1$

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別是2，5，8，則其第10項(xiàng)為：

A.17

B.18

C.19

D.20

3.若$\sin^2x+\cos^2x=1$，則$\sin2x$的取值范圍是：

A.$[-1,1]$

B.$[-1,0]$

C.$[0,1]$

D.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

二、填空題（每題[X]分，共[X]分）

4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的對(duì)稱中心為$\boxed{\text{點(diǎn)}}$。

5.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別是3，5，7，則該數(shù)列的前10項(xiàng)之和為$\boxed{\text{數(shù)值}}$。

6.若$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$）在$x=1$時(shí)取得最大值，則$a$的取值范圍為$\boxed{\text{范圍}}$。

四、解答題（每題[X]分，共[X]分）

7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，求證：$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。

8.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-2n$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

五、證明題（每題[X]分，共[X]分）

9.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2+1\geq2x$。

六、綜合題（每題[X]分，共[X]分）

10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

（1）函數(shù)$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)；

（2）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；

（3）函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.A.$f(x)=x^2-2x+1$的圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)為$(1,0)$，因此有最小值0。

2.B.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=2$，$d=3$，所以$a_{10}=2+(10-1)\times3=29$。

3.C.根據(jù)三角恒等式$\sin^2x+\cos^2x=1$，$\sin2x=2\sinx\cosx$，由于$\sin^2x+\cos^2x=1$，所以$\sin2x$的取值范圍為$[-1,1]$。

二、填空題答案及解析思路：

4.對(duì)稱中心為$(1,0)$，因?yàn)?f(x)$是關(guān)于$x=1$對(duì)稱的。

5.等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$得$S_{10}=\frac{10}{2}(3+29)=165$。

6.由于$f(x)$在$x=1$時(shí)取得最大值，所以$f'(1)=0$，即$2a+b=0$，又因?yàn)?f(1)=1$，所以$a+b+c=1$，解得$a=-\frac{1}{2}$。

四、解答題答案及解析思路：

7.解析思路：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令$f'(x)>0$解得$x>1$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增。

8.解析思路：由$S_n=3n^2-2n$，得$a_1=S_1=1$，$a_2=S_2-S_1=6$，$a_3=S_3-S_2=9$，由此可以得出公差$d=a_2-a_1=5$，所以通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times5=5n-4$。

五、證明題答案及解析思路：

9.解析思路：將不等式$x^2+1\geq2x$改寫(xiě)為$(x-1)^2\geq0$，顯然對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，$(x-1)^2$都是非負(fù)的，所以原不等式成立。

六、綜合題答案及解析思路：

10.解析思路：

（1）令$f(x)=0$，解得$x^3-6x^2+9x+1=0$，可以通過(guò)因式分解或使用數(shù)值方法求解，得到$x=1$或$x=3$。

（2）求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$解得$x=1$或