2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第4講隨機(jī)事件與古典概型分層演練理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第4講隨機(jī)事務(wù)與古典概型1．設(shè)事務(wù)A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，則A，B之間的關(guān)系肯定為()A．兩個(gè)隨意事務(wù) B．互斥事務(wù)C．非互斥事務(wù) D．對(duì)立事務(wù)解析：選B.因?yàn)镻(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之間的關(guān)系肯定為互斥事務(wù)．故選B.2．(2024·安徽“江南十?！甭?lián)考)從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選D.令選取的a，b組成實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)，則有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15種狀況，其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)3種狀況，所以b>a的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故選D.3．(2024·沈陽市教學(xué)質(zhì)量檢測(一))將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：選B.A，B，C，D4名同學(xué)排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當(dāng)A，C之間是B時(shí)，有2×2＝4種排法，當(dāng)A，C之間是D時(shí)，有2種排法．所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4)，故選B.4．滿意a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的概率為()A.eq\f(7,12) B.eq\f(11,12)C.eq\f(11,16) D.eq\f(13,16)解析：選D.滿意條件的方程共有4×4＝16個(gè)，即基本領(lǐng)件共有16個(gè)．若a＝0，則b＝－1，0，1，2，此時(shí)共組成四個(gè)不同的方程，且都有實(shí)數(shù)解；若a≠0，則方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此時(shí)(a，b)的取值為(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9個(gè)．所以(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋9＝13.因此，所求的概率為eq\f(13,16).5．(2024·福建省一般中學(xué)質(zhì)量檢查)某食品廠制作了3種與“?！弊钟嘘P(guān)的精致卡片，分別是“富強(qiáng)福”“和諧?！薄坝焉聘！?，每袋食品中隨機(jī)裝入一張卡片．若只有集齊3種卡片才可獲獎(jiǎng)，則購買該食品4袋，獲獎(jiǎng)的概率為()A.eq\f(3,16) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,8) D.eq\f(8,9)解析：選B.將3種不同的精致卡片隨機(jī)放進(jìn)4個(gè)食品袋中，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有34＝81種不同放法，4個(gè)食品袋中3種不同的卡片都有的放法共有3×Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(2,2)＝36種，依據(jù)古典概型概率公式得，能獲獎(jiǎng)的概率為eq\f(36,81)＝eq\f(4,9)，故選B.6．口袋內(nèi)裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若紅球有21個(gè)，則黑球有________個(gè)．解析：摸到黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3.設(shè)黑球有n個(gè)，則eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：157．已知小李每次打靶命中靶心的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率．先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次打靶的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965據(jù)此估計(jì)，小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率為________．解析：由題意知，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次打靶恰有兩次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6組隨機(jī)數(shù)，所以所求概率為eq\f(6,20)＝0.30.答案：0.308．如下的三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解析：從九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84種，取出的三個(gè)數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6種，所以至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)9．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)求x，y的值；(2)求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘的概率．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.(2)記A：一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘．A1：該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘．A2：該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘．將頻率視為概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3，所以一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘的概率為0.3.10．(2024·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．(i)試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；(ii)設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)(i)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．(ii)由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).1．從1到10這十個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)取三個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另兩個(gè)數(shù)之和的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選A.不妨設(shè)取出的三個(gè)數(shù)為x，y，z(x<y<z)，要滿意x＋y＝z，共有20種結(jié)果，從十個(gè)數(shù)中取三個(gè)數(shù)共有Ceq\o\al(3,10)種結(jié)果，故所求概率為eq\f(20,Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).2．已知函數(shù)f(x)＝logax－3loga2，a∈{eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，2，4，5，8，9}，則f(3a＋2)>f(2a)>0的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(3,7)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,7)解析：選B.因?yàn)閍∈{eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，2，4，5，8，9}，所以3a＋2>2a，又f(3a＋2)>f(2a)>0，所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．因?yàn)閒(x)＝logax－3loga2＝logaeq\f(x,8)，所以a>1，又f(2a)>0，所以logaeq\f(2a,8)>0，所以eq\f(2a,8)>1，即a>4，則f(3a＋2)>f(2a)>0的概率P＝eq\f(3,7).故選B.3．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\r(5)的概率是________．解析：由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.當(dāng)a＝1時(shí)，b＝3，4，5，6四種狀況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5，6兩種狀況，總共有6種狀況．又同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．所以所求事務(wù)的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)4．連續(xù)拋擲同一顆勻稱的骰子，記第i次得到的向上一面的點(diǎn)數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為幸運(yùn)數(shù)字，則幸運(yùn)數(shù)字為3的概率是________．解析：連續(xù)拋擲同一顆勻稱的骰子3次，所含基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6×6×6，要使a1＋a2＋a3＝6，則a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三種狀況，其所含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m＝Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋1＝10.故幸運(yùn)數(shù)字為3的概率為P＝eq\f(10,6×6×6)＝eq\f(5,108).答案：eq\f(5,108)5．已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A，B兩組，每組4支，求：(1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊(duì)的概率；(2)A組中至少有2支弱隊(duì)的概率．解：(1)法一：3支弱隊(duì)在同一組中的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(4,8))×2＝eq\f(1,7)，故有一組恰好有2支弱隊(duì)的概率為1－eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).法二：A組恰有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))，B組恰好有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))，所以有一組恰好有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))＋eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(6,7).(2)法一：A組中至少有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))＋eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(1,2).法二：A，B兩組有一組中至少有2支弱隊(duì)的概率為1(因?yàn)榇耸聞?wù)為必定事務(wù))．由于對(duì)A組和B組而言，至少有2支弱隊(duì)的概率是相同的，所以A組中至少有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(1,2).6．在某大型活動(dòng)中，甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參與A崗位服務(wù)的概率．解：(1)記“甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)”為事務(wù)EA，那么P(EA)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的概率是eq\f(1,40).(2)記“甲、乙兩人